21 依概率控制收敛的证明（续）：反证、再取子列、用 DCT · 第3讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

要证积分误差 $a_{n} := E ∣ X_{n} - X ∣ \to 0 。$ 用反证：如果不趋于 0，就有一串「坏」下标，误差始终 $\geq ε ；$ 在坏下标里再挑一个几乎必然收敛的子列；对它用第 1 讲的 DCT（控制函数 $2 Y ），$ 误差趋于 0——和「始终 $\geq ε 」$ 矛盾。

这一页接着第 20 页，完成定理 15 的证明。上一页已经证明了极限可积： $∣ X ∣ \leq Y$ 几乎必然。
本页的难点是：DCT 需要几乎必然收敛，而我们只有依概率收敛。子列判别法（第 16 页定理 12）能给出几乎必然收敛的子列，但一个子列只管得了它自己那些项。
解决办法是一个非常有用的套路：反证 + 子子列。它说明「对每个子列都能再挑出一个好子列」就足以控制整个序列。学会它，以后很多「几乎必然收敛下成立」的结论都能照搬到依概率收敛。

先补基础

基础补课反证法

要证命题 $P ，$ 先假设「 $P$ 不成立」，从这个假设出发推出一个矛盾（比如某个数既 $\geq ε$ 又趋于 0），于是假设是错的， $P$ 成立。

例：设实数 $a \geq 0 ，$ 且对每个 $ε > 0$ 都有 $a < ε ，$ 要证 $a = 0 。$ 反设 $a > 0 ，$ 取 $ε = a ，$ 则 $a < a ，$ 矛盾。所以 $a = 0 。$

基础补课「a_n → 0」的否定，以及怎样挑出坏子列

设 $a_{n} \geq 0 。$ $a_{n} \to 0$ 的定义是：

\forall ε > 0 \exists N \forall n \geq N : a_{n} < ε .

否定时，每个量词翻转（「对所有」变「存在」，「存在」变「对所有」），最后的不等式取反：

\exists ε > 0 \forall N \exists n \geq N : a_{n} \geq ε .

读法：有一个固定的 $ε ，$ 无论从多远开始数，后面总还有 $a_{n} \geq ε$ 的项，即 $a_{n} \geq ε$ 对无穷多个 $n$ 成立。把这些 $n$ 从小到大排好，就得到一个子列 $n_{1} < n_{2} < \dots ，$ 满足 $a_{n_{k}} \geq ε$ 对所有 $k$ 成立。

例： $a_{n} = 1$ （ $n$ 为偶数）、 $a_{n} = \frac{1}{n}$ （ $n$ 为奇数）。取 $ε = 1 ，$ 所有偶数 $n$ 都满足 $a_{n} \geq 1 ，$ 坏子列是 $n_{k} = 2 k 。$

基础补课子列的子列（子子列）

已有子列 $n_{1} < n_{2} < \dots 。$ 再从下标 $k$ 里挑 $k_{1} < k_{2} < \dots ，$ 得到 $n_{k_{1}} < n_{k_{2}} < \dots ，$ 叫子子列（further subsequence），记作 $(n_{k_{j}})_{j \geq 1} 。$
例： $n_{k} = 2 k$ （偶数）， $k_{j} = 2 j ，$ 于是 $n_{k_{j}} = 4 j$ （4 的倍数）。
三条事实：
1. 子子列本身也是原序列的一个子列（下标仍严格递增）；
2. 收敛数列的每个子列都收敛到同一个极限；
3. 若 $X_{n} P X ，$ 则每个子列也有 $X_{n_{k}} P X ：$ 对每个 $δ > 0 ，$ 数列 $P (∣ X_{n_{k}} - X ∣ > δ)$ 是趋于 0 的数列 $P (∣ X_{n} - X ∣ > δ)$ 的子列，所以也趋于 0。

基础补课第 1 讲的控制收敛定理（定理 36）

在测度空间 $(S, M, μ)$ 上，设 $f_{n} \to f$ $μ$ -几乎处处，存在可测函数 $g \geq 0 ，$ $\int g d μ < \infty ，$ 且 $∣ f_{n} ∣ \leq g 。$ 则 $\int ∣ f_{n} - f ∣ d μ \to 0 ，$ $\int f_{n} d μ \to \int f d μ$ （第 44 页）。

