40 尾部下确界找回单调性：liminf 与 limsup · 第1讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

上一页的尖峰没有单调性，MCT 用不上。本页的办法：不直接看 $a_{n} ，$ 而看它的尾部下确界 $g_{N} = in f_{n \geq N} a_{n}$ ——「从第 $N$ 项往后，最低能低到哪里」。起点 $N$ 越往后，尾部越短，最低点只会越高，所以 $g_{N}$ 自动递增，单调性就找回来了。 $g_{N}$ 的极限叫下极限（lim inf）；对称地，尾部上确界递减，极限叫上极限（lim sup）。

位置：第 5 部分，夹在尖峰反例（第 39 页）和 Fatou 引理（第 41 页）之间。Fatou 引理的证明就是把本页的 $g_{N}$ 用在函数上： $g_{N} = in f_{n \geq N} f_{n}$ 递增，于是能用 MCT。
印刷内容：定义 32，给数列定义下极限和上极限。
板书：先说明 $g_{N}$ 递增、 $h_{N}$ 递减；再把同样的想法用到集合上，得到集合的下极限、上极限——这和第 7 页抛硬币板书里的「无穷多次正面」「只有有限次正面」是同一回事。
为什么需要它：数列的极限不一定存在（比如 $1, - 1, 1, - 1, \dots ），$ 但下极限和上极限永远存在（允许是 $\pm \infty ）。$ 有了它们，Fatou 引理就不必假设 $f_{n}$ 收敛。

先补基础

基础补课下确界 inf：最大的下界

这是第 33 页上确界 sup 的「镜像」。

设 $E$ 是一堆数。如果数 $m$ 满足「 $E$ 里每个数都 $\geq m 」，$ 就称 $m$ 是 $E$ 的一个下界。
下确界（infimum） $in f E$ 是所有下界中最大的那个。它由两条性质刻画：
1. 它是下界： $E$ 中每个数都 $\geq in f E ；$
2. 比它大的数都不是下界：对任意 $ε > 0 ，$ $E$ 中总有某个数 $< in f E + ε 。$
例 1： $in f {1, 2, 3} = 1 ，$ 就是最小值，取到了。
例 2： $in f {1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots} = 0 ：$ 0 是下界；任何正数 $ε$ 都会被某个 $\frac{1}{n} < ε$ 压下去，所以比 0 大的数都不是下界。但 0 不在集合里：下确界没有取到。
例 3： $in f {- 1, - 2, - 3, \dots} = - \infty$ （没有实数下界）。
在扩展实数 $[- \infty, \infty]$ 中，任何非空集合都有下确界和上确界。

基础补课尾部：去掉前面有限项之后剩下的部分

数列 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ 的第 $N$ 个尾部是 ${a_{n} : n \geq N} = {a_{N}, a_{N + 1}, a_{N + 2}, \dots} ，$ 也就是去掉前 $N - 1$ 项。
$in f_{n \geq N} a_{n}$ 读作「 $n \geq N$ 时 $a_{n}$ 的下确界」，就是第 $N$ 个尾部的下确界； $sup_{n \geq N} a_{n}$ 同样是尾部的上确界。
例： $a_{n} = \frac{1}{n} ，$ 第 3 个尾部是 ${\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots} ，$ 它的上确界是 $\frac{1}{3}$ （取到），下确界是 0（取不到）。

基础补课集合变小，下确界只会变大、上确界只会变小

若 $B \subseteq A$ （都非空），则

in f B \geq in f A, sup B \leq sup A .

理由（以 inf 为例）： $in f A$ 是 $A$ 的下界； $B$ 的元素都在 $A$ 里，所以 $in f A$ 也是 $B$ 的下界；而 $in f B$ 是 $B$ 的最大下界，所以 $in f B \geq in f A 。$ sup 的情形把「下界、最大」换成「上界、最小」，论证一字一句对应。
例： $A = {1, 2, 3} ，$ $B = {2, 3} ：$ $in f A = 1 \leq 2 = in f B ，$ $sup A = sup B = 3 。$
直觉：从一群人里去掉几个，剩下的人中最矮的不会更矮，最高的不会更高。

基础补课单调数列总有极限（回顾第 36 页）

在 $[- \infty, \infty]$ 中，递增数列一定有极限，极限就是它的上确界；递减数列一定有极限，极限就是它的下确界。例： $- 1, - \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, - \frac{1}{5}, \dots$ 递增，极限是 0。

课件原文逐句精读

课件原文Tail infima recover the monotonicity needed by MCT

Definition 32 (Pointwise lower and upper limits) For extended real numbers $a_{n}$ ,

n \to \infty lim inf a_{n} := N \geq 1 sup n \geq N in f a_{n}, n \to \infty lim sup a_{n} := N \geq 1 in f n \geq N sup a_{n} .

