19 路线图：进入第 3 部分 · 第1讲 · 高等概率论逐页精讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

第 2 部分造出了外测度 $m^{*} ：$ 它能给每一个子集一个「长度」，但不保证可加。第 3 部分要回答：哪些集合上它是真正的测度？为什么不能是所有集合？

课件原文Where we are

中文翻译

我们现在在哪里：第 3 部分「勒贝格可测集与勒贝格测度」。

已经有的：外测度 $m^{*} (E) = in f {\sum_{n} ∣ I_{n} ∣ : E \subseteq ⋃_{n} I_{n}}$ （第 18 页），对 $R$ 的每个子集都有定义，满足单调性和可数次可加性（ $m^{*} (⋃ E_{n}) \leq \sum m^{*} (E_{n}) ）。$
还缺的：可数可加性。对两个不相交的集合， $m^{*} (A \cup B) = m^{*} (A) + m^{*} (B)$ 不一定成立。没有可加性，它就不是测度，也就不能拿来当概率。

人话版这一部分的主线

「长度」无法照顾到每一个子集（维塔利），所以只能挑出一类好集合（卡拉泰奥多里可测集），在它们上面长度才守规矩。这类好集合组成一个 σ-代数，包含所有区间、开集、闭集，足够概率论使用。这就是第 1 部分「为什么需要 σ-代数」的真正答案。

小结本页小结

外测度处处有定义，但不一定可加。
第 3 部分：找出让外测度可加的集合（第 20 页），证明不能包括所有集合（第 21–22 页），得到勒贝格测度与 $[0, 1]$ 上的均匀概率（第 23 页）。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
外测度	outer measure	用可数个区间覆盖集合，所有覆盖总长度的下确界 m*(E)；对每个子集都有定义。
子集	subset	A 的每个元素都在 B 里，就说 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
勒贝格可测	Lebesgue measurable	能被勒贝格测度称重量的集合（通过卡拉泰奥多里判别）。
次可加性	subadditivity	并集的测度不超过各部分测度之和：μ(A ∪ B) ≤ μ(A) + μ(B)。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
卡拉泰奥多里	Carathéodory	卡拉泰奥多里判别：用 E 去切任何集合 A，两块外测度之和都等于 m*(A)。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
可测集	measurable set	σ-代数里的集合，也就是可以谈「测度多大」的集合；在概率空间里，可测集就叫事件。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。