32 简单函数积分的线性与单调性 · 第1讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

简单函数的积分满足两条「好用的规则」：可以拆开算（线性： $\int (α s + βt) = α \int s + β \int t ），$ 函数大的积分也大（单调： $s \leq t \Rightarrow \int s \leq \int t ）。$ 有了这两条，简单函数的积分理论就完整了，下一步就能推广到一般函数。

前两页：第 30 页定义了简单积分，第 31 页证明了它和写法无关。
本页（命题 26）证明两条运算规则。证明的核心技巧是公共加细：把 $s$ 和 $t$ 放到同一套小块 $A_{i} \cap B_{j}$ 上，每块上两个函数都是常数，于是一切都变成有限个数的加法和比大小。
板书最后一句是本讲的转折点：简单函数的积分已经搭好了，那么一般的函数 $f$ 怎么办？下一页第 33 页用「从下方逼近」来回答，而那里要用到本页的单调性。
概率意义：这就是期望的线性 $E [α X + β Y] = α E X + β E Y$ 和单调性 $X \leq Y \Rightarrow E X \leq E Y$ （目前先对只取有限个值的非负随机变量成立）。

先补基础

基础补课逐点比较 s ≤ t

$s \leq t$ 的意思是对每一个点 $x \in S ，$ 都有 $s (x) \leq t (x) ，$ 也就是 $s$ 的图像处处不高于 $t$ 的图像。
它不是「 $\int s \leq \int t 」，$ 也不是「大部分点上 $s \leq t 」。$
例： $s = 1_{[0, 1]} ，$ $t = 2 \cdot 1_{[0, 2]} 。$ 在 $[0, 1]$ 上 $1 \leq 2 ，$ 在 $(1, 2]$ 上 $0 \leq 2 ，$ 其余地方 $0 \leq 0 ，$ 所以 $s \leq t 。$

基础补课线性组合 αs + βt

$α s + βt$ 是一个新函数，在点 $x$ 的值是 $α s (x) + βt (x)$ （逐点运算，见第 30 页）。
$α, β$ 是常数（希腊字母，读作「阿尔法」「贝塔」）。本页要求 $α, β \geq 0 。$
例： $s = 1_{[0, 1]} ，$ $t = 1_{[1, 2]} ，$ $α = 3 ，$ $β = 2 ，$ 则 $3 s + 2 t$ 在 $[0, 1)$ 上是 3，在点 $1$ 处是 $3 + 2 = 5 ，$ 在 $(1, 2]$ 上是 2，其余是 0。

基础补课公共加细（回顾第 31 页）

若 ${A_{i}}_{i = 1}^{p}$ 和 ${B_{j}}_{j = 1}^{q}$ 都是 $S$ 的可测分割，那么所有的交 $C_{ij} = A_{i} \cap B_{j}$ 也组成 $S$ 的一个可测分割，叫两者的公共加细。
为什么是分割：每个点 $x$ 恰好落在一个 $A_{i}$ 和一个 $B_{j}$ 里，于是恰好落在一个 $C_{ij}$ 里。
为什么可测： $A_{i} 、$ $B_{j}$ 可测，σ-代数对交集封闭。
为什么有用： $s$ 在 $A_{i}$ 上是常数， $t$ 在 $B_{j}$ 上是常数，于是在 $C_{ij}$ 上两个函数同时是常数。

基础补课在 [0, ∞] 中的运算规则

对 $[0, \infty]$ 中的数（约定 $0 \cdot \infty = 0 ），$ 下面的规则都成立，证明中会反复使用：

加法交换律、结合律；有限个非负项可以任意调换求和顺序；
分配律 $(x + y) c = x c + yc ，$ $α (x + y) = αx + α y ；$
若 $x \leq y ，$ 则 $x c \leq yc$ （ $c \geq 0 ），$ 且 $x + z \leq y + z 。$

逐一核对含 $\infty$ 的情况即可，例如 $(x + y) \cdot \infty ：$ 若 $x + y > 0 ，$ 则 $x, y$ 至少有一个 $> 0 ，$ 两边都是 $\infty ；$ 若 $x = y = 0 ，$ 两边都是 $0 。$

课件原文逐句精读

课件原文Proposition 26

For nonnegative simple $s, t$ and $α, β \geq 0$ ,

\int (α s + βt) d μ = α \int s d μ + β \int t d μ .

If $s \leq t$ , then $\int s d μ \leq \int t d μ$ .

中文翻译

命题 26 对非负简单函数 $s, t$ 和常数 $α, β \geq 0 ，$ 有

\int (α s + βt) d μ = α \int s d μ + β \int t d μ .

