为什么不总是取全部子集 2^Ω？

这一页在讲什么

上一页 第 9 页 定义了 σ-代数。一个自然的想法是：既然 $2^{\Omega }$ 最大、包含所有子集，干脆每次都选它，省得挑。这一页回答「为什么不能总这样偷懒」。

课件用左右两个彩色框做对比：

• 绿框 Sometimes it works（有时行得通）：有限样本空间、以及 $\mathbb{R}$ 上的「点质量」，都可以放心取全部子集；
• 红框 Why it may be too large（为什么可能太大）：观测层面和数学层面各有一个问题。数学层面的问题要到维塔利定理（第 21 页、第 22 页）才彻底讲清。

老师的板书用两次抛硬币举了一个很具体的例子：两个不同的概率分配，在「粗」的 σ-代数上完全一样，到了 $2^{\Omega }$ 上却不一样。下一页 第 11 页 会讲怎么系统地选出「够用又不太大」的 σ-代数。本页属于第 1 部分「概率空间与可测事件」。

先补基础

课件原文逐句精读

It is a valid sigma-algebra, but not an automatic choice｜合法，但不是想都不想就选它

• valid（合法）：$2^{\Omega }$ 满足 第 9 页 的三条规则（下面「推导」一节有证明），这一点永远成立。
• not an automatic choice（不是自动的选择）：合法只说明「可以选」，不说明「应该选」。
• 真正的问题是后半句：每个子集都当事件，就意味着要给每个子集一个概率。这个概率要满足两点：
  1. meaningful（有意义）：这个数字能和我们实际观察到的东西对上号，能被数据检验；
  2. consistent（自洽）：所有这些数字放在一起，满足 第 8 页 的规范性和可数可加性，不出矛盾。
• 绿框说「有时两点都满足」，红框说「有时第 1 点不满足，有时第 2 点不满足」。

Sometimes it works｜有时候行得通（绿框）

有限样本空间：放心取全部子集。 有限原子模型（第 8 页）里，只要给每个结局一个重量 $p(\omega )\ge 0、$总和为 1，就可以对每个子集 $A$ 定义 $\mathbb{P}(A)={\sum }_{\omega \in A}p(\omega )，$自动满足两条规则。所以数学上从不出问题。

$\mathbb{R}$ 上的点质量：也行。 ${\delta }_0$ 读作「delta 零」，叫作在 0 处的点质量（point mass，也叫狄拉克测度）：

• 它描述的随机现象是「一定取到 0」：所有概率质量都压在 0 这一个点上。
• 它对 $\mathbb{R}$ 的每个子集都有定义：随便给一个集合 $E，$只需判断 0 在不在里面。
• 它满足概率的两条规则（证明见「推导」一节），所以是 $2^{\mathbb{R}}$ 上的概率测度。
• 这说明：「$\mathbb{R}$ 的子集太多」本身不是问题。出问题的是特定的测度——下面红框说的「连续长度」。

Why it may be too large｜为什么它可能太大（红框）

第 1 条：观测分辨不了每个子集（「有意义」出问题）。

• 第 9 页 板书说过：σ-代数代表「能分辨什么」。如果我们只记录了部分信息（比如只记了第 1 次硬币），那么很多子集是否发生，我们根本无从知道。
• 给这些子集规定概率，数字再漂亮也无法被数据检验，因为不同的规定和数据同样吻合。老师的板书例子（Law 1 与 Law 2）正是这个意思，下面细讲。
• 所以建模时，$\mathcal{F}$ 应该和「实际能观测、能记录的信息」相匹配，而不是一律取最大。

第 2 条：连续长度在所有子集上不自洽（「自洽」出问题）。

• continuous length（连续长度）：把区间长度 $b-a$ 推广到更多集合上的那个「长度」。
• 我们希望它同时满足三件事：① 区间 $[a,b]$ 的长度是 $b-a；$② 可数可加（第 8 页）；③ 平移不变（挪动集合不改变长度）。
• 结论（维塔利定理，第 21 页）：不存在定义在 $\mathbb{R}$ 的所有子集上、同时满足这三条的函数。维塔利构造了一个「坏」集合，只要给它一个长度，无论给多少都会出矛盾（第 22 页）。
• 出路：把长度只定义在一部分「好」的集合上——博雷尔集（第 11 页）或勒贝格可测集（第 23 页）。对 $[0,1]$ 上的均匀分布，事件族就不能取 $2^{[0,1]}。$

老师板书在说什么

第 1 行：概率空间里 ℱ 的位置

老师把三件套写成 $(\Omega ,\mathcal{F}\subseteq 2^{\Omega },\mathbb{P})，$把「$\mathcal{F}$ 是 $2^{\Omega }$ 的一部分」直接写进了三元组，提醒你：本页讨论的就是中间这一项该取多大。

第 2 行：维塔利集是冲着「连续长度」来的

这一行对应红框第 2 条：维塔利集（Vitali set）是专门用来说明「连续长度不能定义在所有子集上」的反例。注意它针对的是连续长度，不是所有测度——绿框里的 ${\delta }_0$ 就不受影响。

第 3–6 行：两个定律，粗看一样，细看不同

$A=\{\mathrm{HT},\mathrm{HH}\}$ 是「第 1 次正面」（和 第 6 页 的 $A$ 相同，只是元素的书写顺序换了，集合不变）。

第一步：读懂两个定律。

• Law 1：HH 和 TH 各 $\frac{1}{2}，$HT 和 TT 为 0。也就是：第 1 次公平，第 2 次一定是正面。
• Law 2：HT 和 TT 各 $\frac{1}{2}，$HH 和 TH 为 0。也就是：第 1 次公平，第 2 次一定是反面。
• 两者都满足「四个结局的概率非负、总和为 1」，都是合格的概率分配。

