01 几乎必然收敛 + 范数收敛 ⇒ Lᵖ 收敛（Fatou 引理的「减法技巧」） · 作业2

这道题在问什么

人话版一句话版

$X_{n} \to X$ 几乎必然，只说明「每个样本点上的误差最终趋于 0」，并不说明「平均误差」 $E ∣ X_{n} - X ∣^{p}$ 趋于 0：质量可能像尖峰那样从一个零概率集逃走。本题说：只要再知道总量对得上，即 $E ∣ X_{n} ∣^{p} \to E ∣ X ∣^{p} < \infty ，$ 质量就无处可逃，于是 $E ∣ X_{n} - X ∣^{p} \to 0 。$ 证明只用 Fatou 引理，关键一步是对「上界减去误差」这个非负量用 Fatou。 $p = 1$ 且 $X_{n} \geq 0$ 的情形就是 Scheffé 引理（第 3 讲第 22 页）； $p = 1$ 而 $X_{n}$ 可正可负时，本题是它的推广。

考点：几乎必然收敛与 $L^{p}$ 收敛的关系；Fatou 引理的标准用法（用它得到上界）；凸函数给出的初等不等式。
要用的讲义结论： $L^{p}$ 空间（第 2 讲第 22 页）；凸函数与 Jensen 不等式（第 2 讲第 23 页、第 24 页）；上极限与下极限（第 1 讲第 40 页）；Fatou 引理（第 1 讲第 41 页）；尖峰反例（第 3 讲第 19 页）；Scheffé 引理及其证明（第 3 讲第 22 页、第 23 页）。
与其他题的关系：
- 小测 1 第 3 题正是本题 $p = 1$ 的情形；
- 小测 1 第 2 题「用 Fatou 引理证明控制收敛定理」用的是同一个减法技巧；
- 作业 1 第 10 题（控制函数也可以变的控制收敛定理）可以一步推出本题（见「拓展延伸」）；
- 本作业第 3 题接着讨论 $L^{p}$ 收敛下乘积的收敛。

先补基础

基础补课Lᵖ 空间、Lᵖ 范数与 Lᵖ 收敛

定义（第 2 讲第 22 页）：设 $p \geq 1 。$ 随机变量 $X$ 的 $L^{p}$ 范数是 $∥ X ∥_{p} = (E ∣ X ∣^{p})^{1/ p} ，$ 读作「 $X$ 的 $p$ -范数」。 $X \in L^{p}$ （「 $X$ 是 $L^{p}$ 可积的」）指 $E ∣ X ∣^{p} < \infty 。$
例： $X$ 在 $(0, 1)$ 上均匀分布， $E X^{2} = \int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3} ，$ 所以 $∥ X ∥_{2} = \frac{1}{3} \approx 0.577 。$
$L^{p}$ 收敛： $X_{n} \to X$ in $L^{p}$ 指 $∥ X_{n} - X ∥_{p} \to 0 ，$ 等价于 $E ∣ X_{n} - X ∣^{p} \to 0$ （开 $p$ 次方不改变「趋于 0」）。 $p = 1$ 叫平均收敛， $p = 2$ 叫均方收敛。
范数收敛： $∥ X_{n} ∥_{p} \to ∥ X ∥_{p}$ 等价于 $E ∣ X_{n} ∣^{p} \to E ∣ X ∣^{p} 。$ 理由： $t \mapsto t^{p}$ 与 $t \mapsto t^{1/ p}$ 都是 $[0, \infty)$ 上的连续函数，连续函数把收敛的数列映成收敛的数列。
易混：「范数收敛」只比较两个数 $∥ X_{n} ∥_{p}$ 和 $∥ X ∥_{p} ；$ 「 $L^{p}$ 收敛」比较的是两个随机变量之差的大小。前者弱得多： $X_{n}$ 与 $- X_{n}$ 范数相同，却可能相差很远。

基础补课几乎必然收敛（回顾）

$X_{n} \to X$ 几乎必然（a.s.）指 $P ({ω : X_{n} (ω) \to X (ω)}) = 1$ （第 3 讲第 9 页）。例：在 $Ω = [0, 1]$ （长度作概率）上， $X_{n} (ω) = ω^{n}$ 对每个 $ω < 1$ 都趋于 0，只在 $ω = 1$ 处趋于 1。单点概率为 0，所以 $X_{n} \to 0$ 几乎必然。

本题假设 $X$ 取实数值（不取 $\pm \infty ），$ 这样 $∣ X_{n} - X ∣$ 处处有定义。

基础补课上极限、下极限的两条运算规则

对实数列 $(a_{n}) ，$ $lim inf_{n} a_{n} = lim_{n \to \infty} in f_{k \geq n} a_{k} ，$ $lim sup_{n} a_{n} = lim_{n \to \infty} sup_{k \geq n} a_{k}$ （第 1 讲第 40 页）。它们总存在（可以是 $\pm \infty ），$ 且 $lim a_{n}$ 存在当且仅当两者相等。本题要用：

$lim inf (- b_{n}) = - lim sup b_{n}$ ：把数列取负号，「最小的聚点」变成「最大的聚点」的相反数。
若 $a_{n} \to a$ （有限），则 $lim inf (a_{n} + b_{n}) = a + lim inf b_{n}$ ：收敛的部分可以直接拿出来。
合起来： $a_{n} \to a$ 有限时， $lim inf (a_{n} - b_{n}) = a - lim sup b_{n} 。$

例： $a_{n} = 1 + \frac{1}{n} \to 1 ，$ $b_{n} = (- 1)^{n} 。$ $n$ 为偶数时 $a_{n} - b_{n} = \frac{1}{n} \to 0 ，$ $n$ 为奇数时 $a_{n} - b_{n} = 2 + \frac{1}{n} \to 2 ，$ 所以 $lim inf (a_{n} - b_{n}) = 0 ；$ 而 $1 - lim sup b_{n} = 1 - 1 = 0 ，$ 两边一致。

若 $c_{n} \geq 0$ 且 $lim sup c_{n} \leq 0 ，$ 则 $c_{n} \to 0$ ：因为 $0 \leq lim inf c_{n} \leq lim sup c_{n} \leq 0 ，$ 上下极限都等于 0。

基础补课Fatou 引理：它只给「下界」

Fatou 引理（第 1 讲第 41 页）：若 $Y_{n} \geq 0$ 可测，则

E [n \to \infty lim inf Y_{n}] \leq n \to \infty lim inf E Y_{n} .

