39 只有逐点收敛时，「质量」会丢失 · 第1讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

MCT 说：非负函数递增地收敛，积分也跟着收敛。这一页问：去掉「递增」，只剩「逐点收敛」，还行吗？老师用一个尖峰函数列回答：不行。每个 $f_{n}$ 是一个越来越窄、越来越高的矩形，面积恒为 1；函数在每一点（除了 0）最终都变成 0，面积却没有变成 0——「质量」在极限中丢失了。

位置：第 5 部分。前面第 36 页–第 38 页是 MCT 及其应用；这一页是一个反例，说明 MCT 的「单调」条件不能随便去掉。
这里的「质量」（mass）就是积分，也就是函数图像下方的面积；在概率里就是期望。
反例还告诉我们：没有单调性时，最多只能期望一个方向的不等式。下两页第 40 页、第 41 页用「尾部下确界」人为造出单调性，得到 Fatou 引理 $\int lim inf f_{n} \leq lim inf \int f_{n} 。$ 本页的尖峰正好是 Fatou 不等号严格成立的例子。
再往后，第 44 页的控制收敛定理给出另一种补救：只要所有 $f_{n}$ 被同一个可积函数压住，质量就跑不掉。

先补基础

基础补课函数列逐点收敛（pointwise convergence）

$f_{n} \to f$ 逐点（pointwise，老师缩写为 p.w.）：对每一个固定的点 $x ，$ 数列 $f_{1} (x), f_{2} (x), f_{3} (x), \dots$ 收敛到 $f (x) 。$
用 ε 语言写：对每个 $x$ 和每个 $ε > 0 ，$ 存在 $N$ （可以依赖于 $x$ ），使得 $n \geq N$ 时 $∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ < ε 。$
关键点：不同的点可以用不同的 $N$ 。本页的例子里，靠近 0 的点要等很久才变成 0，这正是质量能「躲」起来的原因。
例： $f_{n} (x) = \frac{x}{n}$ 在 $[0, 1]$ 上逐点趋于 0：固定 $x ，$ $0 \leq \frac{x}{n} \leq \frac{1}{n} \to 0 。$

基础补课「推不出」⇏ 与「一个反例就够了」

$A \Rightarrow B$ 读作「由 $A$ 可以推出 $B 」：$ 只要 $A$ 成立， $B$ 一定成立。
$A ⇏ B$ （老师在箭头上画了一个红叉）读作「由 $A$ 推不出 $B 」：$ 存在 $A$ 成立而 $B$ 不成立的情形。
要否定一个「对所有情形都成立」的断言，举出一个反例就够了。这一页就是一个反例：满足「非负、逐点收敛」，却不满足「积分收敛到极限函数的积分」。

基础补课测度空间 ([0,1], 𝓑[0,1], Leb) 与示性函数（回顾）

$[0, 1]$ 是空间； $B [0, 1]$ 是 $[0, 1]$ 上的博雷尔 σ-代数（由区间生成，第 11 页）； $Leb$ 是勒贝格测度，区间的测度就是长度（第 23 页）。
示性函数 $1_{A} (x) ：$ $x \in A$ 时为 1，否则为 0（第 30 页）。所以 $n 1_{[0, 1/ n]}$ 在 $[0, \frac{1}{n}]$ 上等于 $n ，$ 其余地方等于 0：一个宽 $\frac{1}{n} 、$ 高 $n$ 的矩形。
积分公式： $\int 1_{A} d μ = μ (A)$ （第 30 页推论 24）；常数可以提出来， $\int c h d μ = c \int h d μ$ （第 33 页命题 28）。
单点的长度是 0： $Leb ({0}) = 0 ，$ 所以 $[0, \frac{1}{n}] 、$ $(0, \frac{1}{n}] 、$ $(0, \frac{1}{n})$ 的长度都是 $\frac{1}{n} 。$

课件原文逐句精读

课件原文Pointwise convergence alone does not preserve mass

If there is no monotonic property, can we still hold the statement?