中文翻译

标题：尾部下确界找回了 MCT 所需要的单调性。

定义 32（逐点的下极限与上极限） 对扩展实数 $a_{n} ，$ 定义

n \to \infty lim inf a_{n} := N \geq 1 sup n \geq N in f a_{n}, n \to \infty lim sup a_{n} := N \geq 1 in f n \geq N sup a_{n} .

Tail infima recover the monotonicity needed by MCT｜标题逐词看

tail infima：尾部下确界（infima 是 infimum 的复数），即一列数 $in f_{n \geq N} a_{n} ，$ $N = 1, 2, 3, \dots 。$
recover the monotonicity：找回单调性。原数列 $a_{n}$ 可以乱跳，但尾部下确界总是递增的（下面推导第 1 步）。
needed by MCT：MCT 需要单调性（第 36 页），第 39 页说明没有单调性不行。

Definition 32｜逐个符号看

extended real numbers $a_{n}$ ： $a_{n}$ 可以取 $\pm \infty 。$ 这样尾部的 inf、sup 一定存在，不会「不存在」。
里层 $in f_{n \geq N} a_{n}$ （老师圈了出来）：第 $N$ 个尾部的下确界，记作 $g_{N} 。$ 它是「从第 $N$ 项起的最低水平」。
外层 $sup_{N \geq 1}$ ：对所有起点 $N ，$ 取这些最低水平中的上确界。因为 $g_{N}$ 递增，这个上确界就是 $lim_{N \to \infty} g_{N} 。$
上极限完全对称：里层是尾部上确界 $h_{N} = sup_{n \geq N} a_{n}$ （老师也圈了出来），外层取下确界。
记忆法：名字里的 inf 或 sup 写在里层。liminf：先 inf、后 sup；limsup：先 sup、后 inf。
名字里的 Pointwise（逐点）：定义是对一列数写的。用到函数上时，就在每个点 $x$ 上对数列 $f_{1} (x), f_{2} (x), \dots$ 用这个定义： $(lim inf_{n} f_{n}) (x) := lim inf_{n} f_{n} (x) 。$ 第 41 页就是这样用的。

定义 32（下极限与上极限）

对扩展实数列 $(a_{n})_{n \geq 1} ，$ 记尾部下确界 $g_{N} = in f_{n \geq N} a_{n} 、$ 尾部上确界 $h_{N} = sup_{n \geq N} a_{n} 。$ 定义

n \to \infty lim inf a_{n} = N \geq 1 sup g_{N} = N \to \infty lim g_{N}, n \to \infty lim sup a_{n} = N \geq 1 in f h_{N} = N \to \infty lim h_{N} .

它们总存在（在 $[- \infty, \infty]$ 中），并且 $lim inf a_{n} \leq lim sup a_{n} ；$ 数列有极限当且仅当两者相等，此时极限就等于它们的公共值。

人话：

下极限是数列「最终的最低水平」：扔掉前面任意多项，剩下的项的最低点，最多能抬到多高。
上极限是数列「最终的最高水平」：扔掉前面任意多项，剩下的项的最高点，最低能压到多低。
数列有极限，就是最终的最低水平和最高水平挤到了一起。

它让我们能做什么：

不管数列收不收敛，都能谈「它最终大概在哪个范围」。
$g_{N}$ 递增、 $h_{N}$ 递减，这两列单调的数正是 MCT（以及从上、从下的各种逼近）需要的。
判断收敛：只要证明 $lim sup a_{n} \leq lim inf a_{n} ，$ 就同时得到极限存在。第 45 页证明 DCT 时用的就是「 $0 \leq lim inf \leq lim sup \leq 0 」$ 这一招。