若 $Y_{n} \to Y$ 几乎必然，左边就是 $E Y ：$ 取极限时期望只会丢，不会多。

它只要求非负，不要求单调，也不要求可积的上界。
不等号可以严格：尖峰 $Y_{n} = n 1_{[0, 1/ n]}$ 在 $[0, 1]$ 上几乎处处趋于 0， $E Y_{n} = 1 ，$ 于是 $0 < 1$ （第 3 讲第 19 页）。
怎么用它得到上界：Fatou 天然给的是「极限的期望 $\leq$ 期望的下极限」这种下界。想证明某个 $E Z_{n}$ 很小时，就找一个期望已知的上界 $g_{n} \geq Z_{n} ，$ 对非负量 $g_{n} - Z_{n}$ 用 Fatou，再把已知部分减掉。这叫「减法技巧」，本题的全部内容就是它。

基础补课一个初等不等式：|a − b|ᵖ ≤ 2ᵖ⁻¹(|a|ᵖ + |b|ᵖ)

凸函数：函数 $φ$ 的图像上任取两点连一条弦，弦总不在图像下方（可以重合，例如直线），就叫凸函数。取两个端点的中点，得到

φ (\frac{s + t}{2}) \leq \frac{φ ( s ) + φ ( t )}{2} .

$p \geq 1$ 时 $φ (t) = t^{p}$ 在 $[0, \infty)$ 上是凸的：二阶导数 $p (p - 1) t^{p - 2} \geq 0$ （ $t > 0 ），$ 图像向上弯。这也是 Jensen 不等式（第 2 讲第 24 页）对「各以概率 $\frac{1}{2}$ 取 $s 、$ $t 」$ 的两点分布的特例。

推导：对 $s, t \geq 0 ，$ $(\frac{s + t}{2})^{p} \leq \frac{s ^{p} + t ^{p}}{2} ，$ 两边乘 $2^{p}$ 得 $(s + t)^{p} \leq 2^{p - 1} (s^{p} + t^{p}) 。$ 再由三角不等式 $∣ a - b ∣ \leq ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ 和 $t \mapsto t^{p}$ 递增：

∣ a - b ∣^{p} \leq (∣ a ∣ + ∣ b ∣)^{p} \leq 2^{p - 1} (∣ a ∣^{p} + ∣ b ∣^{p}) .

检验 $p = 2$ ： $(s + t)^{2} \leq 2 (s^{2} + t^{2})$ 等价于 $0 \leq (s - t)^{2} ，$ 成立。
常数 $2^{p - 1}$ 是最好的：取 $a = 1 ，$ $b = - 1 ，$ 左边 $2^{p} ，$ 右边 $2^{p - 1} \cdot 2 = 2^{p} ，$ 等号成立，常数不能再小。 $p = 1$ 时常数为 1，就是三角不等式。

题目与原解答

课件原文题目

Let $(Ω, F, P)$ is the probability space, and $(Ω, F, μ)$ is a measurable space. Questions are testing: Modes of convergence, LLN, CLT and discrete martingale applications. But you may still need Borel-Cantelli's and convergence theorems and inequalities to finish the questions.

1. If a sequence of $L^{p}$ integrable functions $X_{n} \to X$ a.s., the random variable $X$ is also $L^{p}$ integrable with $p \geq 1$ . Moreover, if $lim_{n \to \infty} ∥ X_{n} ∥_{p} = ∥ X ∥_{p} < \infty$ holds true, then then $X_{n} \to X$ in $L^{p}$ , i.e. $lim_{n} ∥ X_{n} - X ∥_{p} = 0$ .

中文翻译

设 $(Ω, F, P)$ 是概率空间， $(Ω, F, μ)$ 是测度空间。本次作业考查：收敛方式、大数定律（LLN）、中心极限定理（CLT）和离散鞅的应用；但你可能仍要用到 Borel–Cantelli 引理、收敛定理和各种不等式。

1. 设 $p \geq 1 ，$ $L^{p}$ 可积的随机变量序列 $X_{n} \to X$ 几乎必然，且 $X$ 也是 $L^{p}$ 可积的。若进一步有 $lim_{n \to \infty} ∥ X_{n} ∥_{p} = ∥ X ∥_{p} < \infty ，$ 则 $X_{n} \to X$ in $L^{p} ，$ 即 $lim_{n} ∥ X_{n} - X ∥_{p} = 0 。$

题面的几处笔误：

「Let … is」应为「Let … be」；「 $(Ω, F, μ)$ is a measurable space」应为 measure space（测度空间）：可测空间只有 $(Ω, F) ，$ 没有测度 $μ 。$
「then then」多写了一个 then。
第一句「the random variable $X$ is also $L^{p}$ integrable」有歧义。若当作结论，单凭「 $X_{n} \in L^{p} 、$ $X_{n} \to X$ a.s.」推不出来（反例见例 4）；它应当读作假设，或者读作「在后面的范数条件下 $X$ 自动属于 $L^{p} 」，$ 后者由 Fatou 引理一行证明（完整解答第 1 步）。

原解答的思路（左栏）：

把 $X_{n}$ 截断成 $\hat{X}_{n} = X_{n} 1_{{∣ X_{n} ∣ < n}} ，$ 用不等式把 $∣ X_{n} - X ∣^{p}$ 拆成「 $X_{n} - \hat{X}_{n} 」$ 和「 $\hat{X}_{n} - X 」$ 两段。
声称 $\hat{X}_{n} = X_{n}$ a.s.，于是「只需 $\hat{X}_{n} \to X$ a.s.」。
计算 $\int ∣ X_{n} ∣^{p} 1_{{∣ X_{n} ∣ \geq n}} = \int ∣ X_{n} ∣^{p} - \int ∣ X_{n} ∣^{p} 1_{{∣ X_{n} ∣ < n}} ，$ 用 MCT 说后一项趋于 $\int ∣ X ∣^{p} ，$ 再引用范数收敛结束。

