直接由中心极限定理推出弱大数定律：小因子 σ/√n 乘一个「很少很大」的量

这道题在问什么

• 考点：依分布收敛与中心极限定理的陈述；弱大数定律的陈述；把一个事件改写成标准化变量的事件；「先 $n$ 后 $\beta 」$的两次取极限；上极限的用法。
• 要用的讲义结论：依概率收敛（第 3 讲 第 14 页）；样本均值的方差 $\frac{{\sigma }^2}{n}$（第 3 讲 第 37 页）；Chebyshev 不等式（第 2 讲 第 29 页）；累积分布函数（第 2 讲 第 8 页）；独立性（第 4 讲 第 16 页–第 18 页）。
• 讲义没有讲过、这里作为已知结论使用的：依分布收敛、中心极限定理、弱/强大数定律（见「先补基础」）。
• 与其他题的关系：第 3 题 的「依概率有界 × 依概率趋于 0 = 依概率趋于 0」正是本题的骨架；第 7 题、第 9 题 还会用到 CLT 和 Slutsky 定理；作业 1 第 3 题 说明均值无穷时 $S_n/n$ 没有有限极限，第 5 题 进一步研究均值无穷时 $S_n$ 的增长。

先补基础

题目与原解答

题面说明：

• 题目没有写设定，应补上：$X_1,X_2,\dots$ i.i.d.，$\mathbb{E}{X}_1=\mu ，$$\mathrm{Var}{X}_1={\sigma }^2\in (0,\infty )$（这是 CLT 的条件），要证 $\frac{S_n}{n}\stackrel{\mathbb{P}}{\to }\mu 。$
• 括号里的话容易误读。「依概率收敛 ⇒ 依分布收敛」本身是对的，但它的方向是从 WLLN 的收敛方式走向 CLT 的收敛方式，不能用来从 CLT 推出 WLLN；而且两个定理讲的是不同的量：WLLN 讲 $\frac{S_n}{n}-\mu ，$CLT 讲放大了 $\sqrt{n}$ 倍的 $\frac{\sqrt{n}}{\sigma }(\frac{S_n}{n}-\mu )。$所以需要一个「直接」的论证，把两者的尺度联系起来。
• 「CLT implies WLLN」是在 CLT 的条件（方差有限）下说的。WLLN 本身只要 $\mathbb{E}|X_1|<\infty ，$这个更一般的情形 CLT 推不出来（例 3）。

原解答的思路（左栏）：

1. 把事件 $\{|\frac{S_n}{n}-\mu |>\epsilon \}$ 等价地改写成 $\{|S_n^{\ast }|>\frac{\sqrt{n}\epsilon }{\sigma }\}。$
2. 任取 $\beta >0，$$n$ 足够大时 $\frac{\sqrt{n}\epsilon }{\sigma }>\beta ，$所以概率 $\le \mathbb{P}(|S_n^{\ast }|>\beta )。$
3. 由 CLT，$\mathbb{P}(|S_n^{\ast }|>\beta )\to 1-\Phi (\beta )+\Phi (-\beta )；$$\beta$ 取大，它任意小，所以 $\mathbb{P}(|\frac{S_n}{n}-\mu |>\epsilon )\to 0。$

思路完全正确，有几处记号没定义、$\lim$ 应为 $\mathrm{limsup}、$严格不等号的极限没有说明，见「原解答逐行对照」。

思路：怎么想到的

1. 两个定理在不同的尺度上：WLLN 关心误差 $\frac{S_n}{n}-\mu$ 是否小于固定的 $\epsilon ；$CLT 告诉我们误差的典型大小是 $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}，$并且误差除以 $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ 后近似 $N(0,1)。$
2. 固定的门槛在放大镜下越来越远：在 CLT 的尺度上看，门槛 $\epsilon$ 变成 $\frac{\sqrt{n}\epsilon }{\sigma }\to \infty 。$标准正态超过一个很大的数的概率很小，所以误差超过 $\epsilon$ 的概率很小。
3. 为什么要引入固定的 $\beta$：CLT 只保证「对每个固定的 $x，$$\mathbb{P}(S_n^{\ast }\le x)\to \Phi (x)」，$门槛 $\frac{\sqrt{n}\epsilon }{\sigma }$ 却随 $n$ 变化，不能直接代进去。办法是用一个固定的 $\beta$ 放在中间：门槛迟早超过 $\beta ，$事件变小，概率变小；对固定的 $\beta$ 才能用 CLT。

