47 板书总结：一页看懂整讲 · 第1讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

这是老师在最后加的手写总结页：整讲就是一条链——先造测度，再造积分，最后得到四个收敛定理。老师给四个定理打了红星，并写下它们是「测度论里最基本的收敛定理」。

这一页没有印刷内容，全部是板书。下面先逐条转写，再把整讲串成一张可以用来复习的总表。

老师板书在说什么

老师板书板书转写（按箭头方向）

$(S, M, μ)$ $⟶$ Lebesgue measure / outer measure
$↓$ Lebesgue integral：indicator $\to$ simple $\to$ nonnegative $\to$ signed integrable.
$⟵$ 方框（左侧打了一颗红星）：MCT, Fatou, DCT, BCT.
方框下 $↓ ：$ basic convergence thm in measure theory.
MCT： $f_{n} ↑ f \Rightarrow \int f_{n} ↑ \int f$

第 1 行：测度空间与勒贝格测度

$(S, M, μ)$ 是一般的测度空间（第 12 页）：空间 $S 、$ σ-代数 $M 、$ 测度 $μ 。$
箭头指向「Lebesgue measure、outer measure」：本讲最重要的具体例子，是用外测度（第 18 页）造出来的勒贝格测度（第 23 页）。

第 2 行：勒贝格积分的四级构造

老师写的 indicator → simple → nonnegative → signed integrable，正是第 4 部分的四级台阶：

级	函数类型	积分的定义	页
1	示性函数 $1_{A}$	$\int 1_{A} d μ = μ (A)$	第 30 页
2	非负简单函数 $s = \sum_{k} a_{k} 1_{A_{k}}$	$\int s d μ = \sum_{k} a_{k} μ (A_{k})$	第 30 页–第 32 页
3	非负可测函数 $f \geq 0$	$\int f d μ = sup {\int s d μ : 0 \leq s \leq f, s 简单}$	第 33 页、第 34 页
4	有正有负的可积函数	$\int f d μ = \int f^{+} d μ - \int f^{-} d μ$	第 33 页、第 43 页

每一级都只用到上一级：示性函数的积分就是测度；简单函数是有限个示性函数的组合；非负函数用下方的简单函数逼近；一般函数拆成正部 $f^{+} = max (f, 0)$ 和负部 $f^{-} = max (- f, 0) 。$

第 3、4 行：打红星的方框

方框里是 MCT、Fatou、DCT、BCT，旁边的红星表示「本讲最重要」。
箭头从积分指向方框：有了积分，才能谈积分的极限。
方框下写着 basic convergence thm in measure theory：它们是测度论里最基本的收敛定理。后面的大数定律、中心极限定理、第 3 讲的 Borel–Cantelli 与各种收敛，都要反复用到它们。

第 5 行：MCT 的一句话版本

f_{n} ↑ f ⟹ \int f_{n} d μ ↑ \int f d μ .

意思：非负函数一节一节往上长（ $f_{1} \leq f_{2} \leq \dots ，$ 并逐点趋于 $f ），$ 那么它们的积分也一节一节往上长，并且趋于 $f$ 的积分。老师单独把 MCT 写出来，因为它是另外三个定理的起点。

整讲复习总表

一条主线

第 1 部分 (Ω, F, P) 的规矩 ⟶ 第 2 、 3 部分 造出勒贝格测度 ⟶ 第 4 部分 勒贝格积分 ⟶ 第 5 部分 MCT / Fatou / DCT / BCT

四个收敛定理对照

定理	需要的条件	结论	条件缺了会怎样
MCT（第 36 页）	$0 \leq f_{n} ↑ f$ 逐点	$\int f_{n} ↑ \int f$ （可以是 $\infty ）$	不单调：尖峰 $n 1_{[0, 1/ n]} ，$ 积分恒为 1 而极限为 0
Fatou（第 41 页）	$f_{n} \geq 0$ 可测	$\int lim inf f_{n} \leq lim inf \int f_{n}$	不等号可以严格（尖峰：左边 0，右边 1）
DCT（第 44 页）	$f_{n} \to f$ a.e.， $∣ f_{n} ∣ \leq g ，$ $\int g < \infty$	$\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0 ，$ $\int f_{n} \to \int f$	没有可积的 $g ：$ 尖峰
BCT（第 46 页）	$μ (S) < \infty ，$ $∣ f_{n} ∣ \leq M ，$ $f_{n} \to f$ a.e.	$\int f_{n} \to \int f$	测度无限： $1_{[n, n + 1]}$ 在 $R$ 上积分恒为 1，极限为 0

