29 可测函数：积分的「合法输入」 · 第1讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

勒贝格积分的做法是「按函数值分层，再量每一层有多大」，所以一定会问：函数值大于 $a$ 的那些点，组成的集合有多大？ 这就要求集合 ${x : f (x) > a}$ 是测度 $μ$ 量得了的集合。满足这个要求的函数叫可测函数，它们是积分这台机器唯一接受的「合法输入」。

位置：第 4 部分「勒贝格积分」。前面第 25 页–第 28 页比较黎曼积分和勒贝格积分时，我们先「借用」了积分记号；从这一页起，老师要从零开始把勒贝格积分正式造出来（第 27 页最后一句就预告了这件事）。
造积分的路线：可测函数（本页）→ 示性函数、简单函数和它们的积分（第 30 页–第 32 页）→ 非负可测函数的积分（第 33 页）→ 用简单函数从下面逼近（第 34 页）。
本页回答的问题：哪些函数有资格被积分？答案是可测函数。板书还给出了「可积」的定义，并提醒：可测不等于可积。
在概率里：可测函数就是随机变量。 $X$ 可测，才能谈 $P (X > a) 、$ $P (X \leq x)$ 这些概率。

先补基础

基础补课可测空间与可测集（回顾）

σ-代数（详见第 9 页）：集合 $S$ 的一族子集 $S ，$ 它包含 $S$ 本身，并且对「取补集」「可数并」封闭，从而对「可数交」也封闭。
可测空间 $(S, S) ：$ 一个集合 $S$ 加上它的一个 σ-代数 $S 。$ 注意两个长得很像的字母：正体 $S$ 是空间（所有点组成的集合），花体 $S$ 是允许测量的子集的清单。老师在花体 $S$ 下面画了两道线，就是提醒你别把它们看混。
可测集：属于 $S$ 的集合。只有可测集才有测度 $μ (A)$ （第 12 页）。
最小的例子： $S = {1, 2, 3} ，$ $S = {\emptyset, {1}, {2, 3}, S} 。$ 可以逐条验证它是 σ-代数： ${1}$ 的补集是 ${2, 3} ，$ ${2, 3}$ 的补集是 ${1} ，$ ${1} \cup {2, 3} = S ，$ 都还在清单里。这里 ${2, 3}$ 可测，但 ${2}$ 不可测——好比你只知道「结果是不是 1」，却分不清 2 和 3。

基础补课描述法 {x : f(x) > a} 与缩写 {f > a}

${x : f (x) > a}$ 读作「所有满足 $f (x) > a$ 的点 $x$ 组成的集合」。冒号前写「收集谁」，冒号后写「满足什么条件」。
习惯上缩写成 ${f > a} 。$ 同样有 ${f \geq a} 、$ ${f < a} 、$ ${f \leq a} 、$ ${f = a} 。$
例： $S = R ，$ $f (x) = x^{2} ，$ 则 ${f > 4} = {x : x^{2} > 4} = (- \infty, - 2) \cup (2, \infty) 。$
形象地说：把函数图像想成一片地形， $f (x)$ 是地点 $x$ 的海拔，那么 ${f > a}$ 就是「海拔高于 $a$ 的所有地点」。

