38 用 MCT 把可加性推广到所有非负可测函数 · 第1讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

「和的积分 = 积分的和」对简单函数已经证过（第 32 页）。对一般的非负可测函数，直接用定义（上确界）证明很麻烦；有了单调收敛定理，只要三步：用台阶从下逼近 $f$ 和 $g$ → 台阶的和逼近 $f + g$ → 对台阶用已知的可加性，再取极限。

位置：第 5 部分「MCT、Fatou 引理、DCT、BCT」。前两页（第 36 页、第 37 页）刚证完单调收敛定理（MCT），这一页是它的第一个应用。
要解决的问题：积分最基本的运算规则——可加性——对一般的非负可测函数还没有证明。第 32 页只对简单函数证过；而第 33 页把一般函数的积分定义成一个上确界，上确界的加法并不好处理（下面「为什么这不是废话」用一个具体例子说明难在哪里）。
本页的做法展示了测度论里反复出现的套路：先对简单函数证，再用 MCT 推广到非负可测函数。
下一页（第 39 页）换一个方向问：如果函数列不单调，MCT 的结论还成立吗？答案是否定的。
概率意义：对非负随机变量 $X, Y ，$ $E [X + Y] = E [X] + E [Y] ，$ 哪怕其中的期望是 $+ \infty 。$

先补基础

基础补课本页要用的三件工具（回顾）

二进逼近（第 34 页定理 29）：任何非负可测函数 $f ，$ 都存在一列非负可测简单函数 $s_{n} ，$ 逐点递增地趋于 $f ，$ 记作 $s_{n} ↑ f 。$ 意思是：对每个点 $x ，$ $s_{1} (x) \leq s_{2} (x) \leq \dots ，$ 并且 $s_{n} (x) \to f (x) 。$
简单函数的可加性（第 32 页命题 26）：对非负简单函数 $s, t ，$ $\int (s + t) d μ = \int s d μ + \int t d μ 。$
MCT（第 36 页定理 30）：非负可测函数 $0 \leq f_{n} ↑ f$ （逐点递增）⇒ $f$ 可测，且 $\int f_{n} d μ ↑ \int f d μ 。$

基础补课函数的和 f + g 是逐点定义的

$(f + g) (x) = f (x) + g (x) ：$ 在每个点上把两个函数值加起来。
本页 $f, g$ 取值在 $[0, \infty]$ 中，约定 $a + \infty = \infty + a = \infty$ （ $a \geq 0 ）。$ 两个非负数相加不会出现 $\infty - \infty$ 这种没有意义的式子，所以 $f + g$ 在每个点都有定义，并且仍取值在 $[0, \infty]$ 中。
例： $f (x) = x ，$ $g (x) = 1 - x$ （ $x \in [0, 1] ），$ 则 $(f + g) (x) = 1 ，$ 是常数函数。

基础补课极限的加法（在 [0, ∞] 中）

若 $a_{n} \to a ，$ $b_{n} \to b ，$ 都在 $[0, \infty]$ 中（允许极限是 $+ \infty ），$ 那么 $a_{n} + b_{n} \to a + b 。$

$a, b$ 都有限时，这就是微积分里「和的极限等于极限的和」。
若 $a = \infty ：$ 因为 $b_{n} \geq 0 ，$ 有 $a_{n} + b_{n} \geq a_{n} \to \infty ，$ 所以 $a_{n} + b_{n} \to \infty = a + b 。$ 若 $b = \infty ，$ 把上一句里 $a_{n}$ 与 $b_{n}$ 的角色对调即可。
例： $a_{n} = 1 - \frac{1}{n} \to 1 ，$ $b_{n} = n \to \infty ，$ $a_{n} + b_{n} \to \infty 。$ 非负时不会出现 $\infty - \infty$ 的麻烦。

课件原文逐句精读

课件原文MCT extends simple-function additivity to all f, g ≥ 0

Proposition 31 For measurable $f, g : S \to [0, \infty]$ ,

\int (f + g) d μ = \int f d μ + \int g d μ .