中文翻译

标题：仅有逐点收敛，保不住质量。

如果没有单调性，这个结论还能成立吗？

Pointwise convergence alone does not preserve mass｜标题逐词看

pointwise convergence：逐点收敛。
alone：单独、仅仅。意思是「只有逐点收敛这一个条件」，没有单调性，也没有别的条件。
preserve mass：保住质量。这里的 mass（质量）就是积分。把函数图像下面的区域想成铺了一层沙子，积分就是沙子的总量。「保住质量」是说：极限函数下面的沙子总量，等于 $f_{n}$ 下面沙子总量的极限。
整句：仅凭逐点收敛，质量可能会丢失。

If there is no monotonic property, can we still hold the statement?｜问题本身

the statement（这个结论）指 MCT 的结论 $\int f_{n} \to \int f$ （第 36 页）。
monotonic property（单调性）指 MCT 的条件 $f_{1} \leq f_{2} \leq \dots 。$
问题：去掉单调性，只留「非负 + 逐点收敛」，还能得到 $\int f_{n} \to \int f$ 吗？老师的回答写在板书第一行：不能。
英文小注：can we still hold the statement 更地道的说法是 does the statement still hold，意思一样。

人话版用沙子来想

想象每个 $f_{n}$ 都是一堆总量为 1 的沙子。第 $n$ 步把沙子全部堆进 $[0, \frac{1}{n}]$ 这个越来越窄的槽里，于是沙堆越来越高。站在任何一个点 $x > 0$ 看，槽迟早会从你脚下移走，你脚下的沙子变成 0；可是沙子的总量一直是 1。到了极限，所有的沙子都挤到了「点 0」上，而一个点的宽度是 0，积分就看不见它了。

老师板书在说什么

老师板书板书转写（按从上到下的顺序）

$f_{n} \to f ⇏ \int f_{n} \to \int f$ （推出号 $\Rightarrow$ 上画了一个红叉）
The measure space $([0, 1], B [0, 1], Leb)$ , let
$f_{n} (x) = n 1_{[0, 1/ n]} (x)$
$f_{n} \to f = 0$ 　 $n \to \infty$ 　 p.w.（p.w. 用浅蓝色写）
$\int_{[0, 1]} f_{n} d Leb = \int_{[0, 1]} n 1_{[0, 1/ n]} (x) = n \cdot Leb (0, 1/ n) = 1$
$n \to \infty lim \int_{[0, 1]} f_{n} d Leb = 1 \neq = 0 = \int_{[0, 1]} f d Leb ：$ 左边的 $lim_{n \to \infty}$ 被红圈圈住，一个红箭头从圈指向右边的积分；右边 $f$ 的上方用红色写着 $= lim_{n \to \infty} f_{n}$
右下：#（证毕）
页面底部中间偏右有一段被页面边缘截断的蓝色弧线，看不出含义（可能是无意划到的笔迹）。

第 1 行：结论先行

老师先把答案写出来：逐点收敛推不出积分收敛。红叉画在推出号上，意思是「这个箭头不成立」。下面几行给出一个反例。

第 2–3 行：反例的设定

空间是 $[0, 1] ，$ σ-代数是博雷尔集，测度是长度。
$f_{n} = n 1_{[0, 1/ n]} ：$ 宽 $\frac{1}{n} 、$ 高 $n$ 的矩形。 $n = 1$ 时是 $[0, 1]$ 上高 1 的正方形； $n = 2$ 时是 $[0, \frac{1}{2}]$ 上高 2 的矩形； $n = 10$ 时是 $[0, 0.1]$ 上高 10 的细长条……越来越窄、越来越高，像一根尖刺，所以常叫尖峰（spike）。
它们都是非负简单函数，当然可测。

