45 板书续页：控制收敛定理的证明（收尾）与使用方法 · 第1讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

上一页（第 44 页）推到了 $2 \int g \leq 2 \int g - lim sup \int ∣ f_{n} - f ∣ 。$ 这一页用四个「⇒」把它推到底： $\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0 ，$ 从而 $\int f_{n} \to \int f 。$ 老师写完打了「#」，DCT 证毕。

这是一页没有页码的手写续页，只有四行。下面先逐行讲清每个「⇒」的理由，再把 DCT 的完整证明串成一条链，最后给出「拿到题目时怎么用 DCT」的步骤和例题。

先补基础

基础补课非负数列：limsup ≤ 0 就意味着趋于 0

设 $a_{n} \geq 0 。$ 因为每一项都 $\geq 0 ，$ 所以 $0 \leq lim inf a_{n} \leq lim sup a_{n} 。$ 若又有 $lim sup a_{n} \leq 0 ，$ 就被夹成

0 \leq lim inf a_{n} \leq lim sup a_{n} \leq 0,

上下极限都等于 0，所以 $a_{n} \to 0 。$ 这是第 1–2 行用到的全部道理。

基础补课三角不等式（积分版，第 43 页）

$\int h d μ \leq \int ∣ h ∣ d μ 。$ 取 $h = f_{n} - f ，$ 就能用 $\int ∣ f_{n} - f ∣$ 控制 $\int f_{n} - \int f 。$

老师板书在说什么

老师板书板书转写

$\Rightarrow 0 \leq n lim sup \int ∣ f_{n} - f ∣ d μ \leq 0$
$\Rightarrow \int ∣ f_{n} - f ∣ d μ \to 0$
$\Rightarrow \int f_{n} - f d μ \to 0$
$\Rightarrow \int f_{n} \to \int f$ .　　#

第 1 行：夹出 0

右边的「 $\leq 0 」$ 来自上一页最后的不等式： $2 \int g \leq 2 \int g - lim sup_{n} \int ∣ f_{n} - f ∣ ，$ 两边减去有限数 $2 \int g$ 得 $lim sup_{n} \int ∣ f_{n} - f ∣ \leq 0 。$
左边的「 $0 \leq 」：$ $\int ∣ f_{n} - f ∣$ 是非负函数的积分，每一项都 $\geq 0 ，$ 所以上极限也 $\geq 0 。$

第 2 行：上极限为 0 ⇒ 收敛到 0

数列 $a_{n} = \int ∣ f_{n} - f ∣ d μ$ 非负、上极限为 0，由「先补基础」， $a_{n} \to 0 。$ 这就是 $L^{1}$ 收敛： $f_{n}$ 在「平均绝对误差」的意义下趋于 $f 。$

第 3 行：积分之差的绝对值也趋于 0

板书里的 $\int f_{n} - f d μ$ 指 $\int (f_{n} - f) d μ 。$ 由三角不等式，

0 \leq \int (f_{n} - f) d μ \leq \int ∣ f_{n} - f ∣ d μ \to 0,

夹逼得 $\int (f_{n} - f) \to 0 。$

第 4 行：结论

$f_{n}$ 和 $f$ 都可积，积分可以拆开（线性，第 43 页）： $\int (f_{n} - f) = \int f_{n} - \int f 。$ 差的绝对值趋于 0，就是 $\int f_{n} \to \int f 。$ 老师写「#」表示证明结束。

推导：一步一步来

推导DCT 的完整证明（第 44 页 + 本页）

条件： $f_{n} \to f$ a.e.， $∣ f_{n} ∣ \leq g ，$ $\int g < \infty 。$

$∣ f ∣ \leq g$ a.e. ⇒ $f \in L^{1} 。$
$∣ f_{n} - f ∣ \leq ∣ f_{n} ∣ + ∣ f ∣ \leq 2 g$ ⇒ $h_{n} := 2 g - ∣ f_{n} - f ∣ \geq 0 。$
Fatou： $\int lim inf h_{n} \leq lim inf \int h_{n} 。$
左边： $∣ f_{n} - f ∣ \to 0$ a.e. ⇒ $lim inf h_{n} = 2 g$ ⇒ 左边 $= 2 \int g 。$
右边： $lim inf (2 \int g - \int ∣ f_{n} - f ∣) = 2 \int g - lim sup \int ∣ f_{n} - f ∣ 。$
消去有限的 $2 \int g ：$ $lim sup \int ∣ f_{n} - f ∣ \leq 0 。$
非负数列 ⇒ $\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0$ （本页第 1–2 行）。
$\int f_{n} - \int f \leq \int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0$ ⇒ $\int f_{n} \to \int f$ （本页第 3–4 行）。 $■$