若 $s \leq t ，$ 则 $\int s d μ \leq \int t d μ 。$

Linearity and monotonicity for simple functions｜简单函数的线性与单调性

第一句：线性（linearity）。

等式左边：先把两个函数按比例混合成 $α s + βt ，$ 再积分。
等式右边：先分别积分，再按同样的比例混合。
意思是「积分和线性组合可以交换顺序」。
隐含的一点：左边要有意义， $α s + βt$ 必须也是非负简单函数。这一点要在证明里验证（见「推导」第 1 步）。
为什么要 $α, β \geq 0 ：$ 保证 $α s + βt \geq 0 ，$ 而且右边只做加法，不会出现 $\infty - \infty 。$ 反例见下面「常见疑问」。

第二句：单调性（monotonicity）。

函数逐点更小，积分就更小（或相等）。形象地说：一块面积完全装在另一块面积里面，它就不可能比外面那块大。
这条性质看起来理所当然，但下一页的定义完全依赖它：第 33 页把一般函数的积分定义为「所有在它下面的简单函数的积分的上确界」，要保证这个新定义用在简单函数上时和旧定义一致，靠的就是单调性。

命题 26（简单积分的线性与单调性）

设 $s, t$ 是非负简单函数， $α, β \geq 0 。$ 则 $α s + βt$ 也是非负简单函数，并且

\int (α s + βt) d μ = α \int s d μ + β \int t d μ .

若对每个 $x \in S$ 都有 $s (x) \leq t (x) ，$ 则 $\int s d μ \leq \int t d μ 。$

老师板书在说什么

老师板书板书转写（按从上到下的顺序）

把 nonnegative simple $s, t$ 圈了出来。
在线性等式 $\int (α s + βt) d μ = α \int s d μ + β \int t d μ$ 下面画了一条长线。
$s = \sum a_{i} 1_{A_{j}}$ 　 $t = \sum b_{j} 1_{B_{j}}$ .（第一个式子的下标写成了 $A_{j} ，$ 应为 $A_{i} 。）$
Simple → Lebesgue integral, how about general function $f$ . ?

第 1 条：圈出「非负简单」，提醒这一页的结论只对非负简单函数证明。对一般非负可测函数，线性要到第 38 页借助单调收敛定理才能证明。

第 2 条：线性是本页的核心结论，后面反复要用。

第 3 条：证明的第一步——把两个函数分别写成分割表示（例如标准表示）：

s = i = 1 \sum p a_{i} 1_{A_{i}}, t = j = 1 \sum q b_{j} 1_{B_{j}} .

老师的笔误：板书把第一个式子写成了 $\sum a_{i} 1_{A_{j}} ，$ 系数的下标是 $i ，$ 集合的下标却是 $j 。$ 求和变量只有一个，两处下标必须一致，应为 $\sum_{i} a_{i} 1_{A_{i}} 。$ 老师在板书上只写到这一步，完整的证明在下面「推导」一节补全。

第 4 条：这是承上启下的一句。「Simple → Lebesgue integral」：对简单函数，我们已经有了完整的勒贝格积分（定义、良定义、线性、单调）。「how about general function $f$ ?」：对一般的函数，比如 $f (x) = x^{2} ，$ 它取无穷多个值，没有标准表示，公式 $\sum a_{k} μ (A_{k})$ 用不上，怎么办？下一页第 33 页的答案是：用所有「垫在 $f$ 下面」的简单函数去逼近 $f ，$ 取它们积分的上确界。

例子

例 1：两颗骰子点数之和的期望——线性省掉一大半计算

掷两颗均匀骰子， $S = {(i, j) : i, j = 1, \dots, 6} ，$ 每个结果的概率 $\frac{1}{36} 。$ $X (i, j) = i$ （第一颗的点数）， $Y (i, j) = j$ （第二颗的点数），它们都是非负简单函数。

用线性： $\int X d P = \frac{1 + 2 + \dots + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5 ，$ 同理 $\int Y d P = 3.5 ，$ 所以

\int (X + Y) d P = 3.5 + 3.5 = 7.

直接按定义算： $X + Y$ 取值 $2, 3, \dots, 12 ，$ $P (X + Y = k) = \frac{6 - ∣ k - 7∣}{36}$ （例如和为 7 有 6 种： $(1, 6), (2, 5), \dots, (6, 1) ）。$ 于是

\int (X + Y) d P = \frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 4 + 6 \cdot 5 + 7 \cdot 6 + 8 \cdot 5 + 9 \cdot 4 + 10 \cdot 3 + 11 \cdot 2 + 12 \cdot 1}{36} = \frac{252}{36} = 7.