老师板书在说什么

老师板书板书转写（按从上到下的顺序）

把标题末尾的 MCT 圈了出来，拉一条线到下方，写 classical.
把定义 32 中的 $in f_{n \geq N} a_{n}$ 和 $sup_{n \geq N} a_{n}$ 分别圈了出来。
（在印刷的 limsup 定义右边）一个不等号，后面是 $sup_{N \geq 1} in f_{n \geq N} a_{n} 。$ （不等号写得很小、有点歪，推测为 $\geq 。）$
In fact, if we define $g_{N} := in f_{n \geq N} a_{n} ↑ lim_{N \to \infty} in f_{n \geq N} a_{n} ，$ 下面竖着写一个等号，接着 $lim inf_{n \to \infty} a_{n}$
$h_{N} := sup_{n \geq N} a_{n} ↓ lim_{N \to \infty} sup_{n \geq N} a_{n} = in f_{N \geq 1} sup_{n \geq N} a_{n}$ .
${A_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ are a sequence of sets. Define $lim inf_{n \to \infty} A_{n}$ , $lim sup_{n \to \infty} A_{n}$ .
$lim inf_{N \to \infty, n \geq N} A_{n} = ⋃_{N \geq 1} ⋂_{n \geq N} A_{n} ，$ 下面用粉色写 $\exists N \forall n \geq N$
（右侧） $lim sup_{N \to \infty, n \geq N} A_{n} = ⋂_{N \geq 1} ⋃_{n \geq N} A_{n} ，$ 下面用粉色写 $\forall N \exists n \geq N$
$(lim sup A_{n})^{c} = (⋂⋃ A_{n})^{c} = ⋃_{N \geq 1} ⋂_{n \geq N} A_{n}^{c} ，$ 右边用粉色写： $\exists N$ $A_{n}$ eventually stops. $A_{n}$ finite many.

第 1 条：MCT is classical

老师圈出标题里的 MCT，写上 classical（经典的）：MCT 是经典定理，本页的目的就是给它「喂」单调的函数列。

第 2 条：两个圈——尾部下确界与尾部上确界

圈出来的是定义里的里层。整个定义的关键就在这里：先把「从第 $N$ 项起」的部分看成一个整体，求它的最低点（或最高点），再让 $N$ 变动。

第 3 条：limsup ≥ liminf

写在 limsup 定义右边的是 $sup_{N} in f_{n \geq N} a_{n} ，$ 也就是 liminf。结合上下文，老师写的是

n \to \infty lim sup a_{n} = N \geq 1 in f n \geq N sup a_{n} \geq N \geq 1 sup n \geq N in f a_{n} = n \to \infty lim inf a_{n} .

（那个不等号的字迹不太清楚。数学上只能是 $\geq ：$ 上极限总不小于下极限，反过来的 $\leq$ 一般不成立，例如 $(- 1)^{n}$ 的上极限 1 大于下极限 $- 1 。）$ 证明见下面推导第 4 步。

第 4 条：gₙ 递增，极限就是 liminf

$g_{N} = in f_{n \geq N} a_{n} 。$ $N$ 变大时，尾部 ${a_{n} : n \geq N}$ 少了一项，由基础补课「集合变小，下确界只会变大」， $g_{N} \leq g_{N + 1} 。$ 这就是箭头 $↑ 。$
递增数列有极限，而且极限等于上确界，所以 $N \to \infty lim g_{N} = N \geq 1 sup g_{N} = n \to \infty lim inf a_{n} .$
老师竖着写的等号，就是说「 $lim_{N \to \infty} in f_{n \geq N} a_{n}$ 等于 $lim inf a_{n} 」。$ 这也解释了记号 $lim inf$ 的来历：lim of inf（尾部下确界的极限）。

第 5 条：hₙ 递减，极限就是 limsup

$h_{N} = sup_{n \geq N} a_{n} 。$ 尾部变小，上确界只会变小，所以 $h_{N} \geq h_{N + 1} ，$ 箭头 $↓ 。$
递减数列的极限等于下确界： $lim_{N} h_{N} = in f_{N} h_{N} = lim sup a_{n} 。$

第 6–8 条：把同样的想法用到集合上

对集合来说，「下确界」和「上确界」的角色由交和并来扮演：

$⋂_{n \geq N} A_{n}$ 是包含于每个 $A_{n}$ （ $n \geq N ）$ 的最大集合，像是集合的「inf」；
$⋃_{n \geq N} A_{n}$ 是包含每个 $A_{n}$ （ $n \geq N ）$ 的最小集合，像是集合的「sup」。

所以老师写 $lim inf_{N \to \infty, n \geq N} A_{n} ，$ 意思是「 $lim_{N \to \infty} in f_{n \geq N} A_{n} 」：$

里层 $⋂_{n \geq N} A_{n}$ 随 $N$ 变大（交的集合越少，结果越大），它们的「极限」就是全部的并 $⋃_{N} 。$ 于是 $lim inf A_{n} = ⋃_{N \geq 1} ⋂_{n \geq N} A_{n} 。$
里层 $⋃_{n \geq N} A_{n}$ 随 $N$ 变小，它们的「极限」就是全部的交 $⋂_{N} 。$ 于是 $lim sup A_{n} = ⋂_{N \geq 1} ⋃_{n \geq N} A_{n} 。$

