20 依概率收敛下的控制收敛定理：一个共同的可积上界就够了 · 第3讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

把第 1 讲控制收敛定理里的「几乎必然收敛」换成更弱的「依概率收敛」，结论照样成立：只要所有 $∣ X_{n} ∣$ 被同一个可积的 $Y$ 管住，就有 $∣ X ∣ \leq Y 、$ $E ∣ X_{n} - X ∣ \to 0 、$ $E X_{n} \to E X 。$

上一页第 19 页的尖峰说明：没有可积上界，收敛了期望也可能不跟着收敛。
这一页说明：有了共同的可积上界，连依概率收敛都够用。这很重要，因为很多时候我们只知道依概率收敛（比如第 15 页的打字机序列根本不几乎必然收敛），第 1 讲的 DCT 用不上。
证明分两页：这一页先证「极限 $X$ 是可积的」（Proof: the limit is integrable）；下一页第 21 页证「 $E ∣ X_{n} - X ∣ \to 0 」。$
两页的共同工具是第 16 页的子列判别法：它是连接「依概率收敛」和「几乎必然收敛」的桥。

先补基础

基础补课依概率收敛和几乎必然收敛

几乎必然收敛（第 9 页定义 6）： $P ({ω : X_{n} (ω) \to X (ω)}) = 1 ，$ 看的是每个 $ω$ 上整条数列。
依概率收敛（第 14 页定义 10）：对每个 $ε > 0 ，$ $P (∣ X_{n} - X ∣ > ε) \to 0 ，$ 看的是每一步坏事件的概率。
前者推出后者（第 14 页命题 11），反之不成立。反例是第 15 页的打字机序列：一个宽度越来越小的「窗口」一遍遍扫过 $[0, 1) 。$ 窗口宽度趋于 0，所以依概率收敛到 0；但每个点被扫过无穷多次，所以在任何点上都不收敛。

基础补课子列与子列判别法（第 16 页定理 12）

子列（subsequence）：从 $X_{1}, X_{2}, X_{3}, \dots$ 里按原来的顺序挑出无穷多项，下标 $n_{1} < n_{2} < n_{3} < \dots$ 严格递增，得到 $X_{n_{1}}, X_{n_{2}}, \dots ，$ 记作 $(X_{n_{k}})_{k \geq 1} 。$ 例：偶数项 $X_{2}, X_{4}, X_{6}, \dots$ （ $n_{k} = 2 k ）；$ $X_{1}, X_{2}, X_{4}, X_{8}, \dots$ （ $n_{k} = 2^{k - 1} ）。$
子列判别法（第 16 页定理 12）： $X_{n} P X$ 当且仅当 $(X_{n})$ 的每一个子列都还有一个子列（「子子列」）几乎必然收敛到 $X 。$
本页只用它的一个推论：依概率收敛的序列，一定有某个子列几乎必然收敛（把整个序列本身当成那个「子列」即可）。
例：打字机序列里，每一轮扫描的第一个窗口 $X_{2^{m}} = 1_{[0, 2^{- m})}$ 组成的子列，对每个 $ω > 0 ，$ 当 $2^{- m} \leq ω$ 后都等于 0，所以几乎必然收敛到 0。

基础补课可积、L¹ 与 |𝔼Z| ≤ 𝔼|Z|

$X$ 可积（integrable），记作 $X \in L^{1} ，$ 意思是 $E ∣ X ∣ < \infty$ （第 43 页、第 22 页）。只有可积的 $X$ 才能放心地谈 $E X$ （不会出现 $\infty - \infty ）。$
$L^{1}$ 收敛： $E ∣ X_{n} - X ∣ \to 0 ，$ 即「平均误差」趋于 0。
第 1 讲命题 35（第 43 页）：可积的 $Z$ 满足 $∣ E Z ∣ \leq E ∣ Z ∣ 。$ 直觉：先取绝对值再平均，正负不会互相抵消，所以不会更小。

基础补课可数个「几乎必然」可以同时成立

若对每个 $k$ 都有 $P (B_{k}) = 1 ，$ 那么 $P (⋂_{k} B_{k}) = 1 。$ 理由：由可数次可加性（第 4 页），

P ((⋂_{k} B_{k})^{c}) = P (⋃_{k} B_{k}^{c}) \leq \sum_{k} P (B_{k}^{c}) = \sum_{k} 0 = 0.