中文翻译

标题：MCT 把简单函数的可加性推广到所有 $f, g \geq 0 。$

命题 31 对可测函数 $f, g : S \to [0, \infty] ，$ 有 $\int (f + g) d μ = \int f d μ + \int g d μ 。$

MCT extends simple-function additivity｜标题：用 MCT 推广简单函数的可加性

simple-function additivity：简单函数的可加性，即第 32 页的 $\int (s + t) = \int s + \int t 。$
extends ... to all $f, g \geq 0$ ：推广到所有非负（可测）函数。
标题把证明方法也说出来了：推广的工具就是 MCT。

Proposition 31｜逐个条件看

measurable（老师画了下划线）： $f, g$ 必须可测，积分才有定义（第 29 页、第 33 页）。
$\geq 0$ （老师在 $f, g$ 上方补写）：值域 $[0, \infty]$ 已经说了非负，老师再写一遍是强调：非负才能用 MCT，而且非负时加法不会遇到 $\infty - \infty 。$
取值可以是 $+ \infty ，$ 积分也可以是 $+ \infty$ ：等式两边按「 $\infty + a = \infty 」$ 理解。例如 $\int f = \infty$ 时，命题说 $\int (f + g) = \infty 。$

命题 31（非负可测函数积分的可加性）

设 $(S, S, μ)$ 是测度空间， $f, g : S \to [0, \infty]$ 可测。则 $f + g$ 可测，并且

\int_{S} (f + g) d μ = \int_{S} f d μ + \int_{S} g d μ (两边可以都是 + \infty) .

为什么这不是废话：上确界不好直接相加

非负函数的积分定义为 $\int f = sup {\int s : s \in S_{f}}$ （第 33 页）。想直接从定义证明可加性，要证两个不等号：

「 $\geq 」$ 容易：任取台阶 $s \leq f 、$ $t \leq g ，$ 则 $s + t$ 也是台阶，并且 $s + t \leq f + g ，$ 所以 $\int s + \int t = \int (s + t) \leq \int (f + g) 。$ 先固定 $t 、$ 对 $s$ 取上确界，再对 $t$ 取上确界，得 $\int f + \int g \leq \int (f + g) 。$
「 $\leq 」$ 困难：要说明每一个垫在 $f + g$ 下面的台阶 $u ，$ 面积都不超过 $\int f + \int g 。$ 自然的想法是把 $u$ 拆成「 $f$ 下面的台阶 + $g$ 下面的台阶」，可这常常拆不开。

拆不开的例子：在 $([0, 1], B, Leb)$ 上取 $f (x) = x 、$ $g (x) = 1 - x ，$ $f + g \equiv 1 。$ 台阶 $u \equiv 1$ 垫在 $f + g$ 下面（其实就等于它）。假如 $u = s + t ，$ 其中 $s \leq f 、$ $t \leq g ，$ 那么在每个点都有 $1 = s (x) + t (x) \leq x + (1 - x) = 1 ，$ 中间的不等号只能取等号，于是 $s (x) = x 、$ $t (x) = 1 - x 。$ 但 $s (x) = x$ 取无穷多个值，不是简单函数。所以这个最好的台阶根本拆不成两个台阶之和。

MCT 绕开了这个困难：我们不需要拆任何一个台阶，只需要一列特别挑选的台阶 $s_{n} + t_{n} ，$ 而 MCT 保证这一列就足以逼近 $\int (f + g)$ （本页例 4 会把这一列具体算出来）。

老师板书在说什么

老师板书板书转写（按从上到下的顺序）

在印刷的 measurable 下画了一条下划线；在 $f, g$ 上方写 $\geq 0 。$
Pf.（Pf 下面画线） $s_{n} ↑ f ，$ $t_{n} ↑ g ，$ $s_{n} + t_{n} ↑ f + g ，$ $s_{n}, t_{n}$ are simple
$\int (f + g) d μ = \int n \to \infty lim (s_{n} + t_{n}) d μ$
$= n \to \infty lim (\int s_{n} d μ + \int t_{n} d μ)$
$= \int f d μ + \int g d μ$ 　　（右边写着）MCT.
右下角：#（证毕）

