Radon–Nikodym 定理：绝对连续就一定有密度

这一页在讲什么

• 这是第 4 部分的核心定理。上一页 第 26 页 问「什么时候能写 $\mathbb{Q}(A)={\int }_{A}L\mathrm{d}\mathbb{P}」，$这一页给出完整回答：恰好在 $\mathbb{Q}\ll \mathbb{P}$ 的时候。
• 定理的一般证明需要本课没有讲的工具，所以本站把它当作已知结论使用；但我们会（1）把离散情形完整证明一遍，（2）用「导数 = 比值的极限」解释它为什么叫「导数」，（3）说明它后面怎么用。
• 下一页 第 28 页 证明这个密度在「几乎必然」意义下唯一；第 32 页用它把 $\mathbb{Q}$ 下的期望换成 $\mathbb{P}$ 下的期望。

先补基础

课件原文逐句精读

• 这一页课件只印了定理的名字，正文全部是课上板书，下一节补出来。
• 蓝条标题 Radon–Nikodym for probability measures 意思是「概率测度版本的 Radon–Nikodym 定理」。一般教材里这个定理是对更一般的测度（允许总量为无穷）叙述的，本课只需要 $\mathbb{P}、$$\mathbb{Q}$ 都是概率的情形，叙述和记号都简单很多。
• 名字来自两位数学家：奥地利的 Johann Radon（1913 年在 ${\mathbb{R}}^n$ 上证明）和波兰的 Otto Nikodym（1930 年推广到一般测度空间）。

补全课件留白

Theorem 18 (Radon–Nikodym)｜定理 18（Radon–Nikodym 定理）

逐条理解：

• 条件只有一个：$\mathbb{Q}\ll \mathbb{P}。$ 不需要 $\Omega$ 是实数轴、不需要任何连续性。$\Omega$ 可以是抛硬币序列、价格路径、任何抽象空间。
• $L$ 是 $\mathcal{F}$-可测的：保证 $L{1}_A$ 能对 $\mathbb{P}$ 积分（第 29 页）。
• $L$ 取有限的非负值：非负是因为概率非负；「有限」可以做到，是因为 ${\mathbb{E}}_{\mathbb{P}}L=1<\infty$ 蕴含 $L<\infty$ 几乎必然成立，把 $L=\infty$ 的那个零概率事件上的值改成 0 不影响任何积分。
• ${\mathbb{E}}_{\mathbb{P}}L=1$ 不是额外要求：取 $A=\Omega$ 就得到 ${\mathbb{E}}_{\mathbb{P}}L=\mathbb{Q}(\Omega )=1。$
• 记号 $\frac{\mathrm{d}\mathbb{Q}}{\mathrm{d}\mathbb{P}}$：它不是真的分数，只是一个名字。但这个名字很好用，因为把 $\mathbb{Q}(A)={\int }_{A}L\mathrm{d}\mathbb{P}$ 写成 ${\int }_A\mathrm{d}\mathbb{Q}={\int }_A\frac{\mathrm{d}\mathbb{Q}}{\mathrm{d}\mathbb{P}}\mathrm{d}\mathbb{P}，$「$\mathrm{d}\mathbb{P}$ 像被约掉了一样」。第 34 页的链式法则也有这种「约分」的样子。

把两页合起来，我们得到本部分最重要的等价关系：

「⇐」是 第 26 页 的命题，「⇒」是定理 18。

关于证明：本课把它当作已知结论

它为什么对？下面给三个角度的理解。

角度一：离散情形，$L$ 就是逐点的比值。 若 $\Omega$ 可数（有限或者能排成一列），令

在 $\mathbb{P}(\{\omega \})=0$ 的点令 $L(\omega )=0。$绝对连续保证这些点上 $\mathbb{Q}(\{\omega \})$ 也是 0，所以不会出现「分母是 0、分子不是 0」的问题。完整验证见下面「推导」一节。

角度二：连续情形，$L$ 是「小集合上的概率比」的极限。 取 $\Omega =[0,1]，$$\mathbb{P}=\lambda ，$设 $\mathbb{Q}$ 的分布函数 $G(x)=\mathbb{Q}([0,x])$ 可导。小区间 $[x,x+h]$ 上

所以 $\frac{\mathrm{d}\mathbb{Q}}{\mathrm{d}\lambda }=G^{\prime }。$一般地，$\frac{\mathrm{d}\mathbb{Q}}{\mathrm{d}\mathbb{P}}(\omega )$ 可以理解成「$\omega$ 附近很小的事件上，$\mathbb{Q}$ 的概率 ÷ $\mathbb{P}$ 的概率」，这正是「导数」这个名字的来源。