本页用的是它在概率空间上的样子： $μ = P ，$ 「几乎处处」就是「几乎必然」，积分就是期望。

课件原文逐句精读

课件原文Dominated convergence in probability: proof

Convergence of the integral errors

A further subsequence and DCT

中文翻译

（标题：依概率收敛下的控制收敛：证明）

积分误差的收敛

再取一个子列，然后用 DCT

标题：接着上一页，证明定理 15 剩下的部分。
Convergence of the integral errors：integral error（积分误差）指 $E ∣ X_{n} - X ∣ = \int_{Ω} ∣ X_{n} - X ∣ d P ，$ 它把每一步的误差按概率平均成一个数。这一段要证这些数趋于 0。
A further subsequence and DCT：a further subsequence（再进一步的子列）就是上面说的子子列。这一段在子子列上使用第 1 讲的 DCT，得出矛盾。
课件在两个标题下留白，下面补全。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

以下始终在定理 15 的条件下： $X_{n} P X ，$ $Y \geq 0 ，$ $E Y < \infty ，$ 对每个 $n$ 有 $∣ X_{n} ∣ \leq Y$ 几乎必然。上一页已证 $∣ X ∣ \leq Y$ 几乎必然。

Convergence of the integral errors｜积分误差的收敛

推导证明思路

把积分误差记成一个实数列 $a_{n} 。$ 先确认它们是有限数；再假设 $a_{n} \neq \to 0 ，$ 挑出误差始终 $\geq ε$ 的坏子列。下一段在坏子列里找矛盾。

积分误差是有限数：由三角不等式和 $∣ X ∣ \leq Y ，$ 几乎必然地

0 \leq ∣ X_{n} - X ∣ \leq ∣ X_{n} ∣ + ∣ X ∣ \leq 2 Y,

所以 $a_{n} := E ∣ X_{n} - X ∣$ 满足 $0 \leq a_{n} \leq 2 E Y < \infty 。$ 2. 要证的结论： $a_{n} \to 0 。$ 3. 反证假设：假设 $a_{n} \neq \to 0 。$ 由先补基础里的否定，存在 $ε > 0$ 和下标 $n_{1} < n_{2} < \dots ，$ 使得

a_{n_{k}} = E ∣ X_{n_{k}} - X ∣ \geq ε 对所有 k .

这串 $n_{k}$ 叫坏子列：在它上面，积分误差从来没有低于 $ε 。$ 4. 坏子列仍然依概率收敛：由先补基础的事实 3， $X_{n_{k}} P X$ （ $k \to \infty ）。$

A further subsequence and DCT｜再取一个子列，然后用 DCT

推导证明思路

坏子列依概率收敛，所以它有几乎必然收敛的子子列。子子列上误差被 $2 Y$ 控制，DCT 说误差的期望趋于 0；可子子列的每一项都是坏子列的项，误差 $\geq ε 。$ 矛盾。

再取一个子列：对依概率收敛的序列 $(X_{n_{k}})_{k}$ 用子列判别法（第 16 页定理 12），存在 $k_{1} < k_{2} < \dots ，$ 使得

X_{n_{k_{j}}} \to X 几乎必然 (j \to \infty) .

检查 DCT 的条件：令 $Z_{j} := ∣ X_{n_{k_{j}}} - X ∣ 。$
- 收敛：第 1 步给出 $X_{n_{k_{j}}} (ω) \to X (ω)$ 对几乎每个 $ω$ 成立，绝对值连续，所以 $Z_{j} \to 0$ 几乎必然；
- 控制：由上一段第 1 步，对每个 $j ，$ $∣ Z_{j} ∣ \leq 2 Y$ 几乎必然；
- 控制函数可积： $E [2 Y] = 2 E Y < \infty 。$
用 DCT：由第 1 讲定理 36（ $f_{j} = Z_{j} ，$ $f = 0 ，$ $g = 2 Y ，$ $μ = P ），$

E Z_{j} = E X_{n_{k_{j}}} - X \to E [0] = 0 (j \to \infty) .

矛盾：子子列的每一项都是坏子列的项，所以 $E Z_{j} = a_{n_{k_{j}}} \geq ε$ 对所有 $j$ 成立。一个始终 $\geq ε > 0$ 的数列不可能趋于 0（由极限定义，取容忍度 $ε ，$ 从某项起应有 $E Z_{j} < ε ）。$ 这与第 3 步矛盾。
结论 2：反证假设不成立，所以 $E ∣ X_{n} - X ∣ \to 0 。$
结论 3： $X_{n} 、$ $X$ 都可积，由期望的线性和 $∣ E Z ∣ \leq E ∣ Z ∣$ （第 43 页命题 35），

∣ E X_{n} - E X ∣ = ∣ E (X_{n} - X) ∣ \leq E ∣ X_{n} - X ∣ \to 0.