例：「对每个 $n ，$ $∣ X_{n} ∣ \leq Y$ 几乎必然」可以升级为「几乎必然地，对所有 $n$ 同时有 $∣ X_{n} ∣ \leq Y 」。$ 只对可数个事件成立，所以下标必须是 $n = 1, 2, 3, \dots$ 这样可数的。

课件原文逐句精读

课件原文Dominated convergence in probability

Theorem 15 (A common integrable bound)

Proof: the limit is integrable

中文翻译

（标题：依概率收敛下的控制收敛）

定理 15（共同的可积上界）

证明：极限是可积的

标题 Dominated convergence in probability：dominated（被控制的）指 $∣ X_{n} ∣$ 被一个函数 $Y$ 从上面压住；in probability（依概率）指收敛方式换成了依概率收敛。合起来：「依概率收敛版本的控制收敛定理」。
Theorem 15 (A common integrable bound)：定理 15，括号里的名字把条件说全了——common（共同的：一个 $Y$ 管所有 $n ）、$ integrable（可积的： $E Y < \infty ）、$ bound（上界： $∣ X_{n} ∣ \leq Y ）。$
Proof: the limit is integrable：证明的第一部分，先证极限 $X$ 可积。为什么要先证这个？因为定理的结论里要用到 $E X$ 和 $E ∣ X_{n} - X ∣ ，$ 得先确认它们是有限的数。
课件在这两个标题下留白，下面补全。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

Theorem 15 (A common integrable bound)｜定理 15（共同的可积上界）

定理 15（共同的可积上界：依概率收敛下的控制收敛定理）

设 $X_{n} 、$ $X$ 是 $(Ω, F, P)$ 上的实值随机变量， $X_{n} P X 。$ 若存在随机变量 $Y \geq 0 ，$ 满足

E Y < \infty, 且对每个 n, ∣ X_{n} ∣ \leq Y 几乎必然,

则

$∣ X ∣ \leq Y$ 几乎必然，特别地 $E ∣ X ∣ \leq E Y < \infty ，$ $X$ 可积；
$E ∣ X_{n} - X ∣ \to 0$ （ $L^{1}$ 收敛）；
$E X_{n} \to E X 。$

逐个看条件：

$X_{n} P X$ ：只要求依概率收敛。和第 1 讲 DCT（第 44 页定理 36）相比，这是唯一的改动，而且是把条件放宽了。
$Y \geq 0 ，$ $E Y < \infty$ ：上界本身必须可积。 $Y$ 可以无界（比如 $ω^{- 1/2} ），$ 只要平均值有限。
对每个 $n ，$ $∣ X_{n} ∣ \leq Y$ ：同一个 $Y$ 管住所有的 $X_{n} 。$ 尖峰（第 19 页）里每个 $X_{n}$ 都不超过常数 $n ，$ 但没有共同的可积上界，结论就失败了。
「几乎必然」就够：零概率集上 $∣ X_{n} ∣$ 超过 $Y$ 不影响任何期望。

逐个看结论：

结论 1 保证 $E X$ 是有限的数，后两条结论才有意义。注意它是推出来的，不是假设。
结论 2 最强：平均误差趋于 0。
结论 3 由结论 2 立刻得到： $X_{n} 、$ $X$ 都可积（ $∣ X_{n} ∣ \leq Y ，$ $∣ X ∣ \leq Y ），$ 由期望的线性和命题 35，

∣ E X_{n} - E X ∣ = ∣ E (X_{n} - X) ∣ \leq E ∣ X_{n} - X ∣ \to 0.

