27 有界且黎曼可积 ⇒ 勒贝格可积，积分值相同 · 第1讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

勒贝格积分没有推翻黎曼积分：凡是（有界区间上、有界的）黎曼可积函数，都勒贝格可积，而且两种积分算出来的值一样。所以以前学过的所有定积分公式都继续有效；勒贝格只是把「能积分的函数」的范围扩大了。

上一页（第 26 页）说勒贝格换了台阶的底。自然要问：新积分和旧积分会不会给出不同的答案？这一页回答：不会。下一页（第 28 页）说明反过来不成立。

先补基础

基础补课振幅

函数在一个小区间 $I_{j}$ 上的振幅是 $M_{j} - m_{j}$ （最高值减最低值），衡量函数在这里抖动得多厉害。连续函数在很小的区间上振幅很小；在跳跃点附近，振幅至少是跳跃的高度。

基础补课夹逼

如果一个数 $v$ 满足：对任意 $ε > 0 ，$ 都有 $∣ v - w ∣ < ε ，$ 那么 $v = w 。$ 因为两数之差的绝对值小于任何正数，只能是 0。

课件原文逐句精读

课件原文Theorem 18 (Riemann–Lebesgue compatibility)

Let $f : [a, b] \to R$ be bounded. If $f$ is properly Riemann integrable, then $f$ is Lebesgue measurable and integrable, and

\int_{a}^{b} f (x) d x_{R} = \int_{[a, b]} f d m_{L} .

中文翻译

定理 18（黎曼–勒贝格相容性） 设 $f : [a, b] \to R$ 有界。若 $f$ 在通常意义下黎曼可积，则 $f$ 勒贝格可测、勒贝格可积，并且黎曼积分等于勒贝格积分。

bounded（有界）（老师画了下划线）、 $[a, b]$ （老师圈了出来）：定理只管「有界区间上的有界函数」。这是常义（proper）黎曼积分；像 $\int_{0}^{1} x^{- 1/2} d x$ 这种被积函数无界的反常积分不在定理范围内（后面用 MCT 处理，第 47 页例 2）。
记号 $∣_{R} 、$ $∣_{L}$ 只是标明「这是黎曼积分」「这是勒贝格积分」。
结论有三层：可测（能积分）、可积（积分有限）、值相等。

Why measurability and integrability hold｜为什么可测、可积

课件原文Why measurability and integrability hold

The Darboux criterion implies that the discontinuity set of $f$ is Lebesgue null: cells with oscillation at least $η$ have total length at most $(U - L) / η$ . Hence $f$ is Lebesgue measurable. If $∣ f ∣ \leq M$ , then

\int_{[a, b]} ∣ f ∣ d m \leq M (b - a) < \infty.

中文翻译

达布判别意味着 $f$ 的不连续点集是勒贝格零测集：振幅至少为 $η$ 的小格，总长度不超过 $(U - L) / η 。$ 因此 $f$ 勒贝格可测。若 $∣ f ∣ \leq M ，$ 则 $\int_{[a, b]} ∣ f ∣ d m \leq M (b - a) < \infty 。$

逐步拆解「振幅大的格子总长度小」：

固定一个门槛 $η > 0 。$ 把振幅 $M_{j} - m_{j} \geq η$ 的小格叫「坏格」。
$U - L = \sum_{j} (M_{j} - m_{j}) ∣ I_{j} ∣ \geq \sum_{坏格} (M_{j} - m_{j}) ∣ I_{j} ∣ \geq η \sum_{坏格} ∣ I_{j} ∣ 。$
两边除以 $η ：$ 坏格总长度 $\leq (U - L) / η$ 。
黎曼可积意味着 $U - L$ 可以任意小，于是坏格总长度也可以任意小。
函数在某点不连续，意味着这个点附近的振幅始终不小于某个 $η ，$ 所以它总落在坏格里（或格的端点上，端点只有有限个）。于是对每个 $η ，$ 「振幅 $\geq η$ 的不连续点」能被总长任意小的区间盖住，外测度为 0；再对 $η = 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots$ 取可数并，全部不连续点仍是零测集。

为什么这推出可测：记不连续点集为 $D$ （零测集），连续点集为 $C = [a, b] ∖ D 。$ 可测要检验的是：对每个实数 $c ，$ 集合 ${f > c}$ 可测（第 29 页）。把它拆成两块：