「尾部 + 主体」的拆分方向可以修好，但原文有四处错误，而且真正困难的一步（主体部分的收敛）没有证明，见「原解答逐行对照」。

思路：怎么想到的

目标与已知：要证 $E ∣ X_{n} - X ∣^{p} \to 0 。$ 已知 $∣ X_{n} - X ∣^{p} \to 0$ 几乎必然，问题是「逐点收敛」能否升级成「期望收敛」。
控制收敛定理用不上：DCT（第 1 讲第 44 页）要一个不依赖 $n$ 的可积上界 $g \geq ∣ X_{n} - X ∣^{p} 。$ 题目没有给，尖峰例子说明一般也不存在。
只剩 Fatou，但它只给下界：直接对 $∣ X_{n} - X ∣^{p}$ 用 Fatou，得到 $0 \leq lim inf E ∣ X_{n} - X ∣^{p} ，$ 毫无用处。
减法技巧：找一个随 $n$ 变化、但期望已知会收敛的上界 $g_{n} \geq ∣ X_{n} - X ∣^{p} ，$ 对 $g_{n} - ∣ X_{n} - X ∣^{p} \geq 0$ 用 Fatou。自然的选择是初等不等式给出的

g_{n} = 2^{p - 1} (∣ X_{n} ∣^{p} + ∣ X ∣^{p}) :

它几乎必然收敛到 $2^{p} ∣ X ∣^{p} ，$ 期望由题目假设收敛到 $2^{p} E ∣ X ∣^{p} ，$ 极限的期望与期望的极限恰好相等。Fatou 的「最多丢掉多少」于是被逼成 0，丢掉的正是 $lim sup E ∣ X_{n} - X ∣^{p} 。$

这个技巧和小测 1 第 2 题用 Fatou 证明 DCT 完全一样，只是那里上界 $g$ 固定，这里上界 $g_{n}$ 在变，但期望收敛。

完整解答

定理命题（几乎必然收敛 + 范数收敛 ⇒ Lᵖ 收敛）

设 $p \geq 1 ，$ $X_{n} \in L^{p} ，$ $X_{n} \to X$ 几乎必然（ $X$ 取实数值）。

若 $lim inf_{n} E ∣ X_{n} ∣^{p} < \infty ，$ 则 $X \in L^{p} ，$ 且 $∥ X ∥_{p} \leq lim inf_{n} ∥ X_{n} ∥_{p} 。$
若 $∥ X_{n} ∥_{p} \to ∥ X ∥_{p} < \infty ，$ 则 $∥ X_{n} - X ∥_{p} \to 0 。$

推导证明思路

第 1 条直接对 $∣ X_{n} ∣^{p}$ 用 Fatou。第 2 条对非负量 $Y_{n} = 2^{p - 1} (∣ X_{n} ∣^{p} + ∣ X ∣^{p}) - ∣ X_{n} - X ∣^{p}$ 用 Fatou，算出 $lim inf E Y_{n} = 2^{p} E ∣ X ∣^{p} - lim sup E ∣ X_{n} - X ∣^{p} ，$ 与 $E [lim Y_{n}] = 2^{p} E ∣ X ∣^{p}$ 比较，把有限数 $2^{p} E ∣ X ∣^{p}$ 消掉。

第 1 步（ $X \in L^{p} ）$ ： $t \mapsto ∣ t ∣^{p}$ 连续，所以 $∣ X_{n} ∣^{p} \to ∣ X ∣^{p}$ 几乎必然。 $∣ X_{n} ∣^{p} \geq 0 ，$ 由 Fatou 引理，

E ∣ X ∣^{p} = E [n lim inf ∣ X_{n} ∣^{p}] \leq n lim inf E ∣ X_{n} ∣^{p} < \infty.

两边开 $p$ 次方（ $t \mapsto t^{1/ p}$ 连续递增，与 $lim inf$ 可交换）得 $∥ X ∥_{p} \leq lim inf_{n} ∥ X_{n} ∥_{p} 。$ 第 2 条的假设 $lim ∥ X_{n} ∥_{p} < \infty$ 蕴含第 1 条的假设，所以在第 2 条里 $X \in L^{p}$ 是自动的。

第 2 步（逐点的上界）：由「先补基础」的初等不等式（ $a = X_{n} (ω) ，$ $b = X (ω) ），$ 对每个 $ω ，$

∣ X_{n} - X ∣^{p} \leq 2^{p - 1} (∣ X_{n} ∣^{p} + ∣ X ∣^{p}) .

取期望： $E ∣ X_{n} - X ∣^{p} \leq 2^{p - 1} (E ∣ X_{n} ∣^{p} + E ∣ X ∣^{p}) < \infty ，$ 所以 $X_{n} - X \in L^{p} ，$ 下面出现的三个期望都是有限数。

第 3 步（构造非负量）：令

Y_{n} = 2^{p - 1} (∣ X_{n} ∣^{p} + ∣ X ∣^{p}) - ∣ X_{n} - X ∣^{p} .

由第 2 步， $Y_{n} \geq 0 ；$ 它是可测函数的和差，可测。

第 4 步（ $Y_{n}$ 的极限）：在 $X_{n} \to X$ 成立的样本点上， $∣ X_{n} ∣^{p} \to ∣ X ∣^{p} ，$ $∣ X_{n} - X ∣^{p} \to 0 ，$ 所以

Y_{n} \to 2^{p - 1} (∣ X ∣^{p} + ∣ X ∣^{p}) - 0 = 2^{p} ∣ X ∣^{p} 几乎必然 .

第 5 步（Fatou）： $Y_{n} \geq 0 ，$

2^{p} E ∣ X ∣^{p} = E [n lim inf Y_{n}] \leq n lim inf E Y_{n} .

第 6 步（算出右边）：三个期望都有限，可以用期望的线性（第 1 讲第 43 页）：

E Y_{n} = =: a_{n} 2^{p - 1} E ∣ X_{n} ∣^{p} + 2^{p - 1} E ∣ X ∣^{p} - =: b_{n} E ∣ X_{n} - X ∣^{p} .