第 1 行：两处标注

measurable 下的下划线、 $f, g$ 上的 $\geq 0 ，$ 正是命题的两个条件：一个保证积分有定义，一个保证能用 MCT。

第 2 行：证明要用的三列函数

$s_{n} ↑ f 、$ $t_{n} ↑ g ：$ 由第 34 页的二进逼近取出来。老师写「 $s_{n}, t_{n}$ are simple」，提醒它们是简单函数，所以能用第 32 页的可加性。
$s_{n} + t_{n} ↑ f + g ：$ 两列递增函数加起来仍递增，逐点极限是 $f + g$ （理由见下面推导第 3、4 步）。

第 3 行：把 f + g 写成极限

因为 $s_{n} + t_{n} \to f + g$ 在每个点成立， $f + g = lim_{n} (s_{n} + t_{n}) ，$ 所以 $\int (f + g) d μ = \int lim_{n} (s_{n} + t_{n}) d μ 。$ 这一步只是换一种写法，还没有用任何定理。

第 4 行：极限和积分交换，再把积分拆开

这一行其实做了两件事：

交换极限与积分： $\int lim_{n} (s_{n} + t_{n}) = lim_{n} \int (s_{n} + t_{n}) 。$ 这就是 MCT，条件是 $s_{n} + t_{n}$ 非负、可测、逐点递增。
拆开： $\int (s_{n} + t_{n}) = \int s_{n} + \int t_{n} ，$ 这是简单函数的可加性（第 32 页）。

第 5 行：再用两次 MCT

$\int s_{n} \to \int f ，$ $\int t_{n} \to \int g$ （各用一次 MCT），再用「极限的加法」得 $lim_{n} (\int s_{n} + \int t_{n}) = \int f + \int g 。$ 老师在这一行右边写的「MCT」同时说明了第 4 行的交换和第 5 行的两个极限。

图解：三行等式分别用了什么

从上往下读这三行，每个等号背后的理由是：

第一个等号： $f + g = lim (s_{n} + t_{n}) ，$ 只是改写；
第二个等号：MCT（对 $s_{n} + t_{n} ↑ f + g ）$ 加上简单函数的可加性（第 32 页）；
第三个等号：MCT 用两次（对 $s_{n} ↑ f 、$ $t_{n} ↑ g ），$ 再加上极限的加法。

右边的「MCT.」是整个证明的关键词；右下角的 # 表示证毕。

例子

例 1：直接验证

在 $[0, 1]$ 上（勒贝格测度）， $f (x) = x ，$ $g (x) = x^{2} ：$

\int_{0}^{1} (x + x^{2}) d x = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} .

这里 $f, g$ 连续，用微积分也能算；命题 31 保证对任何非负可测函数（包括很不规则的）都成立。

例 2：可以有无穷大

在 $(0, 1]$ 上， $f (x) = \frac{1}{x}$ （ $\int f = \infty ，$ 见第 36 页例 3）， $g (x) = 1$ （ $\int g = 1 ）。$ 命题给出 $\int (f + g) = \infty + 1 = \infty ，$ 与直接判断（ $f + g \geq f ，$ 由单调性 $\int (f + g) \geq \int f = \infty ）$ 一致。非负时不会出现 $\infty - \infty$ ，这是非负函数理论方便的地方。

例 3：推广到可数个——级数可以逐项积分

设 $f_{k} \geq 0$ 可测。令 $F_{N} = \sum_{k = 1}^{N} f_{k} ，$ 由命题 31 反复使用， $\int F_{N} = \sum_{k = 1}^{N} \int f_{k} 。$ $F_{N}$ 递增到 $\sum_{k = 1}^{\infty} f_{k} ，$ 由 MCT：

\int k = 1 \sum \infty f_{k} d μ = k = 1 \sum \infty \int f_{k} d μ .

