46 有界收敛定理（BCT）：有限测度 + 一致有界，极限就能换积分 · 第1讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

如果总测度有限（例如概率测度），并且所有 $f_{n}$ 都被同一个常数 $M$ 压住，那么 $f_{n} \to f$ 几乎处处就推出 $\int f_{n} \to \int f 。$ 这是 DCT 的特例（屋顶取常数 $M ），$ 老师还给了一个不用 DCT 的直接证明。

位置：第 1 讲正式内容的最后一页。标题 Bounded convergence is a finite measure corollary 的意思是：有界收敛定理是「有限测度下的推论」——在 $μ (S) < \infty$ 时，常数是可积的，所以 DCT 直接给出 BCT。
为什么概率里特别常用：概率测度总质量是 1，有限；很多随机变量（例如示性函数、概率本身）天然有界。所以「有界 + 几乎必然收敛 ⇒ 期望收敛」随手可用。
老师的直接证明很有教学价值：它展示了「把空间切成坏集（误差大）和好集（误差小）分别估计」的技巧，第 3 讲会大量使用。

先补基础

基础补课一致有界

「存在常数 $M ，$ 使对所有 $n$ 和几乎所有 $x ，$ $∣ f_{n} (x) ∣ \leq M 」$ 叫一致有界。「一致」指同一个 $M$ 对所有 $n$ 都管用。例： $f_{n} (x) = sin (n x)$ 一致有界（ $M = 1 ）；$ $f_{n} = n 1_{(0, 1/ n)}$ 不是（每个 $f_{n}$ 有界，但上界 $n$ 随 $n$ 变大）。

基础补课常数函数的积分

$\int_{S} M d μ = M μ (S) 。$ 所以常数可积当且仅当 $μ (S) < \infty$ （ $M > 0$ 时）。在 $[0, 1]$ 上常数可积；在 $R$ 上不可积。这就是 BCT 需要「有限测度」的原因。

基础补课把一个集合分成「坏」与「好」两部分

固定 $ε > 0 ，$ 令 $B_{n} = {x : ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ > ε}$ （误差大的地方，bad）， $G_{n} = B_{n}^{c} = {∣ f_{n} - f ∣ \leq ε}$ （误差小的地方，good）。两者不相交，并起来是整个 $S ，$ 所以积分可以拆成两块： $\int_{S} = \int_{B_{n}} + \int_{G_{n}} 。$

课件原文逐句精读

课件原文Bounded convergence is a finite measure corollary

Corollary 37 (Bounded convergence thoerem) Suppose $μ (S) < \infty$ , the functions $f_{n}, f : S \to R$ are measurable, $f_{n} \to f$ almost everywhere, (continued in handwriting)

中文翻译

推论 37（有界收敛定理） 设 $μ (S) < \infty ，$ 函数 $f_{n}, f : S \to R$ 可测， $f_{n} \to f$ 几乎处处，（后半句在板书里：存在常数 $M ，$ 使对每个 $n$ 都有 $∣ f_{n} ∣ \leq M$ a.e.，则……）

课件把 theorem 拼成了 thoerem，是印刷错误。
Suppose $μ (S) < \infty$ ：老师用粉色荧光笔标出 Suppose，并把 $μ (S) < \infty$ 圈了起来——这是 BCT 与 DCT 的分界线：有限测度下，常数屋顶才可积。
其余条件： $f_{n}, f$ 可测、取实数值； $f_{n} \to f$ 只需几乎处处。

定理推论 37（有界收敛定理 BCT）

设 $μ (S) < \infty ，$ $f_{n}, f : S \to R$ 可测， $f_{n} \to f$ $μ$ -几乎处处，且存在常数 $M ，$ 使对每个 $n ，$ $∣ f_{n} ∣ \leq M$ 几乎处处。则

\int_{S} ∣ f_{n} - f ∣ d μ \to 0, \int_{S} f_{n} d μ \to \int_{S} f d μ .

