第 4 讲 · 21 页课件
乘积测度与独立性
Product Measure and Independence
两个概率空间怎样拼成一个联合空间（乘积 σ-代数与乘积测度），二重积分什么时候能拆成两次单重积分（Fubini–Tonelli），以及独立性的精确定义：联合分布等于边缘分布的乘积；最后看多元正态分布里「协方差为 0」为什么等价于独立。
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开篇
第 1 部分 乘积测度Product measure
第 2 部分 Fubini–Tonelli 定理Fubini–Tonelli's theorem
- 09 可测与可积：用 Fubini 之前要检查什么Fubini–Tonelli's theorem: measurable and integrable
- 10 Fubini 定理：绝对可积时，二重积分等于两种顺序的累次积分Fubini's theorem
- 11 Fubini 定理的证明思路：示性函数 → 简单函数 → 非负函数 → 可积函数Main idea behind the proof
- 12 Tonelli 定理：非负可测函数随便交换积分顺序Tonelli's theorem and the iterated integrals
- 13 反例一：计数测度不是 σ-有限的，两种积分顺序给出 1 和 0Counter examples for Fubini's theorem: counting measure
- 14 反例二：不绝对收敛的二重级数，先按行加得 1，先按列加得 0Counter examples for Fubini's theorem: a non-integrable double series
- 15 Fubini 的应用：两个累次积分不相等的函数，以及矩公式的一行证明An application of Fubini's theorem
第 3 部分 独立性Independence
- 16 两个事件、两个随机变量、两个 σ-代数的独立；柱集Independence of two events
- 17 多个随机变量的独立：联合分布 = 乘积测度；无穷序列空间Independence of multiple events
- 18 一族随机变量的独立；两两独立不等于相互独立Independence
- 19 多元正态分布：由均值向量和协方差矩阵决定的「高维钟形曲线」Example: multivariate normal distribution
- 20 二元情形：联合正态时，协方差为 0 等价于独立Example: Bivariate case
- 21 多元情形：联合正态时，协方差全为 0 等价于相互独立Example: Multivariate case