33 从下方逼近：把积分推广到非负可测函数 · 第1讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

一般的非负可测函数 $f$ 没法直接写成有限级台阶。办法是：把所有「垫在 $f$ 下面」的简单台阶都拿来，看它们的面积最大能逼近到多少，这个「最大能逼近到的值」（上确界）就定义为 $\int f d μ 。$

上一页第 32 页的板书问：简单函数的积分搭好了，一般函数 $f$ 怎么办？ 这一页给出答案（定义 27）。
命题 28 检查新定义是否「靠谱」：对简单函数，它和旧定义一致；并且保持单调性和数乘。
板书补充了带符号函数的处理： $f = f^{+} - f^{-} ，$ 正部、负部各自用本页的定义积分，再相减。
下一页第 34 页会证明：每个非负可测函数都能用一列递增的简单函数逼近，这样上确界就可以写成极限，便于计算。

先补基础

基础补课上确界 sup：最小的上界

这是本页最关键的新概念，请慢慢看。

设 $E$ 是一堆数组成的集合。如果数 $M$ 满足「 $E$ 里每个数都 $\leq M 」，$ 就称 $M$ 是 $E$ 的一个上界。
上确界（supremum） $sup E$ 是所有上界中最小的那个。它由两条性质刻画：
1. 它是上界： $E$ 中每个数都 $\leq sup E ；$
2. 比它小的数都不是上界：对任意 $ε > 0 ，$ $E$ 中总有某个数 $> sup E - ε 。$
例 1： $E = {1, 2, 3} ，$ $sup E = 3 ，$ 它就是最大值，取到了。
例 2： $E = {1 - \frac{1}{n} : n = 1, 2, \dots} = {0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \dots} 。$ 每个数都 $< 1 ，$ 所以 1 是上界；任何比 1 小的数 $1 - ε$ 都会被某个 $1 - \frac{1}{n}$ 超过（取 $\frac{1}{n} < ε ），$ 所以 $sup E = 1 。$ 但 1 本身不在 $E$ 里：上确界没有取到。
例 3： $E = {1, 2, 3, \dots} ，$ 没有实数上界，在扩展实数中约定 $sup E = + \infty 。$
和最大值 max 的区别：最大值必须是集合里的元素；上确界可以不在集合里。在 $[0, \infty]$ 中，任何非空集合都有上确界（可能是 $+ \infty ），$ 但不一定有最大值。

基础补课记号 ∨ 和 ∧

$a \lor b = max (a, b) ，$ 读作「 $a$ 与 $b$ 取大」； $a \land b = min (a, b) ，$ 「取小」。
用在函数上也是逐点的： $(f \lor 0) (x) = max (f (x), 0) 。$
例： $f (x) = x ，$ 则 $(f \lor 0) (2) = 2 ，$ $(f \lor 0) (- 3) = 0 。$

基础补课「垫在下面」：0 ≤ s ≤ f

$0 \leq s \leq f$ 表示对每个点 $x$ 都有 $0 \leq s (x) \leq f (x) ：$ $s$ 的图像夹在 $x$ 轴和 $f$ 的图像之间，一处也不能超出 $f 。$ 例如 $f (x) = x$ 在 $[0, 1]$ 上， $s = \frac{1}{2} 1_{[\frac{1}{2}, 1]}$ 满足条件（在 $[\frac{1}{2}, 1]$ 上 $\frac{1}{2} \leq x ）；$ 但 $s = \frac{1}{2} 1_{[0, 1]}$ 不满足（在 $x = 0.1$ 处 $\frac{1}{2} > 0.1 ）。$

课件原文逐句精读

课件原文Extend the simple integral by lower approximation

We know how to integrate nonnegative simple functions. For a general measurable $f \geq 0$ , use every measurable simple staircase lying below it.

中文翻译

我们已经会积分非负简单函数了。对一般的非负可测函数 $f \geq 0 ，$ 就利用每一个位于它下方的可测简单台阶。

staircase（台阶）就是简单函数：有限级、每级是常数。
lying below it（位于它下方）： $0 \leq s \leq f 。$
every（每一个）：不是挑几个，而是所有这样的台阶都参与比较。老师圈出了 $f \geq 0 ：$ 这一页只处理非负函数。

课件原文Definition 27 (Lebesgue integral for f ≥ 0)

For measurable $f : S \to [0, \infty]$ , let

S_{f} := {s : 0 \leq s \leq f, s simple and measurable}, \int_{S} f d μ := s \in S_{f} sup \int_{S} s d μ .