老师板书在说什么

老师板书板书转写（按从上到下的顺序）

（接印刷句）there exists a constant $M$ , s.t. $∣ f_{n} ∣ \leq M$ a.e.（粉色荧光笔）for every $n$ , then
$\int ∣ f_{n} - f ∣ d μ \to 0, \int f_{n} d μ \to \int f d μ$ .
Pf: Since $∣ f_{n} ∣ \leq M$ a.e. $\forall δ > 0$ ,
${∣ f_{n} ∣ > M + δ} \subseteq {∣ f_{n} - f ∣ > δ}$ a.e.
$μ {∣ f ∣ \geq M + δ} \leq μ {∣ f_{n} - f ∣ > δ} \to 0$ .（旁注： $f_{n} \to f$ a.e.）
$B_{n} \cup G_{n} = S ，$ $B_{n} = {∣ f_{n} - f ∣ > ε} ，$ $μ (B_{n}) \to 0$ （粉色） $n \to \infty$
$\int_{S} ∣ f_{n} - f ∣ d μ = \int_{B_{n}} ∣ f_{n} - f ∣ d μ + \int_{G_{n}} ∣ f_{n} - f ∣ d μ$ （第一个 $∣ f_{n} - f ∣$ 涂了粉色）
$\leq 2 M μ (B_{n}) + ε μ (G_{n})$
$\leq 2 M μ (B_{n}) + ε μ (S) ；$ $2 M μ (B_{n}) \to 0 ；$ $ε \to 0$ 　#

老师的证明分两步：先证极限函数 $f$ 也被 $M$ 压住（第 3–5 行），再用坏集 / 好集估计 $\int ∣ f_{n} - f ∣$ （第 6–9 行）。

第 3–5 行：先证 $∣ f ∣ \leq M$ 几乎处处

第 4 行的笔误：板书写的是 ${∣ f_{n} ∣ > M + δ} \subseteq {∣ f_{n} - f ∣ > δ} ，$ 应为 ${∣ f ∣ > M + δ} \subseteq {∣ f_{n} - f ∣ > δ}$ （第 5 行用的也正是 $∣ f ∣ ）。$ 理由：若 $∣ f (x) ∣ > M + δ$ 而 $∣ f_{n} (x) ∣ \leq M ，$ 则 $∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ \geq ∣ f (x) ∣ - ∣ f_{n} (x) ∣ > (M + δ) - M = δ .$ （「a.e.」是因为 $∣ f_{n} ∣ \leq M$ 只在零测集外成立。）
第 5 行：取测度得 $μ {∣ f ∣ \geq M + δ} \leq μ {∣ f_{n} - f ∣ > δ}$ （ $\geq$ 与 $>$ 的差别不影响论证，用 ${∣ f ∣ > M + δ /2}$ 代替即可）。左边不依赖 $n$ ，右边当 $n \to \infty$ 时趋于 0（理由老师只写了「 $f_{n} \to f$ a.e.」，完整论证见下面「推导」第 1 步——要用到 $μ (S) < \infty ）。$ 所以左边 $= 0 。$
对 $δ = 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots$ 取并： ${∣ f ∣ > M} = ⋃_{k} {∣ f ∣ \geq M + \frac{1}{k}}$ 是可数个零测集的并，仍是零测集。所以 $∣ f ∣ \leq M$ 几乎处处。

