11 逐点收敛的非负函数：三种附加条件下，积分是否跟着收敛 · 作业1

这道题在问什么

人话版一句话版

$f_{n} \to f$ 逐点收敛，积分不一定跟着收敛：质量可能「越来越窄、越来越高」地挤在一个点附近，最后在极限里消失。Fatou 引理说积分只会在极限处变小： $\int f \leq lim inf \int f_{n} 。$ 所以真正的危险是 $\int f_{n}$ 太大。三个附加条件里，只有 (iii)「 $f_{n} \leq f 」$ 从上面把 $\int f_{n}$ 压住了，因此只有 (iii) 成立；(i)、(ii) 都可以举出反例。

考点：Fatou 引理（第 1 讲第 41 页）、单调收敛定理 MCT（第 36 页）、控制收敛定理 DCT（第 44 页）各自的条件；尖峰反例（第 39 页）。
题型：判断题。「成立」要给证明，「不成立」要给一个具体反例，并逐条验证反例满足题目的全部条件。
和其他题的关系：第 10 题是推广的 DCT：控制函数也可以随 $n$ 变。本题 (iii) 是另一种推广：控制函数 $f$ 甚至可以不可积。

先补基础

基础补课三个收敛定理各要什么条件

设 $f_{n} \geq 0$ 可测， $f_{n} \to f$ 逐点。

Fatou 引理（第 41 页）：没有额外条件，总有 $\int lim inf_{n} f_{n} \leq lim inf_{n} \int f_{n} 。$ 逐点收敛时 $lim inf_{n} f_{n} = f ，$ 所以 $\int f \leq lim inf_{n} \int f_{n} 。$
MCT（第 36 页）： $0 \leq f_{1} \leq f_{2} \leq \dots$ 递增，则 $\int f_{n} \to \int f$ （允许 $= \infty ）。$
DCT（第 44 页）：存在可积的 $g$ 使 $∣ f_{n} ∣ \leq g ，$ 则 $\int f_{n} \to \int f 。$

记忆方法：Fatou 只给下界。要得到收敛，还需要一个上界：MCT 用的是「 $f_{n} \leq f 」$ （递增序列自动满足），DCT 用的是「 $f_{n} \leq g$ 且 $\int g < \infty 」。$

基础补课非负函数积分的单调性与 ∞

$0 \leq u \leq v$ 处处成立，则 $\int u \leq \int v$ （第 1 讲第 33 页）。
非负函数的积分可以是 $+ \infty 。$ 例： $\int_{0}^{1} \frac{1}{x} d x = \infty ，$ 因为对任何 $ε \in (0, 1) ，$ $\int_{ε}^{1} \frac{1}{x} d x = ln \frac{1}{ε} ，$ $ε \to 0$ 时趋于 $\infty 。$
「 $\int f_{n} \to \int f 」$ 也允许两边都是 $\infty ：$ 例如 $\int f_{n} \to \infty = \int f$ 也算收敛。

基础补课尖峰：逐点趋于 0，积分却始终是 1

$h_{n} = n 1_{(0, 1/ n)}$ 是一个宽 $\frac{1}{n} 、$ 高 $n$ 的矩形，面积 $\int h_{n} = 1 。$ 对每个固定的 $x \in (0, 1] ，$ 只要 $n > \frac{1}{x} ，$ $x$ 就不在 $(0, \frac{1}{n})$ 里， $h_{n} (x) = 0 ；$ 在 $x = 0$ 处 $h_{n} (0) = 0$ （开区间不含 0）。所以 $h_{n} \to 0$ 逐点，但 $\int h_{n} = 1 \neq \to 0$ （第 1 讲第 39 页）。质量全部挤向 $x = 0 ，$ 在极限里「消失」了。

题目与原解答

课件原文题目

Let $f$ and $f_{n}$ , $n = 1, 2, \dots$ , be non-negative measurable functions on $[0, 1]$ such that $f_{n} \to f$ pointwise. Under each of the following additional assumptions, either prove that $\int_{[0, 1]} f d μ \to \int_{[0, 1]} f d μ$ or given a counter example to show that this is not generally true.

(i) $f_{n} \geq f$ and $\int_{[0, 1]} ∣ f_{n} ∣ d μ < \infty$ for all $n$ .

(ii) $f_{n} \geq f_{n + 1}$ for all $n$ .

(iii) $f_{n} \leq f$ for all $n$ .