两种方法结果相同，但线性法省去了求 $X + Y$ 分布的麻烦。

例 2：集合重叠也没关系

在 $(R, B, Leb)$ 上， $s = 1_{[0, 2]} ，$ $t = 1_{[1, 3]} 。$ 由线性（ $α = β = 1 ）$ 和推论 24：

\int (1_{[0, 2]} + 1_{[1, 3]}) d Leb = Leb ([0, 2]) + Leb ([1, 3]) = 2 + 2 = 4.

第 30 页自测第 1 题用标准表示算出的也是 4。线性让我们对重叠的集合也能「分别算、再相加」，这是命题 25 做不到的（见第 31 页的反例）。

更一般地，对任意可测集 $C_{1}, \dots, C_{m}$ （可以重叠）和 $c_{1}, \dots, c_{m} \geq 0 ，$ 反复使用线性再用推论 24，得到

\int (i = 1 \sum m c_{i} 1_{C_{i}}) d μ = i = 1 \sum m c_{i} μ (C_{i}) .

例 3：用线性证明「容斥公式」

设 $A, B \in S 。$ 先验证函数等式 $1_{A \cup B} + 1_{A \cap B} = 1_{A} + 1_{B} ，$ 逐点分四种情况：

$x$ 的位置	$1_{A \cup B} + 1_{A \cap B}$	$1_{A} + 1_{B}$
同时在 $A$ 和 $B$ 中	$1 + 1 = 2$	$1 + 1 = 2$
只在 $A$ 中	$1 + 0 = 1$	$1 + 0 = 1$
只在 $B$ 中	$1 + 0 = 1$	$0 + 1 = 1$
都不在	$0 + 0 = 0$	$0 + 0 = 0$

两边在每个点都相等。对两边积分，用线性和推论 24：

μ (A \cup B) + μ (A \cap B) = μ (A) + μ (B) .

当 $μ (A \cap B) < \infty$ 时移项，就是熟悉的 $μ (A \cup B) = μ (A) + μ (B) - μ (A \cap B) 。$

例 4：单调性的一个直接推论——测度的单调性

若 $A \subseteq B$ 都可测，则每个点上 $1_{A} \leq 1_{B}$ （在 $A$ 里两者都是 1；在 $B ∖ A$ 里是 $0 \leq 1 ；$ 在 $B$ 外都是 0）。由单调性和推论 24， $μ (A) = \int 1_{A} d μ \leq \int 1_{B} d μ = μ (B) 。$ 概率版本：事件越大，概率越大。

例 5：「示性函数计数法」——正面次数的期望

抛三次均匀硬币， $S$ 是 8 个等可能的结果（如 HHT）。令 $H_{k}$ 为「第 $k$ 次是正面」这个事件， $P (H_{k}) = \frac{1}{2} 。$ 正面总次数可以写成

N = 1_{H_{1}} + 1_{H_{2}} + 1_{H_{3}}

（每次正面贡献一个 1）。由线性和推论 24：

\int N d P = P (H_{1}) + P (H_{2}) + P (H_{3}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} .

不用列出 $N$ 取 0、1、2、3 的概率。把一个「计数」拆成一串示性函数之和，再用线性求期望，是概率论里最常用的技巧之一，它的根据就是本页的命题 26。

例子反例：系数为负时线性会失效

在 $(R, B, Leb)$ 上取 $s = t = 1_{R}$ （处处等于 1），则 $\int s = \int t = Leb (R) = \infty 。$ 若允许 $α = 1 ，$ $β = - 1 ：$ 左边 $\int (s - t) = \int 0 = 0 ，$ 右边却是 $\infty - \infty ，$ 没有意义。所以命题 26 必须限制 $α, β \geq 0 。$

推导：一步一步来

推导证明思路

把 $s$ 和 $t$ 放到公共加细 $C_{ij} = A_{i} \cap B_{j}$ 上：每块上 $s = a_{i} 、$ $t = b_{j}$ 都是常数。于是 $α s + βt$ 在每块上等于 $α a_{i} + β b_{j} ，$ 积分变成有限和，线性就是有限和的分配律；单调性就是逐项比大小。

设 $s = \sum_{i = 1}^{p} a_{i} 1_{A_{i}} ，$ $t = \sum_{j = 1}^{q} b_{j} 1_{B_{j}}$ 是两个分割表示（比如标准表示），令 $C_{ij} = A_{i} \cap B_{j} 。$