	第 1 讲 DCT（第 44 页）	本页定理 15
收敛方式	几乎必然	依概率（更弱）
上界	共同可积上界 $Y$	共同可积上界 $Y$
结论	$E ∣ X_{n} - X ∣ \to 0 ，$ $E X_{n} \to E X$	相同，外加 $∣ X ∣ \leq Y$ a.s.

人话版为什么依概率收敛也够？

期望只关心「值有多大 × 概率有多大」。依概率收敛保证误差大于 $ε$ 的概率趋于 0；共同的可积上界保证在这些小概率事件上，误差的值不会大到把期望撑起来（像尖峰那样）。两者合起来，平均误差就趋于 0。至于误差在哪些 $ω$ 上、按什么顺序出现（这是几乎必然收敛关心的），期望根本不在乎。

Proof: the limit is integrable｜证明：极限是可积的

推导证明思路

依概率收敛不能直接在每个 $ω$ 上取极限。先用子列判别法取出一个几乎必然收敛的子列，在这个子列上把不等式 $∣ X_{n_{k}} ∣ \leq Y$ 取极限，得到 $∣ X ∣ \leq Y 。$

取一个几乎必然收敛的子列：因为 $X_{n} P X ，$ 由子列判别法（第 16 页定理 12），存在下标 $n_{1} < n_{2} < \dots ，$ 使 $X_{n_{k}} \to X$ 几乎必然。记 $Ω_{1} = {X_{n_{k}} \to X} ，$ $P (Ω_{1}) = 1 。$
让所有不等式同时成立：对每个 $k ，$ 事件 $B_{k} = {∣ X_{n_{k}} ∣ \leq Y}$ 的概率为 1。记 $Ω_{2} = ⋂_{k} B_{k} ，$ 由先补基础， $P (Ω_{2}) = 1 。$
一个好的事件：令 $Ω_{0} = Ω_{1} \cap Ω_{2} 。$ 它的补集是 $Ω_{1}^{c} \cup Ω_{2}^{c} ，$ 概率不超过 $P (Ω_{1}^{c}) + P (Ω_{2}^{c}) = 0 + 0 ，$ 所以 $P (Ω_{0}) = 1 。$
在每个好的 $ω$ 上取极限：固定 $ω \in Ω_{0} 。$ 一方面 $X_{n_{k}} (ω) \to X (ω) ，$ 绝对值是连续函数，所以 $∣ X_{n_{k}} (ω) ∣ \to ∣ X (ω) ∣ ；$ 另一方面 $∣ X_{n_{k}} (ω) ∣ \leq Y (ω)$ 对所有 $k$ 成立。极限保持不等号（见下面的推导），所以

∣ X (ω) ∣ \leq Y (ω) .

结论： $∣ X ∣ \leq Y$ 在 $Ω_{0}$ 上成立，即几乎必然成立。由积分的单调性（零概率集不影响期望，第 43 页）， $E ∣ X ∣ \leq E Y < \infty 。$ 证毕。

另一种证法：不用子列，直接用依概率收敛的定义

固定 $ε > 0$ 和任意的 $n 。$

包含关系： ${∣ X ∣ > Y + ε} \subseteq {∣ X_{n} - X ∣ > ε} \cup {∣ X_{n} ∣ > Y} 。$ 理由：若 $∣ X_{n} ∣ \leq Y$ 且 $∣ X_{n} - X ∣ \leq ε ，$ 由三角不等式 $∣ X ∣ \leq ∣ X_{n} ∣ + ∣ X - X_{n} ∣ \leq Y + ε 。$
取概率： $P (∣ X ∣ > Y + ε) \leq P (∣ X_{n} - X ∣ > ε) + P (∣ X_{n} ∣ > Y) = P (∣ X_{n} - X ∣ > ε) + 0 。$
令 $n \to \infty$ ：右边趋于 0，左边与 $n$ 无关，所以 $P (∣ X ∣ > Y + ε) = 0 。$
令 $ε = \frac{1}{k}$ ： ${∣ X ∣ > Y} = ⋃_{k} {∣ X ∣ > Y + \frac{1}{k}} ，$ 可数个零概率事件之并，概率为 0。所以 $∣ X ∣ \leq Y$ 几乎必然。