粉色的量词把公式翻译成人话（第 7 页讲过「并 ↔ 存在」「交 ↔ 对所有」）：

$ω \in lim inf A_{n}$ ⟺ $\exists N \forall n \geq N ，$ $ω \in A_{n}$ ⟺ 从某一项起， $ω$ 一直在 $A_{n}$ 里（eventually always，最终一直发生）。
$ω \in lim sup A_{n}$ ⟺ $\forall N \exists n \geq N ，$ $ω \in A_{n}$ ⟺ $ω$ 在无穷多个 $A_{n}$ 里（infinitely often，发生无穷多次）。

第 9 条：取补集——「最终停止」「只有有限次」

用两次德摩根律（补集把交变并、把并变交，第 7 页第 5 步）：

(n \to \infty lim sup A_{n})^{c} = (N \geq 1 ⋂ n \geq N ⋃ A_{n})^{c} = N \geq 1 ⋃ n \geq N ⋂ A_{n}^{c} = n \to \infty lim inf A_{n}^{c} .

粉色字： $\exists N$ , $A_{n}$ eventually stops（存在 $N ，$ 从此 $A_{n}$ 不再发生）； $A_{n}$ finite many（ $A_{n}$ 只发生有限次，语法上应为 finitely many）。这正是第 7 页里「只出现有限次正面」的一般版本：不属于「无穷多次」，就是「只有有限次」。

数与集合之间的桥梁：示性函数

为什么集合版本和数的版本用同一个名字？因为对每个点 $ω ，$

1_{lim inf A_{n}} (ω) = n \to \infty lim inf 1_{A_{n}} (ω), 1_{lim sup A_{n}} (ω) = n \to \infty lim sup 1_{A_{n}} (ω) .

数列 $1_{A_{n}} (ω)$ 只取 0、1。它的下极限是 1，当且仅当从某项起全是 1（ $ω$ 最终一直在 $A_{n}$ 里）；它的上极限是 1，当且仅当有无穷多个 1（ $ω$ 在无穷多个 $A_{n}$ 里）。证明见推导第 7 步。

图解：量词和集合运算的对应

这是板书关于集合的部分。按下面的顺序读：

左下 $lim inf A_{n} = ⋃_{N \geq 1} ⋂_{n \geq N} A_{n} ，$ 粉色 $\exists N \forall n \geq N ：$ 外层的并 $⋃_{N}$ 对应「存在 $N 」，$ 里层的交 $⋂_{n \geq N}$ 对应「对所有 $n \geq N 」。$
右边 $lim sup A_{n} = ⋂_{N \geq 1} ⋃_{n \geq N} A_{n} ，$ 粉色 $\forall N \exists n \geq N ：$ 外层交对应「对所有 $N 」，$ 里层并对应「存在 $n \geq N 」。$ 两个公式的并、交位置互换，量词也跟着互换。
最下面一行：对 limsup 取补集，得到 $⋃_{N} ⋂_{n \geq N} A_{n}^{c} 。$ 右边的粉色字 eventually stops、finite many 是它的两种说法。

例子

下面三个数列都是老师板书风格的「来回跳」的数列。每张表逐项列出 $a_{N} 、$ 尾部下确界 $g_{N} = in f_{n \geq N} a_{n} 、$ 尾部上确界 $h_{N} = sup_{n \geq N} a_{n} 。$

例 1：aₙ = (−1)ⁿ——一直来回跳

$N$	1	2	3	4	5	6	极限
$a_{N}$	$- 1$	$1$	$- 1$	$1$	$- 1$	$1$	不存在
$g_{N}$	$- 1$	$- 1$	$- 1$	$- 1$	$- 1$	$- 1$	$- 1$
$h_{N}$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$

理由：任何尾部里都既有 $- 1$ 又有 $1 ，$ 所以尾部最低点是 $- 1 、$ 最高点是 $1 。$ 于是 $lim inf a_{n} = - 1 ，$ $lim sup a_{n} = 1 。$ 两者不相等，数列没有极限。

例 2：aₙ = (−1)ⁿ/n——跳动越来越小

$N$	1	2	3	4	5	6
$a_{N}$	$- 1$	$\frac{1}{2}$	$- \frac{1}{3}$	$\frac{1}{4}$	$- \frac{1}{5}$	$\frac{1}{6}$
$g_{N}$	$- 1$	$- \frac{1}{3}$	$- \frac{1}{3}$	$- \frac{1}{5}$	$- \frac{1}{5}$	$- \frac{1}{7}$
$h_{N}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

逐个算：

尾部里的负数项是 $- \frac{1}{n}$ （ $n$ 为奇数），越往后越接近 0，所以尾部最低点是第一个负数项： $N$ 为奇数时 $g_{N} = - \frac{1}{N} ，$ $N$ 为偶数时 $g_{N} = - \frac{1}{N + 1} 。$ 例如 $N = 2$ 的尾部 ${\frac{1}{2}, - \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, - \frac{1}{5}, \dots}$ 最低点是 $- \frac{1}{3} 。$
尾部最高点是第一个正数项： $N$ 为偶数时 $h_{N} = \frac{1}{N} ，$ $N$ 为奇数时 $h_{N} = \frac{1}{N + 1} 。$