The supremum need not be attained, and the value $+ \infty$ is allowed.

中文翻译

定义 27（非负函数的勒贝格积分） 对可测函数 $f : S \to [0, \infty] ，$ 令

S_{f} = {s : 0 \leq s \leq f, s 是可测的简单函数}, \int_{S} f d μ = s \in S_{f} sup \int_{S} s d μ .

这个上确界不一定能取到，并且允许取值 $+ \infty 。$

逐个符号讲：

$S_{f}$ （花体 S，下标 $f ）：$ 所有垫在 $f$ 下面的非负简单可测函数组成的集合。它永远不是空集：零函数 $s = 0$ 总在里面。
$\int_{S} s d μ$ ：对每个 $s \in S_{f} ，$ 按第 30 页的公式 $\sum a_{k} μ (A_{k})$ 算出一个数。于是得到一大堆数 ${\int s d μ : s \in S_{f}} 。$
$sup_{s \in S_{f}}$ ：取这堆数的上确界，也就是「台阶面积最大能逼近到多少」。
measurable（老师画了下划线）： $f$ 必须可测。下一页会看到，可测性保证了下方台阶能一路逼近到 $f ；$ 不可测的函数，下方台阶可能「够不着」它。
The supremum need not be attained：可能没有哪一个台阶的面积恰好等于上确界，只能无限接近。例如 $f (x) = x$ 在 $[0, 1]$ 上（例 1）：每个台阶和斜线之间都留有缝隙。
the value $+ \infty$ is allowed：台阶面积可以无限增大，此时 $\int f d μ = + \infty 。$ 例如板书第 29 页的 $1/ x$ （例 2）。

定义 27（非负可测函数的勒贝格积分）

设 $f : S \to [0, \infty]$ 可测。令 $S_{f}$ 为满足 $0 \leq s \leq f$ 的全体非负简单可测函数 $s ，$ 定义

\int_{S} f d μ = sup {\int_{S} s d μ : s \in S_{f}} \in [0, \infty] .

为什么只从下方逼近，不从上方？ 回忆黎曼积分用了上和、下和两边夹（第 25 页）。勒贝格这里只用下方，原因有二：

上方可能根本盖不住：简单函数只取有限个有限值，是有界的；而 $1/ x$ 在 $(0, 1]$ 上无界，没有任何简单函数能处处 $\geq 1/ x 。$
下方已经够用：下一页第 34 页证明，只要 $f$ 可测，就有一列台阶从下方一直逼近到 $f 。$ 所以不需要上方来「夹」。

课件原文Proposition 28 (Immediate results)

If $f$ is nonnegative simple, this definition agrees with its simple integral. If $0 \leq f \leq g$ and $c \geq 0$ , then

\int f d μ \leq \int g d μ, \int c f d μ = c \int f d μ .

中文翻译

命题 28（直接推论） 若 $f$ 本身是非负简单函数，这个定义与它的简单积分一致。若 $0 \leq f \leq g$ （都可测）且 $c \geq 0 ，$ 则 $\int f d μ \leq \int g d μ ，$ $\int c f d μ = c \int f d μ 。$

第一句（一致性）：一个简单函数现在有两种积分定义——第 30 页的公式和本页的上确界。命题说两者相等，所以不会产生矛盾，可以放心用同一个记号 $\int 。$
第二句（单调性）：函数越大，积分越大。
第三句（正数乘法）：常数可以提到积分外面。
证明都在下面「推导」一节，每一条只用到上确界的定义和第 32 页的结论。

命题 28（直接推论）

（1）若 $f$ 是非负简单函数，则定义 27 给出的值等于 $\sum_{k} a_{k} μ (A_{k}) 。$ （2）若 $0 \leq f \leq g$ 均可测，则 $\int f d μ \leq \int g d μ 。$ （3）若 $c \geq 0 ，$ 则 $\int c f d μ = c \int f d μ 。$

