10 Fubini 定理：绝对可积时，二重积分等于两种顺序的累次积分 · 第4讲

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设 $f$ 在乘积空间上绝对可积： $\iint ∣ f ∣ < \infty 。$ 那么可以先固定 $ω_{1} 、$ 对 $ω_{2}$ 积分，再对 $ω_{1}$ 积分；也可以反过来。两种顺序的结果相等，都等于二重积分。这就是 Fubini 定理。唯一的小代价是：内层积分只保证对几乎每个 $ω_{1}$ 有意义。

位置：第 2 部分的主定理。第 8 页的截口公式是它对示性函数的特例；第 9 页解释了为什么条件是「可积」。
课件留白：截口函数的定义和定理的全部结论。下面补全，并给出一个典型应用：独立随机变量满足 $E [X Y] = E X E Y 。$
后面怎么用：第 11 页讲证明思路；第 12 页的 Tonelli 定理处理非负函数；第 13 页–第 15 页是条件不满足时的反例。

先补基础

基础补课累次积分

累次积分（iterated integral）就是「一层一层地积」：

\int_{Ω_{1}} [\int_{Ω_{2}} f (ω_{1}, ω_{2}) d μ_{2} (ω_{2})] d μ_{1} (ω_{1}) .

方括号里固定 $ω_{1} ，$ 对 $ω_{2}$ 积分，得到一个 $ω_{1}$ 的函数；外层再对 $ω_{1}$ 积分。例： $\int_{0}^{1} [\int_{0}^{2} (x + y) d y] d x ，$ 内层得 $2 x + 2 ，$ 外层得 $3 。$

基础补课「几乎处处」（回顾）

一个性质对几乎每个 $ω_{1}$ 成立（ $μ_{1}$ -a.e.），指使它不成立的 $ω_{1}$ 组成的集合测度为 0（第 43 页）。在零测集上改动函数值不影响积分。

基础补课正部与负部

$f = f^{+} - f^{-} ，$ 其中 $f^{+} = max (f, 0) ，$ $f^{-} = max (- f, 0) ，$ 都非负，且 $∣ f ∣ = f^{+} + f^{-} 。$ 可积函数的积分定义为 $\int f^{+} - \int f^{-}$ （第 43 页）。Fubini 定理的证明正是对 $f^{+} 、$ $f^{-}$ 分别用 Tonelli 再相减。

课件原文逐句精读

课件原文Fubini-Tonelli's theorem

Theorem (Fubini's theorem). Let $(Ω_{i}, F_{i}, P_{i})$ for $i = 1, 2$ be σ-finite measure spaces and let $f : Ω_{1} \times Ω_{2} \to R$ and $\int ∣ f ∣ d P_{1} d P_{2} < \infty$ . For each $ω_{1} \in Ω_{1}$ and $ω_{2} \in Ω_{2}$ , let $f_{ω_{1}} : Ω_{2} \to R$ and $f_{ω_{2}} : Ω_{1} \to R$ be defined by（以下留白）

中文翻译

蓝条标题：Fubini–Tonelli 定理。

定理（Fubini 定理）. 设 $(Ω_{i}, F_{i}, P_{i})$ （ $i = 1, 2 ）$ 是 σ-有限的测度空间， $f : Ω_{1} \times Ω_{2} \to R ，$ 且 $\int ∣ f ∣ d P_{1} d P_{2} < \infty 。$ 对每个 $ω_{1} \in Ω_{1} 、$ $ω_{2} \in Ω_{2} ，$ 定义 $f_{ω_{1}} : Ω_{2} \to R$ 和 $f_{ω_{2}} : Ω_{1} \to R$ 为（课件留白，见下一节）

这里的 $P_{i}$ 是一般的 σ-有限测度，不一定是概率测度（例如可以是 $R$ 上的长度）。课件沿用字母 $P ，$ 本站在一般情形写 $μ_{i} ，$ 两者是一回事。
$\int ∣ f ∣ d P_{1} d P_{2} < \infty$ ：指 $∣ f ∣$ 关于乘积测度 $P_{1} \times P_{2}$ 的积分有限，即 $f$ 绝对可积。由 Tonelli 定理（第 12 页），它也等于 $∣ f ∣$ 的任一个累次积分。
隐含的假设： $f$ 关于乘积 σ-代数 $F_{1} \otimes F_{2}$ 可测（第 9 页「怎样理解课件最后一句」）。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

定理（Fubini）

设 $(Ω_{1}, F_{1}, μ_{1}) 、$ $(Ω_{2}, F_{2}, μ_{2})$ σ-有限， $f$ 关于 $F_{1} \otimes F_{2}$ 可测，且

\int_{Ω_{1} \times Ω_{2}} ∣ f ∣ d (μ_{1} \times μ_{2}) < \infty.