基础补课原像：把「函数值的条件」翻译成「点的集合」

设 $f : S \to Y ，$ $B$ 是 $Y$ 的一个子集。 $B$ 在 $f$ 下的原像（preimage）是 $f^{- 1} (B) = {x \in S : f (x) \in B},$ 也就是「函数值落进 $B$ 的所有点」。
${f > a}$ 就是原像 $f^{- 1} ((a, \infty]) ：$ 函数值落在区间 $(a, \infty]$ 里的点。
注意：这里的 $f^{- 1}$ 不是反函数， $f$ 不需要一一对应。例如 $f (x) = x^{2}$ 不可逆，但 $f^{- 1} ([1, 4]) = {x : 1 \leq x^{2} \leq 4} = [- 2, - 1] \cup [1, 2]$ 照样有意义。
原像和集合运算可以「交换顺序」： $f^{- 1} (B^{c}) = (f^{- 1} (B))^{c}, f^{- 1} (n ⋃ B_{n}) = n ⋃ f^{- 1} (B_{n}), f^{- 1} (n ⋂ B_{n}) = n ⋂ f^{- 1} (B_{n}) .$ 理由：「 $f (x)$ 不在 $B$ 里」恰好就是「 $x$ 不在 $f^{- 1} (B)$ 里」；「 $f (x)$ 落在某一个 $B_{n}$ 里」恰好就是「 $x$ 在某一个 $f^{- 1} (B_{n})$ 里」；交集同理逐字替换「某一个」为「每一个」即可。

基础补课扩展实数 [−∞, ∞]

$[- \infty, \infty]$ 是在实数轴两端各添一个点 $- \infty$ 和 $+ \infty$ （单写 $\infty$ 就指 $+ \infty ），$ 叫扩展实数（extended real numbers）。
大小顺序：对每个实数 $a ，$ 都有 $- \infty < a < + \infty 。$ 区间 $(a, \infty]$ 表示「比 $a$ 大的实数，再加上 $+ \infty 」。$
为什么允许函数取 $\pm \infty ？$ 后面要对函数取上确界、取极限、做无穷求和，结果常在某些点「冲到无穷」。例如 $f_{n} (x) = n x$ 当 $n \to \infty$ 时在每个 $x > 0$ 处都趋于 $+ \infty 。$ 与其每次都把这些点挖掉，不如一开始就允许函数取 $\infty 。$
例：规定 $f (x) = 1/ x$ （ $0 < x \leq 1 ），$ $f (0) = + \infty ，$ 这就是一个 $[0, 1] \to [0, \infty]$ 的函数。

基础补课「对每个 a ∈ ℝ」是什么要求

「for every $a \in R 」$ 的意思是：不管 $a$ 取哪一个实数，条件都得成立。只要找到一个 $a$ 使 ${f > a} \in / S ，$ $f$ 就不可测。这和「存在某个 $a$ 使条件成立」是完全不同的要求。

课件原文逐句精读

课件原文Definition 20 (Extended-real measurable function)

Let $(S, S)$ be a measurable space. A map

f : S \to [- \infty, \infty]

is measurable when

{x : f (x) > a} \in S for every a \in R .

Equivalent tests use ${f \geq a}$ , ${f < a}$ , or ${f \leq a}$ .

中文翻译

定义 20（取扩展实数值的可测函数） 设 $(S, S)$ 是一个可测空间。映射 $f : S \to [- \infty, \infty]$ 称为可测的，如果对每一个实数 $a ，$ 集合 ${x : f (x) > a}$ 都属于 $S 。$

也可以等价地改用 ${f \geq a} 、$ ${f < a}$ 或 ${f \leq a}$ 来检验。

蓝条标题 Measurable functions are the inputs to the integral 的意思是「可测函数是积分的输入」：积分像一台机器，只接受可测函数。

① Let (S, 𝒮) be a measurable space｜舞台：一个可测空间

定义里只出现 $S$ 和 $S ，$ 还没有测度 $μ$ 。也就是说，「可测」只和「哪些集合被允许测量」有关，和具体怎么测无关。
推论：同一个函数，换一个 σ-代数，可能就不可测了（见下面例 1）。所以严格地说应该讲「 $f$ 关于 $S$ 可测」。

② A map f : S → [−∞, ∞]｜函数允许取无穷

老师把 $f$ 圈了出来：这一页的主角是函数。输入是空间 $S$ 里的点，输出是扩展实数。
允许取值 $\pm \infty$ 是为了后面取极限、取上确界方便（见上面的基础补课）。