第 4 行：逐点极限是 0——但要修正一个点

对 $x \in (0, 1] ：$ 只要 $n > \frac{1}{x} ，$ 就有 $\frac{1}{n} < x ，$ 于是 $x \in / [0, \frac{1}{n}] ，$ $f_{n} (x) = 0 。$ 从这一步起一直是 0，所以 $f_{n} (x) \to 0 。$
老师这里有一个小疏漏：在 $x = 0$ 处， $0 \in [0, \frac{1}{n}]$ 对每个 $n$ 都成立，所以 $f_{n} (0) = n \to \infty ，$ 并不趋于 0。准确的说法是： $f_{n} \to 0$ 在 $(0, 1]$ 上逐点成立，也就是除了一个点之外处处成立（这叫「几乎处处」，第 43 页会正式定义）。
两种修正办法，结论都不变：
1. 把区间改成 $(0, \frac{1}{n}]$ 或 $(0, \frac{1}{n})$ （第 36 页就是这样写的），这样 $f_{n} (0) = 0 ，$ 真正处处收敛到 0；
2. 保留老师的写法，令极限函数 $f (0) = \infty 、$ 其余为 0。由第 33 页例 4，在一个长度为 0 的点上取 $\infty$ 不影响积分， $\int f d Leb = 0 。$

第 5 行：每个积分都是 1

\int_{[0, 1]} n 1_{[0, 1/ n]} d Leb = n \int_{[0, 1]} 1_{[0, 1/ n]} d Leb = n \cdot Leb ([0, \frac{1}{n}]) = n \cdot \frac{1}{n} = 1.

第一个等号：常数 $n$ 提到积分外面（第 33 页命题 28）；
第二个等号：示性函数的积分等于集合的测度（第 30 页推论 24）；
第三个等号：区间的勒贝格测度是长度。

老师在第二个积分里省略了 $d Leb ，$ 最后写成 $Leb (0, 1/ n) ，$ 用的是圆括号。区间开还是闭不影响长度（单点长度为 0），所以结果都是 1。

第 6 行：两种顺序，两个答案

左边（红圈圈住 $lim ，$ 红箭头指向积分）：先积分，再取极限。每个积分都是 1，极限是 1。
右边（红字标出 $f = lim f_{n} ）：$ 先取极限，再积分。极限函数是 0（除了一个点），积分是 0。
$1 \neq = 0 ，$ 所以

n \to \infty lim \int f_{n} d Leb \neq = \int n \to \infty lim f_{n} d Leb .

红圈和红箭头强调的正是这个顺序问题：极限号放在积分号外面还是里面，结果不一样。

图解：红圈、红箭头和红字

这是板书第 6 行。按下面的顺序读：

左边红圈里的 $lim_{n \to \infty}$ 和它右边的积分：先对每个 $n$ 算出 $\int f_{n} = 1 ，$ 再让 $n \to \infty ，$ 得 1。红箭头从 $lim$ 指向积分，提醒你「 $lim$ 在积分外面」。
中间的 $1 \neq = 0 ：$ 两个答案不同。
右边的 $\int_{[0, 1]} f d Leb ，$ $f$ 头顶的红字「 $= lim_{n \to \infty} f_{n} 」：$ 这里的 $f$ 是逐点极限，相当于把 $lim$ 放到了积分里面。

例子

例 1：逐点看、整体看——一张表

下表第一行固定一点 $x = 0.3 ，$ 看 $f_{n} (0.3)$ 怎样变化；第二行固定 $x = 0.01 ；$ 第三行是积分。

$n$	1	2	3	4	5	10	100	101
$f_{n} (0.3)$	1	2	3	0	0	0	0	0
$f_{n} (0.01)$	1	2	3	4	5	10	100	0
$\int f_{n} d Leb$	1	1	1	1	1	1	1	1

计算理由： $f_{n} (x) = n$ 当且仅当 $x \leq \frac{1}{n} ，$ 即 $n \leq \frac{1}{x} 。$ $x = 0.3$ 时 $\frac{1}{x} \approx 3.33 ，$ 所以 $n = 1, 2, 3$ 时取值 $n ，$ $n \geq 4$ 时为 0； $x = 0.01$ 时 $\frac{1}{x} = 100 ，$ 所以要到 $n = 101$ 才变成 0。

读法：每一点最终都变成 0，但越靠近 0 的点「坚持」得越久，而且坚持时的值越来越大。任何时刻都有一小段区间 $[0, \frac{1}{n}]$ 还在「扛着」全部质量 1。