第 1 步： $α s + βt$ 是非负简单函数。

在 $C_{ij}$ 上， $s = a_{i} ，$ $t = b_{j} ，$ 所以 $α s + βt = α a_{i} + β b_{j} ，$ 是一个 $\geq 0$ 的有限常数。
所以 $α s + βt$ 至多取 $p \cdot q$ 个值，值域有限，且非负。
可测：对每个实数 $c ，$ ${α s + βt > c} = ⋃_{(i, j) : α a_{i} + β b_{j} > c} C_{ij} ，$ 是有限个可测集的并。
并且 $α s + βt = \sum_{i, j} (α a_{i} + β b_{j}) 1_{C_{ij}}$ 是一个分割表示。

第 2 步： $s$ 和 $t$ 也写到公共加细上。 $s = \sum_{i, j} a_{i} 1_{C_{ij}} ，$ $t = \sum_{i, j} b_{j} 1_{C_{ij}} ，$ 也都是分割表示（在 $C_{ij}$ 上分别取 $a_{i}$ 和 $b_{j} ）。$ 由第 31 页命题 25，积分可以用这些表示计算：

\int s d μ = i, j \sum a_{i} μ (C_{ij}), \int t d μ = i, j \sum b_{j} μ (C_{ij}) .

第 3 步：线性。

\int (α s + βt) d μ = i, j \sum (α a_{i} + β b_{j}) μ (C_{ij}) = i, j \sum (α a_{i} μ (C_{ij}) + β b_{j} μ (C_{ij})) = α i, j \sum a_{i} μ (C_{ij}) + β i, j \sum b_{j} μ (C_{ij}) = α \int s d μ + β \int t d μ （第 1 步的分割表示 + 命题 25 ） （分配律，在 [0, \infty] 中成立） （非负项重新分组，再提出常数） （第 2 步） .

第 4 步：单调性。 设 $s \leq t 。$ 对每个非空的 $C_{ij} ，$ 在里面取一点 $x ：$ $a_{i} = s (x) \leq t (x) = b_{j} ，$ 所以 $a_{i} μ (C_{ij}) \leq b_{j} μ (C_{ij}) 。$ 对空的 $C_{ij} ，$ 两边都是 $0 。$ 逐项相加：

\int s d μ = i, j \sum a_{i} μ (C_{ij}) \leq i, j \sum b_{j} μ (C_{ij}) = \int t d μ .

单调性的另一种证法：用线性

若 $s \leq t ，$ 则 $t - s \geq 0 ，$ 并且在每个 $C_{ij}$ 上是常数 $b_{j} - a_{i} ，$ 所以 $t - s$ 也是非负简单函数。由线性，

\int t d μ = \int (s + (t - s)) d μ = \int s d μ + \int (t - s) d μ \geq \int s d μ,

最后一步是因为 $\int (t - s) d μ \geq 0$ （它是非负项之和）。注意这里没有做减法，只是「加上一个非负数不会变小」，所以即使 $\int s = \infty$ 也成立。

常见疑问与易错点

易错点问：为什么线性要限制 α, β ≥ 0？

答：两个原因。其一， $α s + βt$ 可能变成负的，不再是「非负简单函数」，我们还没有给它定义积分。其二，右边可能出现 $\infty - \infty$ （见上面的反例）。带符号的情况要等第 33 页的板书引入正部、负部，再在第 43 页对可积函数处理。

易错点问：命题 25 和命题 26 的线性有什么不同？

答：命题 25 说「同一个函数的两种分割写法积分相同」；命题 26 说「两个函数的和的积分等于积分的和」，而且允许两个函数的「台阶」任意重叠。命题 26 的证明用到了命题 25（第 2、3 步），它是更强、更常用的结论。

易错点问：如果某个积分是 ∞，线性还成立吗？

答：成立，因为所有运算都在 $[0, \infty]$ 中进行，只有加法和非负数乘法。例如在 $R$ 上 $s = 1_{R} ，$ $t = 1_{[0, 1]} ：$ 左边 $\int (s + t)$ 中 $s + t$ 在 $[0, 1]$ 上是 2、其余是 1，积分 $= 2 \cdot 1 + 1 \cdot \infty = \infty ；$ 右边 $\infty + 1 = \infty 。$ 两边相等。