③ is measurable when {x : f(x) > a} ∈ 𝒮 for every a ∈ ℝ｜判别条件

这句话的意思：任意画一条水平线 $y = a ，$ 高出这条线的那部分点必须组成一个可测集。
为什么要这个条件？回忆第 26 页：勒贝格积分不切 $x$ 轴，而是按函数值切层，然后问「函数值在 $a$ 和 $b$ 之间的点有多少」，也就是要算 $μ ({a < f \leq b}) 。$ 可是 $μ$ 只对 $S$ 里的集合有定义，所以这些集合必须在 $S$ 里。
而这些「夹层」集合恰好可以由判别条件里的集合拼出来： ${a < f \leq b} = {f > a} ∖ {f > b} = {f > a} \cap {f > b}^{c} .$ 右边是两个可测集做交、做补，σ-代数对这些运算封闭，所以夹层也可测。
换句话说，这个条件防止的问题是：积分公式里出现 $μ (某个量不了的集合) ，$ 那样积分根本写不出来。

定义 20（可测函数）

设 $(S, S)$ 是可测空间。函数 $f : S \to [- \infty, \infty]$ 称为（关于 $S ）$ 可测函数（measurable function），如果

{x \in S : f (x) > a} \in S 对每个实数 a .

等价地，可以把 ${f > a}$ 换成 ${f \geq a} 、$ ${f < a}$ 或 ${f \leq a}$ 中的任何一种（仍然要求对每个实数 $a$ 成立）。

④ Equivalent tests use {f ≥ a}, {f < a}, or {f ≤ a}｜四种等价的检验

「等价」的意思是：只要其中任何一种集合对所有 $a$ 都可测，其余三种也自动对所有 $a$ 都可测。所以做题时可以挑最好算的那一种来验证。它们之间的转换关系如下（详细证明见下面「推导」一节）：

已知这一族对所有 $a$ 都可测	由它得到	写法	用到的 σ-代数性质
${f > a}$	${f \leq a}$	${f \leq a} = {f > a}^{c}$	对补集封闭
${f > a}$	${f \geq a}$	${f \geq a} = ⋂_{n \geq 1} {f > a - \frac{1}{n}}$	对可数交封闭
${f \geq a}$	${f < a}$	${f < a} = {f \geq a}^{c}$	对补集封闭
${f \geq a}$	${f > a}$	${f > a} = ⋃_{n \geq 1} {f \geq a + \frac{1}{n}}$	对可数并封闭

从表里可以看出： ${f > a}$ 这一族和 ${f \leq a}$ 这一族靠取补集互相转换， ${f \geq a}$ 和 ${f < a}$ 也一样；而 ${f > a}$ 与 ${f \geq a}$ 之间，靠可数交、可数并互相转换。四族连成一个圈，所以它们等价。

老师板书在说什么

老师板书板书转写（按从上到下的顺序）

在 $(S, S)$ 的花体 $S$ 下面画了两道短线。
把 $f : S \to [- \infty, \infty]$ 中的 $f$ 圈了出来。
把 is measurable when 中的 measurable 圈了出来。
把 ${x : f (x) > a}$ 圈了出来，并在它右上方写：is measurable.
Integrable : $\int ∣ f ∣ d μ < \infty$
$1/ x$ measure but not integral on $[0, 1]$ .（手写较潦草；意思是「 $1/ x$ 在 $[0, 1]$ 上可测，但不可积」，这里 measure 应读作 measurable，integral 应读作 integrable。）

第 1–4 条：「可测」这个词的两种用法

老师圈出了两个 measurable 的位置，是在对比同一个词的两种用法：

集合可测：集合属于 $S 。$ 第 4 条在 ${x : f (x) > a}$ 旁边写 is measurable，说的就是这种。
函数可测：对每个 $a ，$ 集合 ${f > a}$ 都可测。第 3 条圈出的 measurable 是这种。