$g_{N}$ 递增到 0， $h_{N}$ 递减到 0，所以 $lim inf a_{n} = lim sup a_{n} = 0 ，$ 数列收敛到 0，与直接计算一致。注意 $g_{N}$ 有时原地不动（如 $g_{2} = g_{3} ），$ 「递增」允许相等。

例 3：aₙ = (−1)ⁿ(1 + 1/n)——上下极限都不在数列里

$N$	1	2	3	4	5	6	极限
$a_{N}$	$- 2$	$\frac{3}{2}$	$- \frac{4}{3}$	$\frac{5}{4}$	$- \frac{6}{5}$	$\frac{7}{6}$	不存在
$g_{N}$	$- 2$	$- \frac{4}{3}$	$- \frac{4}{3}$	$- \frac{6}{5}$	$- \frac{6}{5}$	$- \frac{8}{7}$	$- 1$
$h_{N}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{5}{4}$	$\frac{5}{4}$	$\frac{7}{6}$	$\frac{7}{6}$	$1$

负数项 $- (1 + \frac{1}{n})$ （ $n$ 为奇数）依次是 $- 2, - \frac{4}{3}, - \frac{6}{5}, - \frac{8}{7}, \dots ，$ 越来越接近 $- 1 ，$ 所以尾部最低点是尾部里的第一个负数项；它随 $N$ 增大而上升，极限是 $- 1 。$
正数项 $1 + \frac{1}{n}$ （ $n$ 为偶数）依次是 $\frac{3}{2}, \frac{5}{4}, \frac{7}{6}, \dots ，$ 尾部最高点是第一个正数项，极限是 1。

结论： $lim inf a_{n} = - 1 ，$ $lim sup a_{n} = 1 ，$ 数列不收敛。两个要点：

$- 1$ 和 $1$ 都不是数列中的任何一项。上下极限是「最终的水平」，不一定被取到。
下极限和整个数列的下确界不同：整个数列的 $in f = a_{1} = - 2 ，$ 而下极限是 $- 1 。$ 下极限不关心前面有限项，只看「最终」。

例 4：函数的下极限——逐点来做

在 $[0, 1]$ 上，令 $f_{n} = 1_{[0, 1/2]}$ （ $n$ 为偶数）， $f_{n} = 1_{(1/2, 1]}$ （ $n$ 为奇数）。

取 $x \in [0, \frac{1}{2}] ：$ 数列 $f_{1} (x), f_{2} (x), \dots$ 是 $0, 1, 0, 1, \dots ；$ 取 $x \in (\frac{1}{2}, 1] ：$ 是 $1, 0, 1, 0, \dots 。$
两种情况都和例 1 一样来回跳，所以每一点都有 $lim inf_{n} f_{n} (x) = 0 、$ $lim sup_{n} f_{n} (x) = 1 。$
于是函数 $lim inf f_{n} \equiv 0 ，$ $lim sup f_{n} \equiv 1 。$

再看第 39 页的尖峰 $f_{n} = n 1_{[0, 1/ n]} ：$ 对 $x \in (0, 1] ，$ 数列最终全是 0，下极限和上极限都是 0；在 $x = 0$ 处数列是 $1, 2, 3, \dots ，$ 两者都是 $\infty 。$ 这两个例子在第 41 页会用来检验 Fatou 引理。

例 5：集合的下极限与上极限

在 $[0, 1]$ 上令 $A_{n} = [0, \frac{1}{2}]$ （ $n$ 为偶数）， $A_{n} = (\frac{1}{2}, 1]$ （ $n$ 为奇数）。

对任意 $N ，$ 尾部里既有 $[0, \frac{1}{2}]$ 又有 $(\frac{1}{2}, 1] ，$ 所以 $⋂_{n \geq N} A_{n} = [0, \frac{1}{2}] \cap (\frac{1}{2}, 1] = \emptyset ，$ $⋃_{n \geq N} A_{n} = [0, 1] 。$
因此 $lim inf A_{n} = ⋃_{N} \emptyset = \emptyset ，$ $lim sup A_{n} = ⋂_{N} [0, 1] = [0, 1] 。$
用人话核对：任何一点只在一种奇偶性的 $A_{n}$ 里，不可能「从某项起一直在」，所以下极限是空集；但它在无穷多个 $A_{n}$ 里，所以上极限是全部 $[0, 1] 。$
用示性函数核对： $1_{A_{n}}$ 就是例 4 的 $f_{n} ，$ $lim inf f_{n} \equiv 0 = 1_{\emptyset} ，$ $lim sup f_{n} \equiv 1 = 1_{[0, 1]} ，$ 与桥梁公式一致。

