20 实数轴上的概率分布只有三种质量 · 第2讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

实数轴上的任何概率分布，都可以唯一地拆成三部分：原子部分（集中在可数多个点上的「沙丘」）、绝对连续部分（有密度，按长度铺开的「沙层」）、奇异连续部分（没有沙丘，却全部落在一个长度为 0 的集合上，像康托尔分布）。

位置：第 2 部分「用 CDF 计算期望」的总结页。前面分别见过：离散分布（只有原子）、有密度的分布（第 15 页、第 17 页）、混合型（第 13 页：原子 + 密度）、康托尔分布（第 19 页：既无原子也无密度）。这一页说：就这三种，没有第四种。
为什么有用：遇到一个陌生的分布，先问三个问题：有没有跳跃？有没有密度部分？剩下的是什么？计算期望时也可以三部分分别算再相加。
和第 3 讲的联系：把「绝对连续」与「奇异」分开，是第 3 讲 Radon–Nikodym 定理（第 27 页）讨论的「一个测度相对于另一个测度」问题的特例（这里「另一个测度」是勒贝格测度）。

先补基础

基础补课三个术语

设 $μ$ 是 $R$ 上的（有限）测度。

原子（atom）：满足 $μ ({x}) > 0$ 的点 $x 。$ 纯原子的： $μ$ 的全部质量都在原子上， $μ = \sum_{i} p_{i} δ_{x_{i}}$ （ $δ_{x}$ 是点 $x$ 处的单位点质量）。
绝对连续（关于勒贝格测度）：存在非负可积 $f ，$ 使 $μ (B) = \int_{B} f d x 。$ 等价地：勒贝格测度为 0 的集合， $μ$ 也为 0。
奇异（singular，关于勒贝格测度）：存在勒贝格零测集 $N ，$ 使 $μ$ 的全部质量都在 $N$ 上， $μ (N^{c}) = 0 。$ 奇异连续：奇异，并且没有原子。

基础补课为什么原子最多可数个

总质量为 1 的分布，质量 $> \frac{1}{n}$ 的原子最多 $n - 1$ 个（否则总质量 $> 1 ）。$ 所有原子 $= ⋃_{n} {$ 质量 $> \frac{1}{n}$ 的原子 $} ，$ 是可数个有限集的并，所以最多可数个。

课件原文逐句精读

课件原文Three kinds of mass in a real probability law

Theorem 20 (Atomic, singular continuous, and absolutely continuous parts) Every probability measure $μ$ on $R$ decomposes as（留白）

中文翻译

蓝条标题：实数轴上的概率分布里的三种质量。

定理 20（原子部分、奇异连续部分、绝对连续部分） $R$ 上的每个概率测度 $μ$ 都可以分解为（课件留白，见下一节。）

three kinds of mass：三种「质量」。把概率想成质量（沙子），问的是：沙子可以以哪几种方式撒在实数轴上？
Every probability measure $μ$ on $R$ ：无一例外，任何实值随机变量的分布都适用。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

定理 20（原子、奇异连续与绝对连续部分）

$R$ 上的每个概率测度 $μ$ 都可以唯一地写成

μ = μ_{d} + μ_{ac} + μ_{sc},

其中三部分都是（总质量可能小于 1 的）测度：

$μ_{d} = \sum_{i} μ ({x_{i}}) δ_{x_{i}}$ 是纯原子部分， $x_{1}, x_{2}, \dots$ 是 $μ$ 的全部原子（最多可数个）；
$μ_{ac} (B) = \int_{B} f (x) d x$ 是绝对连续部分， $f \geq 0$ 可积；
$μ_{sc}$ 是奇异连续部分：没有原子，并且集中在某个勒贝格零测集上。

对应地，CDF 分解为 $F = F_{d} + F_{ac} + F_{sc} ：$ 一个只有跳跃的阶梯函数、一个密度的不定积分、一个连续且导数几乎处处为 0 的函数。