两者的关系一句话：函数可测，就是它的所有上水平集都是可测集。 函数的可测性被「翻译」成了集合的可测性，而集合的可测性我们在前面几页已经研究过了。花体 $S$ 下画线（第 1 条）则强调：判断标准是那张「允许测量的清单」 $S 。$

第 5 条：可积的定义

$∣ f ∣$ 是 $f$ 的绝对值函数： $∣ f ∣ (x) = ∣ f (x) ∣ ，$ 它总是非负的。
$\int ∣ f ∣ d μ$ 是 $∣ f ∣$ 的勒贝格积分，读作「 $∣ f ∣$ 关于 $μ$ 的积分」。非负函数的积分要到第 33 页才正式定义；现在可以先把它想成「 $∣ f ∣$ 的图像下方的总面积（按 $μ$ 来量）」。
可积（integrable）：这块总面积有限，即 $\int ∣ f ∣ d μ < \infty 。$ 所有可积函数组成的集合记为 $L^{1} (μ) ，$ 第 43 页会专门讨论。
为什么要用 $∣ f ∣$ 而不是 $f$ 本身？因为 $f$ 可正可负。第 33 页的板书会把 $f$ 拆成正部减负部 $f = f^{+} - f^{-} ；$ 如果正部和负部的面积都是 $\infty ，$ 就会出现没有意义的 $\infty - \infty 。$ 要求 $\int ∣ f ∣ < \infty ，$ 就保证了正、负两部分的面积都有限。

第 6 条：可测但不可积的例子 1/x

在 $[0, 1]$ 上取 $f (x) = 1/ x$ （ $0 < x \leq 1 ），$ 在 $x = 0$ 处补定义 $f (0) = + \infty 。$ 测度是勒贝格测度（长度），σ-代数是博雷尔 σ-代数。

（1）它可测。 对每个实数 $a$ 求 ${f > a} ：$

当 $a < 1 ：$ 对 $0 < x \leq 1$ 有 $1/ x \geq 1 > a ，$ 而 $f (0) = \infty > a ，$ 所以 ${f > a} = [0, 1] 。$
当 $a \geq 1 ：$ $1/ x > a$ 等价于 $x < 1/ a ，$ 再加上点 $0 ，$ 所以 ${f > a} = [0, 1/ a) 。$

两种情况得到的都是区间，区间都是博雷尔集，所以 $f$ 可测。（在 $0$ 这一个点上取什么值都不影响可测性，因为单点集 ${0}$ 本身也是博雷尔集。）

（2）它不可积。 不用微积分，只用「面积至少有多大」来估计。把 $(0, 1]$ 切成一段段：

I_{0} = (\frac{1}{2}, 1], I_{1} = (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}], I_{2} = (\frac{1}{8}, \frac{1}{4}], \dots, I_{k} = (2^{- (k + 1)}, 2^{- k}] .

在 $I_{k}$ 上， $x \leq 2^{- k} ，$ 所以 $1/ x \geq 2^{k} ：$ 函数至少有 $2^{k}$ 那么高。
$I_{k}$ 的长度是 $2^{- k} - 2^{- (k + 1)} = 2^{- (k + 1)} 。$
所以 $I_{k}$ 上方的面积至少是「高 × 宽」 $= 2^{k} \cdot 2^{- (k + 1)} = \frac{1}{2} 。$
这些小段互不重叠，一共有无穷多段，每段贡献至少 $\frac{1}{2} ，$ 总面积至少 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \dots = \infty 。$

用微积分核对： $\int_{ε}^{1} \frac{1}{x} d x = ln \frac{1}{ε} ，$ 当 $ε \to 0$ 时趋于 $\infty ，$ 结论一致。