老师板书在说什么

老师板书板书转写（按从上到下的顺序）

在第一段中把 $f \geq 0$ 圈了出来。
把 Definition 27 圈了出来；在 For measurable 的 measurable 下画线。
把 $S_{f}$ 圈出并画线；在 $0 \leq s \leq f$ 中间那个 $s$ 下画双线，并在它下面写 $s_{n} ；$ 把 $f$ 圈出并画双线；在 simple 下画双线。
在 $\int_{S} f d μ$ 下画双线；把 $sup_{s \in S_{f}}$ 圈出；在右边 $\int_{S} s d μ$ 的 $s$ 下画了一小段线。
页面下方： $f \in R$
$f^{+} = f \lor 0 ，$ 下面一个向下的箭头，写 Lebesgue
$f^{-} = (- f) \lor 0 ，$ 下面一个向下的箭头，写 Lebesgue integral
$f = f^{+} - f^{-} ，$ 一个弧形箭头从左下方指向中间的减号。

第 3 条的 $s_{n}$ ：老师在 $s$ 下面写 $s_{n} ，$ 是在预告：实际使用时，我们不需要考虑 $S_{f}$ 里所有的台阶，只要挑出一列 $s_{1}, s_{2}, s_{3}, \dots ，$ 让它们一步步往上逼近 $f 。$ 下一页第 34 页就会具体造出这样一列 $s_{n} ，$ 再后面的单调收敛定理（第 36 页）会说明 $\int s_{n} \to \int f 。$

第 4 条：圈出 sup，强调积分被定义成一个上确界，而不是某一个台阶的面积。

第 5–8 条：带符号函数怎么积分。 定义 27 只管非负函数。老师写 $f \in R ，$ 意思是现在考虑可正可负的实值函数。做法是把它拆成两个非负函数：

正部（positive part） $f^{+} = f \lor 0 ：$ 在 $f \geq 0$ 处等于 $f ，$ 在 $f < 0$ 处等于 0。
负部（negative part） $f^{-} = (- f) \lor 0 ：$ 在 $f < 0$ 处等于 $- f$ （一个正数！），在 $f \geq 0$ 处等于 0。
注意负部本身是非负的：它记录的是「 $f$ 往下掉了多少」。
逐点验证 $f = f^{+} - f^{-} ：$ 若 $f (x) \geq 0 ，$ 右边 $= f (x) - 0 ；$ 若 $f (x) < 0 ，$ 右边 $= 0 - (- f (x)) = f (x) 。$ 两种情况都对。同样分两种情况验证 $∣ f ∣ = f^{+} + f^{-} ：$ 若 $f (x) \geq 0 ，$ 右边 $= f (x) + 0 = ∣ f (x) ∣ ；$ 若 $f (x) < 0 ，$ 右边 $= 0 + (- f (x)) = ∣ f (x) ∣ 。$
两个向下的箭头「→ Lebesgue (integral)」： $f^{+} 、$ $f^{-}$ 都是非负可测函数，可以用定义 27 积分。它们可测是因为： $a \geq 0$ 时 ${f^{+} > a} = {f > a} ，$ ${f^{-} > a} = {f < - a} ；$ $a < 0$ 时两者都是整个 $S 。$
指向减号的弧形箭头：于是定义 $\int f d μ = \int f^{+} d μ - \int f^{-} d μ 。$ 减法正是危险所在：如果两个积分都是 $\infty ，$ 就得到无意义的 $\infty - \infty 。$ 所以要求 $\int ∣ f ∣ d μ = \int f^{+} + \int f^{-} < \infty ，$ 这就是第 29 页板书里「可积」的定义；可积函数的性质在第 43 页讨论。

图解：正部与负部的板书

这块板书读法：从左到右三列。

左列 $f^{+} = f \lor 0 ：$ 把 $f$ 在 $x$ 轴下方的部分「削平」成 0，只留上方的部分。
中列 $f^{-} = (- f) \lor 0 ：$ 先把 $f$ 上下翻转成 $- f ，$ 再削掉 $x$ 轴下方的部分。结果是原来 $f$ 在 $x$ 轴下方那部分翻上来的样子。
两个向下箭头：这两个非负函数都能用定义 27 积分。
右列 $f = f^{+} - f^{-}$ 和指向减号的弧形箭头：最后相减，而相减时要提防 $\infty - \infty 。$