由假设和「先补基础」， $E ∣ X_{n} ∣^{p} \to E ∣ X ∣^{p} ，$ 所以 $a_{n} \to 2^{p - 1} E ∣ X ∣^{p} + 2^{p - 1} E ∣ X ∣^{p} = 2^{p} E ∣ X ∣^{p}$ （有限）。由上下极限的运算规则 3，

n lim inf E Y_{n} = 2^{p} E ∣ X ∣^{p} - n lim sup E ∣ X_{n} - X ∣^{p} .

第 7 步（消去）：代回第 5 步：

2^{p} E ∣ X ∣^{p} \leq 2^{p} E ∣ X ∣^{p} - n lim sup E ∣ X_{n} - X ∣^{p} .

$2^{p} E ∣ X ∣^{p}$ 是有限实数（第 1 步），两边同时减去它，得 $lim sup_{n} E ∣ X_{n} - X ∣^{p} \leq 0 。$ 又 $E ∣ X_{n} - X ∣^{p} \geq 0 ，$ 由规则 4， $E ∣ X_{n} - X ∣^{p} \to 0 ，$ 即 $∥ X_{n} - X ∥_{p} \to 0 。$ $■$

每个假设用在哪里：

假设	用在
$p \geq 1$	第 2 步的凸性不等式（ $p < 1$ 时常数要换，见拓展）
$X_{n} \to X$ 几乎必然	第 4 步求 $Y_{n}$ 的极限
范数收敛 $∥ X_{n} ∥_{p} \to ∥ X ∥_{p} ，$ 即 $E ∣ X_{n} ∣^{p} \to E ∣ X ∣^{p}$	第 6 步求 $a_{n}$ 的极限
$∥ X ∥_{p} < \infty$	第 7 步消去两边的有限数

原解答逐行对照

第 1 行： $∣ X_{n} - X ∣^{p} = ∣ X_{n} - \hat{X}_{n} + \hat{X}_{n} - X ∣^{p} \leq 2^{\frac{p}{2}} (∣ X_{n} - \hat{X}_{n} ∣^{p} + ∣ \hat{X}_{n} - X ∣^{p}) 。$ 加一项减一项是对的，但常数错了。

易错点原解答的问题：常数 2^{p/2} 应为 2^{p−1}

$p > 2$ 时 $2^{p /2} < 2^{p - 1} ，$ 不等式不成立。反例： $p = 4 ，$ 两项都等于 1，左边 $∣1 + 1 ∣^{4} = 16 ，$ 原解答的右边 $2^{2} (1 + 1) = 8 < 16 。$ 正确的常数是 $2^{p - 1}$ （凸性，见「先补基础」），它对所有 $p \geq 1$ 成立，而且是最好的。 $1 \leq p \leq 2$ 时 $2^{p /2} \geq 2^{p - 1} ，$ 原式碰巧成立，但只是更松的界。

第 2 行： $\hat{X}_{n} = X_{n} 1_{{∣ X_{n} ∣ < n}} ，$ then $\hat{X}_{n} = X_{n}$ a.s.

易错点原解答的问题：「X̂ₙ = Xₙ a.s.」不对

对固定的 $n ，$ $\hat{X}_{n} = X_{n}$ 只在 ${∣ X_{n} ∣ < n}$ 上成立；若 $P (∣ X_{n} ∣ \geq n) > 0$ （题目没有排除），两者就不是几乎必然相等。正确的说法是：对几乎每个 $ω ，$ 当 $n$ 足够大时 $\hat{X}_{n} (ω) = X_{n} (ω)$ 。理由：在 $X_{n} (ω) \to X (ω) \in R$ 的点上，收敛数列有界， $M (ω) = sup_{k} ∣ X_{k} (ω) ∣ < \infty ，$ 于是 $n > M (ω)$ 时 $∣ X_{n} (ω) ∣ < n 。$ 由此得到 $\hat{X}_{n} \to X$ 几乎必然，以及 $1_{{∣ X_{n} ∣ < n}} \to 1$ 几乎必然。

第 3 行：「so we only need to find some $\hat{X}_{n}$ s.t. $\hat{X}_{n} \to X$ a.s.」

易错点原解答的问题：这个「化归」不成立

要让第 1 行右边的期望趋于 0，需要两件事： $E ∣ X_{n} - \hat{X}_{n} ∣^{p} \to 0$ 和 $E ∣ \hat{X}_{n} - X ∣^{p} \to 0 。$ 「 $\hat{X}_{n} \to X$ 几乎必然」只是逐点收敛，推不出期望收敛，而这恰恰是本题要解决的问题本身。

第 4 行： $\int ∣ \hat{X}_{n} - X ∣^{p} = \int ∣ X_{n} ∣^{p} 1_{{∣ X_{n} ∣ \geq n}} = \int ∣ X_{n} ∣^{p} - \int ∣ X_{n} ∣^{p} 1_{{∣ X_{n} ∣ < n}} 。$

易错点原解答的问题：左边应为 ∫|Xₙ − X̂ₙ|ᵖ

$X_{n} - \hat{X}_{n} = X_{n} 1_{{∣ X_{n} ∣ \geq n}} ，$ 所以 $∣ X_{n} - \hat{X}_{n} ∣^{p} = ∣ X_{n} ∣^{p} 1_{{∣ X_{n} ∣ \geq n}} ；$ 而 $∣ \hat{X}_{n} - X ∣^{p}$ 里含有 $X ，$ 不可能等于只含 $X_{n}$ 的式子。原解答把「尾部」和「主体」两段弄混了。第二个等号是对的（ $E ∣ X_{n} ∣^{p} < \infty ，$ 可以相减）。

第 5 行：「Then by MCT, $lim_{n} \int ∣ X_{n} ∣^{p} 1_{{∣ X_{n} ∣ < n}} = \int lim_{n} ∣ X_{n} ∣^{p} 1_{{∣ X_{n} ∣ < n}} = \int ∣ X ∣^{p} 」。$