补充对比：1/√x 也无界，却是可积的

同样的切法用在 $g (x) = 1/ x$ 上：在 $I_{k}$ 上 $x > 2^{- (k + 1)} ，$ 所以 $1/ x < 2^{(k + 1) /2} ，$ 面积至多 $2^{(k + 1) /2} \cdot 2^{- (k + 1)} = 2^{- (k + 1) /2} 。$ 这些上界组成公比 $2^{- 1/2} \approx 0.707$ 的等比数列，加起来有限。事实上 $\int_{0}^{1} \frac{d x}{x} = 2 。$ 结论：「无界」不等于「不可积」，关键看函数冲向无穷的速度。

例子

例 1：同一个函数，换一个 σ-代数就不可测

取 $S = {1, 2, 3} ，$ $S = {\emptyset, {1}, {2, 3}, S}$ （上面已验证它是 σ-代数）。

函数 $f$ ： $f (1) = 0 ，$ $f (2) = 5 ，$ $f (3) = 5 。$ 逐个区间讨论 $a ：$

$a < 0 ：$ ${f > a} = {1, 2, 3} = S \in S ；$
$0 \leq a < 5 ：$ ${f > a} = {2, 3} \in S ；$
$a \geq 5 ：$ ${f > a} = \emptyset \in S 。$

每个 $a$ 都通过，所以 $f$ 可测。

函数 $g$ ： $g (1) = 0 ，$ $g (2) = 5 ，$ $g (3) = 7 。$ 取 $a = 6 ：$ ${g > 6} = {3} \in / S 。$ 只要有一个 $a$ 不通过， $g$ 就不可测。

解读： $S$ 代表「你掌握的信息」——你分得清 1 和「2 或 3」，但分不清 2 和 3。 $f$ 在 2 和 3 上取值相同，用你的信息就能算出它； $g$ 在 2 和 3 上取值不同，你的信息不够确定它的值。可测 = 用手头的信息就能确定函数值落在哪里。

如果把 σ-代数换成幂集 $2^{S}$ （所有子集都可测），那么 $g$ 也可测了。这印证了原文精读 ① 里说的：可测性依赖于 $S 。$

例 2：连续函数 x² 在 (ℝ, 𝓑(ℝ)) 上可测

取 $f (x) = x^{2} ，$ $B (R)$ 是博雷尔 σ-代数（由开区间生成，见第 11 页）。

$a < 0 ：$ $x^{2} \geq 0 > a$ 对所有 $x$ 成立， ${f > a} = R ；$
$a \geq 0 ：$ $x^{2} > a$ 等价于 $∣ x ∣ > a ，$ ${f > a} = (- \infty, - a) \cup (a, \infty) 。$

两种情况都是开区间的并，都是博雷尔集，所以 $f$ 可测。

顺便用「 $\leq 」$ 版本再验证一次： ${f \leq a}$ 在 $a < 0$ 时是 $\emptyset ，$ 在 $a \geq 0$ 时是闭区间 $[- a, a] ，$ 也都是博雷尔集，和等价性的结论一致。

例 3：示性函数可测，当且仅当那个集合可测

设 $A \subseteq S ，$ 令 $1_{A} (x) = 1$ （ $x \in A ），$ $1_{A} (x) = 0$ （ $x \in / A ）。$ （这个函数下一页第 30 页会正式定义。）

$a < 0 ：$ ${1_{A} > a} = S ；$
$0 \leq a < 1 ：$ ${1_{A} > a} = A ；$
$a \geq 1 ：$ ${1_{A} > a} = \emptyset 。$

$S$ 和 $\emptyset$ 总在 $S$ 里，所以 $1_{A}$ 可测 $⟺$ $A \in S$ 。

反例：取 $A$ 为第 21 页的维塔利集（它不是勒贝格可测集），则 $1_{A}$ 不是勒贝格可测函数，连积分都谈不上。

推导：一步一步来

推导证明思路

用 σ-代数的三种封闭性（补集、可数交、可数并），把四族集合两两连起来。关键技巧：「 $\geq a 」$ 可以写成「对每个 $n$ 都 $> a - \frac{1}{n} 」，$ 这样只用到可数个集合。

下面始终假设「对所有实数 $a ，$ ${f > a} \in S 」，$ 推出其余三族也可测；最后再说明反方向。

第 1 步： ${f \leq a}$ 可测。 $f (x) \leq a$ 恰好是「 $f (x) > a$ 不成立」，所以 ${f \leq a} = {f > a}^{c} 。$ σ-代数对补集封闭，得证。

第 2 步： ${f \geq a}$ 可测。 证明集合等式

{f \geq a} = n = 1 ⋂ \infty {f > a - \frac{1}{n}} .

