01 封面：为概率打地基的测度与积分 · 第1讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

第 1 讲不是在教新的「算概率技巧」，而是给概率换一套地基：先学会给集合「称重量」（测度），再学会在集合上「加权求和」（积分）。有了这两样，概率和期望才能在无穷、连续的情形下说清楚。

封面只有一行标题 Measure and Integration for Probability（为概率服务的测度与积分）和 Topic 1（第 1 讲）。右下角的 1/42 表示老师的幻灯片共 42 页；你拿到的 PDF 有 47 页，多出来的 5 页（第 7、37、42、45、47 页）是老师上课写满之后另加的手写续页。

先补基础

基础补课中学概率为什么不够用

中学里算概率靠一个公式：

P (A) = \frac{有利情况数}{总情况数} .

它只在「一共只有有限种结果、而且每种一样可能」时才能用，比如掷骰子、抽扑克。下面这些情形，它全都失效：

在区间 $[0, 1]$ 上随机取一个点：结果有无穷多个，总情况数没法数。
无穷次抛硬币：「最终会出现正面吗」这样的问题，要一次考虑无穷多次试验。
一只股票未来一整段时间的价格路径：每条路径都是一串实数，同样数不过来。

基础补课「测度」和「积分」是什么（先有个印象）

测度（measure）：给「一块集合」指定一个非负的「大小」。长度、面积、体积、质量、概率，都是测度的特例。概率就是总大小为 1 的测度。
积分（integration）：把一个函数在一块集合上「按大小加权求和」。中学里的定积分是「曲线下面积」；在概率里，期望值就是对概率测度的积分： $E [X] = \int_{Ω} X d P 。$

课件原文逐句精读

课件原文Title page

Measure and Integration for Probability — Topic 1

中文翻译

为概率服务的测度与积分——第 1 讲

Measure（测度）：给集合称「重量」的规则。
Integration（积分）：在称好重量的集合上，对函数做加权求和。
for Probability（为概率服务）：这里学测度论不是为了纯数学本身，而是为了把概率论建立在严格的基础上。

这一讲的地图

整讲分成五个部分（详见目录页），一环扣一环：

部分	要解决的问题	从哪页开始
1. 概率空间与可测事件	哪些集合可以谈概率？概率要满足什么规矩？	第 5 页
2. 从乔丹容量到外测度	怎样把「区间长度」推广到更复杂的集合？	第 16 页
3. 勒贝格可测集与测度	为什么不能给所有子集定长度？能定长度的集合有哪些？	第 20 页
4. 勒贝格积分	怎样定义「对测度积分」（也就是期望）？	第 25 页
5. MCT、Fatou、DCT、BCT	什么时候「先取极限再积分」等于「先积分再取极限」？	第 36 页

例子

例 1：为什么「数情况」在 [0,1] 上会失败

在 $[0, 1]$ 上「均匀地」随机取一个点 $x 。$

每个具体的点，比如 $x = 0.3 ，$ 被取到的概率只能是 $0 ：$ 如果它是某个正数 $c > 0 ，$ 那么取出 $n$ 个不同的点，它们的概率加起来就是 $n c ；$ 只要 $n > 1/ c ，$ 总和就超过 1，不合理。
可是「取到的点落在 $[0, 1]$ 里」的概率是 1。
$[0, 1]$ 里有不可数无穷多个点（后面第 8 页会解释「不可数」），把不可数多个 $0$ 「加起来」得到 1，这在普通加法里根本没有意义。

结论：不能从「单点的概率」拼出所有概率。必须直接给「区间」「区间的并」这样的集合指定大小，比如 $P ([a, b]) = b - a 。$ 这正是测度要做的事。

例 2：期望其实是一种积分

掷一颗均匀骰子，点数 $X$ 的期望是

E [X] = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + \dots + 6 \cdot \frac{1}{6} = 3.5.

这是「函数值 × 那一块的概率」再求和——正是积分在有限情形下的样子。第 4 部分会把它推广到无穷多个取值的情形，写成 $E [X] = \int_{Ω} X d P 。$

小结与自测

小结本页小结

第 1 讲的主题：为概率打地基的测度（给集合称重量）与积分（加权求和）。
中学的「有利情况数 ÷ 总情况数」在无穷、连续的情形下失效，所以需要测度。
概率是总大小为 1 的测度；期望是对概率测度的积分。
PDF 比幻灯片多 5 页，是老师的手写续页。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
无穷多次	infinitely often (i.o.)	「Aₙ 发生无穷多次」就是集合 lim sup Aₙ。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
乔丹容量	Jordan content	用有限个区间从里、从外逼近一个集合；两边逼近值相等时才有定义。
外测度	outer measure	用可数个区间覆盖集合，所有覆盖总长度的下确界 m*(E)；对每个子集都有定义。
勒贝格可测	Lebesgue measurable	能被勒贝格测度称重量的集合（通过卡拉泰奥多里判别）。
子集	subset	A 的每个元素都在 B 里，就说 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
勒贝格积分	Lebesgue integral	按函数值分块的积分：先定义简单函数的积分，再用下方的简单函数逼近取上确界。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
有界收敛定理	bounded convergence theorem (BCT)	有限测度上一致有界、几乎处处收敛的函数列，积分收敛；是 DCT 的特例。
不可数	uncountable	无论怎么排都排不成一列，例如区间 [0,1] 里的全体实数。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。