中文翻译

设 $f$ 和 $f_{n}$ （ $n = 1, 2, \dots ）$ 是 $[0, 1]$ 上的非负可测函数， $f_{n} \to f$ 逐点成立。在下列每个附加条件下，或者证明 $\int_{[0, 1]} f_{n} d μ \to \int_{[0, 1]} f d μ ，$ 或者举出反例说明这一般不成立。

(i) 对所有 $n ，$ $f_{n} \geq f$ 且 $\int_{[0, 1]} ∣ f_{n} ∣ d μ < \infty 。$

(ii) 对所有 $n ，$ $f_{n} \geq f_{n + 1}$ （递减）。

(iii) 对所有 $n ，$ $f_{n} \leq f 。$

原题的「prove that $\int f d μ \to \int f d μ 」$ 是笔误，应为 $\int f_{n} d μ \to \int f d μ ；$ 「given」应为「give」。
$μ$ 是 $[0, 1]$ 上的 Lebesgue 测度。

原解答的思路（左栏）：(i) 不成立，反例 $f_{n} = n 1_{(0, 1/ n)} 、$ $f = 0 。$ (ii) 不成立，反例 $f_{n} (x) = \frac{1}{n x} 、$ $f = 0$ （每个 $\int f_{n} = \infty ）。$ (iii) 成立：由 $f_{n} \leq f$ 得 $lim sup \int f_{n} \leq \int f ，$ 由 Fatou 得 $\int f \leq lim inf \int f_{n} 。$ 三问的结论都对；(ii) 的反例在 $x = 0$ 处需要补一个定义，(iii) 少了最后一句结论。

思路：怎么想到的

先问 Fatou 给了什么：任何情况下都有 $\int f \leq lim inf \int f_{n} 。$ 所以只需检查：附加条件能不能挡住 $\int f_{n}$ 偏大。
(i)： $f_{n} \geq f$ 是下界，和 Fatou 同一个方向，挡不住 $\int f_{n}$ 偏大。「每个 $\int f_{n}$ 有限」也挡不住：尖峰的积分始终是 1，有限但不趋于 0。
(ii)：递减的 $f_{n}$ 若有一个 $\int f_{N} < \infty ，$ 那么 $f_{N}$ 就是可积的控制函数，DCT 给出收敛。所以反例必须让每个 $\int f_{n} = \infty ，$ 而极限 $f$ 的积分有限。 $\frac{1}{n x}$ 正好如此：在 $0$ 附近不可积，乘上 $\frac{1}{n}$ 也救不回来。
(iii)： $f_{n} \leq f$ 是上界，与 Fatou 的下界合起来夹住 $\int f_{n} 。$

图解：积分从哪一边「漏掉」

（描述）把 $\int f_{n}$ 画成数轴上的一列点，把 $\int f$ 画成一个固定点。

Fatou：这列点最终不会明显落到 $\int f$ 左边（ $lim inf \int f_{n} \geq \int f ）。$
(iii) 的条件 $f_{n} \leq f ：$ 每个点都在 $\int f$ 左边或正好在上面。左右两边都被挡住，点列只能收敛到 $\int f 。$
(i)、(ii)：点可以一直停在 $\int f$ 右边。(i) 的尖峰停在 1，而 $\int f = 0 ；$ (ii) 的点停在 $\infty ，$ 而 $\int f = 0 。$

完整解答

(i) 不成立。 取 $f = 0 ，$ $f_{n} = n 1_{(0, 1/ n)} 。$ 逐条验证：

非负可测： $f_{n}$ 是可测集的示性函数乘以常数。
$f_{n} \to f$ 逐点：见「先补基础」的尖峰。
$f_{n} \geq f = 0 ；$ $\int ∣ f_{n} ∣ = n \cdot \frac{1}{n} = 1 < \infty 。$
结论不成立： $\int f_{n} = 1$ 对所有 $n$ 成立，而 $\int f = 0 。$

(ii) 不成立。 取 $f = 0 ，$ $f_{n} (x) = \frac{1}{n x}$ （ $0 < x \leq 1 ），$ $f_{n} (0) = 0 。$ 逐条验证：

非负可测：在 $(0, 1]$ 上连续，在单点 $0$ 处取 0。
递减： $\frac{1}{n x} \geq \frac{1}{( n + 1 ) x} ；$ 在 $0$ 处都是 0。
$f_{n} \to 0$ 逐点：固定 $x \in (0, 1] ，$ $\frac{1}{n x} \to 0 ；$ $x = 0$ 处恒为 0。
结论不成立： $\int f_{n} = \frac{1}{n} \int_{0}^{1} \frac{1}{x} d x = \infty$ 对所有 $n$ 成立，而 $\int f = 0 。$