用 $f (x) = x 、$ $x \in [- 1, 2]$ 想象一下： $f^{+}$ 是 $[0, 2]$ 上的斜线段（其余为 0），面积 2； $f^{-}$ 是 $[- 1, 0]$ 上的 $- x$ （从 1 降到 0），面积 $\frac{1}{2} ；$ 所以 $\int f = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} ，$ 和微积分 $\int_{- 1}^{2} x d x = \frac{4 - 1}{2} = \frac{3}{2}$ 一致。

例子

例 1：f(x) = x 在 [0,1] 上，上确界是 1/2，但取不到

取 $([0, 1], B, Leb) ，$ $f (x) = x 。$

从下方逼近：把 $[0, 1)$ 等分成 $2^{n}$ 段，在第 $k$ 段 $[\frac{k}{2 ^{n}}, \frac{k + 1}{2 ^{n}})$ 上取高度 $\frac{k}{2 ^{n}}$ （该段的左端点值，不超过 $x ），$ 在点 $1$ 处取 $1 。$ 记这个台阶为 $s_{n} ，$ 它属于 $S_{f} 。$

\int s_{n} d Leb = k = 0 \sum 2^{n} - 1 \frac{k}{2 ^{n}} \cdot \frac{1}{2 ^{n}} = \frac{1}{4 ^{n}} \cdot \frac{( 2 ^{n} - 1 ) 2 ^{n}}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 ^{n + 1}} .

$n = 1, 2, 3$ 时分别是 $0.25 、$ $0.375 、$ $0.4375 ，$ 越来越接近 $\frac{1}{2} 。$ 所以 $sup \geq \frac{1}{2} 。$

不会超过 1/2：任取 $s \in S_{f} ，$ 再取 $N$ 段等分的「上台阶」 $u_{N} ：$ 在 $(\frac{k - 1}{N}, \frac{k}{N}]$ 上取 $\frac{k}{N} ，$ 在点 0 处取 0。因为 $s \leq x \leq u_{N} ，$ 由第 32 页的单调性，

\int s d Leb \leq \int u_{N} d Leb = k = 1 \sum N \frac{k}{N} \cdot \frac{1}{N} = \frac{N + 1}{2 N} N \to \infty \frac{1}{2} .

所以每个 $\int s \leq \frac{1}{2} ，$ 上确界恰好是 $\frac{1}{2} ，$ 即 $\int_{[0, 1]} x d Leb = \frac{1}{2} ，$ 与微积分一致。

取不到：直观上，每个台阶和斜线 $y = x$ 之间都有三角形缝隙，面积为正，所以没有台阶的面积恰好是 $\frac{1}{2} 。$ 严格证明放在下面「推导」一节的补充里。

例 2：1/x 的积分等于 +∞，而且上确界取不到

在 $([0, 1], B, Leb)$ 上取 $f (x) = 1/ x$ （ $f (0) = + \infty ）。$ 沿用第 29 页板书讲解中的小段 $I_{k} = (2^{- (k + 1)}, 2^{- k}] ：$

台阶 $t_{K} = \sum_{k = 0}^{K} 2^{k} 1_{I_{k}}$ 满足 $t_{K} \leq f$ （因为在 $I_{k}$ 上 $1/ x \geq 2^{k} ），$ 所以 $t_{K} \in S_{f} ；$
$\int t_{K} d Leb = \sum_{k = 0}^{K} 2^{k} \cdot 2^{- (k + 1)} = \frac{K + 1}{2} ，$ $K$ 越大越大，没有上限。

所以 $\int f d Leb = + \infty 。$ 另一方面，每个简单函数 $s$ 的最大值有限（设为 $M ），$ 于是由第 32 页的单调性 $\int s \leq \int M 1_{[0, 1]} = M < \infty 。$ 每个台阶的面积都有限，上确界却是 $\infty$ ——这正是「上确界不一定取到」和「允许 $+ \infty 」$ 同时发生的例子。