动手试一试尖峰：面积恒为 1，每一点最终是 0

拖动 $n ：$ 橙色矩形的宽是 $\frac{1}{n} 、$ 高是 $n ，$ 面积始终是 1；再看虚线 $x = 0.3$ 处的函数值—— $n \geq 4$ 以后它永远是 0。两件事同时成立，正是「逐点收敛推不出积分收敛」。

例 2：高度长得慢一点，结论就对了

把高度从 $n$ 改成 $n ：$ $h_{n} = n 1_{(0, 1/ n)} 。$

逐点：对 $x \in (0, 1] ，$ $n > \frac{1}{x}$ 后 $h_{n} (x) = 0 ；$ 又 $h_{n} (0) = 0 。$ 所以处处 $h_{n} \to 0 。$
积分： $\int h_{n} d Leb = n \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \to 0 = \int 0 d Leb 。$

这一次「先积分再取极限」和「先取极限再积分」都是 0。可见逐点收敛有时能保住质量，有时不能；本页只是说「仅凭逐点收敛不够」，并不是说它总会失败。反过来，高度改成 $n^{2}$ 时， $\int n^{2} 1_{(0, 1/ n)} d Leb = n \to \infty ：$ 质量不但没保住，积分还跑到了无穷。

例 3：质量也可以「横着」跑掉

在 $(R, B, Leb)$ 上令 $f_{n} = 1_{[n, n + 1]} ：$ 一块宽 1、高 1 的方块，每一步向右挪 1。

逐点：固定 $x ，$ 只要 $n > x ，$ $x$ 就在方块左边， $f_{n} (x) = 0 。$ 所以 $f_{n} \to 0$ 处处成立。
积分： $\int f_{n} d Leb = Leb ([n, n + 1]) = 1 ，$ 恒为 1。

尖峰是质量竖着挤到一个点上，这里是质量横着跑到无穷远。两个例子都不单调，MCT 都不适用。这个例子在第 46 页还会出现：它说明有界收敛定理必须要求测度有限。

例 4：概率里的尖峰——一张「彩票」

在概率空间 $([0, 1], B, Leb)$ 上，把 $ω$ 看成一次抽签抽到的点。第 $n$ 期的规则： $ω$ 落在 $(0, \frac{1}{n})$ 里就得 $n$ 元，否则得 0 元。即 $X_{n} (ω) = n 1_{(0, 1/ n)} (ω) 。$

期望： $E [X_{n}] = n \cdot P ((0, \frac{1}{n})) = n \cdot \frac{1}{n} = 1 ，$ 每一期都是 1 元。
对每个 $ω \in (0, 1] ，$ 从 $n > \frac{1}{ω}$ 那一期起 $X_{n} (ω) = 0 ；$ 而 $ω = 0$ 不在任何 $(0, \frac{1}{n})$ 里，每期都是 0。所以不管抽到哪个点，最终都再也拿不到钱：极限 $X = 0 ，$ $E [X] = 0 。$

每期的期望都是 1，极限的期望却是 0。在概率里这提醒我们： $X_{n} \to X$ 并不自动给出 $E [X_{n}] \to E [X] ，$ 需要单调、控制或有界这类额外条件（第 36 页、第 44 页、第 46 页）。

推导：一步一步来

推导证明思路

分别算出两个数：「先积分再取极限」得 1，「先取极限再积分」得 0。再指出这列函数不单调，所以和 MCT 不矛盾。

第 1 步：逐点极限。 取板书的 $f_{n} = n 1_{[0, 1/ n]} 。$

设 $x \in (0, 1] 。$ 取正整数 $N > \frac{1}{x} 。$ 当 $n \geq N$ 时 $\frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < x ，$ 所以 $x \in / [0, \frac{1}{n}] ，$ $f_{n} (x) = 0 。$ 于是 $f_{n} (x) \to 0 。$
$x = 0$ 时 $f_{n} (0) = n \to \infty 。$
所以极限函数 $f = lim f_{n}$ 在 $(0, 1]$ 上等于 0，在点 $0$ 处等于 $\infty 。$

第 2 步：极限函数的积分是 0。 $f = \infty \cdot 1_{{0}} 。$ 任取台阶 $0 \leq s \leq f ：$ $s$ 在 $x \neq = 0$ 处只能是 0，在点 0 处是某个有限值 $a ，$ 所以 $\int s = a \cdot Leb ({0}) = 0 。$ 所有台阶的积分都是 0，上确界 $\int f d Leb = 0$ （与第 33 页例 4 相同）。

第 3 步：每个 $f_{n}$ 的积分是 1。 见板书第 5 行的三个等号。

第 4 步：比较两个顺序。

n \to \infty lim \int f_{n} d Leb = n \to \infty lim 1 = 1 \neq = 0 = \int f d Leb = \int n \to \infty lim f_{n} d Leb .