定理 15 证毕。

三层下标一览：

层次	下标	已知	用来做什么
原序列	$n = 1, 2, 3, \dots$	依概率收敛，未必几乎必然收敛	定理的条件
坏子列	$n_{1} < n_{2} < \dots$	积分误差始终 $\geq ε$	反证假设
子子列	$n_{k_{1}} < n_{k_{2}} < \dots$	几乎必然收敛（定理 12）	在这里用 DCT，得出误差 $\to 0$

补充关于第 2 步里的「几乎必然」

第 1 讲 DCT 写的是 $∣ f_{n} ∣ \leq g 。$ 这里每个 $j$ 的 $∣ Z_{j} ∣ \leq 2 Y$ 只在一个概率为 1 的事件上成立。把可数个例外集并起来（概率仍为 0），在这个零概率集上把所有 $Z_{j}$ 和 $Y$ 改成 0，不改变任何期望（第 43 页），改完后的不等式就处处成立。所以「几乎必然」版本的条件完全够用。

例子

例 1：实数列的「子列原理」

这一页的论证其实是下面这条关于实数列的原理：

子列原理： $a_{n} \to a$ 当且仅当 $(a_{n})$ 的每个子列都有一个子子列收敛到 $a 。$

例 (i)： $a_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} 。$ 任何子列的项都满足 $∣ a_{n_{k}} ∣ = \frac{1}{n _{k}} \leq \frac{1}{k} \to 0$ （因为 $n_{k} \geq k ），$ 不用再挑，子列本身就收敛到 0。原理说 $a_{n} \to 0 ，$ 确实如此。
例 (ii)： $a_{n} = 1$ （ $n$ 为偶数）、 $a_{n} = \frac{1}{n}$ （ $n$ 为奇数）。偶数下标这个子列的每一项都是 1，它的任何子子列都收敛到 1，不会收敛到 0。原理说 $a_{n} \neq \to 0 ，$ 确实如此。
定理 15 的证明就是：对任意子列，靠「定理 12 + DCT」找到一个积分误差趋于 0 的子子列，于是由子列原理 $a_{n} \to 0 。$ 上面写成反证，只是把这条原理的证明直接嵌了进去。

例 2：如果没有可积上界，证明断在哪一步？

拿尖峰 $X_{n} = n 1_{[0, 1/ n]} 、$ $X = 0$ （第 19 页）来走一遍：

$a_{n} = E ∣ X_{n} ∣ = 1 ，$ 确实不趋于 0。取 $ε = 1 ，$ 坏子列可以是整个序列。
再取子列：尖峰本身就几乎必然收敛到 0，子子列也是。
DCT 这一步断了：没有可积的 $Y$ 使 $∣ X_{n} ∣ \leq Y ，$ 也就没有可积的 $2 Y$ 去控制误差，DCT 不能用，推不出 $E Z_{j} \to 0 ，$ 自然也没有矛盾。

所以证明里真正起作用的是「共同的可积上界」，其余步骤只是把依概率收敛搬到几乎必然收敛上。

例 3：误差的上界 2Y 可以被取到

在 $[0, 1]$ 上令 $X \equiv 1 ，$ $X_{n} = 1 - 2 1_{[0, 1/ n]}$ （在 $[0, \frac{1}{n}]$ 上取 $- 1 ，$ 其余取 $1 ）。$

$∣ X_{n} ∣ = 1 ，$ 取 $Y \equiv 1 ，$ $E Y = 1 。$
$X_{n} P X ：$ ${∣ X_{n} - X ∣ > ε} \subseteq [0, \frac{1}{n}] ，$ 概率 $\leq \frac{1}{n} \to 0 。$
在 $[0, \frac{1}{n}]$ 上 $∣ X_{n} - X ∣ = ∣ - 1 - 1∣ = 2 = 2 Y ，$ 误差恰好等于 $2 Y$ ，所以误差的控制函数不能取成 $Y 。$
积分误差 $a_{n} = 2 \cdot \frac{1}{n} \to 0 ，$ 与定理 15 一致。