这个证法和第 1 讲 BCT（第 46 页）板书里证 $∣ f ∣ \leq M$ 的办法是同一个思路。

补充剩下的一半（下一页）

为什么不能直接对整个序列用第 1 讲的 DCT？因为 DCT 要求几乎必然收敛，而 $X_{n}$ 可能根本不几乎必然收敛（打字机序列）。对第 1 步的子列用 DCT，只能得到 $E ∣ X_{n_{k}} - X ∣ \to 0 ，$ 管不到其余的项。第 21 页用「反证 + 再取子子列」解决这个问题。

例子

例 1：打字机序列——第 1 讲 DCT 用不上，定理 15 用得上

第 15 页的打字机序列：在 $([0, 1), B, λ)$ 上， $X_{2^{m} + k} = 1_{[k 2^{- m}, (k + 1) 2^{- m})} ，$ $0 \leq k < 2^{m} 。$

依概率收敛到 0：对 $0 < ε < 1 ，$ $P (∣ X_{2^{m} + k} ∣ > ε) = 2^{- m} ，$ 而 $n = 2^{m} + k \to \infty$ 时 $m \to \infty ，$ 所以趋于 0。
不几乎必然收敛：每一轮扫描（固定 $m ，$ $k = 0, \dots, 2^{m} - 1 ）$ 都恰好有一个窗口盖住 $ω ，$ 所以 $X_{n} (ω) = 1$ 无穷多次， $= 0$ 也无穷多次。第 1 讲 DCT 的条件不满足。
共同可积上界： $∣ X_{n} ∣ \leq 1 ，$ 取 $Y \equiv 1 ，$ $E Y = 1 。$
定理 15 的结论： $E ∣ X_{n} - 0∣ \to 0 。$ 直接验证： $E X_{2^{m} + k} = 2^{- m} \to 0 。$ 例如 $n = 13 = 2^{3} + 5$ 时， $E X_{13} = \frac{1}{8} 。$

例 2：上界无界但可积

仍在 $[0, 1)$ 上，令 $Y (ω) = ω^{- 1/2}$ （ $ω > 0 ；$ $ω = 0$ 处随便定义，比如 0）， $T_{n}$ 为例 1 的打字机序列， $X_{n} = Y \cdot T_{n} 。$

上界： $0 \leq X_{n} \leq Y ，$ 且 $E Y = \int_{0}^{1} ω^{- 1/2} d ω = 2 < \infty 。$ 但 $Y$ 在 0 附近无界，有界收敛定理用不上。
依概率收敛到 0： ${∣ X_{n} ∣ > ε} \subseteq {T_{n} = 1} ，$ 概率 $\leq 2^{- m} \to 0 。$
不几乎必然收敛：对 $ω > 0 ，$ $T_{n} (ω) = 1$ 无穷多次，此时 $X_{n} (ω) = ω^{- 1/2} > 0 ；$ $T_{n} (ω) = 0$ 时 $X_{n} (ω) = 0 。$
定理 15 的结论： $E X_{n} \to 0 。$ 直接验证：设 $n = 2^{m} + k ，$ 窗口是 $[a, b) ，$ $b - a = 2^{- m} ，$

E X_{n} = \int_{a}^{b} ω^{- 1/2} d ω = 2 (b - a) \leq 2 b - a = 2 \cdot 2^{- m /2} \to 0,

其中 $b - a \leq b - a$ 是因为两边平方后等价于 $a \leq ab ，$ 即 $a \leq b 。$

例 3（反例）：条件「共同」不能去掉

尖峰 $X_{n} = n 1_{[0, 1/ n]}$ （第 19 页）： $X_{n} P 0 ，$ 每个 $X_{n}$ 都被自己的常数 $n$ 管住，但没有一个可积的 $Y$ 管住全部（最小的候选 $sup_{n} X_{n} = ⌊ 1/ ω ⌋$ 期望无穷）。定理 15 不适用，结论也确实失败： $E X_{n} = 1 \neq \to 0 。$