第 6–9 行：坏集与好集

第 6 行： $B_{n} = {∣ f_{n} - f ∣ > ε}$ 是误差超过 $ε$ 的「坏集」， $G_{n}$ 是它的补集「好集」， $B_{n} \cup G_{n} = S 。$ 理由和第 5 行右边趋于 0 完全一样：有限测度空间上 $f_{n} \to f$ a.e.，推出 $μ {∣ f_{n} - f ∣ > ε} \to 0$ （完整论证见下文），所以 $μ (B_{n}) \to 0$ （粉色标出）。
第 7 行：积分按坏集、好集拆开。
第 8 行：
- 在坏集上，误差可能很大，但不会超过 $∣ f_{n} ∣ + ∣ f ∣ \leq M + M = 2 M$ （这里用到了第 3–5 行刚证明的 $∣ f ∣ \leq M ），$ 所以 $\int_{B_{n}} ∣ f_{n} - f ∣ \leq 2 M μ (B_{n}) ；$
- 在好集上，误差 $\leq ε ，$ 所以 $\int_{G_{n}} ∣ f_{n} - f ∣ \leq ε μ (G_{n}) 。$
第 9 行： $μ (G_{n}) \leq μ (S) ，$ 于是 $\int ∣ f_{n} - f ∣ \leq 2 M μ (B_{n}) + ε μ (S) 。$ 令 $n \to \infty ，$ 第一项 $\to 0 ，$ 所以 $lim sup_{n} \int ∣ f_{n} - f ∣ \leq ε μ (S) 。$ $ε$ 任意小，且 $μ (S) < \infty ，$ 所以 $lim sup \int ∣ f_{n} - f ∣ = 0 ，$ 即 $\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0 ，$ 进而 $\int f_{n} \to \int f$ （同第 45 页第 3–4 行）。#

补充另一个证明：直接用 DCT

取屋顶 $g \equiv M 。$ 因为 $μ (S) < \infty ，$ $\int g = M μ (S) < \infty ，$ $g$ 可积。 $∣ f_{n} ∣ \leq g ，$ $f_{n} \to f$ a.e.，DCT（第 44 页）直接给出结论。这就是标题说的「有限测度下的推论」。老师之所以再给一个直接证明，是为了演示「坏集 + 好集」的估计方法。

例子

例 1：概率里的典型用法

设 $X_{n} \to X$ 几乎必然。要求 $E [h (X_{n})]$ 的极限，而 $h$ 是有界的连续函数时，BCT 最方便。例如 $E [sin X_{n}] \to E [sin X] ：$ $∣ sin X_{n} ∣ \leq 1 ，$ 概率测度总质量 1 有限， $sin X_{n} \to sin X$ 几乎必然，BCT 直接给出结论。

例 2：

\int_{0}^{1} cos^{n} (π x) d x

在 $[0, 1]$ 上（测度 1）， $∣ cos^{n} (π x) ∣ \leq 1 。$ 逐点： $∣ cos (π x) ∣ < 1$ 时 $cos^{n} (π x) \to 0 ，$ 只在 $x = 0, 1$ 两点 $∣ cos ∣ = 1$ （零测集）。所以 $cos^{n} (π x) \to 0$ a.e.，BCT ⇒ $\int_{0}^{1} cos^{n} (π x) d x \to 0 。$

例 3（反例）：去掉有限测度——滑走的方块

在 $R$ 上 $f_{n} = 1_{[n, n + 1]} ：$ $∣ f_{n} ∣ \leq 1$ （一致有界）， $f_{n} \to 0$ 逐点，但 $\int f_{n} = 1 \neq \to 0 。$ 原因： $μ (R) = \infty ，$ 第 9 行的 $ε μ (S)$ 是 $ε \cdot \infty ，$ 无法变小；用 DCT 的语言，常数 1 在 $R$ 上不可积。

例 4（反例）：去掉一致有界——尖峰

在 $[0, 1]$ （有限测度）上 $f_{n} = n 1_{(0, 1/ n)} ：$ 每个 $f_{n}$ 都有界，但没有共同的上界，坏集上的「 $2 M 」$ 随 $n$ 变大，第 8 行的估计失效。结论也确实错： $\int f_{n} = 1 ，$ 极限函数为 0。

动手试一试动手试一试：两个条件各去掉一个

选「滑走的方块」：有界但在无限测度的 $R$ 上，积分始终是 1；选「尖峰」：有限测度但没有共同上界，积分也始终是 1；选「DCT： $x^{n} 」：$ 有限测度 + 一致有界，积分趋于 0。BCT 的两个条件缺一不可。

推导：一步一步来

推导证明思路

先证「几乎处处收敛 + 有限测度 ⇒ 坏集的测度趋于 0」，再用它证明 $∣ f ∣ \leq M$ a.e.，最后坏集 / 好集估计。

第 1 步（坏集的测度趋于 0）：固定 $ε > 0 ，$ 令 $B_{n} = {∣ f_{n} - f ∣ > ε} ，$ $E_{N} = ⋃_{n \geq N} B_{n}$ （第 $N$ 项以后「至少有一次误差大」）。