推导：一步一步来

子子列确实是原序列的子列。 若 $j < j^{'} ，$ 则 $k_{j} < k_{j^{'}}$ （ $k_{j}$ 严格递增），又因为 $n_{k}$ 严格递增， $n_{k_{j}} < n_{k_{j^{'}}} 。$ 所以 $(n_{k_{j}})_{j}$ 是严格递增的正整数列，是原序列的一个子列；它也是坏子列的一个子列，所以其中每一项都满足 $a_{n_{k_{j}}} \geq ε 。$ 第 4 步的矛盾就是这么来的。

为什么要反证，只取一个几乎必然收敛的子列不够。 上一页第 1 步已经有一个子列 $X_{n_{k}} \to X$ 几乎必然，对它用 DCT 得 $E ∣ X_{n_{k}} - X ∣ \to 0 。$ 但这只说明这些下标上误差趋于 0，别的下标上 $a_{n}$ 可以一直很大：比如数列 $0, 1, 0, 1, \dots$ 的偶数项子列收敛到 0，整个数列却不收敛（第 16 页的 Remark：one convergent subsequence is insufficient）。反证法的作用是把「别的下标」也管住：任何一串可能出问题的下标，都能在其中再挑出一个子子列，而在子子列上误差趋于 0，于是那串下标不可能一直出问题。

另一种证法：截断，不用反证

固定 $ε > 0$ 和 $M > 0 ，$ 记 $A_{n} = {∣ X_{n} - X ∣ > ε} 。$

几乎必然地， $∣ X_{n} - X ∣ \leq ε + 2 Y 1_{A_{n}} ：$ 在 $A_{n}^{c}$ 上误差 $\leq ε ，$ 在 $A_{n}$ 上误差 $\leq 2 Y 。$
截断： $Y 1_{A_{n}} \leq M 1_{A_{n}} + Y 1_{{Y > M}} 。$ （若 $Y \leq M ，$ 左边 $\leq M 1_{A_{n}} ；$ 若 $Y > M ，$ 左边 $\leq Y = Y 1_{{Y > M}} 。）$
取期望： $E ∣ X_{n} - X ∣ \leq ε + 2 M P (A_{n}) + 2 E [Y 1_{{Y > M}}] 。$
令 $n \to \infty ：$ $P (A_{n}) \to 0 ，$ 所以 $lim sup_{n} E ∣ X_{n} - X ∣ \leq ε + 2 E [Y 1_{{Y > M}}] 。$
令 $M \to \infty ：$ $Y 1_{{Y > M}} \to 0$ 处处（ $Y$ 是有限值），且 $\leq Y$ 可积，由 DCT， $E [Y 1_{{Y > M}}] \to 0 。$ 再令 $ε \to 0 ，$ 得 $lim sup_{n} E ∣ X_{n} - X ∣ \leq 0 。$

这里的「截断」技巧在第 29 页推论 19 的证明中还会出现。

常见疑问与易错点

易错点问：为什么不直接对整个序列用第 1 讲的 DCT？

答：第 1 讲 DCT 的条件是几乎必然收敛。依概率收敛的序列可能在每个点上都不收敛（第 15 页打字机序列），那样 DCT 的第一个条件就不成立。子列判别法只保证子列几乎必然收敛，所以只能在子列上用 DCT。

易错点问：反证里的 ε 是从哪来的？可以随便取吗？

答：不能随便取。它是由反证假设「 $a_{n} \neq \to 0 」$ 给出的：否定之后，存在某个 $ε > 0 ，$ 使得 $a_{n} \geq ε$ 对无穷多个 $n$ 成立。我们只知道它存在、是正数，并不知道它具体是多少，但证明不需要知道。

易错点问：控制函数为什么是 2Y，而不是 Y？

答：因为 DCT 用在误差 $∣ X_{n_{k_{j}}} - X ∣$ 上，而不是 $X_{n_{k_{j}}}$ 上。三角不等式给出 $∣ X_{n} - X ∣ \leq ∣ X_{n} ∣ + ∣ X ∣ \leq Y + Y 。$ 例 3 说明误差确实可以达到 $2 Y 。$ 常数 2 无关紧要，因为 $E [2 Y] = 2 E Y$ 仍然有限。（也可以直接对 $X_{n_{k_{j}}}$ 用第 1 讲 DCT，控制函数取 $Y ：$ 那条定理的结论本来就包含 $\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0 ，$ 它的证明内部用的也是 $2 g 。）$

