12 Tonelli 定理：非负可测函数随便交换积分顺序 · 第4讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

把 Fubini 定理的条件「可积」换成「非负且可测」，结论照样成立，只是三个积分可能同时等于 $+ \infty 。$ 这就是 Tonelli 定理。它有两个用途：直接计算非负函数的二重积分（包括交换无穷级数的求和顺序），以及检查 $\iint ∣ f ∣$ 是否有限，从而判断能不能用 Fubini。

位置：第 2 部分。第 10 页陈述了 Fubini 定理，第 11 页的证明第 3 步其实已经证明了 Tonelli 定理。
课件这一页：写出了累次积分公式，并点明 Tonelli 与 Fubini 的区别；最后一条说明这些结论对黎曼积分同样适用。第一条的说法需要订正，见下文。

先补基础

基础补课取值可以是 +∞ 的非负函数

测度论里允许非负函数取值 $+ \infty ，$ 例如 $f (x) = \frac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处规定为 $+ \infty 。$ 非负可测函数的积分总有定义（第 33 页）：它是简单函数积分的上确界，可能是有限数，也可能是 $+ \infty ，$ 但不会没有意义。有正有负的函数才可能出现 $\infty - \infty 。$

基础补课求和也是积分：计数测度

在自然数集 $N$ 上，「数点个数」的测度 $#$ 叫计数测度（第 13 页正式定义）。对非负数列 $a_{n} ，$ $\int_{N} a d # = \sum_{n} a_{n} 。$ 所以「交换二重级数的求和顺序」是「交换积分顺序」的特例。 $N$ 可数，所以 $#$ 在 $N$ 上是 σ-有限的。

课件原文逐句精读

课件原文Fubini-Tonellis's theorem

Measure theory tells us: a nonnegative measurable function is always integrable. How to prove it? we need the upper and lower Lebesgue integrals definition, this is out of our scope.
If we replace integrable of $f$ by non-negative measurable $f$ , the theorem is so-called Tonelli's theorem.
Fubini's theorem tells if $f$ is integrable, then

\int f d P = \int [\int f (ω_{1}, ω_{2}) d P_{1} (ω_{1})] d P_{2} (ω_{2}) = \int [\int f (ω_{1}, ω_{2}) d P_{2} (ω_{2})] d P_{1} (ω_{1}) .

Tonelli's theorem tells that if $f \geq 0$ and is measurable, then the above holds.

We also remark the Lebesgue integral and Riemann integral coincide on any bounded interval $[a, b]$ for the function $f$ is Riemman integrable. So Fubini's and Tonelli's also work for Riemann integral for $f$ is Riemann integrable.

中文翻译

蓝条标题：Fubini–Tonelli 定理。

测度论告诉我们：非负可测函数总是「可积」的。怎样证明？要用到勒贝格上积分、下积分的定义，超出了我们的范围。
如果把「 $f$ 可积」换成「 $f$ 非负可测」，这个定理就叫 Tonelli 定理。
Fubini 定理告诉我们：若 $f$ 可积，则（上面的公式）。Tonelli 定理告诉我们：若 $f \geq 0$ 且可测，上面的公式同样成立。
另外注意：在有界区间 $[a, b]$ 上，黎曼可积函数的勒贝格积分与黎曼积分相同。所以对黎曼可积的函数，Fubini 和 Tonelli 定理对黎曼积分也成立。

第 1 条：一句需要订正的话

「非负可测函数总是可积」应理解为：非负可测函数的积分总有定义（取值在 $[0, + \infty] ），$ 不必担心 $\infty - \infty 。$ 它不一定有限，例如 $\int_{0}^{1} \frac{d x}{x} = + \infty 。$ 本站说「可积」时总指积分有限（第 43 页），所以按本站的用语，这句话应读作「非负可测函数的积分总是存在的」。课件提到的「上、下勒贝格积分」是另一种建立积分的方式；第 1 讲用的是「简单函数逼近」（第 33 页），结论相同。

第 2、3 条：Tonelli 与 Fubini 的公式

公式里的 $P$ 指乘积测度 $P_{1} \times P_{2} 。$ 它说：二重积分 = 先对 $ω_{1}$ 积分再对 $ω_{2}$ 积分 = 先对 $ω_{2}$ 积分再对 $ω_{1}$ 积分。两个定理给出的是同一个公式，只是条件不同。

第 4 条：黎曼积分

微积分里的二重积分是黎曼积分。有界区间上、黎曼可积的有界函数，勒贝格积分和黎曼积分相等（第 1 讲第 27 页）。所以微积分里「把二重积分化成累次积分」的公式，是 Fubini 定理的特例。笔误：Riemman → Riemann。

定理的完整陈述

定理（Tonelli）

设 $(Ω_{1}, F_{1}, μ_{1}) 、$ $(Ω_{2}, F_{2}, μ_{2})$ σ-有限， $f : Ω_{1} \times Ω_{2} \to [0, + \infty]$ 关于 $F_{1} \otimes F_{2}$ 可测。则