推导：一步一步来

推导证明思路

所有结论都来自一个事实：尾部越来越小，所以尾部下确界越来越大、尾部上确界越来越小。再配合「单调数列有极限」和「夹逼」，就得到下极限、上极限的全部基本性质。

第 1 步： $g_{N}$ 递增。 第 $N + 1$ 个尾部 ${a_{n} : n \geq N + 1}$ 包含于第 $N$ 个尾部 ${a_{n} : n \geq N} 。$ $g_{N}$ 是大尾部的下界，当然也是小尾部的下界；而 $g_{N + 1}$ 是小尾部的最大下界，所以 $g_{N + 1} \geq g_{N} 。$

第 2 步： $h_{N}$ 递减。 $h_{N}$ 是大尾部的上界，当然也是小尾部的上界；而 $h_{N + 1}$ 是小尾部的最小上界，所以 $h_{N + 1} \leq h_{N} 。$

第 3 步：下极限、上极限就是单调极限。 由第 1 步和「递增数列的极限等于上确界」， $lim inf a_{n} = sup_{N} g_{N} = lim_{N} g_{N} ；$ 由第 2 步和「递减数列的极限等于下确界」， $lim sup a_{n} = in f_{N} h_{N} = lim_{N} h_{N} 。$ 在 $[- \infty, \infty]$ 中它们总存在。

第 4 步： $lim inf a_{n} \leq lim sup a_{n}$ （板书第 3 条）。 任取两个起点 $N 、$ $M ，$ 令 $K = max (N, M) 。$ 则

g_{N} \leq g_{K} \leq a_{K} \leq h_{K} \leq h_{M},

第一个不等号用第 1 步（ $K \geq N ），$ 中间两个是「尾部的下确界 $\leq$ 尾部里的任何一项 $\leq$ 尾部的上确界」，最后一个用第 2 步（ $K \geq M ）。$ 所以每个 $g_{N}$ 都不超过每个 $h_{M} 。$ 先固定 $M 、$ 对 $N$ 取上确界： $lim inf a_{n} \leq h_{M} ；$ 再对 $M$ 取下确界： $lim inf a_{n} \leq lim sup a_{n} 。$

第 5 步：有极限 ⟺ 上下极限相等。 设 $L$ 是有限数。

「⟹」：设 $a_{n} \to L 。$ 任给 $ε > 0 ，$ 存在 $N_{0} ，$ 使 $n \geq N_{0}$ 时 $L - ε < a_{n} < L + ε 。$ 于是第 $N_{0}$ 个尾部以 $L - ε$ 为下界、以 $L + ε$ 为上界，所以 $g_{N_{0}} \geq L - ε ，$ $h_{N_{0}} \leq L + ε 。$ 又 $lim inf a_{n} \geq g_{N_{0}}$ （上确界不小于其中每一项）， $lim sup a_{n} \leq h_{N_{0}} ，$ 结合第 4 步： $L - ε \leq lim inf a_{n} \leq lim sup a_{n} \leq L + ε .$ $ε$ 可以任意小，所以两者都等于 $L 。$
「⟸」：设 $lim inf a_{n} = lim sup a_{n} = L 。$ 任给 $ε > 0 ，$ 因为 $g_{N} ↑ L ，$ 有某个 $N_{1}$ 使 $g_{N_{1}} > L - ε ；$ 因为 $h_{N} ↓ L ，$ 有某个 $N_{2}$ 使 $h_{N_{2}} < L + ε 。$ 当 $n \geq max (N_{1}, N_{2})$ 时， $a_{n}$ 同时属于第 $N_{1}$ 个和第 $N_{2}$ 个尾部，所以 $L - ε < g_{N_{1}} \leq a_{n} \leq h_{N_{2}} < L + ε 。$ 这正是 $a_{n} \to L 。$

（ $L = \pm \infty$ 的情形论证方式相同，把「 $L \pm ε 」$ 换成「任意大的数 $K 」$ 或「任意小的数 $- K 」$ 即可。）

第 6 步：负号把 liminf 和 limsup 互换。 对任何数集，「 $m$ 是 ${a_{n}}$ 的下界」⟺「 $- m$ 是 ${- a_{n}}$ 的上界」，所以 $sup_{n \geq N} (- a_{n}) = - in f_{n \geq N} a_{n} ，$ 同样 $in f_{N} (- g_{N}) = - sup_{N} g_{N} 。$ 于是

n \to \infty lim sup (- a_{n}) = N in f n \geq N sup (- a_{n}) = N in f (- g_{N}) = - N sup g_{N} = - n \to \infty lim inf a_{n} .

