01 叙述 Fatou 引理与控制收敛定理：每个条件都不能少 · 小测1

这道题在问什么

人话版一句话版

写出两个定理的完整、准确的陈述。Fatou 引理：非负可测函数列，「先取下极限再积分」不超过「先积分再取下极限」。控制收敛定理（DCT）：函数列几乎处处收敛，并且被同一个可积函数压住，那么积分也收敛，极限和积分可以交换。叙述题的得分点在于条件一个不漏、结论写准方向。

考点：第 1 讲第 5 部分的两个核心定理：Fatou 引理（第 1 讲第 41 页）和控制收敛定理（第 1 讲第 44 页）。
和下一题的关系：第 2 题要求用 Fatou 引理证明控制收敛定理，所以这一题先把两个定理的陈述写准。第 3 题又会用到 DCT 的一个推广版本。
为什么重要：概率论里「期望能不能和极限交换」几乎都靠这两个定理判断。第 3 讲的依概率 DCT（第 3 讲第 20 页）、Scheffé 引理（第 3 讲第 22 页）都从这里出发。

先补基础

基础补课下极限 liminf（回顾）

数列 $a_{n}$ 的下极限 $lim inf_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} (in f_{k \geq n} a_{k}) ：$ 先看「从第 $n$ 项往后的最小值」，它随 $n$ 增大只会变大，再取极限（第 1 讲第 40 页）。

例： $a_{n} = (- 1)^{n} ，$ $in f_{k \geq n} a_{k} = - 1 ，$ 所以 $lim inf a_{n} = - 1 ，$ $lim sup a_{n} = 1 。$
数列收敛 ⇔ $lim inf = lim sup ，$ 此时都等于极限。
对函数列 $f_{n} ，$ $lim inf_{n} f_{n}$ 是逐点取下极限得到的函数： $(lim inf_{n} f_{n}) (x) = lim inf_{n} f_{n} (x) 。$

基础补课测度空间、可测函数、几乎处处

测度空间 $(Ω, F, μ) ：$ 集合 + σ-代数 + 测度（第 1 讲第 12 页）。 $μ (Ω) = 1$ 时就是概率空间。
可测函数：每个 ${f > a}$ 都在 $F$ 里（第 1 讲第 29 页），这样积分才有意义。
几乎处处（a.e.）：除了一个测度为 0 的集合以外都成立（第 1 讲第 43 页）。概率里叫「几乎必然」（a.s.）。

基础补课可积

$f$ 可积指 $f$ 可测且 $\int ∣ f ∣ d μ < \infty ，$ 此时 $\int f = \int f^{+} - \int f^{-}$ 是一个有限的数（第 1 讲第 43 页）。非负可测函数的积分总有定义，但可能是 $+ \infty 。$

题目与原解答

课件原文题目

Let $(Ω, F, μ)$ is a measurable space. Questions are testing: convergence theorems, two fundamental convergence modes.

State Fatou's lemma and dominate convergence theorem.

中文翻译

设 $(Ω, F, μ)$ 是一个测度空间。这些题考查：收敛定理，以及两种基本的收敛方式。

叙述 Fatou 引理和控制收敛定理。

题干的两处笔误：is a measurable space 应为 be a measure space（带着测度 $μ$ 的叫测度空间；「可测空间」只有 $(Ω, F) ，$ 没有测度）；dominate convergence theorem 应为 dominated convergence theorem（被控制的收敛定理）。
two fundamental convergence modes：两种基本的收敛方式，指几乎处处收敛和依测度收敛，第 4 题会用到。
原解答：解答卷上这一题只有题目，没有写答案，下面由本站完整写出。

思路：怎么写一个完整的定理陈述

一个定理陈述有三部分，缺一不可：

场合：在什么空间上谈（测度空间 $(Ω, F, μ) ）。$
条件：函数要满足什么（可测？非负？收敛？被控制？）。
结论：推出什么，不等号的方向、等式的形式都要写准。

写完以后逐个检查：去掉某个条件，结论还对吗？如果去掉以后有反例，这个条件就必须写进去。下面的「例子」一节给出每个条件的反例。

完整解答

定理Fatou 引理

设 $(Ω, F, μ)$ 是测度空间， $f_{1}, f_{2}, \dots$ 是非负可测函数。则

\int_{Ω} n \to \infty lim inf f_{n} d μ \leq n \to \infty lim inf \int_{Ω} f_{n} d μ .