非负函数的级数，积分和求和可以随意交换顺序。这是后面非常常用的结论（例如第 3 讲 Borel–Cantelli 引理的另一种证法 $E \sum 1_{A_{n}} = \sum P (A_{n}) ，$ 第 4 页）。

例 4：拆不开的台阶，MCT 照样搞定

回到上面「拆不开」的例子： $([0, 1], B, Leb)$ 上 $f (x) = x ，$ $g (x) = 1 - x 。$ 它们都不超过 1，所以二进逼近里的截断不起作用， $s_{n} (x) = 2^{- n} ⌊ 2^{n} x ⌋ ，$ $t_{n} (x) = 2^{- n} ⌊ 2^{n} (1 - x)⌋$ （第 34 页）。

看 $n = 1$ ：

$s_{1} ：$ 在 $[0, \frac{1}{2})$ 上为 0，在 $[\frac{1}{2}, 1)$ 上为 $\frac{1}{2} ，$ 在 $x = 1$ 处为 1；
$t_{1} ：$ 在 $x = 0$ 处为 1，在 $(0, \frac{1}{2}]$ 上为 $\frac{1}{2} ，$ 在 $(\frac{1}{2}, 1]$ 上为 0；
相加： $s_{1} + t_{1}$ 在三个点 $0, \frac{1}{2}, 1$ 上等于 1，其余点都等于 $\frac{1}{2} 。$ 三个点的长度为 0，所以 $\int (s_{1} + t_{1}) = \frac{1}{2} 。$

一般的 $n$ ：在每个开小段 $(\frac{k}{2 ^{n}}, \frac{k + 1}{2 ^{n}})$ 内， $⌊ 2^{n} x ⌋ = k ，$ 而 $2^{n} (1 - x)$ 落在 $(2^{n} - k - 1, 2^{n} - k)$ 内，向下取整得 $2^{n} - k - 1 。$ 所以

s_{n} (x) + t_{n} (x) = \frac{k + ( 2 ^{n} - k - 1 )}{2 ^{n}} = 1 - 2^{- n},

只在有限个格点 $\frac{k}{2 ^{n}}$ 上等于 1。于是

$n$	$\int s_{n}$	$\int t_{n}$	$\int (s_{n} + t_{n})$
1	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$
2	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{4}$
3	$\frac{7}{16}$	$\frac{7}{16}$	$\frac{7}{8}$
$n$	$\frac{1}{2} - \frac{1}{2 ^{n + 1}}$	$\frac{1}{2} - \frac{1}{2 ^{n + 1}}$	$1 - \frac{1}{2 ^{n}}$

（ $\int s_{n}$ 的公式见第 34 页例 1； $t_{n}$ 是把 $s_{n}$ 左右翻转，面积相同。）

每一行都满足 $\int (s_{n} + t_{n}) = \int s_{n} + \int t_{n}$ （简单函数的可加性），最后一列递增趋于 $1 = \int (f + g) ，$ 前两列各自趋于 $\frac{1}{2} 。$ 没有任何一个 $s_{n} + t_{n}$ 等于最好的台阶 $u \equiv 1 ，$ 但它们的积分一步步爬到了 1——这正是 MCT 替我们做的事。

推导：一步一步来

推导证明思路

找台阶 $s_{n} ↑ f 、$ $t_{n} ↑ g ；$ 它们的和也是台阶，并且递增到 $f + g 。$ 对 $f + g$ 用一次 MCT，对 $f 、$ $g$ 各用一次 MCT，中间用简单函数的可加性连起来。