易错点原解答的问题：MCT 用不上，结论要靠 Fatou + 范数条件

单调收敛定理要求被积函数随 $n$ 单调递增。 $∣ X_{n} ∣^{p} 1_{{∣ X_{n} ∣ < n}}$ 随 $n$ 变化时， $X_{n}$ 本身也在变，没有任何单调性。等式本身是对的，正确理由是两边夹：

下界：被积函数非负，且由第 2 行的修正几乎必然收敛到 $∣ X ∣^{p} ，$ Fatou 给出 $E ∣ X ∣^{p} \leq lim inf_{n} E [∣ X_{n} ∣^{p} 1_{{∣ X_{n} ∣ < n}}] ；$
上界： $E [∣ X_{n} ∣^{p} 1_{{∣ X_{n} ∣ < n}}] \leq E ∣ X_{n} ∣^{p} \to E ∣ X ∣^{p} ，$ 所以 $lim sup \leq E ∣ X ∣^{p} 。$

于是极限等于 $E ∣ X ∣^{p} ，$ 代回第 4 行得 $E ∣ X_{n} - \hat{X}_{n} ∣^{p} \to 0 ：$ 尾部这一段被正确处理了。

第 6 行：「So by $lim ∥ X_{n} ∥_{p} = ∥ X ∥_{p} < \infty$ , we get the desired result.」

易错点原解答的问题：主体部分 E|X̂ₙ − X|ᵖ → 0 从未证明

$\hat{X}_{n}$ 被截断在 $n$ 以下，可截断水平 $n \to \infty ，$ 所以 $\hat{X}_{n}$ 仍然没有共同的上界；它满足的条件（几乎必然收敛到 $X 、$ $E ∣ \hat{X}_{n} ∣^{p} \to E ∣ X ∣^{p} ）$ 和原来的 $X_{n}$ 完全一样。证明 $E ∣ \hat{X}_{n} - X ∣^{p} \to 0$ 与原题一样难，原解答在这里是循环论证。改正：用「完整解答」的 Fatou 证明；或者把截断水平固定下来，见下面的「更多细节」。

把原解答的截断思路修好：截断水平固定为 M

原解答的问题在于截断水平随 $n$ 变大。改为固定 $M > 0 ，$ 并用连续的截断 $φ_{M} (x) = max {- M, min {x, M}}$ （把 $x$ 夹到 $[- M, M]$ 里）。它有三条性质：

$φ_{M}$ 连续， $∣ φ_{M} (x) ∣ \leq M ；$
$∣ x - φ_{M} (x) ∣ = (∣ x ∣ - M)^{+}$ （ $∣ x ∣ \leq M$ 时为 0，否则为超出的部分）；
$∣ x ∣^{p} - ∣ φ_{M} (x) ∣^{p} \geq ((∣ x ∣ - M)^{+})^{p} ：$ $∣ x ∣ > M$ 时，由 $(u + v)^{p} \geq u^{p} + v^{p}$ （ $u, v \geq 0 ，$ $p \geq 1 ）$ 取 $u = M 、$ $v = ∣ x ∣ - M$ 即得。

由 Minkowski 不等式（第 2 讲第 27 页），

∥ X_{n} - X ∥_{p} \leq 尾部 ∥ X_{n} - φ_{M} (X_{n}) ∥_{p} + 主体 ∥ φ_{M} (X_{n}) - φ_{M} (X) ∥_{p} + 尾部 ∥ φ_{M} (X) - X ∥_{p} .

主体：由性质 1， $φ_{M} (X_{n}) \to φ_{M} (X)$ 几乎必然，且差的 $p$ 次方不超过 $(2 M)^{p} 。$ 概率空间总测度为 1，有界收敛定理（第 1 讲第 46 页）给出主体 $\to 0 。$
尾部：由性质 2、3， $E ∣ X_{n} - φ_{M} (X_{n}) ∣^{p} \leq E ∣ X_{n} ∣^{p} - E ∣ φ_{M} (X_{n}) ∣^{p} \to E ∣ X ∣^{p} - E ∣ φ_{M} (X) ∣^{p}$ （第一项用范数假设，第二项又是有界收敛）。第三项同样不超过 $E ∣ X ∣^{p} - E ∣ φ_{M} (X) ∣^{p} 。$

所以对每个 $M ，$ $lim sup_{n} ∥ X_{n} - X ∥_{p} \leq 2 (E ∣ X ∣^{p} - E ∣ φ_{M} (X) ∣^{p})^{1/ p} 。$ 令 $M \to \infty ：$ $∣ φ_{M} (X) ∣^{p} = min {∣ X ∣, M}^{p} ↑ ∣ X ∣^{p} ，$ 由 MCT 与 $E ∣ X ∣^{p} < \infty ，$ 右边 $\to 0 。$ $■$

这就是「尾部 + 主体」的正确写法：主体靠固定的界 $M$ 用有界收敛，尾部靠范数条件统一地变小。

例子与数值验证

例 1：常数 2^{p/2} 为什么不行

取 $a = 1 ，$ $b = - 1 ，$ 比较 $∣ a - b ∣^{p} = 2^{p}$ 与两个候选上界（ $∣ a ∣^{p} + ∣ b ∣^{p} = 2 ）：$

$p$	$∣ a - b ∣^{p}$	$2^{p /2} \cdot 2$	$2^{p - 1} \cdot 2$
1	2	2.83	2
2	4	4	4
3	8	5.66	8
4	16	8	16

$p = 3, 4$ 时 $2^{p /2}$ 版本的「上界」比左边还小，不等式错误； $2^{p - 1}$ 版本处处成立且取等号。

例 2：没有范数条件就不行（尖峰）

在 $Ω = [0, 1]$ 上取 $X_{n} = n^{1/ p} 1_{[0, 1/ n]} ，$ $X = 0 。$

对每个 $ω > 0 ，$ $n > \frac{1}{ω}$ 后 $X_{n} (ω) = 0 ，$ 所以 $X_{n} \to 0$ 几乎必然。
$E ∣ X_{n} ∣^{p} = n \cdot \frac{1}{n} = 1 ，$ 即 $∥ X_{n} ∥_{p} = 1 ，$ 不趋于 $∥ X ∥_{p} = 0 ：$ 范数条件失败。
结论也失败： $∥ X_{n} - X ∥_{p} = ∥ X_{n} ∥_{p} = 1 \neq \to 0 。$
Fatou 的不等号严格： $E ∣ X ∣^{p} = 0 < 1 = lim E ∣ X_{n} ∣^{p} ，$ 丢掉的质量 1 正好是 $lim E ∣ X_{n} - X ∣^{p} 。$