例 3：计数测度下，积分就是级数

取 $S = {1, 2, 3, \dots} ，$ $S = 2^{S} ，$ $μ$ 是计数测度： $μ (A) = A$ 中元素的个数（无限集记为 $\infty ）。$ 函数 $f (n) = \frac{1}{n ^{2}} 。$

下界： $s_{N} = \sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{n ^{2}} 1_{{n}}$ （前 $N$ 个点取 $f$ 的值，其余为 0）属于 $S_{f} ，$ $\int s_{N} = \sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{n ^{2}} ，$ 这是级数的部分和。
上界：任取 $s \in S_{f} ，$ 设它的非零值 $a_{k} > 0$ 取在集合 $A_{k}$ 上。因为 $f (n) \geq a_{k}$ 只对有限个 $n$ 成立， $A_{k}$ 是有限集，于是 $a_{k} μ (A_{k}) = \sum_{n \in A_{k}} a_{k} \leq \sum_{n \in A_{k}} f (n) 。$ 对 $k$ 求和， $\int s \leq \sum_{n = 1}^{\infty} f (n) 。$
所以 $\int f d μ = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{2}}$ （这个级数的值是 $\frac{π ^{2}}{6} \approx 1.645 ）。$

同样的推理对 $f (n) = \frac{1}{n}$ 给出 $\int f d μ = \sum \frac{1}{n} = + \infty$ （调和级数发散）。级数是积分的特例：换成计数测度，「求面积」就变成「求和」。

例 4：在零测集上取 ∞ 不影响积分

在 $([0, 1], B, Leb)$ 上令 $f = \infty \cdot 1_{{0}} ，$ 即 $f (0) = + \infty ，$ 其余为 0。任取 $s \in S_{f} ：$ $s$ 在 $x \neq = 0$ 处只能是 0，在 $0$ 处是某个有限数 $a 。$ 所以 $s = a 1_{{0}} ，$ $\int s = a \cdot Leb ({0}) = a \cdot 0 = 0 。$ 上确界 $\int f d Leb = 0 。$

对比：若把 ${0}$ 换成正测度的集合 $[0, \frac{1}{2}] ，$ 取 $s = n 1_{[0, \frac{1}{2}]}$ 得 $\int s = \frac{n}{2} \to \infty ，$ 积分变成 $+ \infty 。$ 函数在哪里取 ∞ 不要紧，要紧的是那个集合的测度是不是 0。

推导：一步一步来

推导证明思路

命题 28 的三条都靠比较两个「候选台阶集合」：（1） $f$ 自己就是最好的台阶；（2） $S_{f} \subseteq S_{g} ，$ 范围越大上确界越大；（3） $s \mapsto cs$ 把 $S_{f}$ 一一对应到 $S_{c f} ，$ 积分都乘以 $c 。$

（1）一致性。 设 $f$ 是非负简单函数，记它按第 30 页算出的简单积分为 $I 。$

$f \leq f ，$ 所以 $f$ 自己属于 $S_{f} ，$ 上确界至少是 $I ：$ $sup \geq I 。$
对任意 $s \in S_{f} ，$ $s \leq f$ 且两者都是简单函数，由第 32 页的单调性 $\int s \leq I 。$ 所以 $I$ 是上界， $sup \leq I 。$
两边夹住， $sup = I 。$ 这时上确界是取到的（由 $s = f$ 取到）。

（2）单调性。 设 $0 \leq f \leq g 。$ 任取 $s \in S_{f} ，$ 则 $s \leq f \leq g ，$ 所以 $s \in S_{g} 。$ 即 $S_{f} \subseteq S_{g} 。$ 于是 ${\int s : s \in S_{f}}$ 是 ${\int s : s \in S_{g}}$ 的一部分；后者的上确界是它所有元素的上界，自然也是前者的上界，所以不小于前者的最小上界： $\int f \leq \int g 。$