取逼近列：由二进逼近（第 34 页），存在非负可测简单函数 $s_{n} ↑ f ，$ $t_{n} ↑ g 。$
和是非负可测简单函数：设 $s_{n}$ 取值 $a_{1}, \dots, a_{p}$ （在集合 $A_{1}, \dots, A_{p}$ 上）， $t_{n}$ 取值 $b_{1}, \dots, b_{q}$ （在 $B_{1}, \dots, B_{q}$ 上）。那么 $s_{n} + t_{n}$ 最多取 $pq$ 个值 $a_{i} + b_{j} ，$ 并且每个取值集合 ${s_{n} + t_{n} = c}$ 是若干个 $A_{i} \cap B_{j}$ 的并，有限次交、并之后仍可测（这就是第 32 页的公共加细）。
和是递增的： $s_{n} \leq s_{n + 1} 、$ $t_{n} \leq t_{n + 1} ，$ 两个不等式相加得 $s_{n} + t_{n} \leq s_{n + 1} + t_{n + 1} 。$
和收敛到 $f + g$ ：对每个点 $x ，$ $s_{n} (x) \to f (x) 、$ $t_{n} (x) \to g (x) ，$ 由极限的加法（基础补课）， $s_{n} (x) + t_{n} (x) \to f (x) + g (x) 。$ 第 3、4 步合起来就是 $s_{n} + t_{n} ↑ f + g 。$
$f + g$ 可测：它是递增可测函数列 $s_{n} + t_{n}$ 的极限，由 MCT 的第一个结论（第 36 页第 5 行）可测。
串起来：

\int (f + g) d μ = n \to \infty lim \int (s_{n} + t_{n}) d μ （ MCT ，对 s_{n} + t_{n} ↑ f + g ） = n \to \infty lim (\int s_{n} d μ + \int t_{n} d μ) （简单函数可加，第 32 页） = \int f d μ + \int g d μ （ MCT 两次，再用极限的加法） .

板书把第 6 步压成了三行等式，最后的「MCT」同时说明了第一个和第三个等号的理由。注意整个证明一次减法都没有，所以积分等于 $\infty$ 的情形不需要单独讨论。

补充这个套路以后会反复用

「先对示性函数 → 再对简单函数（线性）→ 再对非负可测函数（MCT）→ 最后对可积函数（正部减负部）」叫做标准机器（standard machine）。第 2 讲的「无意识统计学家定律」（第 7 页）、第 3 讲的换测度公式（第 32 页）都是这样证明的。本讲第 43 页的命题 35 就是这台机器的最后一级：把可加性推广到有正有负的可积函数。

常见疑问与易错点

易错点问：为什么不能对有正有负的函数直接这样证？

答：MCT 要求非负、递增。有正有负时要先拆成正部和负部，并要求可积（避免 $\infty - \infty ），$ 这是第 43 页的内容。

易错点问：s_n + t_n 真的是简单函数吗？

答：是。 $s_{n}$ 取有限个值 $a_{1}, \dots, a_{p} ，$ $t_{n}$ 取有限个值 $b_{1}, \dots, b_{q} ，$ 和最多取 $pq$ 个值 $a_{i} + b_{j} ；$ 每个取值集合是若干 $A_{i} \cap B_{j}$ 的并，所以可测（推导第 2 步）。

易错点问：为什么一定要用「递增」的台阶列？随便一列收敛到 f 的台阶不行吗？

答：不行。MCT 只对递增列保证 $lim \int = \int lim 。$ 如果台阶列逐点收敛但不递增，积分可能收敛到错误的值：下一页第 39 页的尖峰 $n 1_{[0, 1/ n]}$ 就是一列台阶，逐点趋于 0（除了一个点），积分却一直是 1。二进逼近的好处正是它保证递增。

易错点问：命题 31 能推出 ∫(f − g) = ∫f − ∫g 吗？

答：要加条件。若 $0 \leq g \leq f 、$ $g$ 只取有限值且 $\int g < \infty ，$ 由 $f = (f - g) + g$ （两项都非负可测）和命题 31， $\int f = \int (f - g) + \int g ，$ 再把有限的 $\int g$ 移过去即可。如果 $\int g = \infty ，$ 就不行：取 $f = g = \frac{1}{x}$ （在 $(0, 1]$ 上）， $f - g = 0$ 的积分是 0，而 $\int f - \int g = \infty - \infty$ 没有意义。第 41 页的逆 Fatou 引理正要用到这种「先相加、再减去有限积分」的技巧。