整条链的结构是「MCT ⇒ Fatou ⇒ DCT」：Fatou 用 MCT 证明（第 41 页），DCT 用 Fatou 证明（这里）。下一页的 BCT 则是 DCT 的特例（第 46 页）。

例子：拿到题目时怎么用 DCT

人话版三步检查清单

逐点极限：对每个（或几乎每个） $x ，$ 算出 $f (x) = lim_{n} f_{n} (x) 。$
找屋顶：找一个不依赖 $n$ 的 $g ，$ 使所有 $∣ f_{n} ∣ \leq g ；$ 常用办法是对 $n$ 取上确界 $sup_{n} ∣ f_{n} (x) ∣ ，$ 或用初等不等式放大。
验证屋顶可积： $\int g < \infty 。$ 区间无穷时，常数通常不可积，要找会衰减的 $g 。$

三步都通过，就可以写 $lim \int f_{n} = \int lim f_{n} = \int f 。$

例 1：

n \to \infty lim \int_{0}^{1} x + \frac{1}{n} d x

逐点： $x + \frac{1}{n} \to x 。$
屋顶： $x + \frac{1}{n} \leq x + 1 \leq 2 。$
常数 $2$ 在 $[0, 1]$ 上可积。

DCT ⇒ 极限 $= \int_{0}^{1} x d x = \frac{2}{3} 。$ 验证： $\int_{0}^{1} x + \frac{1}{n} d x = \frac{2}{3} [(1 + \frac{1}{n})^{3/2} - (\frac{1}{n})^{3/2}] \to \frac{2}{3} 。$ ✓

例 2：

n \to \infty lim \int_{0}^{\infty} \frac{sin ( x / n )}{x ( 1 + x ^{2} )} \cdot n d x

逐点： $n sin (x / n) \to x$ （因为 $sin t \approx t ），$ 所以被积函数 $\to \frac{x}{x ( 1 + x ^{2} )} = \frac{1}{1 + x ^{2}} 。$
屋顶： $∣ sin t ∣ \leq ∣ t ∣ ，$ 所以 $\frac{n s i n ( x / n )}{x ( 1 + x ^{2} )} \leq \frac{n \cdot x / n}{x ( 1 + x ^{2} )} = \frac{1}{1 + x ^{2}} 。$
$\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = \frac{π}{2} < \infty 。$

DCT ⇒ 极限 $= \int_{0}^{\infty} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = \frac{π}{2} 。$ 这类题直接算原积分很难，用 DCT 一步就出来了。

例 3（失败的检查）：

f_{n} = 1_{[n, n + 1]}

在

R

上

逐点极限：每个 $x$ 最终都在 $[n, n + 1]$ 左边， $f_{n} (x) \to 0 。$
屋顶：要压住所有 $f_{n} ，$ 至少要 $g \geq 1_{[1, \infty)} 。$
$\int_{R} 1_{[1, \infty)} = \infty ：$ 屋顶不可积，检查不通过。

结论确实不成立： $\int f_{n} = 1 \neq \to 0 。$ 方块一直「滑」向无穷远，质量没有消失，只是跑到了无穷远处。

例 4：在概率里用 DCT——期望的极限

设 $X$ 在 $(0, 1)$ 上均匀分布， $X_{n} = X^{1/ n} 。$ 求 $lim_{n} E [X_{n}] 。$

逐点：对每个 $x \in (0, 1) ，$ $x^{1/ n} = e^{(l n x) / n} \to e^{0} = 1 ，$ 所以 $X_{n} \to 1$ 几乎必然。
屋顶： $0 < X^{1/ n} < 1 ，$ 取 $g \equiv 1 。$
概率测度总质量为 1，所以 $E [g] = 1 < \infty 。$

DCT ⇒ $E [X_{n}] \to E [1] = 1 。$ 验证： $E [X^{1/ n}] = \int_{0}^{1} x^{1/ n} d x = \frac{1}{1 + 1/ n} = \frac{n}{n + 1} \to 1 。$ ✓