角度三：绝对连续为什么是必需的。 若 $\mathbb{P}(\{{\omega }_0\})=0$ 而 $\mathbb{Q}(\{{\omega }_0\})>0，$角度一的比值就是「正数 ÷ 0」，相当于要求 $L({\omega }_0)=\infty ；$可是在零概率事件上取无穷大，积分仍然是 0（第 43 页），还是凑不出 $\mathbb{Q}(\{{\omega }_0\})。$绝对连续恰好排除了这种「分母为 0、分子不为 0」的情形。

定理 18 后面怎么用

1. 换算期望：${\mathbb{E}}_{\mathbb{Q}}X={\mathbb{E}}_{\mathbb{P}}[XL]$（第 32 页）。一个概率下的问题可以搬到另一个概率下去算。
2. 重要性抽样：想算 $\mathbb{P}$ 下的期望，却故意从另一个概率 $\mathbb{Q}$ 抽样，再用 $1/L$ 做权重纠正（第 35 页、第 36–45 页）。
3. 统计：$L=\frac{\mathrm{d}\mathbb{Q}}{\mathrm{d}\mathbb{P}}$ 就是「数据在假设 $\mathbb{Q}$ 下的可能性 ÷ 在假设 $\mathbb{P}$ 下的可能性」，即似然比检验里的似然比。
4. 金融：衍生品定价里的「风险中性概率」$\mathbb{Q}$ 和真实世界概率 $\mathbb{P}$ 之间，就是用 $\frac{\mathrm{d}\mathbb{Q}}{\mathrm{d}\mathbb{P}}$ 联系的（第 31 页 的例子）。
5. 后续课程：条件期望的存在性，标准教材（如 Durrett）就是用 Radon–Nikodym 定理证明的。

例子

推导：一步一步来

设 $\Omega =\{{\omega }_1,{\omega }_2,\dots \}$（有限或可数无穷），$\mathcal{F}=2^{\Omega }，$$\mathbb{Q}\ll \mathbb{P}。$

1. 定义 $L$：$\mathbb{P}(\{\omega \})>0$ 时令 $L(\omega )=\mathbb{Q}(\{\omega \})/\mathbb{P}(\{\omega \})；$$\mathbb{P}(\{\omega \})=0$ 时令 $L(\omega )=0。$$L$ 非负、有限；因为 $\mathcal{F}=2^{\Omega }，$任何函数都可测。
2. 单点上的等式：对每个 $\omega$ 都有 $\mathbb{Q}(\{\omega \})=L(\omega )\mathbb{P}(\{\omega \})。$
   • 若 $\mathbb{P}(\{\omega \})>0，$由 $L$ 的定义两边相等；
   • 若 $\mathbb{P}(\{\omega \})=0，$由 $\mathbb{Q}\ll \mathbb{P}$ 得 $\mathbb{Q}(\{\omega \})=0，$右边是 $0\times 0=0。$
3. 任意事件上的等式：取 $A\subseteq \Omega 。$$A$ 是可数个单点的不交并，由 $\mathbb{Q}$ 的可数可加性，
   $$\mathbb{Q}(A)=\sum _{\omega \in A}\mathbb{Q}(\{\omega \})=\sum _{\omega \in A}L(\omega )\mathbb{P}(\{\omega \}).$$
4. 右边就是积分：$L{1}_A={\sum }_{\omega \in A}L(\omega )1_{\{\omega \}}$ 是可数个非负函数之和。和 第 26 页 可数可加性的证明完全一样（部分和非负递增，用 MCT），得
   $${\mathbb{E}}_{\mathbb{P}}[L{1}_A]=\sum _{\omega \in A}L(\omega ){\mathbb{E}}_{\mathbb{P}}[1_{\{\omega \}}]=\sum _{\omega \in A}L(\omega )\mathbb{P}(\{\omega \}).$$
5. 结论：第 3、4 步给出 $\mathbb{Q}(A)={\mathbb{E}}_{\mathbb{P}}[L{1}_A]$ 对所有 $A$ 成立；取 $A=\Omega$ 得 ${\mathbb{E}}_{\mathbb{P}}L=1。$

注意第 1 步在 $\mathbb{P}(\{\omega \})=0$ 的点上 $L$ 的值是随便取的（取 0、取 7 都行），这正是下一页「只在几乎必然意义下唯一」的原因。

常见疑问与易错点

小结与自测