（3）数乘。

$c = 0 ：$ $c f = 0 ，$ $\int 0 d μ = 0$ （由（1），零函数是简单函数，积分 $0 \cdot μ (S) = 0 ）；$ 右边 $0 \cdot \int f = 0$ （用 $0 \cdot \infty = 0 ）。$ 相等。
$c > 0 ：$ $s \leq f$ 当且仅当 $cs \leq c f$ （两边乘或除以正数 $c ），$ 所以 $s \mapsto cs$ 是从 $S_{f}$ 到 $S_{c f}$ 的一一对应。由第 32 页的线性， $\int cs = c \int s 。$ 因此 $\int c f d μ = s \in S_{f} sup \int cs d μ = s \in S_{f} sup c \int s d μ = c s \in S_{f} sup \int s d μ = c \int f d μ .$ 倒数第二步用到「一组数都乘以正数 $c ，$ 上确界也乘以 $c 」：$ $M$ 是原来那组数的上界，当且仅当 $c M$ 是新的一组数的上界，所以最小上界也差一个因子 $c$ （上确界为 $\infty$ 时两边都是 $\infty ）。$

补充：例 1 中为什么没有台阶能达到 1/2

任取 $s \in S_{f}$ （ $f (x) = x ），$ 设 $s$ 取 $r$ 个不同的值 $a_{1}, \dots, a_{r} ，$ 对应集合 $A_{1}, \dots, A_{r} 。$ 我们构造一个更好的台阶 $t \in S_{f} ，$ 使 $\int t > \int s ；$ 这说明 $\int s$ 不是上确界。

取 $δ = \frac{1}{2 r} 。$ 在 $A_{k}$ 上 $s = a_{k} \leq x ，$ 所以 $A_{k} \subseteq [a_{k}, 1] 。$
令 $G = ⋃_{k} (A_{k} \cap [a_{k} + δ, 1]) 。$ 在 $G$ 上 $s (x) = a_{k} \leq x - δ ，$ 即台阶离斜线至少还有 $δ$ 的空隙。 $G$ 是可测集的有限并，可测。
不在 $G$ 里的点落在某个 $A_{k} \cap [a_{k}, a_{k} + δ)$ 中，这些集合的总长度至多 $r \cdot δ = \frac{1}{2} ，$ 所以 $Leb (G) \geq 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} 。$
令 $t = s + δ 1_{G} 。$ 在 $G$ 上 $t \leq (x - δ) + δ = x ，$ 在 $G$ 外 $t = s \leq x ，$ 所以 $t \in S_{f} 。$
由线性， $\int t = \int s + δ Leb (G) \geq \int s + \frac{δ}{2} > \int s 。$

所以任何一个台阶的面积都不是最大的，上确界 $\frac{1}{2}$ 取不到。

常见疑问与易错点

易错点问：为什么不直接用「黎曼积分」来定义 ∫f？

答：黎曼积分要求上和、下和能夹到一起，对狄利克雷函数这类函数失败（第 28 页），对无界函数、无穷区间也要额外处理。定义 27 只用「下方台阶的面积的上确界」，底座可以是任意可测集，于是对所有非负可测函数都有定义（值可能是 $\infty ）。$ 对有界黎曼可积函数，两种积分给出同一个值（第 27 页）。

易错点问：∫f = +∞ 是不是说明 f 在某处等于 +∞？

答：不是，两个方向都不对。 $f = 1_{R}$ 在 $(R, B, Leb)$ 上处处等于 1，积分却是 $\infty$ （底座无限长）；反过来，例 4 的 $f$ 在一点取 $\infty ，$ 积分却是 0（那一点测度为 0）。积分看的是「高度 × 底座测度」的总效果。

易错点问：负部 f⁻ 是不是 f 的「负的那部分」，所以是负数？

答：不是。 $f^{-} = (- f) \lor 0$ 总是非负的，它是负的那部分取了绝对值。所以 $f = f^{+} - f^{-}$ （相减）， $∣ f ∣ = f^{+} + f^{-}$ （相加）。最常见的错误是写成 $f = f^{+} + f^{-} 。$

易错点问：sup 取不到，会不会让积分「不精确」？

答：不会。上确界是一个确定的数（或 $+ \infty ），$ 只是没有哪个台阶恰好等于它。就像 $sup {1 - \frac{1}{n}} = 1$ 是精确的 1，虽然数列里没有 1。实际计算时，我们用一列越来越好的台阶 $s_{n}$ 取极限（例 1、下一页），得到的就是这个精确值。