(iii) 成立。 设 $0 \leq f_{n} \leq f$ 且 $f_{n} \to f$ 逐点。

上界：由积分的单调性， $\int f_{n} \leq \int f$ 对每个 $n$ 成立，所以 $lim sup_{n} \int f_{n} \leq \int f 。$
下界： $f_{n} \to f$ 逐点，所以 $lim inf_{n} f_{n} = f 。$ 由 Fatou 引理， $\int f = \int lim inf_{n} f_{n} \leq lim inf_{n} \int f_{n} 。$
合起来： $\int f \leq lim inf_{n} \int f_{n} \leq lim sup_{n} \int f_{n} \leq \int f ，$ 四个量全相等，所以 $lim_{n} \int f_{n}$ 存在且等于 $\int f 。$
这里允许 $\int f = \infty ：$ 此时由下界， $lim inf \int f_{n} \geq \infty ，$ 即 $\int f_{n} \to \infty = \int f 。$ $■$

原解答逐行对照

「(i) False: $f_{n} (x) = n 1_{(0, 1/ n)}$ and $f = 0$ .」：反例正确。最好写出验证：逐点收敛（ $x = 0$ 处用到开区间）、 $f_{n} \geq f 、$ $\int f_{n} = 1 。$
「(ii) False: $f_{n} (x) = \frac{1}{n x}$ and $f = 0$ . (Note that $\int_{0}^{1} f_{n} d μ = \infty$ for all $n$ .)」：意思是「(ii) 错误：取 $f_{n} (x) = \frac{1}{n x} 、$ $f = 0 。$ （注意对所有 $n ，$ $\int_{0}^{1} f_{n} d μ = \infty 。）」$ 反例的思路正确。小问题： $\frac{1}{n \cdot 0}$ 没有定义。若约定 $f_{n} (0) = + \infty ，$ 则 $f_{n} (0) \neq \to 0 = f (0) ，$ 「逐点收敛」在 $x = 0$ 处失败。所以应规定 $f_{n} (0) = 0$ （或任何趋于 $f (0)$ 的值）。单点是零测集，不影响积分。
「(iii) True. $f$ might not be integrable, DCT is not applicable.」：意思是「(iii) 正确。 $f$ 可能不可积，所以不能用 DCT」。正确而且重要。若 $\int f < \infty ，$ $f$ 就是可积的控制函数，直接用 DCT；但题目没有保证这一点。
「we can compute that $\int f_{n} \leq \int f$ , then $lim sup_{n} \int f_{n} \leq \int f 」$ ：意思是「可以算出 $\int f_{n} \leq \int f ，$ 于是 $lim sup_{n} \int f_{n} \leq \int f 」。$ 正确（积分的单调性）。
「Moreover, by Fatou's Lemma $\int f = \int lim inf f_{n} \leq lim inf \int f_{n} 」$ ：意思是「另外，由 Fatou 引理， $\int f = \int lim inf f_{n} \leq lim inf \int f_{n} 」。$ 正确，用到 $lim inf f_{n} = f$ （逐点收敛）。
缺的一句：应写出「所以 $lim inf = lim sup = \int f ，$ $\int f_{n} \to \int f 」，$ 并指出 $\int f = \infty$ 时同样成立。

易错点原解答的小问题

题目里「 $\int f d μ \to \int f d μ 」$ 是笔误，应为 $\int f_{n} \to \int f 。$
(ii) 的反例在 $x = 0$ 处没有定义，要补上 $f_{n} (0) = 0 。$
(iii) 最后没有写出结论，也没有说明 $\int f = \infty$ 的情形。

例子与数值验证

例 1：(ii) 的积分真的是 ∞

截掉 $0$ 附近： $\int_{ε}^{1} \frac{1}{n x} d x = \frac{1}{n} ln \frac{1}{ε} 。$ $n = 100$ 时： $ε = 1 0^{- 3}$ 得 $0.069 ，$ $ε = 1 0^{- 9}$ 得 $0.207 ，$ $ε = 1 0^{- 100}$ 得 $2.30 。$ $ε \to 0$ 时趋于 $\infty ，$ 增长极慢，但没有上界。所以无论 $n$ 多大， $\int f_{n} = \infty 。$