在概率空间上，有界的随机变量总能用常数当屋顶（总质量有限），这就是下一页有界收敛定理（第 46 页）的内容。

拓展延伸：和作业、小测的联系

DCT 的几种变形

另一种证法：对 $g + f_{n} \geq 0$ 和 $g - f_{n} \geq 0$ 各用一次 Fatou，分别得到 $\int f \leq lim inf \int f_{n}$ 和 $lim sup \int f_{n} \leq \int f ，$ 夹出 $\int f_{n} \to \int f 。$ 这是小测 1 第 2 题要求的写法。它少一步，但只得到积分收敛，得不到本页更强的 $\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0 。$
屋顶可以随 $n$ 变：若 $∣ f_{n} ∣ \leq g_{n} ，$ $g_{n} \to g$ a.e.，并且 $\int g_{n} \to \int g < \infty ，$ 结论照样成立。证明和本页一样，只是把 $h_{n} = 2 g - ∣ f_{n} - f ∣$ 换成 $h_{n} = g_{n} + ∣ f ∣ - ∣ f_{n} - f ∣ \geq 0 ，$ 消去的有限数变成 $\int g + \int ∣ f ∣ 。$ 这就是作业 1 第 10 题的「推广的控制收敛定理」；条件 $\int g_{n} \to \int g$ 不能少，否则尖峰 $g_{n} = f_{n} = n 1_{(0, 1/ n)}$ 就是反例。
屋顶本身不可积也可能成立：若 $0 \leq f_{n} \leq f 、$ $f_{n} \to f ，$ 即使 $\int f = \infty ，$ 也有 $\int f_{n} \to \int f 。$ 这时用的是 Fatou（下界）加单调性（上界），而不是 DCT，见作业 1 第 11 题。
依概率收敛的版本：把「a.e. 收敛」换成「依概率收敛」，DCT 仍然成立（第 3 讲第 20 页）。
最弱的够用条件：在概率空间上，比「有共同的可积屋顶」更弱、又恰好够用的条件叫一致可积：依概率收敛再加一致可积，等价于 $E ∣ X_{n} - X ∣ \to 0$ （小测 2 第 2 题）。

常见疑问与易错点

易错点问：DCT 的结论里，f 的可积性是假设还是结论？

答：是结论。我们没有事先假设 $f$ 可积，而是由 $∣ f ∣ \leq g$ 推出来的（第 44 页第 1 步）。这一点在应用中很方便：只要验证 $f_{n}$ 有共同的可积屋顶，极限函数的可积性就自动成立。

易错点问：第 1 行左边的「0 ≤」是怎么来的？好像证明里没写。

答：是因为 $\int ∣ f_{n} - f ∣$ 是非负函数的积分，每一项都 $\geq 0 ，$ 所以它的上极限也 $\geq 0 。$ 老师把它直接写进第 1 行，和右边的 $\leq 0$ 一起「夹出」0。

易错点问：为什么结论里 ∫|fₙ − f| → 0 比 ∫fₙ → ∫f 更重要？

答：它更强（第 3 行由它推出积分收敛），而且不允许「正负抵消」（第 43 页例 5 那种正负尖峰在 DCT 条件下不会出现）。概率里它意味着 $E ∣ X_{n} - X ∣ \to 0 ，$ 即平均误差趋于 0。

易错点问：条件只要求「几乎处处」收敛、「几乎处处」有屋顶，证明里却好像当成处处成立来用了，可以吗？

答：可以。每个 $n$ 都有一个零测集 $N_{n} ，$ 在它外面 $∣ f_{n} ∣ \leq g ；$ 还有一个零测集 $N_{0} ，$ 在它外面 $f_{n} \to f 。$ 可数个零测集的并 $N = N_{0} \cup N_{1} \cup N_{2} \cup \dots$ 仍是零测集（可数次可加性）。在 $N$ 外，所有条件同时处处成立。把所有函数在 $N$ 上改成 0，积分一个也不变（第 43 页），于是就回到了「处处成立」的情形。注意这里用到「可数」：如果有不可数个零测集，它们的并可能不是零测集。

易错点问：屋顶怎么找？有没有通用办法？

答：最自然的候选是 $G (x) = sup_{n} ∣ f_{n} (x) ∣$ ——它是最小的屋顶。如果 $G$ 可积，DCT 就能用；如果 $G$ 不可积，任何屋顶都不可积，DCT 一定用不了（例 3、第 44 页例 3），只能另想办法（例如用 Fatou 得到一个方向的不等式）。