推导证明思路

先把原子「挖出来」，剩下的部分没有原子；再把剩下部分中「可以用密度表示」的那一块分出来（勒贝格分解定理），剩下的就是奇异连续部分。

第 1 步（原子部分）：令 ${x_{i}}$ 为全部原子（最多可数个，见「先补基础」）， $μ_{d} (B) := \sum_{x_{i} \in B} μ ({x_{i}}) 。$ 它是测度（可数可加来自非负项级数可以重排）。

第 2 步（剩下的部分没有原子）：令 $μ_{c} := μ - μ_{d} 。$ 对每个 $B ，$ $μ_{d} (B) = μ (B \cap {x_{i}}) \leq μ (B) ，$ 所以 $μ_{c} \geq 0$ 是测度；每个点 $x ：$ 若 $x$ 是原子， $μ_{c} ({x}) = μ ({x}) - μ ({x}) = 0 ；$ 否则本来就是 0。所以 $μ_{c}$ 没有原子。

第 3 步（勒贝格分解，当作已知结论）：任何有限测度 $ν$ 都能唯一地写成 $ν = ν_{ac} + ν_{s} ，$ 其中 $ν_{ac}$ 有密度， $ν_{s}$ 集中在一个勒贝格零测集上。（证明要用 Radon–Nikodym 定理，第 3 讲第 27 页会陈述。）把它用在 $ν = μ_{c}$ 上，得到 $μ_{ac}$ 和 $μ_{sc} := ν_{s} 。$ $μ_{sc} \leq μ_{c}$ 也没有原子，所以是奇异连续的。

第 4 步（唯一性的想法）：原子部分由「哪些点有正质量」唯一决定；绝对连续部分与奇异部分由勒贝格分解的唯一性决定。 $■$

例子

例 1：只有一种成分的三个典型

分布	$μ_{d}$	$μ_{ac}$	$μ_{sc}$
掷骰子（取 $1, \dots, 6 ）$	全部质量	0	0
指数分布 $exp (λ)$ （第 15 页）	0	全部质量，密度 $λ e^{- λ x}$	0
康托尔分布（第 19 页）	0	0	全部质量

例 2：混合型——第 13 页的例 12

$F$ 在 0 处跳 $\frac{1}{2} ，$ 在 $[1, 2)$ 上以斜率 $\frac{1}{2}$ 爬升：

μ = \frac{1}{2} δ_{0} + μ_{ac}, μ_{ac} (B) = \int_{B \cap [1, 2]} \frac{1}{2} d x, μ_{sc} = 0.

CDF 的分解： $F_{d} (x) = \frac{1}{2} 1_{{x \geq 0}} ；$ $F_{ac} (x) = \frac{1}{2} min (max (x - 1, 0), 1) 。$ 验证： $x = 1.5$ 时 $F_{d} + F_{ac} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = \frac{1.5}{2} 。$ ✓

例 3：三种成分都有

先抛一个三面的「骰子」：以 $\frac{1}{3}$ 的概率令 $X = 0 ；$ 以 $\frac{1}{3}$ 的概率令 $X \sim Unif (0, 1) ；$ 以 $\frac{1}{3}$ 的概率令 $X$ 服从康托尔分布。则

μ = \frac{1}{3} δ_{0} + \frac{1}{3} Leb ∣_{[0, 1]} + \frac{1}{3} μ_{Cantor} .

$P (X = 0) = \frac{1}{3}$ （原子）；
$F (\frac{1}{2}) = \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3} ；$
$E X = \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$ （三部分的期望分别算再按权重相加）。

例 4：从 CDF 读出三部分

拿到一个 CDF $F ，$ 可以这样拆：

找跳跃：每个跳跃点 $x$ 处的跳跃高度 $F (x) - F (x -)$ 就是原子质量，加起来得到 $F_{d} 。$
求导： $F$ 几乎处处可导（单调函数的性质）， $f = F^{'}$ 就是绝对连续部分的密度， $F_{ac} (x) = \int_{- \infty}^{x} f 。$
剩下的： $F_{sc} = F - F_{d} - F_{ac} ，$ 它连续、单调、导数几乎处处为 0。若它不是常数，分布就有奇异连续部分。