定义截口 $f_{ω_{1}} (ω_{2}) = f (ω_{1}, ω_{2}) ，$ $f_{ω_{2}} (ω_{1}) = f (ω_{1}, ω_{2})$ （第 7 页）。则

截口几乎都可积：对 $μ_{1}$ -几乎每个 $ω_{1} ，$ $f_{ω_{1}}$ 关于 $μ_{2}$ 可积；对 $μ_{2}$ -几乎每个 $ω_{2} ，$ $f_{ω_{2}}$ 关于 $μ_{1}$ 可积。
内层积分可积：令

g (ω_{1}) = \int_{Ω_{2}} f_{ω_{1}} d μ_{2}, h (ω_{2}) = \int_{Ω_{1}} f_{ω_{2}} d μ_{1}

（在第 1 条的例外零测集上令它们为 0），则 $g$ 关于 $μ_{1}$ 可积， $h$ 关于 $μ_{2}$ 可积。3. 三个积分相等：

\int_{Ω_{1} \times Ω_{2}} f d (μ_{1} \times μ_{2}) = \int_{Ω_{1}} [\int_{Ω_{2}} f (ω_{1}, ω_{2}) d μ_{2} (ω_{2})] d μ_{1} (ω_{1}) = \int_{Ω_{2}} [\int_{Ω_{1}} f (ω_{1}, ω_{2}) d μ_{1} (ω_{1})] d μ_{2} (ω_{2}) .

逐条解释：

第 1 条：截口 $f_{ω_{1}}$ 总是可测的（第 7 页的命题），但不一定每一个都可积；不可积的那些 $ω_{1}$ 只占测度为 0 的一小部分（下面例 3 给出一个真的有例外的情形）。
第 2 条：内层积分得到的 $g (ω_{1})$ 是一个「普通的」可积函数，所以外层积分有意义，而且是有限的数。
第 3 条：这正是「先积哪个都一样」。证明思路见第 11 页。

概率的语言

在概率空间上，取 $X, Y$ 为乘积空间上的坐标映射（第 5 页）， $X \sim μ_{1} ，$ $Y \sim μ_{2} ，$ 两者独立。Fubini 定理说：若 $E ∣ f (X, Y) ∣ < \infty ，$ 则

E f (X, Y) = E [g (X)], g (x) = E f (x, Y) .

读法：先把 $X$ 当成已知的 $x ，$ 对 $Y$ 求平均；再对 $X$ 求平均。这是概率计算中最常用的手法之一。

命题推论（独立随机变量乘积的期望）

若 $X, Y$ 独立且都可积，则 $X Y$ 可积，并且 $E [X Y] = E X E Y 。$

证明（在乘积空间上， $X, Y$ 为坐标映射；一般情形见第 17 页：独立随机变量的联合分布就是乘积测度，所以可以转到乘积空间上算）：

先检查绝对可积： $∣ x y ∣ = ∣ x ∣ ∣ y ∣ \geq 0 ，$ 用 Tonelli（第 12 页）按任意顺序积分： $\iint ∣ x ∣∣ y ∣ d μ_{1} d μ_{2} = \int ∣ x ∣ d μ_{1} \cdot \int ∣ y ∣ d μ_{2} = E ∣ X ∣ E ∣ Y ∣ < \infty 。$
再用 Fubini：内层 $g (x) = \int x y d μ_{2} (y) = x E Y ，$ 外层 $\int x E Y d μ_{1} (x) = E X E Y 。$ $■$

第 3 讲样本均值的方差公式（第 37 页）里「交叉项期望为 0」，用的就是这个推论。

例子

例 1：两种顺序算同一个积分

$f (x, y) = x + y$ 在 $[0, 1] \times [0, 2]$ 上，连续有界，区域面积有限，可积（第 9 页的命题）。

先 $y$ 后 $x ：$ $\int_{0}^{2} (x + y) d y = 2 x + 2 ，$ $\int_{0}^{1} (2 x + 2) d x = 1 + 2 = 3 。$
先 $x$ 后 $y ：$ $\int_{0}^{1} (x + y) d x = \frac{1}{2} + y ，$ $\int_{0}^{2} (\frac{1}{2} + y) d y = 1 + 2 = 3 。$ 两者相等。