例 2：(ii) 加上 ∫f₁ < ∞ 就成立

$f_{n} (x) = \frac{x}{n} ：$ 递减， $\to 0$ 逐点， $\int f_{1} = \frac{1}{2} < \infty 。$ $0 \leq f_{n} \leq f_{1} ，$ $f_{1}$ 可积，DCT 给出 $\int f_{n} = \frac{1}{2 n} \to 0 。$ 一般地，递减序列只要某一个 $\int f_{N} < \infty$ 就成立（从第 $N$ 项起用 $f_{N}$ 作控制函数）。所以 (ii) 的反例必须让每个 $\int f_{n} = \infty 。$

例 3：(iii) 中 ∫f = ∞ 的情形

$f (x) = \frac{1}{x}$ （ $f (0) = 0 ），$ $f_{n} = min (f, n) 。$ $0 \leq f_{n} \leq f ，$ $f_{n} ↑ f$ 逐点。计算：

\int f_{n} = \int_{0}^{1/ n} n d x + \int_{1/ n}^{1} \frac{1}{x} d x = 1 + ln n .

$n = 10, 100, 1000$ 时分别是 $3.30 、$ $5.61 、$ $7.91 ，$ 趋于 $\infty = \int f 。$ DCT 用不了（ $f$ 不可积），但 (iii) 的结论照样成立。

例 4：(iii) 不要求单调

$f \equiv 1 ，$ $f_{n} = 1 - 1_{(\frac{1}{n + 1}, \frac{1}{n})} ：$ 在一个越来越窄、向 0 移动的小区间上挖掉。每个 $x$ 至多被挖一次，所以 $f_{n} (x) \to 1$ 逐点，但对固定的 $x ，$ $f_{n} (x)$ 不单调（先是 1，某一步变成 0，再变回 1），MCT 用不上。 $f_{n} \leq f ，$ 所以 (iii) 适用： $\int f_{n} = 1 - (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) ，$ $n = 1, 2, 5, 10$ 时为 $0.5 、$ $0.833 、$ $0.967 、$ $0.991 ，$ 趋于 $1 = \int f 。$

拓展延伸

统一的观点：Fatou + 上界 = 收敛

三个经典定理可以统一地看成「Fatou 给下界，再找一个上界」：

MCT： $f_{n} ↑ f$ 自动满足 $f_{n} \leq f ，$ 是 (iii) 的特例。
DCT：对 $g - f_{n} \geq 0$ 和 $g + f_{n} \geq 0$ 各用一次 Fatou（第 10 题的写法），需要 $\int g < \infty$ 才能把 $\int g$ 从两边消掉。
(iii)：上界直接来自 $f_{n} \leq f ，$ 所以 $f$ 不可积也没关系。

反过来，(i)、(ii) 失败的原因都是：附加条件只提供下界（(ii) 中递减也意味着 $f_{n} \geq f ），$ 与 Fatou 同方向，没有上界。

递减序列的单调收敛定理

若 $f_{1} \geq f_{2} \geq \dots \geq 0 、$ $f_{n} \to f ，$ 且 $\int f_{1} < \infty ，$ 则 $\int f_{n} \to \int f 。$ 证明： $f_{1} - f_{n} \geq 0$ 递增到 $f_{1} - f ，$ 对它用 MCT，得 $\int (f_{1} - f_{n}) \to \int (f_{1} - f) ；$ 因为 $\int f_{1} < \infty ，$ 两边可以减去 $\int f_{1} 。$ (ii) 的反例说明，条件「 $\int f_{1} < \infty 」$ 不能去掉：没有它，就会出现「 $\infty - \infty 」。$

(i) 加什么条件就成立：Scheffé 引理

(i) 的情形下，Fatou 已给出 $\int f \leq lim inf \int f_{n} 。$ 如果再知道 $\int f_{n} \to \int f < \infty ，$ 能推出更强的 $\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0 ：$ 这就是 Scheffé 引理（第 3 讲第 22 页）。在 (i) 的条件 $f_{n} \geq f$ 下，这一步只要一行（ $∣ f_{n} - f ∣ = f_{n} - f ，$ 再用 $\int f < \infty$ 把积分拆开）： $\int ∣ f_{n} - f ∣ = \int (f_{n} - f) = \int f_{n} - \int f \to 0 。$

概率里的对应：期望不一定随随机变量收敛

把 $[0, 1]$ 看成概率空间， $f_{n}$ 看成随机变量 $X_{n} ：$ (i) 的尖峰就是 $X_{n} = n 1_{{U < 1/ n}}$ （ $U$ 是均匀分布）， $X_{n} \to 0$ 几乎必然，但 $E X_{n} = 1$ （第 3 讲第 19 页）。概率论中保证 $E X_{n} \to E X$ 的标准条件是一致可积；有界、被可积变量控制、 $sup_{n} E X_{n}^{2} < \infty$ 都是它的充分条件。