小结与自测

小结本页小结

定义 27：非负可测 $f$ 的积分 $\int f d μ = sup {\int s d μ : 0 \leq s \leq f, s 简单可测} ，$ 值在 $[0, \infty]$ 中，上确界不一定取到。
上确界 = 最小上界：是上界，且比它小的数都不是上界。
命题 28：对简单函数与旧定义一致； $0 \leq f \leq g \Rightarrow \int f \leq \int g ；$ $\int c f = c \int f$ （ $c \geq 0 ）。$
板书：带符号函数拆成 $f = f^{+} - f^{-} ，$ $f^{+} = f \lor 0 ，$ $f^{-} = (- f) \lor 0$ 都非负； $\int f = \int f^{+} - \int f^{-} ，$ 为避免 $\infty - \infty$ 要求 $\int ∣ f ∣ < \infty 。$
计数测度下积分就是级数，说明这个定义同时推广了「面积」和「求和」。

自测

1. 求集合 $E = {\frac{n}{n + 1} : n = 1, 2, \dots}$ 的上确界，它取到了吗？

点开看答案

$E = {\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \dots} 。$ 每个元素都 $< 1 ，$ 而 $1 - \frac{n}{n + 1} = \frac{1}{n + 1}$ 可以任意小，所以任何小于 1 的数都会被某个元素超过。 $sup E = 1 ，$ 但 1 不在 $E$ 中，没有取到。

2. 在 $([- 2, 1], B, Leb)$ 上， $f (x) = x 。$ 写出 $f^{+} 、$ $f^{-} ，$ 求它们的积分和 $\int f d Leb 。$

点开看答案

$f^{+} (x) = x$ （ $0 \leq x \leq 1 ），$ 其余为 0，积分 $\frac{1}{2} ；$ $f^{-} (x) = - x$ （ $- 2 \leq x < 0 ），$ 其余为 0，它是从 2 降到 0 的斜线，积分 $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2 。$ 所以 $\int f = \frac{1}{2} - 2 = - \frac{3}{2} 。$ 核对： $\int_{- 2}^{1} x d x = \frac{1 - 4}{2} = - \frac{3}{2} 。$

3. 判断：「若 $0 \leq f \leq g$ 且 $\int g d μ < \infty ，$ 则 $\int f d μ < \infty 。」$

点开看答案

正确。由命题 28 的单调性， $\int f \leq \int g < \infty 。$ 这是以后判断可积性最常用的方法：找一个积分有限、又比 $∣ f ∣$ 大的函数（「控制函数」），第 44 页的控制收敛定理就建立在这个想法上。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
上确界	supremum (sup)	最小的上界。最大值不一定存在，但有上界的实数集一定有上确界。
简单函数	simple function	只取有限个值的可测函数，是若干示性函数的线性组合，图像像台阶。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
正部	positive / negative part	f⁺ = max(f, 0)，f⁻ = max(−f, 0)，f = f⁺ − f⁻，\|f\| = f⁺ + f⁻。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
元素	element	集合里的对象。ω ∈ Ω 读作「ω 属于 Ω」。
空集	empty set	一个元素也没有的集合，记作 ∅。作为事件，它永远不会发生。
勒贝格积分	Lebesgue integral	按函数值分块的积分：先定义简单函数的积分，再用下方的简单函数逼近取上确界。
黎曼积分	Riemann integral	大一学的定积分：按 x 轴切竖条求和取极限。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
计数测度	counting measure	μ(A) = A 中元素的个数（无限集记为 ∞）。在 ℕ 上对它积分就是求和。
下界	lower bound	数集 A 的下界是一个数 m，A 里每个数都 ≥ m。例如 0 和 −3 都是 (0,1] 的下界；所有下界中最大的那个叫下确界。
部分和	partial sum	级数 a₁ + a₂ + … 的前 n 项之和 Sₙ = a₁ + … + aₙ；级数的值就是 Sₙ 在 n → ∞ 时的极限。
级数	series	无穷多项相加 a₁ + a₂ + …，它的值是前 n 项和在 n → ∞ 时的极限。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
可测集	measurable set	σ-代数里的集合，也就是可以谈「测度多大」的集合；在概率空间里，可测集就叫事件。
狄利克雷函数	Dirichlet function	在有理点取 1、无理点取 0 的函数；黎曼不可积，勒贝格积分为 0。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。