例 3：没有几乎必然收敛也不行（范数相等不等于接近）

在 $Ω = [0, 1]$ 上令 $X = 1_{[0, 1/2]} ，$ $X_{n} = 1_{[0, 1/2]}$ （ $n$ 奇数）， $X_{n} = 1_{(1/2, 1]}$ （ $n$ 偶数）。每个 $n$ 都有 $∥ X_{n} ∥_{p} = ∥ X ∥_{p} = (\frac{1}{2})^{1/ p} ，$ 可 $n$ 为偶数时 $∣ X_{n} - X ∣ \equiv 1 ，$ $∥ X_{n} - X ∥_{p} = 1 。$ 这里每个 $ω$ 上 $X_{n} (ω)$ 在 0、1 之间来回跳，不收敛，题目的第一个假设不成立。

例 4：「X ∈ Lᵖ」不能单凭几乎必然收敛得到

设 $X$ 服从标准 Cauchy 分布，密度 $\frac{1}{π ( 1 + x ^{2} )} ，$ 令 $X_{n} = X 1_{{∣ X ∣ \leq n}} 。$

$∣ X_{n} ∣ \leq n ，$ 所以每个 $X_{n}$ 属于所有 $L^{p} ；$ 对每个 $ω ，$ $n \geq ∣ X (ω) ∣$ 后 $X_{n} (ω) = X (ω) ，$ 所以 $X_{n} \to X$ 处处成立。
但 $E ∣ X ∣ = \infty ：$ $E ∣ X_{n} ∣ = \frac{2}{π} \int_{0}^{n} \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = \frac{1}{π} ln (1 + n^{2}) ，$ $n = 10$ 时约 1.47， $n = 1000$ 时约 4.40，趋于 $\infty 。$
这和命题第 1 条一致： $lim inf E ∣ X_{n} ∣ = \infty ，$ Fatou 给不出有限的上界。

例 5：正面应用——t 分布的密度收敛到正态密度（p = 1）

本命题的证明只用了 Fatou，对一般测度空间同样成立。取 $(R, B, 长度) ，$ $p = 1 ，$ $f_{n}$ 为自由度 $n$ 的 $t$ 分布密度， $ϕ$ 为标准正态密度。

逐点收敛： $f_{n} (x) \propto (1 + \frac{x ^{2}}{n})^{- (n + 1) /2} \to e^{- x^{2} /2} ，$ 归一化常数也收敛到 $\frac{1}{2 π} 。$
范数收敛： $\int ∣ f_{n} ∣ = 1 = \int ∣ ϕ ∣ ，$ 自动成立。
结论： $\int ∣ f_{n} - ϕ ∣ d x \to 0 ，$ 于是对每个博雷尔集 $A ，$ $∣ P (T_{n} \in A) - P (Z \in A) ∣ \leq \int ∣ f_{n} - ϕ ∣ ，$ 一致地趋于 0。

用 Python 数值积分算出的 $\int ∣ f_{n} - ϕ ∣ ：$

$n$	1	2	5	10	30	100
$\int ∣ f_{n} - ϕ ∣$	0.502	0.284	0.122	0.0622	0.0210	0.0063

这正是统计里「自由度 30 以上 $t$ 分布可以用正态近似」的严格版本。

拓展延伸

逆命题也成立：几乎必然收敛时，Lᵖ 收敛 ⇔ 范数收敛

Minkowski 不等式（第 2 讲第 27 页）给出反向三角不等式 $∥ X_{n} ∥_{p} - ∥ X ∥_{p} \leq ∥ X_{n} - X ∥_{p} 。$ 所以 $L^{p}$ 收敛总是推出范数收敛（不需要几乎必然收敛）。结合本题：在 $X_{n} \to X$ 几乎必然、 $X \in L^{p}$ 的前提下，

∥ X_{n} - X ∥_{p} \to 0 ⟺ ∥ X_{n} ∥_{p} \to ∥ X ∥_{p} .

$p = 1$ 时这就是小测 1 第 3 题的「当且仅当」，也是第 3 讲第 22 页的 Scheffé 引理（非负的情形）。

几乎必然收敛可以换成依概率收敛

若 $X_{n} \to X$ 依概率、 $E ∣ X_{n} ∣^{p} \to E ∣ X ∣^{p} < \infty ，$ 结论仍成立。理由（子列论证）：任取一个子列，由子列判别法（第 3 讲第 16 页）可以再抽出子子列几乎必然收敛到 $X ；$ 它的范数仍然收敛，由本题，沿这个子子列 $E ∣ X_{n} - X ∣^{p} \to 0 。$ 实数列 $c_{n} = E ∣ X_{n} - X ∣^{p}$ 的「每个子列都有趋于 0 的子子列」，所以 $c_{n} \to 0$ （否则有 $ε > 0$ 和一个子列使 $c_{n} \geq ε ，$ 它的子子列不可能趋于 0）。

0 < p < 1 的情形

$0 < p < 1$ 时 $t \mapsto t^{p}$ 是凹的，有更好的不等式 $∣ a - b ∣^{p} \leq ∣ a ∣^{p} + ∣ b ∣^{p}$ （常数为 1）。把第 3 步换成 $Y_{n} = ∣ X_{n} ∣^{p} + ∣ X ∣^{p} - ∣ X_{n} - X ∣^{p} \geq 0 ，$ 证明一字不改，得到 $E ∣ X_{n} - X ∣^{p} \to 0 。$ 只是此时 $∥ \cdot ∥_{p}$ 不满足三角不等式，不再是范数。