第二步：算 $P(A)$（用可加性，把 $A$ 拆成 $\{\mathrm{HT}\}$ 和 $\{\mathrm{HH}\}）。$

第三步：在 $\mathcal{F}=\{\varnothing ,A,A^c,\Omega \}$ 上逐个比较。

四个事件全部一致，这就是 both law agree on $\mathcal{F}$。

第四步：在 $2^{\Omega }$ 上找不一致。 看 $\{\mathrm{HH}\}：$Law 1 给 $\frac{1}{2}，$Law 2 给 $0。$所以 on $\{\mathrm{HH}\}\in 2^{\Omega }$ Law 1 and Law 2 disagree。（第 2 次正面的事件 $\{\mathrm{HH},\mathrm{TH}\}$ 上差得更多：1 对 0。）

第五步：这说明什么？ 假设你的数据只记录了第 1 次硬币（信息就是 $\mathcal{F}=\{\varnothing ,A,A^c,\Omega \}，$见 第 9 页）。那么：

1. 无论真实情况是 Law 1 还是 Law 2，你看到的数据统计规律一模一样（第 1 次正面的频率都接近 $\frac{1}{2}）。$
2. 如果你坚持用 $2^{\Omega }$ 建模，就必须回答 $P(\{\mathrm{HH}\})$ 是多少。可数据支持 $\frac{1}{2}，$也支持 $0，$还支持中间的任何值（见例 2）。这个数字没有意义，因为它不能被你的观测检验。
3. 所以老师的结论是：事件族应当与记录下来的信息相符。在只看第 1 次的模型里，$\mathcal{F}=\{\varnothing ,A,A^c,\Omega \}$ 才是恰当的选择，不必（也不应该）给 $\{\mathrm{HH}\}$ 定概率。

图解

图解：绿框「行得通」与红框「太大了」

• 颜色：绿色表示「没问题」的情形，红色表示「要警惕」的情形。两框左右并排，是一组正反对比，回答同一个问题「能不能取全部子集」。
• 左边绿框从上到下：先说有限样本空间（最常见，最放心）；再举一个 $\mathbb{R}$ 上的例子 ${\delta }_0，$居中的公式 ${\delta }_0(E)=1_{\{0\in E\}}$ 是本框的核心——一个对所有子集都有定义的概率测度。
• 右边红框有两个圆点，分别对应两类问题：第 1 个圆点是建模 / 信息问题（观测分辨不了），第 2 个圆点是数学问题（长度在所有子集上不自洽），并预告维塔利例子。
• 怎么读这张图：左框说明「子集多」不一定坏；右框说明「子集多」在两种情况下确实坏。所以取不取 $2^{\Omega }$ 要看具体模型：离散、点质量可以取；只观测到部分信息、或要用连续长度时，不能取。

图解：老师的「两个定律」对比表

• 表头（第 3 行手写）：四列 HH、HT、TH、TT 是四个结局，后两列 $P(A)、$$P(\mathrm{HH})$ 是两个事件的概率。
• 两行：Law 1 和 Law 2 是两种不同的概率分配。每行前四个数是四个结局的概率，加起来都是 1。
• 倒数第二行的结论：两个定律在 $\mathcal{F}=\{\varnothing ,A,A^c,\Omega \}$ 上一致（$A$ 下面画了两道线，强调这个 $\mathcal{F}$ 只含 $A$ 这一个「非平凡」的信息）。
• 最后一行的结论：在 $\{\mathrm{HH}\}\in 2^{\Omega }$ 上两者不一致。
• 怎么读：竖着比较 $P(A)$ 那一列，两行都是 $\frac{1}{2}，$看不出差别；再比较 $P(\mathrm{HH})$ 那一列，$\frac{1}{2}$ 对 $0，$差别一目了然。这张表就是红框第 1 条的具体例子。

例子

推导：一步一步来

结论 1：$2^{\Omega }$ 是 σ-代数。

1. $\Omega \subseteq \Omega ，$所以 $\Omega \in 2^{\Omega }。$
2. 若 $A\subseteq \Omega ，$则 $A^c=\Omega \setminus A$ 也由 $\Omega$ 的元素组成，是子集，所以 $A^c\in 2^{\Omega }。$
3. 若每个 $A_n\subseteq \Omega ，$则 ${\bigcup }_n{A}_n$ 的每个元素都来自某个 $A_n，$也在 $\Omega$ 里，所以 ${\bigcup }_n{A}_n\in 2^{\Omega }。$

结论 2：${\delta }_0$ 是 $2^{\mathbb{R}}$ 上的概率测度。

1. 取值范围：${\delta }_0(E)$ 只取 0 或 1，都在 $[0,1]$ 里。
2. 规范性：$0\in \mathbb{R}，$所以 ${\delta }_0(\mathbb{R})=1。$
3. 可数可加性：设 $E_1,E_2,\dots$ 两两不交，$E={\bigcup }_n{E}_n。$分两种情况：
   • 若 $0\in E：$0 至少在某一个 $E_k$ 里；又因为两两不交，0 至多在一个里。所以恰好一个 $E_k$ 含 0。左边 ${\delta }_0(E)=1，$右边 ${\sum }_n{\delta }_0(E_n)$ 只有第 $k$ 项是 1，其余都是 0，和为 1。相等。
   • 若 $0\notin E：$0 不在任何 $E_n$ 里，左边为 0，右边每一项都是 0，和为 0。相等。
4. 两种情况都成立，所以可数可加。证明中从来没有用到「$E$ 是区间」之类的限制，所以对任意子集都成立。

常见疑问与易错点

小结与自测