动手试一试收敛定理实验台：换一个例子，拖动 n

每个例子都画出 $f_{n}$ （橙色区域，面积就是 $\int f_{n} ）$ 和它的极限（蓝色虚线）。先猜「 $\int f_{n}$ 会不会趋于极限函数的积分」，再拖动滑块验证，最后看下方说明是哪个定理在起作用（或者为什么所有定理都不适用）。

人话版拿到题目时怎么选

函数非负且递增？→ 用 MCT。
只知道非负，要一个方向的不等式？→ 用 Fatou。
能找到一个可积的上界 $g$ 压住所有 $∣ f_{n} ∣ ？$ → 用 DCT。
测度有限（例如概率测度），函数一致有界？→ 用 BCT（DCT 的特例）。

例子

例 1：同一个问题，选对定理

在 $[0, 1]$ 上（勒贝格测度，总质量 1），考虑 $f_{n} (x) = x^{n} 。$

逐点极限： $x \in [0, 1)$ 时 $x^{n} \to 0 ；$ $x = 1$ 时 $x^{n} = 1 。$ 所以 $f_{n} \to f ，$ 其中 $f (1) = 1 ，$ 其余点 $f = 0 ，$ 也就是 $f_{n} \to 0$ 几乎处处。
$f_{n}$ 是递减的，不能直接用 MCT；但 $∣ f_{n} ∣ \leq 1 ，$ 测度有限，BCT 适用：

n \to \infty lim \int_{0}^{1} x^{n} d x = \int_{0}^{1} 0 d x = 0.

直接计算验证： $\int_{0}^{1} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} \to 0 。$ ✓

例 2：MCT 的典型用法

令 $f_{n} (x) = min (n, 1/ x) ，$ $x \in (0, 1] 。$ 它们非负，并且随 $n$ 递增到 $f (x) = 1/ x 。$ MCT 给出

\int_{0}^{1} \frac{d x}{x} = n \to \infty lim \int_{0}^{1} min (n, \frac{1}{x}) d x .

右边每一项都是有界函数的积分： $\int_{0}^{1} min (n, 1/ x) d x = \int_{0}^{1/ n^{2}} n d x + \int_{1/ n^{2}}^{1} x^{- 1/2} d x = \frac{1}{n} + 2 - \frac{2}{n} \to 2 。$ 所以 $\int_{0}^{1} x^{- 1/2} d x = 2 。$ 这就是「无界函数的积分可以用截断再取极限来算」的严格依据。

常见疑问与易错点

易错点问：四个定理里，哪个条件最容易忘？

答：Fatou 和 MCT 都要求非负；DCT 要求控制函数 $g$ 可积（ $\int g < \infty ），$ 只写 $∣ f_{n} ∣ \leq g$ 不够；BCT 要求测度有限。考试时先把这些条件逐条核对一遍。

易错点问：「逐点收敛」和「几乎处处收敛」有什么区别？

答：几乎处处（a.e.）收敛只要求在一个测度为 0 的集合之外逐点收敛。DCT、BCT 只需要 a.e. 收敛，因为零测集上的函数值不影响积分（第 43 页）。

小结与自测

小结本页小结

整讲一条链：测度空间 → 勒贝格测度（外测度）→ 勒贝格积分（示性 → 简单 → 非负 → 可积）→ 四个收敛定理。
红星重点：MCT、Fatou、DCT、BCT 是测度论最基本的收敛定理。
选定理的顺序：递增用 MCT；只要不等式用 Fatou；有可积控制用 DCT；有限测度加一致有界用 BCT。

补充整讲复习清单（逐条能说清楚，就算过关）

概率空间三件套： $Ω 、$ $F 、$ $P$ 各是什么？为什么中间要有一层 $F ？$ （第 3 页、第 9 页、第 10 页）
σ-代数的三条规则：含 $Ω 、$ 对补集封闭、对可数并封闭；由此推出含空集、对可数交封闭（德摩根律）。
测度的规矩： $μ (\emptyset) = 0 、$ 非负、可数可加；由此推出单调性、从下连续、从上连续，以及「从上连续为什么需要 $μ (E_{1}) < \infty 」$ （反例 $[n, \infty) ）。$
为什么要造外测度：有限个区间覆盖不了有理数这类「稀疏但稠密」的集合（有理数的乔丹外容量是 1，外测度却是 0）。
为什么不能给所有子集定义长度：维塔利集 + 可数可加 + 平移不变 ⇒ $1 \leq \sum d \leq 3$ 矛盾。
勒贝格积分的四级台阶：示性 → 简单 → 非负（下方简单函数的上确界）→ 可积（正部减负部）。
二进逼近：任何非负可测函数都是递增简单函数列的极限；会写 $s_{n}$ 的公式。
四个收敛定理：能背出条件与结论，能各举一个「条件不满足时结论失败」的反例。