推导：一步一步来

极限保持不等号。 设实数列 $a_{k} \to a ，$ 且对所有 $k$ 都有 $a_{k} \leq b 。$ 要证 $a \leq b 。$

反设 $a > b ，$ 取 $ε = \frac{a - b}{2} > 0 。$
由极限的定义，存在 $K ，$ 使 $k \geq K$ 时 $∣ a_{k} - a ∣ < ε ，$ 于是 $a_{k} > a - ε = \frac{a + b}{2} > b 。$
这与「对所有 $k ，$ $a_{k} \leq b 」$ 矛盾。所以 $a \leq b 。$

注意严格不等号不一定保持： $\frac{1}{k} > 0$ 对所有 $k$ 成立，极限却是 $0 ，$ 不是 $> 0 。$ 本页只需要「 $\leq 」。$

为下一页准备：误差也被控制。 由结论 1 和三角不等式，几乎必然地

∣ X_{n} - X ∣ \leq ∣ X_{n} ∣ + ∣ X ∣ \leq Y + Y = 2 Y,

而 $E [2 Y] = 2 E Y < \infty 。$ 所以误差 $∣ X_{n} - X ∣$ 有共同的可积上界 $2 Y ，$ 特别地 $E ∣ X_{n} - X ∣ \leq 2 E Y$ 是有限数。第 21 页对误差用 DCT 时，控制函数就是这个 $2 Y 。$

结论 3 为什么需要可积性。 等式 $E X_{n} - E X = E (X_{n} - X)$ 是期望的线性（第 43 页命题 35），它要求 $X_{n} 、$ $X$ 都可积；否则可能出现 $\infty - \infty 。$ 结论 1 和 $∣ X_{n} ∣ \leq Y$ 正好保证了这一点。

常见疑问与易错点

易错点问：为什么一定要「共同」的上界？每个 X_n 自己可积不行吗？

答：不行。尖峰的每个 $X_{n}$ 都可积（ $E X_{n} = 1 ），$ 甚至都有界（ $\leq n ），$ 但结论失败。「共同」上界的作用是阻止质量逃走：如果 $∣ X_{n} ∣ \leq Y$ 对所有 $n$ 成立，那么在一个概率很小的事件 $A$ 上， $E [∣ X_{n} ∣ 1_{A}] \leq E [Y 1_{A}]$ 对所有 $n$ 一起很小， $X_{n}$ 没法在越来越小的事件上堆出固定大小的期望。

易错点问：定理 15 的结论里有几乎必然收敛吗？

答：没有。结论是 $L^{1}$ 收敛，不是几乎必然收敛。例 1 的打字机序列满足定理的全部条件， $E ∣ X_{n} ∣ \to 0 ，$ 但它在任何点上都不收敛。 $L^{1}$ 收敛不推出几乎必然收敛。

易错点问：𝔼X_n → 𝔼X 和 𝔼|X_n − X| → 0 哪个更强？

答：后者更强，由 $∣ E X_{n} - E X ∣ \leq E ∣ X_{n} - X ∣$ 推出前者。反过来不对：在 $[0, 1]$ 上令 $X_{n} = 1_{[0, 1/2)} - 1_{[1/2, 1]}$ （对所有 $n$ 都一样）， $X = 0 。$ 则 $E X_{n} = 0 = E X ，$ 但 $E ∣ X_{n} - X ∣ = 1 。$ 期望相等只说明「正负误差互相抵消」，不说明误差小。

易错点问：为什么证明要绕道子列？直接对 X_n 取极限不行吗？

答：要从 $∣ X_{n} ∣ \leq Y$ 推出 $∣ X ∣ \leq Y ，$ 需要在每个 $ω$ 上让 $X_{n} (ω) \to X (ω) ，$ 再用「极限保持不等号」。依概率收敛不给出任何一个 $ω$ 上的收敛（打字机序列处处不收敛）。子列判别法正好补上这个缺口：虽然整列不行，但总有一个子列几乎必然收敛，而这就够推出 $∣ X ∣ \leq Y$ 了。