与作业 1 第 10 题（变动的控制函数）的关系

作业 1 第 10 题的推广控制收敛定理：若 $∣ f_{n} ∣ \leq g_{n} ，$ $f_{n} \to f 、$ $g_{n} \to g$ 几乎处处，且 $\int g_{n} \to \int g < \infty ，$ 则 $\int f_{n} \to \int f 。$ 取 $f_{n} = ∣ X_{n} - X ∣^{p} \to 0 ，$ $g_{n} = 2^{p - 1} (∣ X_{n} ∣^{p} + ∣ X ∣^{p}) \to 2^{p} ∣ X ∣^{p} ，$ $\int g_{n} \to 2^{p} E ∣ X ∣^{p} ，$ 立即得到 $E ∣ X_{n} - X ∣^{p} \to 0 。$ 那道题的证明本身就是对 $g_{n} \pm f_{n}$ 用 Fatou，和这里的第 3–7 步是同一个论证。

一致可积与 Vitali 收敛定理（这里作为已知结论介绍）

一致可积（uniformly integrable）： $lim_{M \to \infty} sup_{n} E [∣ X_{n} ∣ 1_{{∣ X_{n} ∣ > M}}] = 0 ，$ 意思是「所有 $X_{n}$ 的尾部质量一致地小」。尖峰 $n 1_{[0, 1/ n]}$ 不是一致可积的： $n > M$ 时 $E [X_{n} 1_{{X_{n} > M}}] = 1 。$

定理（Durrett《Probability: Theory and Examples》第 5 版第 4.6 节）：设每个 $E ∣ X_{n} ∣ < \infty 。$ 若 $X_{n} \to X$ 依概率，则下面三条等价：(i) ${X_{n}}$ 一致可积；(ii) $X_{n} \to X$ in $L^{1} ；$ (iii) $E ∣ X_{n} ∣ \to E ∣ X ∣ < \infty 。$ 本题（ $p = 1 ）$ 就是 (iii) ⇒ (ii)。对 $∣ X_{n} ∣^{p}$ 有完全平行的 $L^{p}$ 版本。「更多细节」里修好的截断证明，本质上就是在证明 ${∣ X_{n} ∣^{p}}$ 一致可积。

更强的结论：Brezis–Lieb 引理

若 $X_{n} \to X$ 几乎必然且 $sup_{n} E ∣ X_{n} ∣^{p} < \infty$ （ $0 < p < \infty ），$ 则

n lim (E ∣ X_{n} ∣^{p} - E ∣ X_{n} - X ∣^{p}) = E ∣ X ∣^{p} .

它把「Fatou 丢掉的质量」精确算了出来：丢掉的恰好是 $lim E ∣ X_{n} - X ∣^{p} 。$ 本题是它的推论： $E ∣ X_{n} ∣^{p} \to E ∣ X ∣^{p}$ 时，丢掉的部分只能是 0。（这里只介绍，不证明。）

常见疑问与易错点

易错点问：为什么不能直接对 |Xₙ − X|ᵖ 用 Fatou？

答：Fatou 给出 $E [lim inf ∣ X_{n} - X ∣^{p}] \leq lim inf E ∣ X_{n} - X ∣^{p} ，$ 左边是 $E 0 = 0 ，$ 结论只是 $0 \leq lim inf E ∣ X_{n} - X ∣^{p} ，$ 是下界，而我们要的是上界。必须先把目标放进一个「已知期望的上界」里，对差用 Fatou，负号把下界翻成上界。

易错点问：第 7 步为什么一定要 E|X|ᵖ < ∞？

答：要从 $c \leq c - lim sup E ∣ X_{n} - X ∣^{p}$ 推出 $lim sup \leq 0 ，$ 需要把 $c = 2^{p} E ∣ X ∣^{p}$ 从两边减掉，这只对有限的 $c$ 合法。若 $c = \infty ，$ 这一行变成 $\infty \leq \infty ，$ 什么也推不出。好在第 1 步说明，在范数条件下 $c$ 自动有限。

易错点问：「‖Xₙ‖ₚ → ‖X‖ₚ」和「E|Xₙ|ᵖ → E|X|ᵖ」是一回事吗？

答：是。 $∥ X ∥_{p} = (E ∣ X ∣^{p})^{1/ p} ，$ 连续函数 $t \mapsto t^{1/ p}$ 和它的反函数 $t \mapsto t^{p}$ 把一个收敛数列互相转换。证明里用后一种写法更方便，因为期望是线性的，范数不是。

易错点问：这道题和 Scheffé 引理有什么区别？

答： $p = 1$ 时几乎一样。第 3 讲第 22 页的 Scheffé 引理要求 $f_{n} \geq 0 ，$ 证明用 $min (f_{n}, f)$ 和控制收敛；本题允许 $X_{n}$ 有正有负，因为我们比较的是 $∣ X_{n} ∣$ 的积分。对非负函数， $∣ X_{n} ∣ = X_{n} ，$ 两者完全重合。

小结与自测

小结本题小结

结论： $X_{n} \to X$ 几乎必然、 $X_{n} \in L^{p}$ （ $p \geq 1 ）、$ $∥ X_{n} ∥_{p} \to ∥ X ∥_{p} < \infty$ ⇒ $∥ X_{n} - X ∥_{p} \to 0 ；$ 反过来 $L^{p}$ 收敛总推出范数收敛。
证明：初等不等式 $∣ a - b ∣^{p} \leq 2^{p - 1} (∣ a ∣^{p} + ∣ b ∣^{p})$ 给出非负量 $Y_{n} = 2^{p - 1} (∣ X_{n} ∣^{p} + ∣ X ∣^{p}) - ∣ X_{n} - X ∣^{p} \to 2^{p} ∣ X ∣^{p} ；$ 对 $Y_{n}$ 用 Fatou，再消掉有限数 $2^{p} E ∣ X ∣^{p} 。$
减法技巧：Fatou 只给下界；想要上界，就对「期望已知的上界 − 目标」用 Fatou。
三个条件缺一不可：没有范数条件（尖峰），没有几乎必然收敛（来回跳的示性函数）， $E ∣ X ∣^{p} = \infty$ （无法消去）。
原解答：常数应为 $2^{p - 1} ；$ $\hat{X}_{n} = X_{n}$ 不是几乎必然成立；MCT 不适用；主体部分 $E ∣ \hat{X}_{n} - X ∣^{p} \to 0$ 从未证明。