第 5 步：为什么和 MCT 不矛盾。 MCT 要求 $f_{n} \leq f_{n + 1}$ 处处成立。取 $x \in (\frac{1}{n + 1}, \frac{1}{n}] ：$ $f_{n} (x) = n ，$ 而 $f_{n + 1} (x) = 0 ，$ 所以 $f_{n} (x) > f_{n + 1} (x) ，$ 单调性在这一段上失败。条件不满足，MCT 什么也没断言，没有矛盾。

第 6 步：质量只丢失、没有凭空增加。 这里 $\int lim f_{n} = 0 < 1 = lim \int f_{n} ：$ 极限函数的积分偏小。对非负函数，这个方向不是偶然的——第 41 页的 Fatou 引理会证明：非负函数列的下极限的积分，永远不超过积分的下极限。质量可以在极限中丢失，但不会凭空多出来。

常见疑问与易错点

易错点问：函数在每一点都趋于 0 了，面积为什么不趋于 0？

答：因为「每一点都趋于 0」允许不同的点在不同的时刻变成 0。任何时刻 $n ，$ 区间 $[0, \frac{1}{n}]$ 上的点都还没变成 0，而且那里的高度是 $n ；$ 宽 $\times$ 高 $= \frac{1}{n} \times n = 1 。$ 面积由「还没变成 0 的那一小块」扛着，这一块越来越窄，却越来越高，面积始终不变。

易错点问：这个反例和 MCT 矛盾吗？

答：不矛盾。MCT 要求逐点递增，而尖峰不是递增的（推导第 5 步）。MCT 在这里根本不适用。反例恰好说明 MCT 的单调性条件是必要的，不能省略。

易错点问：板书写的「fₙ → 0 p.w.」对吗？

答：差一个点。按老师的写法 $f_{n} = n 1_{[0, 1/ n]} ，$ 在 $x = 0$ 处 $f_{n} (0) = n \to \infty 。$ 应说「在 $(0, 1]$ 上逐点收敛到 0」，或者把区间改成 $(0, \frac{1}{n}] 。$ 这一点的长度是 0，不影响任何积分，所以结论 $1 \neq = 0$ 完全成立。

易错点问：有正有负的函数也会「丢质量」吗？会不会反过来「多出质量」？

答：会多出来。取 $f_{n} = - n 1_{(0, 1/ n)} ，$ 它逐点趋于 0，但 $\int f_{n} = - 1$ （按第 33 页板书的「正部减负部」）。于是 $lim \int f_{n} = - 1 < 0 = \int lim f_{n} ，$ 方向和尖峰相反。这就是为什么 Fatou 引理（第 41 页）一定要求非负：只有非负时，才能保证「极限的积分不超过积分的极限」这一个方向。

易错点问：那到底在什么条件下才能交换极限和积分？

答：本讲给了三个充分条件：函数非负且单调递增（MCT，第 36 页）；被同一个可积函数控制（DCT，第 44 页）；测度有限且函数一致有界（BCT，第 46 页）。尖峰三个条件都不满足：不单调； $[0, 1]$ 的测度虽然有限，但高度 $n \to \infty ，$ 不是一致有界；也找不到可积的控制函数（第 47 页自测第 2 题算过）。

