03 目录：本讲五个部分与「概率空间三件套」 · 第1讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

目录列出本讲五个部分；老师在上面写了一句全讲的主角：概率空间 $(Ω, F, P)$ ——样本空间、σ-代数、概率测度三件套。

课件原文逐句精读

课件原文Contents

Probability spaces and measurable events
From Jordan content to outer measure
Lebesgue measurable sets and measure
Lebesgue integration
MCT, Fatou's Lemma, DCT, BCT

中文翻译

概率空间与可测事件
从乔丹容量到外测度
勒贝格可测集与勒贝格测度
勒贝格积分
单调收敛定理、Fatou 引理、控制收敛定理、有界收敛定理

五个部分的逻辑是一条链：

先定规矩（第 1 部分）：一个概率模型由哪几样东西组成、要满足哪些公理。
再造工具（第 2、3 部分）：真正把「长度」这个测度造出来。有了它，才能在 $[0, 1] 、$ $R$ 这样的连续空间上放概率。
然后积分（第 4 部分）：定义对测度的积分，于是期望有了严格定义。
最后处理极限（第 5 部分）：研究极限和积分什么时候能交换。这是整个概率论（大数定律、中心极限定理……）的基本工具。

老师板书在说什么

老师板书板书转写

Consider a probability space $(Ω, F, P)$

$Ω$ 下方箭头：sample space
$F$ 下方箭头：σ-algebra
$P$ 右侧箭头：probability measure.

翻译：「考虑一个概率空间 $(Ω, F, P) 」。$ 三个字母分别是：

记号	英文	中文	它回答的问题	详细讲解
$Ω$	sample space	样本空间	可能发生哪些完整结局？	第 5 页
$F$	σ-algebra	σ-代数	哪些事件允许谈概率？	第 6 页、第 9 页
$P$	probability measure	概率测度	每个允许的事件，概率是多少？	第 8 页、第 12 页

人话版为什么是「三件套」而不是只有 P

中学里只关心「概率是多少」。测度论把一个概率模型拆成三层：先有所有结局 $Ω ，$ 再挑出可以谈概率的事件 $F ，$ 最后才在这些事件上给出数值 $P 。$ 中间那层 $F$ 是新东西，它的存在正是因为「不是所有集合都能被称重量」（第 10 页、第 21 页）。

例子

例 1：抛一枚均匀硬币的概率空间

$Ω = {H, T} ；$
$F = {\emptyset, {H}, {T}, Ω} ：$ $Ω$ 的全部 4 个子集（ $\emptyset$ 是空集，表示「什么都没发生」这个不可能事件）；
$P (\emptyset) = 0 ，$ $P ({H}) = P ({T}) = \frac{1}{2} ，$ $P (Ω) = 1 。$

在有限的例子里， $F$ 取全部子集就行；到了 $[0, 1]$ 上就不行了，这是第 3 部分的主题。

小结与自测

小结本页小结

本讲五部分：定规矩 → 造长度（两部分）→ 定义积分 → 处理极限。
老师的板书：概率空间 $(Ω, F, P)$ ＝样本空间 + σ-代数 + 概率测度。
中间层 σ-代数是测度论的新东西，因为不是所有集合都能被称重量。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
样本空间	sample space	一次试验所有可能的完整结局组成的集合，记作 Ω。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
乔丹容量	Jordan content	用有限个区间从里、从外逼近一个集合；两边逼近值相等时才有定义。
外测度	outer measure	用可数个区间覆盖集合，所有覆盖总长度的下确界 m*(E)；对每个子集都有定义。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
勒贝格可测	Lebesgue measurable	能被勒贝格测度称重量的集合（通过卡拉泰奥多里判别）。
勒贝格积分	Lebesgue integral	按函数值分块的积分：先定义简单函数的积分，再用下方的简单函数逼近取上确界。
Fatou 引理	Fatou's lemma	非负可测函数列满足 ∫ liminf fₙ ≤ liminf ∫ fₙ（只保证这个方向）。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
有界收敛定理	bounded convergence theorem (BCT)	有限测度上一致有界、几乎处处收敛的函数列，积分收敛；是 DCT 的特例。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
中心极限定理	central limit theorem (CLT)	独立同分布、方差 σ² 有限时，(Sₙ − nμ)/(σ√n) 依分布收敛到标准正态分布：大量独立小误差之和近似正态。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
子集	subset	A 的每个元素都在 B 里，就说 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
空集	empty set	一个元素也没有的集合，记作 ∅。作为事件，它永远不会发生。