对康托尔函数：第 1 步没有跳跃，第 2 步 $F^{'} = 0 ，$ 所以 $F_{sc} = F 。$

常见疑问与易错点

易错点问：离散分布、连续分布、混合分布，是不是就覆盖了所有情况？

答：如果「连续」指「有密度」，那就漏掉了奇异连续这一种。定理 20 的完整说法是三种：原子、绝对连续、奇异连续。实际应用中第三种很少出现，但它确实存在（康托尔分布），不能忽略。

易错点问：计算期望时可以三部分分开算吗？

答：可以。积分对测度是线性的： $\int g d μ = \int g d μ_{d} + \int g d μ_{ac} + \int g d μ_{sc}$ （三部分非负，或 $g$ 可积）。原子部分是 $\sum_{i} g (x_{i}) μ ({x_{i}}) ，$ 绝对连续部分是 $\int g f d x ，$ 奇异连续部分没有简单公式，通常借助 CDF（第 12 页）或具体构造（第 19 页例 2）来算。

易错点问：「奇异」和「连续」放在一起不矛盾吗？

答：不矛盾。「连续」说的是 CDF 没有跳跃（没有原子），「奇异」说的是质量集中在勒贝格零测集上。康托尔分布同时满足两者：每个点概率为 0，但全部概率都在测度为 0 的康托尔集上。

小结与自测

小结本页小结

定理 20： $R$ 上每个概率测度唯一分解为 $μ_{d} + μ_{ac} + μ_{sc}$ （原子 / 绝对连续 / 奇异连续）。
原子最多可数个；绝对连续部分有密度 $f = F^{'} ；$ 奇异连续部分没有原子、集中在零测集上。
CDF 对应分解为「跳跃阶梯 + 密度的积分 + 魔鬼阶梯式的连续函数」。
例：骰子（纯原子）、指数（纯绝对连续）、康托尔（纯奇异连续）、第 13 页例 12（原子 + 绝对连续）。

自测

1. 一个随机变量以 $\frac{1}{4}$ 的概率取 2、以 $\frac{3}{4}$ 的概率服从 $exp (1) 。$ 写出它的三部分，并求 $E X 。$

点开看答案

$μ_{d} = \frac{1}{4} δ_{2} ；$ $μ_{ac}$ 的密度是 $\frac{3}{4} e^{- x} 1_{{x > 0}} ；$ $μ_{sc} = 0 。$ $E X = \frac{1}{4} \cdot 2 + \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{5}{4} 。$

2. 判断：一个分布若没有原子，就一定有密度。

点开看答案

错误。没有原子只排除了 $μ_{d} ，$ 还可能有奇异连续部分，例如康托尔分布。

3. 为什么原子部分的点最多只有可数个？

点开看答案

总质量为 1，质量大于 $\frac{1}{n}$ 的原子少于 $n$ 个；所有原子是对 $n = 1, 2, \dots$ 取并，是可数个有限集合的并，所以最多可数。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
绝对连续	absolute continuity	函数版：小区间总长很小时增量总和也很小；测度版：Q ≪ P，P 为零的事件 Q 也为零。
奇异连续分布	singular continuous distribution	没有原子（每一点的概率都是 0），却没有密度的分布：全部质量集中在一个长度为 0 的集合上，例如康托尔分布。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
累积分布函数	cumulative distribution function (CDF)	F(x) = P(X ≤ x)，单调不减、右连续，完全决定分布。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
Radon–Nikodym 导数	Radon–Nikodym derivative	Q ≪ P 时存在 L = dQ/dP ≥ 0，使 Q(A) = ∫_A L dP；它是「换测度的密度」。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
点质量	point mass (Dirac measure)	把全部质量 1 放在一个点上：δ₀(E) = 1 当且仅当 0 ∈ E。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
几乎处处	almost everywhere (a.e.)	除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
可数可加性	countable additivity	两两不交的可数个集合，并集的测度等于各自测度之和。
级数	series	无穷多项相加 a₁ + a₂ + …，它的值是前 n 项和在 n → ∞ 时的极限。
指数分布	exponential distribution	P(X > x) = e^(−λx)（x ≥ 0）的分布，均值 1/λ，常用来描述等待时间。
康托尔集	Cantor set	反复挖掉中间三分之一得到的集合：不可数，但长度为 0。