小结与自测

小结本页小结

去掉单调性，逐点收敛推不出积分收敛： $f_{n} \to f ⇏ \int f_{n} \to \int f 。$
反例（尖峰）： $([0, 1], B, Leb)$ 上 $f_{n} = n 1_{[0, 1/ n]} ，$ 每个积分都是 1，逐点极限（点 0 除外）是 0，于是 $lim \int f_{n} = 1 \neq = 0 = \int lim f_{n} 。$
板书小疏漏： $x = 0$ 处 $f_{n} (0) = n \to \infty ，$ 应说「在 $(0, 1]$ 上」收敛，或把区间改成 $(0, \frac{1}{n}] ；$ 不影响结论。
质量可以竖着挤到一个点（尖峰），也可以横着跑到无穷远（ $1_{[n, n + 1]} ）。$
对非负函数，极限只会「丢质量」，这就是下两页 Fatou 引理的不等号方向。

自测

1. 在 $([0, 1], B, Leb)$ 上， $f_{n} = n^{2} 1_{(0, 1/ n)} 。$ 求逐点极限和 $lim \int f_{n} 。$

点开看答案

逐点极限：对 $x \in (0, 1] ，$ $n > \frac{1}{x}$ 后 $f_{n} (x) = 0 ；$ 又 $f_{n} (0) = 0 。$ 所以处处趋于 0， $\int lim f_{n} = 0 。$ 积分 $\int f_{n} = n^{2} \cdot \frac{1}{n} = n \to \infty 。$ 两种顺序的结果分别是 $\infty$ 和 0。

2. 判断：「若非负可测函数 $f_{n}$ 逐点收敛到 $f ，$ 并且每个 $\int f_{n} = 1 ，$ 则 $\int f = 1 。」$

点开看答案

错误。尖峰就是反例：每个 $\int f_{n} = 1 ，$ 但 $\int f = 0 。$ （由 Fatou 引理，能说的只有 $\int f \leq 1 ，$ 见第 41 页。）

3. 尖峰 $f_{n} = n 1_{(0, 1/ n)}$ 为什么不满足 MCT 的条件？请在 $x = 0.3$ 处具体说明。

点开看答案

MCT 要求每个点上 $f_{1} (x) \leq f_{2} (x) \leq \dots 。$ 在 $x = 0.3$ 处， $f_{1} = 1 ，$ $f_{2} = 2 ，$ $f_{3} = 3 ，$ $f_{4} = 0$ （因为 $0.3 \geq \frac{1}{4} ，$ 不在 $(0, \frac{1}{4})$ 里）。从 3 掉到 0，数列不是递增的，所以 MCT 的条件不满足。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
逐点收敛	pointwise convergence	对定义域里的每一个点 x，数列 fₙ(x) 都收敛到 f(x)；这样得到的函数 f 叫逐点极限。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
Fatou 引理	Fatou's lemma	非负可测函数列满足 ∫ liminf fₙ ≤ liminf ∫ fₙ（只保证这个方向）。
下确界	infimum (inf)	最大的下界。例如 (0,1] 没有最小值，但下确界是 0。
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
博雷尔 σ-代数	Borel sigma-algebra	由实数轴上所有开区间生成的 σ-代数 𝓑(ℝ)，包含所有常见的集合。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
示性函数	indicator function	𝟏_A(x) 在 x ∈ A 时取 1，否则取 0；它的积分就是 A 的测度。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
简单函数	simple function	只取有限个值的可测函数，是若干示性函数的线性组合，图像像台阶。
几乎处处	almost everywhere (a.e.)	除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
有界收敛定理	bounded convergence theorem (BCT)	有限测度上一致有界、几乎处处收敛的函数列，积分收敛；是 DCT 的特例。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
上确界	supremum (sup)	最小的上界。最大值不一定存在，但有上界的实数集一定有上确界。
下极限	limit inferior (lim inf)	数列「尾部的最小可能值」的极限；对集合则表示「从某一项起一直发生」。
正部	positive / negative part	f⁺ = max(f, 0)，f⁻ = max(−f, 0)，f = f⁺ − f⁻，\|f\| = f⁺ + f⁻。
单调递增	nondecreasing	后一项不小于前一项；单调有界的数列一定有极限。
一致有界	uniformly bounded	存在同一个常数 M，使所有 n、所有点 x 都有 \|fₙ(x)\| ≤ M。「一致」是指一个 M 管住整列函数。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。