24 路线图：进入第 4 部分 · 第1讲 · 高等概率论逐页精讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

测度造好了，下一步是积分：怎样对一个测度求「加权和」。在概率里，这一步就是给「期望」下严格的定义。

课件原文逐句精读

课件原文Where we are

Probability spaces and measurable events
From Jordan content to outer measure
Lebesgue measurable sets and measure
Lebesgue integration（高亮）
MCT, Fatou's Lemma, DCT, BCT

中文翻译

我们现在在哪里：第 4 部分「勒贝格积分」。

为什么需要新的积分

你熟悉的定积分叫黎曼积分：把区间 $[a, b]$ 切成小段，用「小段长度 × 函数值」求和再取极限。
它有两个不够用的地方：
1. 函数太「乱」（比如在有理点取 1、无理点取 0）时，黎曼积分不存在（第 28 页）；
2. 它只能在区间上积分，而概率要在一般的样本空间 $Ω$ 上对概率测度 $P$ 积分。
勒贝格积分解决这两点：它按函数值分块（第 26 页有对比图），可以对任意测度积分。

第 4 部分会讲什么（积分的四级构造）

页	内容
第 25 页、第 26 页	达布和与黎曼积分；勒贝格换了「台阶的底」
第 27 页、第 28 页	黎曼可积 ⇒ 勒贝格可积；反过来不成立（狄利克雷函数）
第 29 页	可测函数：什么样的函数可以积分
第 30 页–第 32 页	第 1 级：示性函数；第 2 级：简单函数及其积分
第 33 页	第 3 级：非负可测函数的积分＝下方简单函数积分的上确界
第 34 页	任何非负可测函数都能被递增的简单函数逼近

第 4 级（有正有负的函数，拆成正部减负部）在第 33 页的板书和第 43 页出现。

人话版这一部分的主线：从简单到一般，一级一级搭

示性函数 $1_{A}$ 的积分 $= μ (A)$ → 有限个「台阶」的简单函数，积分 $= \sum a_{k} μ (A_{k})$ → 非负函数：用下方的台阶逼近取上确界 → 一般函数：正部减负部。每一级都只用上一级已经定义好的东西。

小结与自测

小结本页小结

第 4 部分定义勒贝格积分，也就是期望的严格定义。
构造分四级：示性函数 → 简单函数 → 非负可测函数 → 一般可积函数。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
勒贝格积分	Lebesgue integral	按函数值分块的积分：先定义简单函数的积分，再用下方的简单函数逼近取上确界。
黎曼积分	Riemann integral	大一学的定积分：按 x 轴切竖条求和取极限。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
样本空间	sample space	一次试验所有可能的完整结局组成的集合，记作 Ω。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
达布和	Darboux sums	每小段取函数的下确界（或上确界）乘以长度再求和；上下和夹住黎曼积分。
狄利克雷函数	Dirichlet function	在有理点取 1、无理点取 0 的函数；黎曼不可积，勒贝格积分为 0。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
示性函数	indicator function	𝟏_A(x) 在 x ∈ A 时取 1，否则取 0；它的积分就是 A 的测度。
简单函数	simple function	只取有限个值的可测函数，是若干示性函数的线性组合，图像像台阶。
上确界	supremum (sup)	最小的上界。最大值不一定存在，但有上界的实数集一定有上确界。
正部	positive / negative part	f⁺ = max(f, 0)，f⁻ = max(−f, 0)，f = f⁺ − f⁻，\|f\| = f⁺ + f⁻。