例 2：独立均匀数的乘积

$U, V$ 独立、都服从 $Unif (0, 1) 。$ 由推论， $E [U V] = E U E V = \frac{1}{4} 。$ 直接用 Fubini 验证： $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} x y d y d x = \int_{0}^{1} \frac{x}{2} d x = \frac{1}{4} 。$ 对照第 4 页：不独立的 $(U, U)$ 给出 $E U^{2} = \frac{1}{3} \neq = \frac{1}{4} 。$

例 3：为什么必须写「几乎每个」

在 $[0, 1]^{2}$ 上令

f (x, y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{y}, 0, x = 0, 0 < y \leq 1, 其他 .

$f$ 只在竖直线段 ${0} \times (0, 1]$ 上不为 0，这条线段面积为 0，所以 $\iint ∣ f ∣ = 0 ，$ $f$ 可积。
截口 $f_{0} (y) = \frac{1}{y} ，$ $\int_{0}^{1} \frac{d y}{y} = \infty ，$ 不可积；其他 $x > 0$ 的截口都是 0。
例外集 ${0}$ 的长度是 0，正好符合定理第 1 条「对几乎每个 $x 」。$ 定理不能加强成「对每个 $x 」。$

例 4：用交换顺序算出正态分布的归一化常数

记 $I = \int_{0}^{\infty} e^{- x^{2}} d x 。$ 则

I^{2} = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{- x^{2} - y^{2}} d y d x .

固定 $x > 0 ，$ 内层换元 $y = x s$ （ $d y = x d s ）：$ $\int_{0}^{\infty} e^{- x^{2} - y^{2}} d y = \int_{0}^{\infty} x e^{- x^{2} (1 + s^{2})} d s 。$
被积函数非负，用 Tonelli（第 12 页）交换 $x 、$ $s$ 的顺序：

I^{2} = \int_{0}^{\infty} [\int_{0}^{\infty} x e^{- x^{2} (1 + s^{2})} d x] d s = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2 ( 1 + s ^{2} )} d s = \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} = \frac{π}{4} .

（内层： $\int_{0}^{\infty} x e^{- c x^{2}} d x = \frac{1}{2 c} 。）$ 3. 所以 $I = \frac{π}{2} ，$ $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} /2} d x = 2 \cdot 2 I = 2 π 。$ 这正是标准正态密度 $\frac{1}{2 π} e^{- x^{2} /2}$ 总面积为 1 的原因（第 3 讲第 41 页用过的常数）。

整个计算只用了一元换元和「交换积分顺序」，没有用极坐标。

常见疑问与易错点

易错点问：条件是 ∫|f| < ∞，为什么不是 ∫f 有限？

答： $\int f$ 有限可能是正负大量抵消的结果，这时不同的积分顺序会以不同的方式抵消，答案可以不同（第 14 页、第 15 页的反例）。要求 $\int ∣ f ∣ < \infty$ 就排除了这种「靠抵消才有限」的情况。

易错点问：怎么检查 ∫|f| < ∞？难道要先算二重积分？

答：不用。 $∣ f ∣ \geq 0 ，$ 由 Tonelli 定理（第 12 页）， $\iint ∣ f ∣$ 等于 $∣ f ∣$ 按任意顺序的累次积分。挑一个好算的顺序算出来，有限就行。例 2 的推论证明里就是这么做的。

易错点问：σ-有限这个条件会用到吗？

答：会。概率测度、勒贝格测度都 σ-有限，平时感觉不到它；第 13 页用「 $[0, 1]$ 上的计数测度」（不 σ-有限）说明，去掉这个条件，两种顺序可以得到不同的结果。

小结与自测

小结本页小结

Fubini：σ-有限， $f$ 乘积可测且 $\iint ∣ f ∣ < \infty$ ⇒ 截口几乎都可积，内层积分可积，二重积分 = 两种顺序的累次积分。
「几乎每个」不能去掉：可积函数可以有个别不可积的截口（例 3）。
概率语言： $E f (X, Y) = E [g (X)] ，$ $g (x) = E f (x, Y)$ （ $X, Y$ 独立）。
推论：独立且可积 ⇒ $E [X Y] = E X E Y 。$
应用： $\int_{0}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = \frac{π}{2} 。$