两边都可能是 $+ \infty ；$ 不需要 $f_{n}$ 收敛，也不需要任何可积性。
记忆方法：左边是「先逐点取下极限，后积分」，右边是「先积分，后取下极限」。「积分里面的下极限」（左边）不超过「积分的下极限」（右边）。

定理控制收敛定理（DCT）

设 $(Ω, F, μ)$ 是测度空间， $f, f_{1}, f_{2}, \dots$ 可测，并且

几乎处处收敛： $f_{n} \to f$ $μ$ -a.e.；
被同一个可积函数控制：存在可积函数 $g$ （ $\int g d μ < \infty ），$ 使得对每个 $n ，$ $∣ f_{n} ∣ \leq g$ $μ$ -a.e.

则 $f$ 可积，并且

n \to \infty lim \int_{Ω} ∣ f_{n} - f ∣ d μ = 0, 从而 n \to \infty lim \int_{Ω} f_{n} d μ = \int_{Ω} f d μ .

「从而」那一步： $\int f_{n} - \int f \leq \int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0 。$
$g$ 叫控制函数（dominating function），关键是它不依赖于 $n$ 。
有的教材只写结论 $\int f_{n} \to \int f ；$ 写上 $\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0$ （即 $L^{1}$ 收敛）更完整，第 2 题的证明会同时得到它。

例子与数值验证

例 1：DCT 的典型用法

求 $n \to \infty lim \int_{0}^{\infty} (1 + \frac{x}{n})^{- n} d x 。$

逐点极限： $(1 + \frac{x}{n})^{n} \to e^{x} ，$ 所以被积函数 $\to e^{- x} 。$
控制函数： $(1 + \frac{x}{n})^{n}$ 随 $n$ 递增，所以 $n \geq 2$ 时 $(1 + \frac{x}{n})^{- n} \leq (1 + \frac{x}{2})^{- 2} =: g (x) ，$ 而 $\int_{0}^{\infty} g = 2 < \infty 。$
结论：由 DCT，极限 $= \int_{0}^{\infty} e^{- x} d x = 1 。$
核对：直接换元 $u = 1 + \frac{x}{n}$ 可算出 $\int_{0}^{\infty} (1 + \frac{x}{n})^{- n} d x = \frac{n}{n - 1}$ （ $n \geq 2 ）：$ $n = 5$ 时 $1.25 ，$ $n = 100$ 时约 $1.0101 ，$ 确实趋于 1。

例 2：Fatou 的不等号可以是严格的

在 $[0, 1]$ 上取长度测度， $f_{n}$ 在 $n$ 为偶数时是 $1_{[0, 1/2]} ，$ 奇数时是 $1_{(1/2, 1]} 。$

每一点的值在 0、1 之间来回跳， $lim inf_{n} f_{n} = 0 ，$ 左边 $\int lim inf f_{n} = 0 。$
每个 $\int f_{n} = \frac{1}{2} ，$ 右边 $lim inf \int f_{n} = \frac{1}{2} 。$
$0 < \frac{1}{2} ，$ 严格不等（第 1 讲第 41 页的演示）。

例 3：去掉「非负」，Fatou 就错了

$f_{n} = - n 1_{(0, 1/ n)}$ 在 $[0, 1]$ 上。每一点最终都是 0， $\int lim inf f_{n} = 0 ；$ 但 $\int f_{n} = - 1 ，$ $lim inf \int f_{n} = - 1 。$ 左边 $0 > - 1 ，$ 不等式反过来了。

