35 路线图：进入第 5 部分 · 第1讲 · 高等概率论逐页精讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

积分定义好了，最后一部分讲本讲最重要、老师用红线划出来的内容：极限和积分什么时候可以交换顺序，也就是 MCT、Fatou 引理、DCT、BCT 四个定理。

课件原文Where we are

中文翻译

我们现在在哪里：第 5 部分「单调收敛定理、Fatou 引理、控制收敛定理、有界收敛定理」。

老师板书板书转写

第 5 项「MCT, Fatou's Lemma, DCT, BCT」下面画了一条红线。

红线在这份课件里是「重点」的记号（第 5 页的 realized 也用了红线）。结合第 2 页里圈出的 manage，老师的意思很清楚：这四个定理是本讲的考试重点，要会用。

一列函数 $f_{1}, f_{2}, \dots$ 逐点收敛到 $f 。$ 下面这个等式成立吗？

n \to \infty lim \int f_{n} d μ = ? \int n \to \infty lim f_{n} d μ .

一般不成立（尖峰反例，第 39 页）。四个定理分别给出「成立」的一种充分条件：

定理	条件（简记）	结论	页
单调收敛定理 MCT	$0 \leq f_{1} \leq f_{2} \leq \dots ，$ $f_{n} ↑ f$	$\int f_{n} ↑ \int f$	第 36 页–第 38 页
Fatou 引理	$f_{n} \geq 0$	$\int lim inf f_{n} \leq lim inf \int f_{n}$ （只有不等号）	第 40 页–第 42 页
控制收敛定理 DCT	$f_{n} \to f$ a.e.， $∣ f_{n} ∣ \leq g ，$ $\int g < \infty$	$\int f_{n} \to \int f$	第 44 页、第 45 页
有界收敛定理 BCT	$μ (S) < \infty ，$ $∣ f_{n} ∣ \leq M ，$ $f_{n} \to f$ a.e.	$\int f_{n} \to \int f$	第 46 页

人话版它们之间的关系

MCT 是地基；Fatou 引理由 MCT 推出；DCT 由 Fatou 推出；BCT 是 DCT 的特例（常数 $M$ 在有限测度下可积）。所以学习顺序就是证明顺序。

小结本页小结

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
Fatou 引理	Fatou's lemma	非负可测函数列满足 ∫ liminf fₙ ≤ liminf ∫ fₙ（只保证这个方向）。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
有界收敛定理	bounded convergence theorem (BCT)	有限测度上一致有界、几乎处处收敛的函数列，积分收敛；是 DCT 的特例。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
逐点收敛	pointwise convergence	对定义域里的每一个点 x，数列 fₙ(x) 都收敛到 f(x)；这样得到的函数 f 叫逐点极限。
几乎处处	almost everywhere (a.e.)	除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
一致有界	uniformly bounded	存在同一个常数 M，使所有 n、所有点 x 都有 \|fₙ(x)\| ≤ M。「一致」是指一个 M 管住整列函数。