连续点上的部分 ${f > c} \cap C$ ：若 $x \in C$ 且 $f (x) > c ，$ 由 $f$ 在 $x$ 处连续， $x$ 周围有一小段开区间，上面 $f$ 仍然 $> c 。$ 把所有这样的小开区间并起来得到开集 $O ，$ 就有 ${f > c} \cap C = O \cap C 。$ 开集可测， $C$ 是零测集的补集也可测，所以这一块可测。
不连续点上的部分 ${f > c} \cap D$ ：它是零测集 $D$ 的子集。勒贝格测度是完备的（第 23 页），零测集的子集一定可测。

两块的并 ${f > c}$ 可测，所以 $f$ 可测。为什么可积： $∣ f ∣ \leq M ，$ 勒贝格积分不超过「高 $M$ × 宽 $(b - a) 」$ 的矩形面积，有限。

Why the two values agree｜为什么两个值相等

课件原文Why the two values agree

For each partition $P$ , its lower and upper Darboux step functions satisfy

ℓ_{P} \leq f \leq u_{P}, \int ℓ_{P} d m = L (f, P), \int u_{P} d m = U (f, P) .

Both integral values are trapped in $[L (f, P), U (f, P)]$ . Since the Darboux gap can be made smaller than every $ε > 0$ , the two values are equal.

The next slides construct the simple-function integral that makes the displayed Darboux-step identities formal.

中文翻译

对每个分割 $P ，$ 它的下、上达布台阶函数满足 $ℓ_{P} \leq f \leq u_{P} ，$ 且 $\int ℓ_{P} d m = L (f, P) ，$ $\int u_{P} d m = U (f, P) 。$ 两个积分值都被夹在 $[L (f, P), U (f, P)]$ 里。由于达布间隙可以小于任何 $ε > 0 ，$ 两个值相等。

接下来的几页会构造简单函数的积分，把上面关于达布台阶的等式严格化。

$ℓ_{P}$ ：在第 $j$ 格上取值 $m_{j}$ 的台阶函数（下台阶）； $u_{P}$ ：取值 $M_{j}$ （上台阶）。它们都是简单函数。
$\int ℓ_{P} d m = L (f, P)$ ：台阶的勒贝格积分 = 各块「高 × 底的长度」之和 = 下和。这用到简单函数积分的定义（第 30 页）。
trapped（被夹住）：黎曼积分当然在 $[L, U]$ 里；勒贝格积分由单调性 $\int ℓ_{P} \leq \int f \leq \int u_{P}$ 也在 $[L, U]$ 里。

推导：一步一步来

推导证明「两个值相等」

设 $R$ 为黎曼积分， $Λ$ 为勒贝格积分。

对任意分割 $P ：$ $L (f, P) \leq R \leq U (f, P)$ （黎曼积分的定义）。
对任意分割 $P ：$ $ℓ_{P} \leq f \leq u_{P} ，$ 由勒贝格积分的单调性 $\int ℓ_{P} d m \leq Λ \leq \int u_{P} d m ，$ 即 $L (f, P) \leq Λ \leq U (f, P) 。$
于是 $R$ 和 $Λ$ 都在区间 $[L (f, P), U (f, P)]$ 里，所以 $∣ R - Λ∣ \leq U (f, P) - L (f, P) 。$
黎曼可积：对任意 $ε > 0 ，$ 存在 $P$ 使 $U - L < ε ，$ 于是 $∣ R - Λ∣ < ε 。$
$ε$ 任意，由夹逼 $R = Λ 。$

例子

例 1：用旧公式算勒贝格积分

$f (x) = x^{2}$ 在 $[0, 1]$ 上有界、连续，所以黎曼可积。由定理 18，

\int_{[0, 1]} x^{2} d m = \int_{0}^{1} x^{2} d x = [\frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{3} .