例 4：去掉「控制」，DCT 就错了

尖峰： $f_{n} = n 1_{(0, 1/ n)}$ 在 $[0, 1]$ 上，逐点趋于 0，但 $\int f_{n} = 1 \neq \to 0$ （第 1 讲第 39 页）。能压住所有 $f_{n}$ 的最小函数是 $sup_{n} f_{n} ，$ 它在 $(\frac{1}{k + 1}, \frac{1}{k})$ 上等于 $k ，$ 积分 $\sum_{k} \frac{k}{k ( k + 1 )} = \sum_{k} \frac{1}{k + 1} = \infty ，$ 不可积。
滑走的方块： $f_{n} = 1_{[n, n + 1]}$ 在 $R$ 上，逐点趋于 0，但 $\int f_{n} = 1 。$ 这里每个 $f_{n}$ 都有界，可能压住所有 $f_{n}$ 的最小函数是 $1_{[1, \infty)} ，$ 它的积分已经是 $\infty ，$ 更大的函数只会更大。

动手试一试动手试一试：哪个条件被破坏了

依次选「DCT： $x^{n} 」$ 「尖峰」「滑走的方块」「Fatou 严格不等」，拖动 $n ，$ 对照面积（积分）和虚线（逐点极限）。只有存在可积「屋顶」的例子，面积才跟着极限走。

拓展延伸

反向 Fatou 引理

若 $f_{n} \leq g$ 且 $g$ 可积，则 $lim sup_{n} \int f_{n} \leq \int lim sup_{n} f_{n} 。$ 证明：对非负函数 $g - f_{n}$ 用 Fatou。DCT 正是「Fatou + 反向 Fatou」：一个给下界，一个给上界（第 2 题）。

三大收敛定理的分工

定理	条件	结论
单调收敛定理 MCT（第 1 讲第 36 页）	$0 \leq f_{n} ↑ f$	$\int f_{n} ↑ \int f$ （可为 $\infty ）$
Fatou 引理	$f_{n} \geq 0$	$\int lim inf f_{n} \leq lim inf \int f_{n}$
控制收敛定理 DCT	$f_{n} \to f$ a.e.， $∣ f_{n} ∣ \leq g$ 可积	$\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0$

逻辑顺序：MCT ⇒ Fatou ⇒ DCT。MCT 用单调性，Fatou 用「尾部下确界」构造单调列（第 1 讲第 40 页），DCT 用 Fatou。

更多的推广

依测度（依概率）收敛版本：把「a.e. 收敛」换成「依测度收敛」，DCT 照样成立（第 3 讲第 20 页）。
控制函数也可以变化： $∣ f_{n} ∣ \leq g_{n} ，$ $g_{n} \to g$ 且 $\int g_{n} \to \int g$ （作业 1 第 10 题）。
最一般的形式（Vitali 收敛定理）：在概率空间上， $X_{n} \to X$ 依概率，并且 ${X_{n}}$ 一致可积（小测 2 第 2 题），则 $E ∣ X_{n} - X ∣ \to 0 ；$ 反之也对。被可积函数控制只是一致可积的一个充分条件。

常见疑问与易错点

易错点问：DCT 的「控制」可以写成「|fₙ| ≤ gₙ，每个 gₙ 可积」吗？

答：不行。 $g$ 必须对所有 $n$ 是同一个。例 4 里每个 $f_{n}$ 自己都可积（取 $g_{n} = f_{n} ），$ 但积分并不收敛到极限的积分。

易错点问：Fatou 引理需要 fₙ 收敛吗？

答：不需要，这正是它的威力：只要非负，任何函数列都能用。函数列收敛时，左边的 $lim inf f_{n}$ 就是极限函数。

易错点问：控制条件只要求 a.e. 成立，有关系吗？

答：没关系。改动零测集上的函数值不影响积分（第 1 讲第 43 页），所以「a.e. 收敛」「a.e. 被控制」都够用。考试时把 a.e. 写上，说明你知道这一点。