对每个 $ω_{1} ，$ $f_{ω_{1}}$ 关于 $F_{2}$ 可测； $ω_{1} \mapsto \int f_{ω_{1}} d μ_{2}$ 是取值于 $[0, + \infty]$ 的 $F_{1}$ -可测函数。另一个方向把两个坐标对调：对每个 $ω_{2} ，$ $f_{ω_{2}}$ 关于 $F_{1}$ 可测； $ω_{2} \mapsto \int f_{ω_{2}} d μ_{1}$ 是取值于 $[0, + \infty]$ 的 $F_{2}$ -可测函数。

\int_{Ω_{1} \times Ω_{2}} f d (μ_{1} \times μ_{2}) = \int_{Ω_{1}} [\int_{Ω_{2}} f d μ_{2}] d μ_{1} = \int_{Ω_{2}} [\int_{Ω_{1}} f d μ_{1}] d μ_{2},

三者可以同时为 $+ \infty 。$

证明就是第 11 页的前三步。

	Tonelli	Fubini
对 $f$ 的要求	非负、乘积可测	乘积可测、 $\iint ∣ f ∣ < \infty$
截口	每个截口可测，内层积分在 $[0, \infty]$ 中	几乎每个截口可积
结论	三个积分相等（可为 $\infty ）$	三个积分相等且有限
典型用途	算非负函数；检查 $\iint ∣ f ∣$	算有正有负的函数

人话版实际使用的「两步走」

要交换一个有正有负的 $f$ 的积分顺序：

Tonelli：对 $∣ f ∣$ 按方便的顺序算累次积分。
结果有限 → $f$ 可积 → Fubini：可以交换。结果是 $\infty$ → 不能用 Fubini，交换顺序可能出错（第 14 页、第 15 页）。

例子

例 1：交换无穷级数的求和顺序

计算 $S = \sum_{m = 1}^{\infty} m 2^{- m} 。$ 把 $m = \sum_{n = 1}^{m} 1$ 写进去：

S = m = 1 \sum \infty n = 1 \sum m 2^{- m} .

被加项非负，用 Tonelli（计数测度 × 计数测度）交换顺序：对固定的 $n ，$ $m$ 从 $n$ 取到 $\infty ，$

S = n = 1 \sum \infty m = n \sum \infty 2^{- m} = n = 1 \sum \infty 2^{- n + 1} = 2.

求和区域是「 $1 \leq n \leq m 」$ 这个三角形，先按行加和先按列加，结果一样。

例 2：发生了几个事件——期望等于概率之和

设 $A_{1}, A_{2}, \dots$ 是事件， $N = \sum_{n = 1}^{\infty} 1_{A_{n}}$ 是发生了的事件的个数（可能是 $\infty ）。$ 则

E N = E n \sum 1_{A_{n}} = n \sum E 1_{A_{n}} = n \sum P (A_{n}) .

中间一步交换了「期望」（对 $P$ 积分）和「求和」（对计数测度积分），被积函数 $1_{A_{n}} (ω) \geq 0 ，$ 由 Tonelli 成立，不需要任何独立性。第一 Borel–Cantelli 引理（第 3 讲第 4 页）的证明正是从这个等式出发： $\sum P (A_{n}) < \infty$ ⇒ $E N < \infty$ ⇒ $N < \infty$ 几乎必然。

例 3：一个「凭空」算出来的积分

求 $\int_{0}^{1} \frac{x - 1}{ln x} d x 。$ 直接求原函数做不到。注意到对 $0 < x < 1 ：$

\frac{x - 1}{ln x} = \int_{0}^{1} x^{t} d t (因为 \frac{d}{d t} x^{t} = x^{t} ln x, \int_{0}^{1} x^{t} d t = \frac{x - 1}{ln x}) .

$x^{t} \geq 0 ，$ 由 Tonelli 交换顺序：

\int_{0}^{1} \frac{x - 1}{ln x} d x = \int_{0}^{1} [\int_{0}^{1} x^{t} d x] d t = \int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + t} = ln 2 \approx 0.6931.

（数值积分验证：约 0.69315。）同样的方法给出 $\int_{0}^{1} \frac{x ^{b} - x ^{a}}{l n x} d x = ln \frac{1 + b}{1 + a}$ （ $b > a > - 1 ）。$

例 4：Tonelli 也可以给出 ∞ = ∞

$f (x, y) = \frac{1}{( x + y ) ^{2}}$ 在 $(0, 1]^{2}$ 上。内层 $\int_{0}^{1} \frac{d y}{( x + y ) ^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} ，$ 外层 $\int_{0}^{1} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}) d x = \infty$ （ $\frac{1}{x}$ 在 0 附近不可积）。另一个顺序对称，也是 $\infty 。$ Tonelli 说三者相等，都等于 $\infty ；$ 这同时告诉我们 $f$ 不可积，任何「 $f$ 乘一个有正有负的因子」的函数都要小心使用 Fubini。

常见疑问与易错点

易错点问：Tonelli 不要求可积，是不是比 Fubini 更强？

答：两者管不同的函数。Tonelli 只管非负函数，但不要求积分有限；Fubini 管有正有负的函数，但必须绝对可积。实际中常常两个一起用：先用 Tonelli 检查 $\iint ∣ f ∣ ，$ 再用 Fubini 算 $\iint f 。$