常见疑问与易错点

易错点问：(iii) 为什么不能直接用 DCT？

答：DCT 要求控制函数可积。 $f$ 可能不可积（例 3： $f = \frac{1}{x} ），$ 这时 DCT 不适用，只能用 Fatou + 单调性。 $\int f < \infty$ 时两种方法都可以。

易错点问：(i) 的条件「∫|fₙ| < ∞」难道没用？

答：它保证每个 $\int f_{n}$ 是有限数，但不能阻止它们一直比 $\int f$ 大一截。尖峰的积分始终等于 1：有限，但不趋于 0。要阻止这种情况，需要「同一个」可积函数控制所有 $f_{n}$ （DCT），或一致可积。

易错点问：反例是不是越简单越好？

答：是，但必须逐条验证题目的全部条件：非负、可测、逐点收敛（包括端点 $x = 0 ）、$ 附加条件。原解答 (ii) 的反例就在 $x = 0$ 处漏了定义。

小结与自测

小结本题小结

Fatou 永远给出下界 $\int f \leq lim inf \int f_{n} ；$ 收敛与否取决于有没有上界。
(i) 不成立：尖峰 $n 1_{(0, 1/ n)} ，$ 积分恒为 1。
(ii) 不成立： $\frac{1}{n x}$ （规定 $f_{n} (0) = 0 ），$ 积分恒为 $\infty 。$ 反例必须让每个 $\int f_{n} = \infty 。$
(iii) 成立： $\int f_{n} \leq \int f$ （上界）加 Fatou（下界）， $\int f = \infty$ 也成立，不需要 $f$ 可积，不需要单调。

自测

1. 在 (ii) 的条件下再加上 $\int f_{5} < \infty 。$ $\int f_{n} \to \int f$ 是否成立？

点开看答案

成立。 $n \geq 5$ 时 $0 \leq f_{n} \leq f_{5} ，$ $f_{5}$ 可积，由 DCT（或递减版本的 MCT）， $\int f_{n} \to \int f 。$ 前面有限项不影响极限。

2. 举一个满足 $f_{n} \geq f 、$ $\int f_{n} < \infty 、$ $f_{n} \to f$ 逐点，且 $\int f_{n} \to \infty$ 的例子。

点开看答案

$f = 0 ，$ $f_{n} = n^{2} 1_{(0, 1/ n)} ：$ 逐点趋于 0， $\int f_{n} = n \to \infty 。$

3. 设 $0 \leq f_{n} \leq f ，$ $f_{n} \to f$ 逐点， $\int f = 5 。$ $\int f_{n}$ 的极限是多少？若只知道 $f_{n} \geq f$ 呢？

点开看答案

前者：由 (iii)，极限是 5。后者：只能由 Fatou 得 $lim inf \int f_{n} \geq 5 ，$ 极限可能不存在，也可能大于 5（在 $f$ 上叠加一个尖峰即可）。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
Fatou 引理	Fatou's lemma	非负可测函数列满足 ∫ liminf fₙ ≤ liminf ∫ fₙ（只保证这个方向）。
逐点收敛	pointwise convergence	对定义域里的每一个点 x，数列 fₙ(x) 都收敛到 f(x)；这样得到的函数 f 叫逐点极限。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
下界	lower bound	数集 A 的下界是一个数 m，A 里每个数都 ≥ m。例如 0 和 −3 都是 (0,1] 的下界；所有下界中最大的那个叫下确界。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
示性函数	indicator function	𝟏_A(x) 在 x ∈ A 时取 1，否则取 0；它的积分就是 A 的测度。
可测集	measurable set	σ-代数里的集合，也就是可以谈「测度多大」的集合；在概率空间里，可测集就叫事件。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
Scheffé 引理	Scheffé's lemma	非负可积的 fₙ → f 几乎处处，且 ∫fₙ → ∫f < ∞，则 ∫\|fₙ − f\| → 0。概率密度逐点收敛，分布就在全变差意义下收敛。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
一致可积	uniformly integrable (UI)	一族随机变量的尾部期望一致地变小：supₜ E[\|Xₜ\|; \|Xₜ\| > λ] → 0（λ → ∞）。它是「依概率收敛 ⇒ 期望收敛」的关键条件。