小结与自测

小结本题小结

Fatou： $f_{n} \geq 0$ 可测 ⇒ $\int lim inf f_{n} \leq lim inf \int f_{n} 。$ 条件只有非负，结论只有不等号。
DCT： $f_{n} \to f$ a.e. 且 $∣ f_{n} ∣ \leq g$ （同一个可积 $g ）$ ⇒ $f$ 可积， $\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0 ，$ $\int f_{n} \to \int f 。$
反例：Fatou 去掉非负会反向（例 3）；DCT 去掉控制会失败（尖峰、滑走的方块）。

自测

1. 下面这个「Fatou 引理」错在哪里：「若 $f_{n}$ 可测且 $f_{n} \to f ，$ 则 $\int f \leq lim inf \int f_{n} 」？$

点开看答案

漏了「非负」。例 3 的 $f_{n} = - n 1_{(0, 1/ n)}$ 满足其余条件，但 $\int f = 0 > - 1 = lim inf \int f_{n} 。$

2. 用 DCT 求 $lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} \frac{n x}{1 + n ^{2} x ^{2}} d x ，$ 并说明控制函数。

点开看答案

逐点： $x > 0$ 时 $\frac{n x}{1 + n ^{2} x ^{2}} \to 0 。$ 控制：由 $1 + n^{2} x^{2} \geq 2 n x ，$ 被积函数 $\leq \frac{1}{2} ，$ 常数 $\frac{1}{2}$ 在 $[0, 1]$ 上可积。所以极限为 0。（直接算：积分 $= \frac{l n ( 1 + n ^{2} )}{2 n} \to 0 。）$

3. 为什么 DCT 的结论里能写「 $f$ 可积」？

点开看答案

$∣ f_{n} ∣ \leq g$ a.e. 且 $f_{n} \to f$ a.e.，取极限得 $∣ f ∣ \leq g$ a.e.，所以 $\int ∣ f ∣ \leq \int g < \infty 。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
Fatou 引理	Fatou's lemma	非负可测函数列满足 ∫ liminf fₙ ≤ liminf ∫ fₙ（只保证这个方向）。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
下极限	limit inferior (lim inf)	数列「尾部的最小可能值」的极限；对集合则表示「从某一项起一直发生」。
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
几乎处处	almost everywhere (a.e.)	除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
Scheffé 引理	Scheffé's lemma	非负可积的 fₙ → f 几乎处处，且 ∫fₙ → ∫f < ∞，则 ∫\|fₙ − f\| → 0。概率密度逐点收敛，分布就在全变差意义下收敛。
测度空间	measure space	三元组 (S, 𝓜, μ)：空间、σ-代数、测度。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
可测空间	measurable space	一个集合加上它上面的一个 σ-代数，例如 (Ω, 𝓕)；还没有给出测度。
依测度收敛	convergence in measure	对每个 ε > 0，μ(\|fₙ − f\| > ε) → 0：偏差超过 ε 的区域，测度越来越小。在概率空间上就是依概率收敛。
逐点收敛	pointwise convergence	对定义域里的每一个点 x，数列 fₙ(x) 都收敛到 f(x)；这样得到的函数 f 叫逐点极限。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
下界	lower bound	数集 A 的下界是一个数 m，A 里每个数都 ≥ m。例如 0 和 −3 都是 (0,1] 的下界；所有下界中最大的那个叫下确界。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
下确界	infimum (inf)	最大的下界。例如 (0,1] 没有最小值，但下确界是 0。
一致可积	uniformly integrable (UI)	一族随机变量的尾部期望一致地变小：supₜ E[\|Xₜ\|; \|Xₜ\| > λ] → 0（λ → ∞）。它是「依概率收敛 ⇒ 期望收敛」的关键条件。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。