「 $\subseteq 」：$ 若 $f (x) \geq a ，$ 则对每个 $n ，$ $f (x) \geq a > a - \frac{1}{n} ，$ 所以 $x$ 属于右边每一个集合，从而属于它们的交。（ $f (x) = + \infty$ 时也成立，因为 $+ \infty$ 大于任何实数。）
「 $\supseteq 」：$ 设 $x$ 属于右边，即对每个 $n$ 都有 $f (x) > a - \frac{1}{n} 。$ 用反证法：若 $f (x) < a ，$ 分两种情况。若 $f (x) = - \infty ，$ 它不可能大于实数 $a - 1 ，$ 矛盾。若 $f (x)$ 是实数，差距 $d = a - f (x) > 0 ，$ 取一个 $n$ 使 $\frac{1}{n} < d ，$ 则 $a - \frac{1}{n} > a - d = f (x) ，$ 与「 $f (x) > a - \frac{1}{n} 」$ 矛盾。所以 $f (x) \geq a 。$

右边每个集合 ${f > a - \frac{1}{n}}$ 都可测（这是假设，取实数 $a - \frac{1}{n}$ 代入即可），可数个可测集的交仍可测，得证。

第 3 步： ${f < a}$ 可测。 ${f < a} = {f \geq a}^{c} ，$ 由第 2 步和补集封闭性得证。

第 4 步：反方向。 假设只知道「对所有 $a ，$ ${f \geq a}$ 可测」，证明 ${f > a}$ 可测：

{f > a} = n = 1 ⋃ \infty {f \geq a + \frac{1}{n}} .

「 $\supseteq 」：$ 若对某个 $n$ 有 $f (x) \geq a + \frac{1}{n} ，$ 则 $f (x) > a 。$
「 $\subseteq 」：$ 若 $f (x) > a 。$ 当 $f (x) = + \infty$ 时，它不小于任何 $a + \frac{1}{n} ；$ 当 $f (x)$ 是实数时，差距 $d = f (x) - a > 0 ，$ 取 $\frac{1}{n} < d$ 即得 $f (x) > a + \frac{1}{n} 。$ 总之 $x$ 属于右边某一个集合。

可数并保持可测，得证。同理，从「 ${f < a}$ 全可测」出发取补集得到「 ${f \geq a}$ 全可测」，从「 ${f \leq a}$ 全可测」取补集得到「 ${f > a}$ 全可测」。四族全部连通，四种检验等价。

第 5 步（附赠）：还有哪些集合也自动可测？

${f = a} = {f \geq a} \cap {f \leq a} ：$ 两个可测集的交。
${a < f \leq b} = {f > a} \cap {f \leq b} ：$ 同上。
${f = + \infty} = ⋂_{n \geq 1} {f > n} ：$ 函数值比每个正整数都大，只能是 $+ \infty 。$
${f = - \infty} = ⋂_{n \geq 1} {f < - n} ：$ 函数值比每个 $- n$ 都小，只能是 $- \infty ；$ 每个 ${f < - n}$ 可测，可数交仍然可测。

为什么不能写成「对所有 ε > 0 取交」

直觉上也可以写 ${f \geq a} = ⋂_{ε > 0} {f > a - ε} ，$ 这个等式本身也对。但 $ε$ 取遍所有正实数，是不可数个集合的交，而 σ-代数只保证可数交封闭（第 9 页），于是无法直接断定结果可测。改用 $ε = \frac{1}{n}$ 只用到可数个集合，就绕开了这个问题。测度论里「把连续参数换成 $\frac{1}{n} 」$ 是非常常用的技巧，后面还会反复见到。