自测

1. 在 $[0, 1]$ 上， $f_{n} = 1_{[0, 1/ n]} 。$ $\int f_{n} \to ?$ 该用哪个定理说明？

点开看答案

$f_{n} \to 0$ 几乎处处（除了 $x = 0 ），$ 且 $0 \leq f_{n} \leq 1 ，$ 测度有限，用 BCT（或 DCT， $g \equiv 1$ 可积）： $\int f_{n} \to 0 。$ 直接算也有 $\int f_{n} = 1/ n \to 0 。$

2. 为什么尖峰 $f_{n} = n 1_{[0, 1/ n]}$ 不能用 DCT？

点开看答案

能压住所有 $f_{n}$ 的函数至少要满足 $g (x) \geq sup_{n} f_{n} (x) 。$ 在 $(\frac{1}{k + 1}, \frac{1}{k}]$ 上， $sup_{n} f_{n} (x) = k ，$ 于是 $\int g \geq \sum_{k} k (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}) = \sum_{k} \frac{1}{k + 1} = \infty 。$ 不存在可积的控制函数，DCT 不适用。

3. 在 $R$ （勒贝格测度）上， $f_{n} = 1_{[n, n + 1]} 。$ 逐点极限是什么？ $\int f_{n}$ 的极限是什么？BCT 为什么不适用？

点开看答案

每个固定的 $x ，$ 当 $n > x$ 时 $f_{n} (x) = 0 ，$ 所以逐点极限是 0；但 $\int f_{n} = 1$ 恒成立，极限是 1。BCT 要求 $μ (S) < \infty ，$ 而 $R$ 的勒贝格测度是 $\infty ，$ 所以不适用。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
有界收敛定理	bounded convergence theorem (BCT)	有限测度上一致有界、几乎处处收敛的函数列，积分收敛；是 DCT 的特例。
测度空间	measure space	三元组 (S, 𝓜, μ)：空间、σ-代数、测度。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
外测度	outer measure	用可数个区间覆盖集合，所有覆盖总长度的下确界 m*(E)；对每个子集都有定义。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
示性函数	indicator function	𝟏_A(x) 在 x ∈ A 时取 1，否则取 0；它的积分就是 A 的测度。
简单函数	simple function	只取有限个值的可测函数，是若干示性函数的线性组合，图像像台阶。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
正部	positive / negative part	f⁺ = max(f, 0)，f⁻ = max(−f, 0)，f = f⁺ − f⁻，\|f\| = f⁺ + f⁻。
中心极限定理	central limit theorem (CLT)	独立同分布、方差 σ² 有限时，(Sₙ − nμ)/(σ√n) 依分布收敛到标准正态分布：大量独立小误差之和近似正态。
几乎处处	almost everywhere (a.e.)	除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
一致有界	uniformly bounded	存在同一个常数 M，使所有 n、所有点 x 都有 \|fₙ(x)\| ≤ M。「一致」是指一个 M 管住整列函数。
逐点收敛	pointwise convergence	对定义域里的每一个点 x，数列 fₙ(x) 都收敛到 f(x)；这样得到的函数 f 叫逐点极限。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
勒贝格积分	Lebesgue integral	按函数值分块的积分：先定义简单函数的积分，再用下方的简单函数逼近取上确界。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
德摩根律	De Morgan's laws	「并的补 = 补的交」「交的补 = 补的并」，把「非（A 或 B）」变成「非 A 且非 B」。
空集	empty set	一个元素也没有的集合，记作 ∅。作为事件，它永远不会发生。
补集	complement	样本空间里不属于 A 的元素全体，记作 Aᶜ，对应「A 不发生」。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
可数可加性	countable additivity	两两不交的可数个集合，并集的测度等于各自测度之和。
从下连续	continuity from below	集合一层层变大（Eₙ ↑ E）时，测度也跟着收敛：μ(Eₙ) → μ(E)。
从上连续	continuity from above	集合一层层变小（Eₙ ↓ E）且 μ(E₁) < ∞ 时，μ(Eₙ) → μ(E)。
有理数	rational number	能写成分数 p/q 的数，全体有理数记作 ℚ；它们可数，却在数轴上处处稠密。
稠密	dense	任何一小段区间里都能找到它的点，例如有理数在实数轴上稠密。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
子集	subset	A 的每个元素都在 B 里，就说 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
维塔利集	Vitali set	用选择公理造出的「坏」集合，证明了不可能给 ℝ 的所有子集定义长度。
平移不变性	translation invariance	把集合整体平移，测度不变：μ(E + t) = μ(E)。长度就有这个性质。
上确界	supremum (sup)	最小的上界。最大值不一定存在，但有上界的实数集一定有上确界。