易错点问：单调性的条件 s ≤ t 能不能只在「部分点」上成立？

答：本页的证明要求每个点都满足 $s \leq t 。$ 如果在某个正测度的集合上 $s > t ，$ 结论可能失败，例如 $s = 1_{[0, 2]} 、$ $t = 1_{[0, 1]}$ 只在 $[0, 1]$ 上满足 $s \leq t ，$ 但 $\int s = 2 > 1 = \int t 。$ 以后会看到，只要不满足的点组成一个零测集，结论仍然成立（第 43 页的「几乎处处」）。

小结与自测

小结本页小结

线性：非负简单函数 $s, t$ 与 $α, β \geq 0$ 满足 $\int (α s + βt) = α \int s + β \int t ；$ 重叠的集合也可以「分别算、再相加」。
单调性： $s \leq t$ （逐点） $\Rightarrow \int s \leq \int t ；$ 它推出测度的单调性 $A \subseteq B \Rightarrow μ (A) \leq μ (B) 。$
证明工具：公共加细 $C_{ij} = A_{i} \cap B_{j} ，$ 每块上两个函数都是常数。
限制 $α, β \geq 0$ 是为了避免负值和 $\infty - \infty 。$
板书的转折：简单函数的积分已完整；一般函数 $f$ 要靠「从下方逼近」（第 33 页）。

自测

1. 在 $(R, B, Leb)$ 上，用线性计算 $\int (3 \cdot 1_{[0, 1]} + 2 \cdot 1_{[\frac{1}{2}, 2]}) d Leb ，$ 再用公共加细直接计算验证。

点开看答案

线性： $3 \cdot 1 + 2 \cdot \frac{3}{2} = 3 + 3 = 6 。$ 公共加细：函数在 $[0, \frac{1}{2})$ 上是 3，在 $[\frac{1}{2}, 1]$ 上是 $3 + 2 = 5 ，$ 在 $(1, 2]$ 上是 2，其余是 0；积分 $= 3 \cdot \frac{1}{2} + 5 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot 1 = 1.5 + 2.5 + 2 = 6 。$ 两者一致。

2. 设 $A, B \in S$ 两两不交。只用本页和第 30 页的结论证明 $μ (A \cup B) = μ (A) + μ (B) 。$

点开看答案

因为 $A \cap B = \emptyset ，$ 每个点最多属于 $A 、$ $B$ 中的一个，所以 $1_{A \cup B} = 1_{A} + 1_{B}$ （逐点检查：在 $A$ 中是 $1 + 0 ，$ 在 $B$ 中是 $0 + 1 ，$ 都不在是 $0 + 0 ）。$ 两边积分，由线性和推论 24 得 $μ (A \cup B) = μ (A) + μ (B) 。$ （这也是例 3 在 $μ (A \cap B) = 0$ 时的特例。）

3. 判断：「对任意非负简单函数 $s ，$ 都有 $\int (s - s) d μ = \int s d μ - \int s d μ 。」$

点开看答案

不对。左边 $\int 0 d μ = 0 ；$ 右边在 $\int s = \infty$ 时是 $\infty - \infty ，$ 没有意义（例如 $s = 1_{R}$ 配勒贝格测度）。这正是命题 26 要求 $α, β \geq 0$ 的原因。只有当 $\int s < \infty$ 时，右边才等于 0。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
简单函数	simple function	只取有限个值的可测函数，是若干示性函数的线性组合，图像像台阶。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
分割	partition	把区间 [a,b] 用分点 a = x₀ < x₁ < … < xₙ = b 切成小段。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
交集	intersection	同时属于两个集合的元素全体，A ∩ B 对应「A 且 B」。
上确界	supremum (sup)	最小的上界。最大值不一定存在，但有上界的实数集一定有上确界。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
标准表示	canonical representation	把简单函数写成 Σ aₖ 𝟏_{Aₖ}，其中 aₖ 各不相同、Aₖ = {s = aₖ}。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
勒贝格积分	Lebesgue integral	按函数值分块的积分：先定义简单函数的积分，再用下方的简单函数逼近取上确界。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
可测集	measurable set	σ-代数里的集合，也就是可以谈「测度多大」的集合；在概率空间里，可测集就叫事件。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
示性函数	indicator function	𝟏_A(x) 在 x ∈ A 时取 1，否则取 0；它的积分就是 A 的测度。
正部	positive / negative part	f⁺ = max(f, 0)，f⁻ = max(−f, 0)，f = f⁺ − f⁻，\|f\| = f⁺ + f⁻。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
几乎处处	almost everywhere (a.e.)	除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。
两两不交	pairwise disjoint	一列集合中任意两个都没有公共元素，对应「任意两件事不会同时发生」。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。