以后遇到区间上的有界「好」函数，直接用微积分的原函数方法算勒贝格积分即可。

例 2：坏格总长度的具体计算

$f = 1_{[1/2, 1]}$ 在 $[0, 1]$ 上（在 $\frac{1}{2}$ 处跳跃 1）。等分 $n$ 格，只有包含 $\frac{1}{2}$ 的格（最多 2 格）振幅为 1。取 $η = \frac{1}{2} ：$ 坏格总长 $\leq \frac{2}{n} ；$ 而 $U - L \leq \frac{2}{n} ，$ 所以 $(U - L) / η \leq \frac{4}{n} ，$ 确实不小于坏格总长。 $n \to \infty$ 时都趋于 0，不连续点集 ${\frac{1}{2}}$ 是零测集。

例 3：定理 18 管不到的情形——反常积分

$f (x) = \frac{1}{x}$ 在 $(0, 1]$ 上无界（ $x \to 0$ 时趋于无穷），所以不是常义黎曼可积，定理 18 不能直接用。但：

微积分里的反常积分： $\int_{0}^{1} x^{- 1/2} d x = lim_{ε \to 0} \int_{ε}^{1} x^{- 1/2} d x = lim_{ε \to 0} (2 - 2 ε) = 2 ；$
勒贝格积分：把 $f$ 截断成 $f_{n} = min (n, f)$ （有界，可以用定理 18），再用单调收敛定理（第 36 页）让 $n \to \infty ，$ 同样得到 2（计算见第 47 页例 2）。

两种方法结果一致，但第 2 种不需要「反常积分」这个额外概念——勒贝格积分天然允许被积函数无界。

常见疑问与易错点

易错点问：定理为什么要求「有界」和「有界区间」？

答：常义黎曼积分本来就只对有界区间上的有界函数定义。无界函数（如 $x^{- 1/2} ）$ 或无穷区间（如 $\int_{0}^{\infty} e^{- x} d x ）$ 用的是反常积分（取极限），定理 18 不直接适用；这时要用单调收敛定理之类的工具把两者联系起来。

易错点问：既然值一样，为什么还要勒贝格积分？

答：因为勒贝格积分能处理更多函数（第 28 页的狄利克雷函数）、能在任意测度空间上定义（期望）、并且有好得多的极限定理（第 5 部分）。定理 18 保证：换用勒贝格积分，旧的结果一个都不会丢。

小结与自测

小结本页小结

有界区间上的有界函数，若黎曼可积，则勒贝格可测、可积，并且两种积分相等。
可测性：振幅 $\geq η$ 的格子总长 $\leq (U - L) / η ，$ 所以不连续点集是零测集。
相等：两个积分都被夹在 $[L (f, P), U (f, P)]$ 里，而间隙可以任意小。
实用意义：区间上的好函数，勒贝格积分可以用原函数照常计算。

自测

1. 用定理 18 求 $\int_{[0, π]} sin x d m 。$

点开看答案

$sin x$ 在 $[0, π]$ 上有界连续，黎曼可积，所以勒贝格积分等于 $\int_{0}^{π} sin x d x = [- cos x]_{0}^{π} = 2 。$

2. 若 $U (f, P) - L (f, P) = 0.01 ，$ 振幅 $\geq 0.1$ 的格子总长度最多是多少？

点开看答案

最多 $(U - L) / η = 0.01/0.1 = 0.1 。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
勒贝格积分	Lebesgue integral	按函数值分块的积分：先定义简单函数的积分，再用下方的简单函数逼近取上确界。
黎曼积分	Riemann integral	大一学的定积分：按 x 轴切竖条求和取极限。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
振幅	oscillation	函数在一小段上的「最高值减最低值」M − m，衡量函数在那里抖动得多厉害。
勒贝格可测	Lebesgue measurable	能被勒贝格测度称重量的集合（通过卡拉泰奥多里判别）。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
外测度	outer measure	用可数个区间覆盖集合，所有覆盖总长度的下确界 m*(E)；对每个子集都有定义。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
补集	complement	样本空间里不属于 A 的元素全体，记作 Aᶜ，对应「A 不发生」。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
子集	subset	A 的每个元素都在 B 里，就说 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
分割	partition	把区间 [a,b] 用分点 a = x₀ < x₁ < … < xₙ = b 切成小段。
简单函数	simple function	只取有限个值的可测函数，是若干示性函数的线性组合，图像像台阶。
狄利克雷函数	Dirichlet function	在有理点取 1、无理点取 0 的函数；黎曼不可积，勒贝格积分为 0。
测度空间	measure space	三元组 (S, 𝓜, μ)：空间、σ-代数、测度。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。