更一般：所有博雷尔集的原像都可测

其实可测函数满足更强的性质：对每个博雷尔集 $B ，$ $f^{- 1} (B) \in S 。$ 理由如下。令 $C = {B : f^{- 1} (B) \in S} 。$ 利用原像与集合运算可交换（见基础补课）， $C$ 对补集和可数并封闭，所以 $C$ 是一个 σ-代数；它包含所有 $(a, \infty] ，$ 于是包含由它们生成的 σ-代数，也就是所有博雷尔集（生成的 σ-代数见第 11 页）。所以「只检验 ${f > a} 」$ 并不是偷懒，而是检验生成元就够了。

常见疑问与易错点

易错点问：「可测函数」是指能被测量的函数吗？

答：不是。函数本身没有什么「大小」要测。「 $f$ 可测」的准确意思是： $f$ 的每个上水平集 ${f > a}$ 都属于 $S$ 。它是函数和 σ-代数之间的一种「兼容」关系，换一个 σ-代数，结论可能改变（例 1）。

易错点问：可测是不是就能积分出一个有限的数？

答：不是。可测只保证积分有定义（对非负函数，积分可能等于 $+ \infty ）；$ 可积还要求 $\int ∣ f ∣ d μ < \infty 。$ 板书的 $1/ x$ 就是「可测但不可积」的例子，而 $1/ x$ 是「无界但可积」的例子。

易错点问：为什么 a 只取实数，不用检查 a = ±∞？

答：因为这两种情况自动成立。 ${f > + \infty} = \emptyset ，$ 永远可测； ${f > - \infty}$ 是「 $f$ 不等于 $- \infty$ 的点」，它等于 $⋃_{n \geq 1} {f > - n} ，$ 由实数 $a = - n$ 的情况拼出来，也可测。

易错点问：连续函数都可测吗？

答：在 $(R, B (R))$ 上是的。连续意味着：如果 $f (x_{0}) > a ，$ 那么 $x_{0}$ 附近的点也满足 $f (x) > a ，$ 所以 ${f > a}$ 是开集；开集都是博雷尔集，于是 $f$ 可测。但可测函数远比连续函数多，比如第 28 页的狄利克雷函数 $1_{Q \cap [0, 1]}$ 处处不连续，却是可测的（由例 3，因为 $Q \cap [0, 1]$ 是可测集）。

小结与自测

小结本页小结

函数 $f : S \to [- \infty, \infty]$ 可测：对每个实数 $a ，$ 上水平集 ${f > a}$ 都属于 $S 。$
为什么需要：积分要计算 $μ ({a < f \leq b})$ 这类量，而 $μ$ 只对 $S$ 里的集合有定义。
四种检验 ${f > a} 、$ ${f \geq a} 、$ ${f < a} 、$ ${f \leq a}$ 等价，靠的是补集和「 $a \pm \frac{1}{n} 」$ 的可数交、可数并。
可测性依赖于 σ-代数的选择； $1_{A}$ 可测当且仅当 $A$ 可测。
可积 $=$ 可测且 $\int ∣ f ∣ d μ < \infty ；$ $1/ x$ 在 $[0, 1]$ 上可测但不可积。

自测

1. 设 $S = {1, 2, 3, 4} ，$ $S = {\emptyset, {1, 2}, {3, 4}, S} 。$ 函数 $f$ 取值 $f (1) = f (2) = 1 ，$ $f (3) = 2 ，$ $f (4) = 3 。$ $f$ 可测吗？

