26 勒贝格保留「台阶」，但换了台阶的底 · 第1讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

黎曼和勒贝格都用「台阶函数」（一块块平顶）去逼近曲线下的面积。区别只有一个：黎曼的台阶底只能是区间，勒贝格的台阶底可以是任意可测集。按函数值横着切，每一层的底是「函数值不低于这一层的所有点」，它可以是好几段，甚至很碎。

上一页（第 25 页）的达布和把台阶建在区间小格上。这一页用两张图对比勒贝格的做法，为下面几页的「简单函数」（第 30 页）做准备。

先补基础

基础补课水平集 {x : f(x) ≥ y}

给定一个高度 $y ，$ ${x : f (x) \geq y}$ 是「函数值至少为 $y$ 的所有点」。在图上：画一条水平线 $y ，$ 曲线在这条线上方的那些 $x$ 就是这个集合。

例： $f (x) = sin (π x)$ 在 $[0, 1]$ 上， ${x : f (x) \geq \frac{1}{2}} = [\frac{1}{6}, \frac{5}{6}]$ （一个区间）；但若 $f$ 有两个峰，这个集合会是两段。

基础补课示性函数与简单函数（预告）

$1_{A} (x)$ 在 $x \in A$ 时取 1，否则取 0。简单函数 $s = \sum_{k} a_{k} 1_{A_{k}} ：$ 在集合 $A_{k}$ 上取值 $a_{k} ，$ 是若干块「平顶」拼起来的台阶。正式定义在第 30 页。

图解

图解：左边竖切，右边横切

左图：Darboux: interval cells only（达布：只有区间小格）

横轴被虚线分成若干等宽小区间，每个区间上立一个矩形（浅蓝色），高度由函数在这一格里的值决定。
台阶的「底」一律是区间；要让面积逼近准确，只能把区间切得更细。

右图：Lebesgue: measurable level sets（勒贝格：可测的水平集）

纵轴上画了一条条水平虚线（等间隔的高度）。每条水平线和曲线交于两点（绿色圆点）。
每一层的颜色带（从下往上由绿变青）宽度不同：越往上，曲线在这一高度之上的 $x$ 越少，所以带越窄。
每一层的「底」就是 ${x : f (x) \geq y_{k}} ：$ 图里这条抛物线恰好只有一个峰，所以每层的底都是一段区间；如果函数有好几个峰，底就会是好几段（可以在下方演示里换一个函数观察）。
把所有层叠起来，就得到一个逼近曲线的台阶函数；层切得越细，逼近越准。

动手试一试自己切一切：竖切与横切

选「勒贝格」时，下方的彩条画出每一层的底 ${x : f (x) \geq y_{k}} 。$ 这个函数有两个峰，所以较高的几层的底是两段分开的区间——它不是一个区间，但仍然是可测集，勒贝格照样可以把它当台阶的底。

课件原文逐句精读

课件原文What changes

Riemann–Darboux: the lower and upper staircases are tied to finitely many interval cells. Refining $P$ must force $U (f, P) - L (f, P)$ to zero.

Lebesgue: a simple staircase $s = \sum_{k} a_{k} 1_{A_{k}}$ may use arbitrary measurable sets $A_{k}$ . Taking all measurable simple sets can isolate scattered or dense null behavior instead of charging the surrounding intervals.

中文翻译

有什么改变

黎曼–达布：上下台阶被绑定在有限个区间小格上。加细分割 $P$ 必须能把 $U (f, P) - L (f, P)$ 逼到 0。

勒贝格：一个简单台阶 $s = \sum_{k} a_{k} 1_{A_{k}}$ 可以使用任意可测集 $A_{k} 。$ 允许所有可测的简单函数，就能把分散的或稠密的「零测行为」单独隔离出来，而不必连累周围的区间。

逐句讲：

tied to finitely many interval cells：黎曼的台阶只能是「有限个区间 × 常数高度」。
Refining $P$ must force $U - L$ to zero：黎曼可积的唯一办法是把区间切细，让上下台阶贴紧。
may use arbitrary measurable sets $A_{k}$ ：勒贝格的台阶 $\sum_{k} a_{k} 1_{A_{k}}$ 中， $A_{k}$ 可以是任何可测集——一个点、可数个点、康托尔集、有理数全体……
isolate scattered or dense null behavior（老师画了下划线）：如果函数只在一个零测集上「捣乱」（比如只在有理点上等于 1），勒贝格可以用一块底为「有理数集」的台阶单独处理它，这块台阶的面积是 $1 \times 0 = 0 ；$ 而黎曼做不到，因为有理数在每个区间里都有，每个区间小格都被连累（charging the surrounding intervals）。

老师板书在说什么

老师板书板书转写

两张图下方： $1_{[0, 1] \cap Q}$
圈出：simple staircase $s = \sum_{k} a_{k} 1_{A_{k}}$ 中的 $a_{k} 、$ $A_{k} ，$ 以及 measurable sets $A_{k} 。$
在 isolate scattered or dense null behavior 下画线。
页面底部：Lebesgue integral permits discontinuous function. $⟺$ discontinuity set is a null set.（右侧写 $μ (N) = 0 ，$ 并画箭头指回 surrounding intervals）