小结与自测

小结本页小结

定理 15： $X_{n} P X ，$ 且存在 $Y \geq 0 ，$ $E Y < \infty ，$ 对每个 $n$ 有 $∣ X_{n} ∣ \leq Y$ a.s. $\Rightarrow$ $∣ X ∣ \leq Y$ a.s.， $E ∣ X_{n} - X ∣ \to 0 ，$ $E X_{n} \to E X 。$
与第 1 讲 DCT 的唯一区别：几乎必然收敛放宽为依概率收敛。
「极限可积」的证明：子列判别法取几乎必然收敛的子列 → 在好的 $ω$ 上对 $∣ X_{n_{k}} ∣ \leq Y$ 取极限 → $∣ X ∣ \leq Y$ a.s.。
由此误差有共同可积上界 $∣ X_{n} - X ∣ \leq 2 Y ，$ 这是下一页用 DCT 的关键。

自测

1. 在打字机序列（例 1）中，求 $E ∣ X_{n} - 0∣$ 在 $n = 2^{4} + 3 = 19$ 时的值，并说明定理 15 的哪些条件成立。

点开看答案

$n = 19 = 2^{4} + 3 ，$ $m = 4 ，$ 窗口宽度 $2^{- 4} ，$ 所以 $E X_{19} = \frac{1}{16} 。$ 条件： $X_{n} P 0 ；$ $∣ X_{n} ∣ \leq Y \equiv 1 ，$ $E Y = 1 < \infty 。$ 定理 15 给出 $E ∣ X_{n} ∣ \to 0 ，$ 与 $2^{- m} \to 0$ 一致。

2. 判断：若 $X_{n} P X$ 且对所有 $n$ 都有 $∣ X_{n} ∣ \leq 5 ，$ 则 $E X_{n} \to E X 。$

点开看答案

正确。取 $Y \equiv 5 ，$ $E Y = 5 < \infty ，$ 这是定理 15 的特例（依概率收敛下的有界收敛定理）。

3. 「极限是可积的」这一步的证明中，为什么要先把「对每个 $k ，$ $∣ X_{n_{k}} ∣ \leq Y$ a.s.」升级为「a.s. 对所有 $k$ 同时成立」？

点开看答案

因为「极限保持不等号」要求在同一个 $ω$ 上，所有 $k$ 都满足 $∣ X_{n_{k}} (ω) ∣ \leq Y (ω) 。$ 每个 $k$ 各自的例外集可能不同；把可数个例外集并起来，总概率仍为 0（可数次可加性），这样才能找到一个概率为 1 的事件，在上面所有不等式同时成立。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
依概率收敛	convergence in probability	对每个 ε > 0，P(\|Xₙ − X\| > ε) → 0；比几乎必然收敛弱。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
打字机序列	typewriter sequence	在 [0,1) 上从左到右一遍遍扫过、越来越窄的小区间的示性函数列：依概率收敛到 0，却在每一点都不收敛。
子列	subsequence	从一个数列里按顺序挑出无穷多项组成的新数列。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
无穷多次	infinitely often (i.o.)	「Aₙ 发生无穷多次」就是集合 lim sup Aₙ。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
次可加性	subadditivity	并集的测度不超过各部分测度之和：μ(A ∪ B) ≤ μ(A) + μ(B)。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
补集	complement	样本空间里不属于 A 的元素全体，记作 Aᶜ，对应「A 不发生」。
三角不等式	triangle inequality	\|a + b\| ≤ \|a\| + \|b\|：分两段走的总路程不会比直接走更短。推广有 \|∫f\| ≤ ∫\|f\|、E\|X + Y\| ≤ E\|X\| + E\|Y\|，以及 Lᵖ 范数的 Minkowski 不等式。
有界收敛定理	bounded convergence theorem (BCT)	有限测度上一致有界、几乎处处收敛的函数列，积分收敛；是 DCT 的特例。