小结与自测

小结本页小结

板书四步： $0 \leq lim sup \int ∣ f_{n} - f ∣ \leq 0$ ⇒ $\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0$ ⇒ $\int (f_{n} - f) \to 0$ ⇒ $\int f_{n} \to \int f 。$
理由：非负数列的上极限 $\leq 0$ 就收敛到 0；三角不等式 $\int h \leq \int ∣ h ∣ ；$ 积分的线性。
用 DCT 的三步：求逐点极限 → 找不依赖 $n$ 的屋顶 → 验证屋顶可积。
证明链：MCT ⇒ Fatou ⇒ DCT ⇒ BCT。

自测

1. 若已知 $\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0 ，$ 能否推出 $\int ∣ f_{n} ∣ \to \int ∣ f ∣ ？$

点开看答案

能。逐点有 $∣ f_{n} ∣ - ∣ f ∣ \leq ∣ f_{n} - f ∣$ （三角不等式），所以 $\int ∣ f_{n} ∣ - \int ∣ f ∣ \leq \int ∣ f_{n} ∣ - ∣ f ∣ \leq \int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0 。$

2. 用 DCT 求 $n \to \infty lim \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x ^{n}} d x 。$

点开看答案

逐点： $0 \leq x < 1$ 时 $x^{n} \to 0 ，$ 被积函数 $\to 1 ；$ 只有 $x = 1$ 时等于 $\frac{1}{2}$ （零测集）。屋顶： $\frac{1}{1 + x ^{n}} \leq 1 ，$ 在 $[0, 1]$ 上可积。DCT ⇒ 极限 $= \int_{0}^{1} 1 d x = 1 。$

3. 第 2 行能不能改成「 $lim inf \int ∣ f_{n} - f ∣ \leq 0$ ⇒ $\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0 」？$

点开看答案

不能。下极限为 0 只说明有一个子列趋于 0，整列可能不收敛（例如 $0, 1, 0, 1, \dots ）。$ 必须是上极限 $\leq 0 ，$ 才能把整列夹到 0。这也是为什么证明里要把 $lim inf$ 换成 $lim sup$ （第 44 页第 5 步）。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
下极限	limit inferior (lim inf)	数列「尾部的最小可能值」的极限；对集合则表示「从某一项起一直发生」。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
上极限	limit superior (lim sup)	数列「尾部的最大可能值」的极限；对集合则表示「发生无穷多次」。
三角不等式	triangle inequality	\|a + b\| ≤ \|a\| + \|b\|：分两段走的总路程不会比直接走更短。推广有 \|∫f\| ≤ ∫\|f\|、E\|X + Y\| ≤ E\|X\| + E\|Y\|，以及 Lᵖ 范数的 Minkowski 不等式。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
几乎处处	almost everywhere (a.e.)	除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
有界收敛定理	bounded convergence theorem (BCT)	有限测度上一致有界、几乎处处收敛的函数列，积分收敛；是 DCT 的特例。
逐点收敛	pointwise convergence	对定义域里的每一个点 x，数列 fₙ(x) 都收敛到 f(x)；这样得到的函数 f 叫逐点极限。
上确界	supremum (sup)	最小的上界。最大值不一定存在，但有上界的实数集一定有上确界。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
推广的控制收敛定理	generalized dominated convergence theorem	\|fₙ\| ≤ gₙ，fₙ → f，gₙ → g，且 ∫gₙ → ∫g < ∞，则 ∫fₙ → ∫f：控制函数也可以随 n 变化。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
下界	lower bound	数集 A 的下界是一个数 m，A 里每个数都 ≥ m。例如 0 和 −3 都是 (0,1] 的下界；所有下界中最大的那个叫下确界。
依概率收敛	convergence in probability	对每个 ε > 0，P(\|Xₙ − X\| > ε) → 0；比几乎必然收敛弱。
一致可积	uniformly integrable (UI)	一族随机变量的尾部期望一致地变小：supₜ E[\|Xₜ\|; \|Xₜ\| > λ] → 0（λ → ∞）。它是「依概率收敛 ⇒ 期望收敛」的关键条件。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
次可加性	subadditivity	并集的测度不超过各部分测度之和：μ(A ∪ B) ≤ μ(A) + μ(B)。
不可数	uncountable	无论怎么排都排不成一列，例如区间 [0,1] 里的全体实数。
子列	subsequence	从一个数列里按顺序挑出无穷多项组成的新数列。