第 1 行 $1_{[0, 1] \cap Q}$ ：老师举的例子就是狄利克雷函数。它在每个区间里都在 0 和 1 之间跳，黎曼的台阶永远贴不紧；勒贝格却可以直接写成「底为 $Q \cap [0, 1] 、$ 高为 1」的一块台阶，面积 $= 1 \times m (Q \cap [0, 1]) = 0 。$ 完整计算在第 28 页。
第 2 行：圈出的三处都在强调勒贝格台阶的两个要素：高度 $a_{k}$ 和 底 $A_{k}$ ，而且底只要求是可测集。
第 4 行：老师总结「不连续」这件事的两种处理：
- 勒贝格积分允许（permits）很不连续的函数，只要它可测；
- 对黎曼积分，著名的勒贝格判别是：有界函数黎曼可积 $⟺$ 它的不连续点集是零测集（ $μ (N) = 0 ）。$ 箭头指回「surrounding intervals」：不连续点只要占的「长度」为 0，就不会连累太多区间。下一页（第 27 页）的论证就用到这个思想。

例子

例 1：同一个面积，两种切法

$f (x) = x$ 在 $[0, 1]$ 上，面积 $\frac{1}{2} 。$

竖切（黎曼）：分成 $n$ 格，下和 $= \sum_{j = 1}^{n} \frac{j - 1}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{n - 1}{2 n} \to \frac{1}{2} 。$
横切（勒贝格）：高度 $y_{k} = \frac{k}{n} 。$ 第 $k$ 层的底是 ${x : x \geq \frac{k}{n}} = [\frac{k}{n}, 1] ，$ 长度 $1 - \frac{k}{n} ；$ 每层厚 $\frac{1}{n} 。$ 台阶面积 $= \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n} (1 - \frac{k}{n}) = \frac{n - 1}{2 n} \to \frac{1}{2} 。$

两种切法得到同样的极限。区别只在于：横切时每层的底由函数值决定，而不是由人为选定的区间决定。

例 2：水平集可以很碎

$f = 1_{Q \cap [0, 1]} 。$ 高度 $y = \frac{1}{2}$ 的水平集是 ${x : f (x) \geq \frac{1}{2}} = Q \cap [0, 1]$ ——稠密地散布在整个区间里，完全不是区间，但它可测、测度为 0。勒贝格的台阶可以直接以它为底。

常见疑问与易错点

易错点问：勒贝格积分是不是就是「横着切的黎曼积分」？

答：思路上可以这样理解，但关键不在「横着切」本身，而在于允许任意可测集做底。横切只是让我们自然地遇到「底不是区间」的情况。

易错点问：为什么说勒贝格更适合概率？

答：概率里的样本空间 $Ω$ 往往根本没有「区间」这回事（比如无穷次抛硬币的所有序列）。勒贝格积分只需要「集合 + 测度」就能定义，对任何概率空间都适用；期望 $E [X] = \int X d P$ 就是这样定义的。

小结与自测

小结本页小结

黎曼（达布）：台阶底只能是区间小格，只能靠加细分割逼近。
勒贝格：台阶 $s = \sum a_{k} 1_{A_{k}}$ 的底可以是任意可测集；按函数值横切时，每层的底是水平集 ${f \geq y_{k}} 。$
好处：只在零测集上捣乱的函数（如狄利克雷函数）可以被单独隔离，不连累周围区间。
勒贝格判别：有界函数黎曼可积 ⟺ 不连续点集是零测集。

自测

1. $f (x) = sin (2 π x) + 1$ 在 $[0, 1]$ 上，水平集 ${x : f (x) \geq 1.5}$ 是一个区间还是两个区间？

点开看答案

$f \geq 1.5 ⟺ sin (2 π x) \geq \frac{1}{2} ⟺ 2 π x \in [\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}] ⟺ x \in [\frac{1}{12}, \frac{5}{12}] ，$ 在 $[0, 1]$ 上只有这一段。若问 ${f \leq 0.5} ，$ 则是 $[\frac{7}{12}, \frac{11}{12}] ，$ 也是一段。（如果函数有两个峰，高处的水平集就会是两段。）

2. 为什么黎曼方法处理 $1_{Q \cap [0, 1]}$ 会失败，而勒贝格可以？

点开看答案

有理数在每个区间里都有，无理数也是，所以每个区间小格的上下确界都是 1 和 0，上下和永远差 1。勒贝格可以用一块以 $Q \cap [0, 1]$ （零测集）为底、高为 1 的台阶精确表示这个函数，面积为 0。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
可测集	measurable set	σ-代数里的集合，也就是可以谈「测度多大」的集合；在概率空间里，可测集就叫事件。
简单函数	simple function	只取有限个值的可测函数，是若干示性函数的线性组合，图像像台阶。
达布和	Darboux sums	每小段取函数的下确界（或上确界）乘以长度再求和；上下和夹住黎曼积分。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
分割	partition	把区间 [a,b] 用分点 a = x₀ < x₁ < … < xₙ = b 切成小段。
稠密	dense	任何一小段区间里都能找到它的点，例如有理数在实数轴上稠密。
黎曼积分	Riemann integral	大一学的定积分：按 x 轴切竖条求和取极限。
康托尔集	Cantor set	反复挖掉中间三分之一得到的集合：不可数，但长度为 0。
有理数	rational number	能写成分数 p/q 的数，全体有理数记作 ℚ；它们可数，却在数轴上处处稠密。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
狄利克雷函数	Dirichlet function	在有理点取 1、无理点取 0 的函数；黎曼不可积，勒贝格积分为 0。
勒贝格积分	Lebesgue integral	按函数值分块的积分：先定义简单函数的积分，再用下方的简单函数逼近取上确界。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
样本空间	sample space	一次试验所有可能的完整结局组成的集合，记作 Ω。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
下确界	infimum (inf)	最大的下界。例如 (0,1] 没有最小值，但下确界是 0。