易错点问：例 2 里交换期望和求和，和单调收敛定理有什么关系？

答：是同一件事。部分和 $N_{k} = \sum_{n \leq k} 1_{A_{n}}$ 递增到 $N ，$ 由 MCT， $E N_{k} ↑ E N ，$ 而 $E N_{k} = \sum_{n \leq k} P (A_{n})$ （有限和的线性）。Tonelli 定理（对计数测度）就是把这个论证包装好了。

易错点问：黎曼积分的反常积分也能直接用 Fubini 吗？

答：要小心。第 4 条说的是有界区间上的黎曼可积函数。反常积分（无界区间或无界函数）要用勒贝格积分的框架重新检查：先对 $∣ f ∣$ 用 Tonelli。第 15 页的 $\frac{y ^{2} - x ^{2}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}$ 在原点附近无界，就是反例。

小结与自测

小结本页小结

Tonelli：σ-有限， $f \geq 0$ 乘积可测 ⇒ 每个截口可测，内层积分可测，三个积分相等（可同时为 $\infty ）。$
订正：「非负可测函数总是可积」应读作「非负可测函数的积分总有定义」。
用法：算非负函数的二重积分、交换非负级数的求和顺序（ $E \sum 1_{A_{n}} = \sum P (A_{n}) ）；$ 对 $∣ f ∣$ 用 Tonelli 检查可积性，再用 Fubini。
有界区间上黎曼可积的函数，Fubini、Tonelli 对黎曼积分同样成立。

自测

1. 用交换求和顺序计算 $\sum_{m = 1}^{\infty} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2 ^{m} 3 ^{n}} 。$

点开看答案

被加项非负，可以分开： $\sum_{m} 2^{- m} \cdot \sum_{n} 3^{- n} = 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} 。$

2. 抛一枚公平硬币无穷多次， $A_{n}$ 是「第 $n$ 次和第 $n + 1$ 次都是正面」。前 100 次里这样的 $n$ （ $1 \leq n \leq 99 ）$ 平均有几个？

点开看答案

$E \sum_{n = 1}^{99} 1_{A_{n}} = \sum_{n = 1}^{99} P (A_{n}) = 99 \times \frac{1}{4} = 24.75 。$ 这里 $A_{n}$ 之间并不独立（相邻的共用一次投掷），但期望的可加性不需要独立。

3. 不算积分，判断 $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{d x d y}{x + y}$ 两种顺序是否一定相等。

点开看答案

一定相等。被积函数非负、可测，由 Tonelli，两个累次积分相等（这里还都是有限的）。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
Fubini 定理	Fubini's theorem	f 关于乘积测度绝对可积（∬\|f\| < ∞）时，二重积分等于两种顺序的累次积分。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
Tonelli 定理	Tonelli's theorem	f 非负可测、两个测度 σ-有限时，二重积分等于两种顺序的累次积分，三者可以同时为 ∞。
二重积分	double integral	对两个变量一起积分：∬ f(x, y) dx dy。Fubini–Tonelli 定理说明什么时候可以拆成先对一个变量、再对另一个变量的两次积分。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
级数	series	无穷多项相加 a₁ + a₂ + …，它的值是前 n 项和在 n → ∞ 时的极限。
黎曼积分	Riemann integral	大一学的定积分：按 x 轴切竖条求和取极限。
累次积分	iterated integral	一层一层地积分：先固定一个变量、对另一个变量积分，再对剩下的变量积分。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
简单函数	simple function	只取有限个值的可测函数，是若干示性函数的线性组合，图像像台阶。
上确界	supremum (sup)	最小的上界。最大值不一定存在，但有上界的实数集一定有上确界。
计数测度	counting measure	μ(A) = A 中元素的个数（无限集记为 ∞）。在 ℕ 上对它积分就是求和。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
σ-有限	σ-finite	整个空间能切成可数多块测度有限的部分。概率测度、长度都满足；不可数集上的计数测度不满足。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
勒贝格积分	Lebesgue integral	按函数值分块的积分：先定义简单函数的积分，再用下方的简单函数逼近取上确界。
乘积测度	product measure	在每个可测矩形上取 μ₁(A₁)μ₂(A₂) 的唯一测度（σ-有限时）。平面面积就是长度 × 长度的乘积测度。
截口	slice (section)	固定一个坐标、把二维集合或函数「切一刀」：A_ω₁ = {ω₂ : (ω₁, ω₂) ∈ A}，f_ω₁(ω₂) = f(ω₁, ω₂)。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
独立	independence	任意有限个事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。
Borel–Cantelli 引理	Borel–Cantelli lemma	概率之和有限 ⇒ 只发生有限次；独立且概率之和无穷 ⇒ 发生无穷多次。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
部分和	partial sum	级数 a₁ + a₂ + … 的前 n 项之和 Sₙ = a₁ + … + aₙ；级数的值就是 Sₙ 在 n → ∞ 时的极限。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
无穷多次	infinitely often (i.o.)	「Aₙ 发生无穷多次」就是集合 lim sup Aₙ。