第 41 页板书右侧的 $lim sup (- f) = - lim inf f$ 就是这条。另外，加一个有限常数 $c$ 不改变「谁最低」，所以 $lim inf (c + a_{n}) = c + lim inf a_{n} 。$

第 7 步：集合版本与示性函数。 固定 $ω ，$ 记 $b_{n} = 1_{A_{n}} (ω) \in {0, 1} ，$ 它的尾部下确界 $g_{N}$ 也只能是 0 或 1。

$lim inf b_{n} = 1$ ⟺ 递增的 $g_{N}$ 中有某一个等于 1 ⟺ 存在 $N ，$ 使尾部 ${b_{n} : n \geq N}$ 全是 1 ⟺ $\exists N \forall n \geq N ，$ $ω \in A_{n}$ ⟺ $ω \in ⋃_{N} ⋂_{n \geq N} A_{n} 。$
$lim sup b_{n} = 1$ ⟺ 递减的 $h_{N}$ 全都等于 1 ⟺ 对每个 $N ，$ 尾部里都有 1 ⟺ $\forall N \exists n \geq N ，$ $ω \in A_{n}$ ⟺ $ω \in ⋂_{N} ⋃_{n \geq N} A_{n} 。$

不满足时对应的值是 0。这就证明了桥梁公式 $1_{lim inf A_{n}} = lim inf 1_{A_{n}} 、$ $1_{lim sup A_{n}} = lim sup 1_{A_{n}} 。$

补充预告：可测函数的下极限仍可测

若每个 $f_{n}$ 可测，则 $g_{N} = in f_{n \geq N} f_{n}$ 可测（第 41 页板书用 ${g_{N} < a} = ⋃_{n \geq N} {f_{n} < a}$ 证明），而 $lim inf f_{n}$ 是递增可测函数列 $g_{N}$ 的极限，由第 36 页第 5 行也可测。所以对可测函数列， $\int lim inf f_{n} d μ$ 总有意义，哪怕 $f_{n}$ 根本不收敛。

常见疑问与易错点

易错点问：liminf 一定是数列里的某一项吗？

答：不一定。例 3 中 $lim inf a_{n} = - 1 ，$ 而 $- 1$ 不是任何一项。下极限是「尾部最低点」的极限，尾部最低点本身可能取到（例 3 的 $g_{N}$ 每次都取到），但它们的极限可以不在数列里。

易错点问：liminf 和 inf 有什么区别？

答： $in f_{n} a_{n}$ 看全部项， $lim inf a_{n}$ 只看最终。例 3 中 $in f a_{n} = - 2$ （第一项）， $lim inf a_{n} = - 1 。$ 又如 $a_{n} = n ：$ $in f a_{n} = 1 ，$ 而 $lim inf a_{n} = \infty 。$ 总有 $in f_{n} a_{n} = g_{1} \leq lim inf a_{n} 。$

易错点问：改动数列的前 100 项，会影响 liminf 吗？

答：不会。 $g_{N}$ 对 $N \geq 101$ 根本不看前 100 项，而下极限是 $g_{N}$ 在 $N \to \infty$ 时的极限，只由 $N \geq 101$ 的那些 $g_{N}$ 决定。这也是「尾部」这个名字的意思：上下极限只由尾巴决定。

易错点问：sup 和 inf 的顺序记反了会怎样？

答：会得到另一个量。liminf 是 $sup_{N} in f_{n \geq N}$ （里 inf、外 sup），limsup 是 $in f_{N} sup_{n \geq N}$ （里 sup、外 inf）。记法：名字里的 inf 或 sup 放在里层，作用在尾部上；外层是反过来的那个。可以用 $(- 1)^{n}$ 检查：里层 inf 得 $- 1 ，$ 外层 sup 还是 $- 1 ，$ 正是下极限。

易错点问：集合的「无穷多次」和「最终一直」哪个大？

答：最终一直 ⊆ 无穷多次：从某项起一直在 $A_{n}$ 里，当然就在无穷多个 $A_{n}$ 里。所以 $lim inf A_{n} \subseteq lim sup A_{n} ，$ 这和数的版本 $lim inf \leq lim sup$ 对应。反过来不一定成立（例 5： $\emptyset ⊊ [0, 1] ）。$