自测

1. 用两种顺序计算 $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} x y^{2} d y d x 。$

点开看答案

先 $y ：$ $\int_{0}^{1} x y^{2} d y = \frac{x}{3} ，$ 再 $x ：$ $\frac{1}{6} 。$ 先 $x ：$ $\int_{0}^{1} x y^{2} d x = \frac{y ^{2}}{2} ，$ 再 $y ：$ $\frac{1}{6} 。$

2. $X, Y$ 独立， $E X = 2 ，$ $E Y = - 3 ，$ 且都可积。求 $E [X Y]$ 和 $E [(X + 1) Y] 。$

点开看答案

$E [X Y] = 2 \times (- 3) = - 6 。$ $E [(X + 1) Y] = E [X Y] + E Y = - 6 - 3 = - 9$ （也可以看成 $X + 1$ 与 $Y$ 独立， $3 \times (- 3) = - 9 ）。$

3. 例 3 里，如果把 $f$ 在线段上的值改成 $\frac{1}{y ^{2}} ，$ $f$ 还可积吗？Fubini 的第 3 条还成立吗？

点开看答案

仍然可积： $f$ 只在面积为 0 的线段上非零， $\iint ∣ f ∣ = 0 。$ 第 3 条成立：二重积分为 0；先 $y$ 后 $x$ 时，只有 $x = 0$ 这一个截口不可积（零测集），其余截口积分为 0，外层积分为 0；先 $x$ 后 $y$ 时，每个横截口只在一个点上非零，积分为 0。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
乘积空间	product space	笛卡尔积 Ω₁ × Ω₂，配上乘积 σ-代数（以及乘积测度）。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
二重积分	double integral	对两个变量一起积分：∬ f(x, y) dx dy。Fubini–Tonelli 定理说明什么时候可以拆成先对一个变量、再对另一个变量的两次积分。
Fubini 定理	Fubini's theorem	f 关于乘积测度绝对可积（∬\|f\| < ∞）时，二重积分等于两种顺序的累次积分。
示性函数	indicator function	𝟏_A(x) 在 x ∈ A 时取 1，否则取 0；它的积分就是 A 的测度。
截口	slice (section)	固定一个坐标、把二维集合或函数「切一刀」：A_ω₁ = {ω₂ : (ω₁, ω₂) ∈ A}，f_ω₁(ω₂) = f(ω₁, ω₂)。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
独立	independence	任意有限个事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。
Tonelli 定理	Tonelli's theorem	f 非负可测、两个测度 σ-有限时，二重积分等于两种顺序的累次积分，三者可以同时为 ∞。
累次积分	iterated integral	一层一层地积分：先固定一个变量、对另一个变量积分，再对剩下的变量积分。
几乎处处	almost everywhere (a.e.)	除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
测度空间	measure space	三元组 (S, 𝓜, μ)：空间、σ-代数、测度。
σ-有限	σ-finite	整个空间能切成可数多块测度有限的部分。概率测度、长度都满足；不可数集上的计数测度不满足。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
乘积测度	product measure	在每个可测矩形上取 μ₁(A₁)μ₂(A₂) 的唯一测度（σ-有限时）。平面面积就是长度 × 长度的乘积测度。
乘积 σ-代数	product σ-algebra	由所有可测矩形生成的 σ-代数，记作 F₁ ⊗ F₂；它也是让两个坐标映射都可测的最小 σ-代数。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
联合分布	joint law (joint distribution)	随机向量 (X, Y) 在平面上的分布：对每个平面博雷尔集 B 给出 P((X, Y) ∈ B)。只知道边缘分布不能确定它。
方差	variance	Var X = E[(X − E X)²]，衡量随机变量围绕均值的波动大小。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
极坐标	polar coordinates	用到原点的距离 r 和角度 θ 表示平面上的点：x = r cos θ，y = r sin θ。在极坐标下做二重积分时 dx dy = r dr dθ。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
计数测度	counting measure	μ(A) = A 中元素的个数（无限集记为 ∞）。在 ℕ 上对它积分就是求和。