自测

1. 判断：若 $X_{n} \to X$ 几乎必然， $E X_{n}^{2} \to E X^{2} < \infty ，$ 则 $E X_{n} \to E X 。$

点开看答案

正确。由本题（ $p = 2 ），$ $E (X_{n} - X)^{2} \to 0 。$ 再由 $L^{p}$ 的单调性（第 2 讲第 25 页）或 Cauchy–Schwarz， $∣ E X_{n} - E X ∣ \leq E ∣ X_{n} - X ∣ \leq (E (X_{n} - X)^{2})^{1/2} \to 0 。$

2. 填空：使 $∣ a + b ∣^{3} \leq C (∣ a ∣^{3} + ∣ b ∣^{3})$ 对所有实数 $a, b$ 成立的最小常数 $C =$ ____。

点开看答案

$C = 2^{3 - 1} = 4 。$ 取 $a = b = 1 ：$ $8 \leq 2 C ，$ 所以 $C \geq 4 ；$ 凸性说明 $C = 4$ 足够。原解答的 $2^{3/2} \approx 2.83$ 不够。

3. 举例：给出 $[0, 1]$ 上的 $X_{n} \to 0$ 几乎必然，使 $E X_{n}^{2} = 1$ 对所有 $n$ 成立。本题的哪个条件失败了？

点开看答案

$X_{n} = n 1_{[0, 1/ n]} 。$ $E X_{n}^{2} = n \cdot \frac{1}{n} = 1 ，$ 而极限 $X = 0$ 的范数是 0，范数条件 $∥ X_{n} ∥_{2} \to ∥ X ∥_{2}$ 失败，结论 $E X_{n}^{2} \to 0$ 也失败。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
样本点	sample point	一个完整的结局 ω；每次试验恰好实现一个样本点。
Fatou 引理	Fatou's lemma	非负可测函数列满足 ∫ liminf fₙ ≤ liminf ∫ fₙ（只保证这个方向）。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
Scheffé 引理	Scheffé's lemma	非负可积的 fₙ → f 几乎处处，且 ∫fₙ → ∫f < ∞，则 ∫\|fₙ − f\| → 0。概率密度逐点收敛，分布就在全变差意义下收敛。
凸函数	convex function	图像上任意两点连线都在图像上方的函数，例如 x²、eˣ。
Jensen 不等式	Jensen's inequality	φ 凸时 φ(E X) ≤ E φ(X)，例如 (E X)² ≤ E X²。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
上极限	limit superior (lim sup)	数列「尾部的最大可能值」的极限；对集合则表示「发生无穷多次」。
下极限	limit inferior (lim inf)	数列「尾部的最小可能值」的极限；对集合则表示「从某一项起一直发生」。
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
几乎处处	almost everywhere (a.e.)	除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。
下界	lower bound	数集 A 的下界是一个数 m，A 里每个数都 ≥ m。例如 0 和 −3 都是 (0,1] 的下界；所有下界中最大的那个叫下确界。
三角不等式	triangle inequality	\|a + b\| ≤ \|a\| + \|b\|：分两段走的总路程不会比直接走更短。推广有 \|∫f\| ≤ ∫\|f\|、E\|X + Y\| ≤ E\|X\| + E\|Y\|，以及 Lᵖ 范数的 Minkowski 不等式。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
Borel–Cantelli 引理	Borel–Cantelli lemma	概率之和有限 ⇒ 只发生有限次；独立且概率之和无穷 ⇒ 发生无穷多次。
中心极限定理	central limit theorem (CLT)	独立同分布、方差 σ² 有限时，(Sₙ − nμ)/(σ√n) 依分布收敛到标准正态分布：大量独立小误差之和近似正态。
测度空间	measure space	三元组 (S, 𝓜, μ)：空间、σ-代数、测度。
鞅	martingale	适应、可积且 E[Xₙ₊₁ \| 𝓕ₙ] = Xₙ 的随机过程：公平游戏，已知过去时对下一步的最佳猜测就是现在的值。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
可测空间	measurable space	一个集合加上它上面的一个 σ-代数，例如 (Ω, 𝓕)；还没有给出测度。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
逐点收敛	pointwise convergence	对定义域里的每一个点 x，数列 fₙ(x) 都收敛到 f(x)；这样得到的函数 f 叫逐点极限。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
单调递增	nondecreasing	后一项不小于前一项；单调有界的数列一定有极限。
有界收敛定理	bounded convergence theorem (BCT)	有限测度上一致有界、几乎处处收敛的函数列，积分收敛；是 DCT 的特例。
博雷尔 σ-代数	Borel sigma-algebra	由实数轴上所有开区间生成的 σ-代数 𝓑(ℝ)，包含所有常见的集合。
反向三角不等式	reverse triangle inequality	\| \|a\| − \|b\| \| ≤ \|a − b\|：两个数的绝对值之差不超过它们的距离。常用来从「fₙ 接近 f」推出「\|fₙ\| 接近 \|f\|」。
子列	subsequence	从一个数列里按顺序挑出无穷多项组成的新数列。
一致可积	uniformly integrable (UI)	一族随机变量的尾部期望一致地变小：supₜ E[\|Xₜ\|; \|Xₜ\| > λ] → 0（λ → ∞）。它是「依概率收敛 ⇒ 期望收敛」的关键条件。
反函数	inverse function	f 把不同的输入送到不同的输出时，反函数 f⁻¹ 把输出送回原来的输入：f⁻¹(f(x)) = x。例：ln 是 eˣ 的反函数。注意：集合的原像 f⁻¹(D) 不需要反函数存在。
示性函数	indicator function	𝟏_A(x) 在 x ∈ A 时取 1，否则取 0；它的积分就是 A 的测度。
柯西–施瓦茨不等式	Cauchy–Schwarz inequality	E\|XY\| ≤ √(E X²) · √(E Y²)：Hölder 不等式取 p = q = 2 的特例。