$E_{1} \supseteq E_{2} \supseteq \dots$ 递减，且 $⋂_{N} E_{N}$ 里的点误差无穷多次超过 $ε ，$ 不可能收敛，所以 $⋂_{N} E_{N} \subseteq {f_{n} \neq \to f} ，$ 是零测集。
$μ (E_{1}) \leq μ (S) < \infty ，$ 用从上连续（第 14 页）： $μ (E_{N}) \to μ (⋂_{N} E_{N}) = 0 。$
$B_{N} \subseteq E_{N} ，$ 所以 $μ (B_{N}) \leq μ (E_{N}) \to 0 。$

（这里第一次真正用到 $μ (S) < \infty ：$ 从上连续需要第一个集合测度有限。）

第 2 步（ $∣ f ∣ \leq M$ a.e.）：对每个 $δ > 0 ，$ ${∣ f ∣ > M + δ} \subseteq {∣ f_{n} - f ∣ > δ} \cup N_{n}$ （ $N_{n}$ 是使 $∣ f_{n} ∣ \leq M$ 失败的零测集），所以 $μ {∣ f ∣ > M + δ} \leq μ {∣ f_{n} - f ∣ > δ} \to 0$ （第 1 步， $ε = δ ）。$ 左边不依赖 $n ，$ 只能是 0。对 $δ = \frac{1}{k}$ 取可数并， $μ {∣ f ∣ > M} = 0 。$

第 3 步（拆积分）：几乎处处 $∣ f_{n} - f ∣ \leq 2 M ，$ 于是

\int_{S} ∣ f_{n} - f ∣ d μ = \int_{B_{n}} ∣ f_{n} - f ∣ d μ + \int_{G_{n}} ∣ f_{n} - f ∣ d μ \leq 2 M μ (B_{n}) + ε μ (S) .

第 4 步（取极限）： $n \to \infty ，$ 由第 1 步， $lim sup_{n} \int ∣ f_{n} - f ∣ \leq ε μ (S) 。$ 对任意 $ε > 0$ 成立，而 $μ (S) < \infty ，$ 所以 $lim sup_{n} \int ∣ f_{n} - f ∣ = 0 ，$ 即 $\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0 。$

第 5 步（结论）： $\int f_{n} - \int f \leq \int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0 。$ $■$

常见疑问与易错点

易错点问：BCT 和 DCT 是什么关系？

答：BCT 是 DCT 的特例：屋顶取常数 $M ，$ 有限测度保证常数可积。凡是 BCT 能用的地方，DCT 都能用；但 DCT 还能处理无限测度和无界的情形（例如第 44 页例 2 的 $(1 + x / n)^{- n} ）。$ BCT 的好处是条件一眼就能验证。

易错点问：证明的第 1 步「几乎处处收敛 ⇒ 坏集测度趋于 0」在无限测度下成立吗？

答：不一定。滑走的方块 $1_{[n, n + 1]}$ 逐点趋于 0，但 $B_{n} = {∣ f_{n} ∣ > \frac{1}{2}} = [n, n + 1]$ 的测度恒为 1。原因是从上连续需要 $μ (E_{1}) < \infty 。$ 这个「坏集测度趋于 0」在第 3 讲会被叫作依测度（依概率）收敛（第 14 页）。

易错点问：为什么要先证 |f| ≤ M？

答：坏集上要用 $∣ f_{n} - f ∣ \leq ∣ f_{n} ∣ + ∣ f ∣ \leq 2 M$ 来估计，所以必须知道极限函数也有界。这一步很容易被忽略。