点开看答案

不可测。取 $a = 2.5 ，$ ${f > 2.5} = {4} ，$ 它不在 $S$ 里。直观解释： $S$ 分不清 3 和 4，而 $f$ 在 3 和 4 上取值不同。若把 $f (4)$ 改成 $2 ，$ 则 ${f > a}$ 只可能是 $S 、$ ${3, 4}$ 或 $\emptyset ，$ $f$ 就可测了。

2. 已知 $f$ 可测。用四种检验集合和集合运算写出 ${1 \leq f < 3} ，$ 并说明它为什么可测。

点开看答案

${1 \leq f < 3} = {f \geq 1} \cap {f < 3} 。$ 由等价性， ${f \geq 1}$ 和 ${f < 3}$ 都可测，σ-代数对交集封闭，所以它们的交可测。

3. 判断：「 $[0, 1]$ 上的有界函数一定可积。」这句话对吗？

点开看答案

不一定对，因为可积的前提是可测。若 $A$ 是维塔利集， $1_{A}$ 有界（只取 0 和 1），但不可测，所以根本谈不上勒贝格积分。反过来，如果有界函数 $∣ f ∣ \leq M$ 是可测的，那么它确实可积，因为 $\int_{[0, 1]} ∣ f ∣ d Leb \leq M \cdot 1 < \infty$ （和第 27 页的估计一样）。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
勒贝格积分	Lebesgue integral	按函数值分块的积分：先定义简单函数的积分，再用下方的简单函数逼近取上确界。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
黎曼积分	Riemann integral	大一学的定积分：按 x 轴切竖条求和取极限。
示性函数	indicator function	𝟏_A(x) 在 x ∈ A 时取 1，否则取 0；它的积分就是 A 的测度。
简单函数	simple function	只取有限个值的可测函数，是若干示性函数的线性组合，图像像台阶。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
子集	subset	A 的每个元素都在 B 里，就说 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
补集	complement	样本空间里不属于 A 的元素全体，记作 Aᶜ，对应「A 不发生」。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
可测空间	measurable space	一个集合加上它上面的一个 σ-代数，例如 (Ω, 𝓕)；还没有给出测度。
可测集	measurable set	σ-代数里的集合，也就是可以谈「测度多大」的集合；在概率空间里，可测集就叫事件。
原像	preimage	f⁻¹(B) 是「所有被 f 送进 B 的输入」组成的集合，可测性就是用原像定义的。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
反函数	inverse function	f 把不同的输入送到不同的输出时，反函数 f⁻¹ 把输出送回原来的输入：f⁻¹(f(x)) = x。例：ln 是 eˣ 的反函数。注意：集合的原像 f⁻¹(D) 不需要反函数存在。
交集	intersection	同时属于两个集合的元素全体，A ∩ B 对应「A 且 B」。
上确界	supremum (sup)	最小的上界。最大值不一定存在，但有上界的实数集一定有上确界。
正部	positive / negative part	f⁺ = max(f, 0)，f⁻ = max(−f, 0)，f = f⁺ − f⁻，\|f\| = f⁺ + f⁻。
博雷尔 σ-代数	Borel sigma-algebra	由实数轴上所有开区间生成的 σ-代数 𝓑(ℝ)，包含所有常见的集合。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
幂集	power set	一个集合的所有子集组成的集合族，记作 2^Ω；n 个元素的集合有 2ⁿ 个子集。
勒贝格可测	Lebesgue measurable	能被勒贝格测度称重量的集合（通过卡拉泰奥多里判别）。
维塔利集	Vitali set	用选择公理造出的「坏」集合，证明了不可能给 ℝ 的所有子集定义长度。
不可数	uncountable	无论怎么排都排不成一列，例如区间 [0,1] 里的全体实数。
生成的 σ-代数	generated sigma-algebra	包含给定集合族的最小 σ-代数 σ(𝒞)：只加入「被逼着加入」的集合。
狄利克雷函数	Dirichlet function	在有理点取 1、无理点取 0 的函数；黎曼不可积，勒贝格积分为 0。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。