02 本讲目标：学完要会什么 · 第1讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

这一讲要砌三块地基：事件为什么要放在 σ-代数上、勒贝格积分是什么、三个收敛定理怎么用。老师特地圈了 manage（会用），说明第三条是考试和作业的重点。

课件原文逐句精读

课件原文What this topic builds

By the end of this topic, you should be able to:

understand why probability is defined on a sigma-algebra of events;
understand the Lebesgue integral;
understand and manage monotone convergence theorem, dominated convergence theorem, Fatou's lemma.

中文翻译

学完这一讲，你应当能够：

理解为什么概率要定义在由事件组成的 σ-代数上；
理解勒贝格积分；
理解并会运用单调收敛定理、控制收敛定理、Fatou 引理。

目标 1：为什么概率要定义在 σ-代数上

σ-代数（sigma-algebra）：一张「允许谈论概率的事件清单」，要求清单对「非」（取补集）和「可数次的或」（可数并）封闭。正式定义在第 9 页。
为什么不直接允许所有子集？因为在 $[0, 1]$ 这样的连续空间上，不可能给所有子集都合理地定义「长度」（第 21 页的维塔利定理）。所以只能挑出一部分「好」集合。
为什么清单要对「可数次」操作封闭？因为概率里经常出现「无穷次试验中，至少有一次……」「……发生无穷多次」这样的句子，它们要用可数并、可数交来写（第 7 页）。

目标 2：理解勒贝格积分

黎曼积分（中学、大一学的定积分）是把 $x$ 轴切成小竖条；勒贝格积分是按函数值把定义域分块（第 26 页有图）。
期望 $E [X]$ 就是随机变量 $X$ 对概率测度的勒贝格积分。所以「理解勒贝格积分」就是「理解期望到底是什么」。

目标 3：会用三个收敛定理

这三个定理回答同一个问题：一列函数 $f_{n}$ 越来越接近 $f$ 时，积分 $\int f_{n}$ 是否也越来越接近 $\int f ？$

单调收敛定理（MCT）： $f_{n}$ 非负并且一节一节往上长，就可以交换（第 36 页）。
Fatou 引理：只要非负，至少有一个不等式 $\int lim inf f_{n} \leq lim inf \int f_{n}$ （第 41 页）。
控制收敛定理（DCT）：所有 $f_{n}$ 都被同一个可积函数压住，就可以交换（第 44 页）。

老师板书在说什么

老师板书板书转写

第 3 条里的 manage 被蓝笔圈了出来。
monotone convergence theorem、dominated convergence theorem、Fatou's lemma 三个名字下面各画了一条蓝色波浪线。

老师想强调：对这三个定理，光「听说过」不够，要能管理（manage）它们——拿到一个具体问题时，知道先检查哪个假设、该用哪一个。这是本讲最终的操作目标。

例子

例 1：为什么「极限和积分能不能交换」不是自动成立的

在 $[0, 1]$ 上令

f_{n} (x) = n \cdot 1_{[0, 1/ n]} (x) = {n, 0, 0 \leq x \leq 1/ n, 其他 .

（ $1_{A}$ 是示性函数：在集合 $A$ 里取 1，否则取 0。）它的图像是一个宽 $1/ n 、$ 高 $n$ 的细高矩形。

逐点看：任取 $x > 0 ，$ 只要 $n > 1/ x ，$ 就有 $1/ n < x ，$ 于是 $f_{n} (x) = 0 。$ 所以 $f_{n} (x) \to 0$ （只有 $x = 0$ 这一个点例外）。
看积分：矩形面积 $= 宽 \times 高 = \frac{1}{n} \cdot n = 1 ，$ 所以每个 $\int_{0}^{1} f_{n} = 1 。$
于是

n \to \infty lim \int_{0}^{1} f_{n} = 1 \neq = 0 = \int_{0}^{1} n \to \infty lim f_{n} .

这里 $f_{n}$ 不是一节节往上长（MCT 不适用），也没有一个可积函数压住所有 $f_{n}$ （DCT 不适用），所以交换失败。第 39 页会正式讨论这个「尖峰」反例。

动手试一试拖动滑块：尖峰越来越高、越来越窄

观察两件事：虚线 $x = 0.3$ 处的函数值很快变成 0 并且再也不变；而橙色矩形的面积始终是 1。「每一点都趋于 0」和「面积趋于 0」是两回事。

常见疑问与易错点

易错点问：这三个定理是不是「条件满足就能换，不满足就一定不能换」？

答：不是。它们是充分条件：条件满足，一定能换；条件不满足，可能能换也可能不能换，要另外分析。上面的尖峰例子是「不满足而且确实不能换」的情形。

小结与自测

小结本页小结

目标 1：事件要放在 σ-代数上，因为连续空间上不能给所有子集定概率，而概率又需要可数次的「或 / 且 / 非」。
目标 2：勒贝格积分，也就是期望的严格定义。
目标 3（老师圈出的重点）：会用 MCT、DCT、Fatou 判断极限与积分能否交换。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
勒贝格积分	Lebesgue integral	按函数值分块的积分：先定义简单函数的积分，再用下方的简单函数逼近取上确界。
Fatou 引理	Fatou's lemma	非负可测函数列满足 ∫ liminf fₙ ≤ liminf ∫ fₙ（只保证这个方向）。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
补集	complement	样本空间里不属于 A 的元素全体，记作 Aᶜ，对应「A 不发生」。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
子集	subset	A 的每个元素都在 B 里，就说 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
无穷多次	infinitely often (i.o.)	「Aₙ 发生无穷多次」就是集合 lim sup Aₙ。
黎曼积分	Riemann integral	大一学的定积分：按 x 轴切竖条求和取极限。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
示性函数	indicator function	𝟏_A(x) 在 x ∈ A 时取 1，否则取 0；它的积分就是 A 的测度。