小结与自测

小结本页小结

定义 32： $lim inf a_{n} = sup_{N} in f_{n \geq N} a_{n} ，$ $lim sup a_{n} = in f_{N} sup_{n \geq N} a_{n} ，$ 在 $[- \infty, \infty]$ 中总存在。
尾部下确界 $g_{N} = in f_{n \geq N} a_{n}$ 递增到 liminf，尾部上确界 $h_{N} = sup_{n \geq N} a_{n}$ 递减到 limsup——这就是标题说的「找回单调性」。
$lim inf \leq lim sup ；$ 数列有极限当且仅当两者相等；上下极限只由尾巴决定，不一定是数列中的项。
集合版本： $lim inf A_{n} = ⋃_{N} ⋂_{n \geq N} A_{n}$ （ $\exists N \forall n \geq N ，$ 最终一直发生）， $lim sup A_{n} = ⋂_{N} ⋃_{n \geq N} A_{n}$ （ $\forall N \exists n \geq N ，$ 无穷多次）； $(lim sup A_{n})^{c} = lim inf A_{n}^{c}$ （只发生有限次）。
示性函数把两种版本连起来： $1_{lim inf A_{n}} = lim inf 1_{A_{n}} 。$

自测

1. 求 $a_{n} = sin \frac{nπ}{2}$ 的下极限和上极限。

点开看答案

数列是 $1, 0, - 1, 0, 1, 0, - 1, 0, \dots ，$ 每 4 项循环一次。任何尾部都包含 $1$ 和 $- 1 ，$ 所以 $g_{N} = - 1 、$ $h_{N} = 1$ 对所有 $N$ 成立， $lim inf a_{n} = - 1 ，$ $lim sup a_{n} = 1 ，$ 数列不收敛。

2. 求 $a_{n} = (- 1)^{n} n$ （即 $- 1, 2, - 3, 4, \dots ）$ 的下极限和上极限。

点开看答案

任何尾部里的负数项 $- n$ （ $n$ 为奇数）没有下界，所以 $g_{N} = - \infty$ 对所有 $N$ 成立， $lim inf a_{n} = sup_{N} (- \infty) = - \infty ；$ 正数项没有上界， $h_{N} = + \infty ，$ $lim sup a_{n} = + \infty 。$ 这说明为什么定义要允许扩展实数。

3. 令 $A_{n} = [0, 1 + \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}]$ （ $n$ 为偶数时是 $[0, 1 + \frac{1}{n}] ，$ $n$ 为奇数时是 $[0, 1 - \frac{1}{n}] ）。$ 求 $lim inf A_{n}$ 与 $lim sup A_{n} ，$ 并说明点 $x = 1$ 属于哪一个。

点开看答案

$lim inf A_{n} = [0, 1) ：$ $x < 1$ 时，只要 $n$ 大到 $1 - \frac{1}{n} \geq x ，$ $x$ 就在之后的每个 $A_{n}$ 里；而 $x = 1$ 不在任何奇数项 $[0, 1 - \frac{1}{n}]$ 里，不是「最终一直在」。 $lim sup A_{n} = [0, 1] ：$ $x \leq 1$ 的点都在所有偶数项里（无穷多次）； $x > 1$ 的点只在有限个偶数项 $[0, 1 + \frac{1}{n}]$ （ $\frac{1}{n} \geq x - 1 ）$ 里。所以 $x = 1$ 属于上极限、不属于下极限，它的示性函数值序列是 $0, 1, 0, 1, \dots 。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
下确界	infimum (inf)	最大的下界。例如 (0,1] 没有最小值，但下确界是 0。
下极限	limit inferior (lim inf)	数列「尾部的最小可能值」的极限；对集合则表示「从某一项起一直发生」。
上确界	supremum (sup)	最小的上界。最大值不一定存在，但有上界的实数集一定有上确界。
上极限	limit superior (lim sup)	数列「尾部的最大可能值」的极限；对集合则表示「发生无穷多次」。
Fatou 引理	Fatou's lemma	非负可测函数列满足 ∫ liminf fₙ ≤ liminf ∫ fₙ（只保证这个方向）。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
无穷多次	infinitely often (i.o.)	「Aₙ 发生无穷多次」就是集合 lim sup Aₙ。
下界	lower bound	数集 A 的下界是一个数 m，A 里每个数都 ≥ m。例如 0 和 −3 都是 (0,1] 的下界；所有下界中最大的那个叫下确界。
空集	empty set	一个元素也没有的集合，记作 ∅。作为事件，它永远不会发生。
元素	element	集合里的对象。ω ∈ Ω 读作「ω 属于 Ω」。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
德摩根律	De Morgan's laws	「并的补 = 补的交」「交的补 = 补的并」，把「非（A 或 B）」变成「非 A 且非 B」。
补集	complement	样本空间里不属于 A 的元素全体，记作 Aᶜ，对应「A 不发生」。
示性函数	indicator function	𝟏_A(x) 在 x ∈ A 时取 1，否则取 0；它的积分就是 A 的测度。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。