完整解答

第 1 步（改写事件）：固定 $\epsilon >0。$因为 $\sigma \sqrt{n}>0，$不等式两边同乘或同除正数不改变方向：

所以 $\mathbb{P}(|\frac{S_n}{n}-\mu |>\epsilon )=\mathbb{P}(|S_n^{\ast }|>\frac{\sqrt{n}\epsilon }{\sigma })。$

第 2 步（固定 $\beta ，$把事件放大）：任取 $\beta >0。$当 $n\ge N_{\beta }:=(\frac{\beta \sigma }{\epsilon }{)}^2$ 时，$\frac{\sqrt{n}\epsilon }{\sigma }\ge \beta 。$此时若 $|S_n^{\ast }|>\frac{\sqrt{n}\epsilon }{\sigma }，$则 $|S_n^{\ast }|>\beta ，$即事件包含 $\{|S_n^{\ast }|>\frac{\sqrt{n}\epsilon }{\sigma }\}\subseteq \{|S_n^{\ast }|>\beta \}。$由概率的单调性，

第 3 步（对固定的 $\beta$ 用 CLT）：$\{|S_n^{\ast }|>\beta \}$ 是两个不相交事件 $\{S_n^{\ast }>\beta \}、$$\{S_n^{\ast }<-\beta \}$ 的并，所以

• 第一项：$\mathbb{P}(S_n^{\ast }>\beta )=1-\mathbb{P}(S_n^{\ast }\le \beta )\to 1-\Phi (\beta )$（CLT 在 $x=\beta$ 处）。
• 第二项：$\{S_n^{\ast }<-\beta \}\subseteq \{S_n^{\ast }\le -\beta \}，$所以 $\mathbb{P}(S_n^{\ast }<-\beta )\le \mathbb{P}(S_n^{\ast }\le -\beta )\to \Phi (-\beta )$（CLT 在 $x=-\beta$ 处），从而 ${\mathrm{limsup}}_n\mathbb{P}(S_n^{\ast }<-\beta )\le \Phi (-\beta )。$

合起来，并用 $\Phi (-\beta )=1-\Phi (\beta )：$

第 4 步（先 $n$ 后 $\beta ）$：由第 2、3 步（上极限只看 $n\ge N_{\beta }$ 的项，前面有限项不影响），

左边不依赖 $\beta ；$右边在 $\beta \to \infty$ 时趋于 $2(1-1)=0。$由「先补基础」最后一张卡片，$\mathbb{P}(|\frac{S_n}{n}-\mu |>\epsilon )\to 0。$$\epsilon >0$ 任取，所以 $\frac{S_n}{n}\stackrel{\mathbb{P}}{\to }\mu 。$$■$

补充：$\sigma =0$ 的情形。此时 $X_1=\mu$ 几乎必然，$\frac{S_n}{n}=\mu$ 几乎必然，结论直接成立；CLT 只在 $\sigma >0$ 时才有意义（要除以 $\sigma ）。$

原解答逐行对照

第 1 行：「${\mu }_{S_n}=n\mu ，$$\mathrm{Var}(S_n)=n{\sigma }^2，$and so ${\sigma }_{S_n}=\sigma \sqrt{n}」。$正确，前提是 $X_i$ 独立（或两两不相关）且方差有限；方差可加性正是用在这里。

第 2–4 行：三个「if and only if」把 $|\frac{S_n}{n}-\mu |>\epsilon$ 改写成 $|S_n^{\ast }|>\frac{\sqrt{n}\epsilon }{\sigma }。$正确，即完整解答第 1 步；每一步都是两边乘或除同一个正数。

第 5–6 行：「for any real number $\beta >0$, $\frac{\sqrt{n}\epsilon }{\sigma }>\beta$ will hold for all large $n」，$于是 $\mathbb{P}(|\frac{S_n}{n}-\mu |>\epsilon )=\mathbb{P}(|S_n^{\ast }|>\frac{\sqrt{n}\epsilon }{\sigma })\le \mathbb{P}(|S_n^{\ast }|>\beta )。$正确，「all large $n」$具体是 $n>(\frac{\beta \sigma }{\epsilon }{)}^2。$

第 7–9 行：

第 10–11 行：「By choosing $\beta$ large enough, we can ensure that the CDF $F(\beta )$ is arbitrarily close to 1 and $F(-\beta )$ is arbitrarily close to 0. Hence $\lim \mathbb{P}(\cdot )=0」。$正确，就是完整解答第 4 步：左边不依赖 $\beta ，$右边可以任意小。应补一句「左边与 $\beta$ 无关」，这是能令 $\beta \to \infty$ 的原因。

例子与数值验证

拓展延伸

常见疑问与易错点

小结与自测