易错点问：第 4 步的矛盾具体是哪两句话打架？

答：一句是 DCT 的结论「 $E Z_{j} \to 0 」，$ 另一句是「 $E Z_{j} \geq ε$ 对所有 $j 」$ （因为子子列的项都来自坏子列）。前者要求从某个 $j$ 起 $E Z_{j} < ε ，$ 后者说永远不会。

小结与自测

小结本页小结

目标：积分误差 $a_{n} = E ∣ X_{n} - X ∣ \to 0 ；$ 因为 $∣ X_{n} - X ∣ \leq 2 Y ，$ 它们都是有限数。
反证：若 $a_{n} \neq \to 0 ，$ 存在 $ε > 0$ 和坏子列 $n_{k} ，$ $a_{n_{k}} \geq ε 。$
坏子列仍依概率收敛，由定理 12 有几乎必然收敛的子子列 $n_{k_{j}} ；$ 对误差用 DCT（控制函数 $2 Y ），$ 得 $a_{n_{k_{j}}} \to 0 ，$ 矛盾。
于是 $E ∣ X_{n} - X ∣ \to 0 ，$ 再由 $∣ E X_{n} - E X ∣ \leq E ∣ X_{n} - X ∣$ 得期望收敛。定理 15 证毕。
背后的原理： $a_{n} \to a$ ⟺ 每个子列都有收敛到 $a$ 的子子列。

自测

1. 设 $a_{n} \geq 0 。$ 写出「 $a_{n} \to 0 」$ 的否定，并说明为什么由它能挑出子列 $n_{k}$ 使 $a_{n_{k}} \geq ε$ 对所有 $k$ 成立。

点开看答案

否定：存在 $ε > 0 ，$ 对每个 $N$ 都存在 $n \geq N$ 使 $a_{n} \geq ε 。$ 于是先取 $N = 1$ 得到 $n_{1} ；$ 再取 $N = n_{1} + 1$ 得到 $n_{2} > n_{1} ；$ 再取 $N = n_{2} + 1$ 得到 $n_{3} > n_{2} \dots\dots$ 这样一直挑下去，得到严格递增的 $n_{1} < n_{2} < \dots ，$ 每一项都满足 $a_{n_{k}} \geq ε 。$

2. 数列 $a_{n}$ 在 $n$ 是完全平方数（ $1, 4, 9, 16, \dots ）$ 时等于 1，否则等于 $\frac{1}{n} 。$ 它收敛到 0 吗？若不收敛，给出一个坏子列。

点开看答案

不收敛。取 $ε = 1 ，$ 坏子列 $n_{k} = k^{2} ，$ $a_{n_{k}} = 1 \geq 1$ 对所有 $k$ 成立，它的任何子子列都收敛到 1 而不是 0。

3. 在「A further subsequence and DCT」这一段中，DCT 的三个条件分别是什么？各自是怎样验证的？

点开看答案

（1）几乎必然收敛： $Z_{j} = ∣ X_{n_{k_{j}}} - X ∣ \to 0$ a.s.，来自子列判别法（定理 12）选出的子子列。（2）被同一个函数控制： $∣ Z_{j} ∣ \leq 2 Y$ a.s.，来自三角不等式和上一页证明的 $∣ X ∣ \leq Y$ a.s.。（3）控制函数可积： $E [2 Y] = 2 E Y < \infty ，$ 来自定理 15 的假设。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
子列	subsequence	从一个数列里按顺序挑出无穷多项组成的新数列。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
依概率收敛	convergence in probability	对每个 ε > 0，P(\|Xₙ − X\| > ε) → 0；比几乎必然收敛弱。
测度空间	measure space	三元组 (S, 𝓜, μ)：空间、σ-代数、测度。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
几乎处处	almost everywhere (a.e.)	除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
三角不等式	triangle inequality	\|a + b\| ≤ \|a\| + \|b\|：分两段走的总路程不会比直接走更短。推广有 \|∫f\| ≤ ∫\|f\|、E\|X + Y\| ≤ E\|X\| + E\|Y\|，以及 Lᵖ 范数的 Minkowski 不等式。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
打字机序列	typewriter sequence	在 [0,1) 上从左到右一遍遍扫过、越来越窄的小区间的示性函数列：依概率收敛到 0，却在每一点都不收敛。