小结与自测

小结本页小结

BCT： $μ (S) < \infty ，$ $∣ f_{n} ∣ \leq M$ （同一个常数）， $f_{n} \to f$ a.e. ⇒ $\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0 ，$ $\int f_{n} \to \int f 。$
它是 DCT 的特例：有限测度下常数屋顶 $g \equiv M$ 可积。
老师的直接证明：先证 $∣ f ∣ \leq M$ a.e.；再把空间分成坏集 $B_{n} = {∣ f_{n} - f ∣ > ε}$ 与好集， $\int ∣ f_{n} - f ∣ \leq 2 M μ (B_{n}) + ε μ (S) 。$
两个条件缺一不可：去掉有限测度（滑走的方块），去掉一致有界（尖峰），结论都会错。
板书第 4 行的 $∣ f_{n} ∣$ 应为 $∣ f ∣ ；$ 课件把 theorem 拼成了 thoerem。

自测

1. 用 BCT 求 $n \to \infty lim \int_{0}^{1} \frac{n x ^{2}}{1 + n x ^{2}} d x 。$

点开看答案

$0 \leq \frac{n x ^{2}}{1 + n x ^{2}} \leq 1 ，$ $[0, 1]$ 测度有限。逐点： $x > 0$ 时 $\frac{n x ^{2}}{1 + n x ^{2}} = \frac{1}{1/ ( n x ^{2} ) + 1} \to 1 ；$ $x = 0$ 时为 0（零测集）。所以极限函数几乎处处为 1，BCT ⇒ 极限 $= \int_{0}^{1} 1 d x = 1 。$

2. 在概率空间上， $X_{n} \to X$ 几乎必然。为什么 $P (X_{n} \in (0, 1))$ 不一定趋于 $P (X \in (0, 1)) ，$ 而 $E [arctan X_{n}] \to E [arctan X]$ 一定成立？

点开看答案

$arctan$ 连续且 $∣ arctan ∣ \leq \frac{π}{2} ，$ 所以 $arctan X_{n} \to arctan X$ 几乎必然且一致有界，概率测度有限，BCT 成立。而 $1_{(0, 1)} (X_{n})$ 在 $X = 0$ 或 $X = 1$ 处不一定收敛到 $1_{(0, 1)} (X)$ （例如 $X_{n} = 1/ n \to X = 0 ：$ $1_{(0, 1)} (X_{n}) = 1 ，$ $1_{(0, 1)} (X) = 0 ），$ 极限函数不对，BCT 的前提不满足。

3. 第 9 行最后为什么能令 $ε \to 0 ？$

点开看答案

因为得到的估计 $lim sup_{n} \int ∣ f_{n} - f ∣ \leq ε μ (S)$ 对每一个 $ε > 0$ 都成立，而 $μ (S)$ 是有限数，所以右边可以任意小，左边（一个固定的非负数）只能是 0。若 $μ (S) = \infty ，$ 右边恒为 $\infty ，$ 这一步就失效了。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
几乎处处	almost everywhere (a.e.)	除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
有界收敛定理	bounded convergence theorem (BCT)	有限测度上一致有界、几乎处处收敛的函数列，积分收敛；是 DCT 的特例。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
示性函数	indicator function	𝟏_A(x) 在 x ∈ A 时取 1，否则取 0；它的积分就是 A 的测度。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
一致有界	uniformly bounded	存在同一个常数 M，使所有 n、所有点 x 都有 \|fₙ(x)\| ≤ M。「一致」是指一个 M 管住整列函数。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
补集	complement	样本空间里不属于 A 的元素全体，记作 Aᶜ，对应「A 不发生」。
测度空间	measure space	三元组 (S, 𝓜, μ)：空间、σ-代数、测度。
无穷多次	infinitely often (i.o.)	「Aₙ 发生无穷多次」就是集合 lim sup Aₙ。
从上连续	continuity from above	集合一层层变小（Eₙ ↓ E）且 μ(E₁) < ∞ 时，μ(Eₙ) → μ(E)。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。

这一页在讲什么

先补基础

课件原文逐句精读

老师板书在说什么

第 3–5 行：先证 ∣f∣≤M 几乎处处

第 6–9 行：坏集与好集

例子

推导：一步一步来

常见疑问与易错点

小结与自测

第 3–5 行：先证 $∣ f ∣ \leq M$ 几乎处处