小结与自测

小结本页小结

命题 31：非负可测函数的积分可加， $\int (f + g) = \int f + \int g$ （可以是 $\infty ）。$
直接从上确界定义证「 $\leq 」$ 很难：垫在 $f + g$ 下面的台阶可能拆不成两个台阶之和（ $f = x 、$ $g = 1 - x$ 的例子）。
证法：台阶逼近 $s_{n} ↑ f 、$ $t_{n} ↑ g$ ⇒ $s_{n} + t_{n} ↑ f + g ；$ 简单函数可加 + 三次 MCT。
推论：非负函数的级数可以逐项积分。
「先简单函数、再 MCT」是测度论的标准套路。

自测

1. 命题 31 的证明里一共用了几次 MCT？分别用在哪里？

点开看答案

三次：对 $s_{n} + t_{n} ↑ f + g 、$ 对 $s_{n} ↑ f 、$ 对 $t_{n} ↑ g$ 各一次。第一次把 $\int (f + g)$ 写成 $lim \int (s_{n} + t_{n}) ，$ 后两次说明 $\int s_{n} \to \int f 、$ $\int t_{n} \to \int g 。$

2. 用例 3 的结论计算 $\int_{0}^{1} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x ^{k}}{2 ^{k}} d x 。$

点开看答案

逐项积分： $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{2 ^{k}} \int_{0}^{1} x^{k} d x = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{2 ^{k} ( k + 1 )} 。$ （数值约为 $0.386 ，$ 即 $2 ln 2 - 1 。）$ 关键是每一项非负，所以可以交换积分与求和。

3. 设 $0 \leq g \leq f$ 都可测， $g$ 只取有限值且 $\int g d μ < \infty 。$ 用命题 31 证明 $\int (f - g) d μ = \int f d μ - \int g d μ 。$

点开看答案

$f - g \geq 0$ 可测（在 $f = \infty$ 的点上 $f - g = \infty ，$ 没有 $\infty - \infty ，$ 因为 $g$ 有限）。 $f = (f - g) + g$ 是两个非负可测函数之和，由命题 31， $\int f = \int (f - g) + \int g 。$ 因为 $\int g$ 是有限数，两边减去它得 $\int (f - g) = \int f - \int g$ （若 $\int f = \infty ，$ 两边都是 $\infty ）。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
简单函数	simple function	只取有限个值的可测函数，是若干示性函数的线性组合，图像像台阶。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
上确界	supremum (sup)	最小的上界。最大值不一定存在，但有上界的实数集一定有上确界。
Fatou 引理	Fatou's lemma	非负可测函数列满足 ∫ liminf fₙ ≤ liminf ∫ fₙ（只保证这个方向）。
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
有界收敛定理	bounded convergence theorem (BCT)	有限测度上一致有界、几乎处处收敛的函数列，积分收敛；是 DCT 的特例。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
测度空间	measure space	三元组 (S, 𝓜, μ)：空间、σ-代数、测度。
逐点收敛	pointwise convergence	对定义域里的每一个点 x，数列 fₙ(x) 都收敛到 f(x)；这样得到的函数 f 叫逐点极限。
上极限	limit superior (lim sup)	数列「尾部的最大可能值」的极限；对集合则表示「发生无穷多次」。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
级数	series	无穷多项相加 a₁ + a₂ + …，它的值是前 n 项和在 n → ∞ 时的极限。
Borel–Cantelli 引理	Borel–Cantelli lemma	概率之和有限 ⇒ 只发生有限次；独立且概率之和无穷 ⇒ 发生无穷多次。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
示性函数	indicator function	𝟏_A(x) 在 x ∈ A 时取 1，否则取 0；它的积分就是 A 的测度。
正部	positive / negative part	f⁺ = max(f, 0)，f⁻ = max(−f, 0)，f = f⁺ − f⁻，\|f\| = f⁺ + f⁻。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
无意识统计学家定律	law of the unconscious statistician (LOTUS)	求 g(X) 的期望，不必先求出 g(X) 的分布，直接把 g 对 X 的分布 𝓛(X) 积分；X 有密度 f 时就是 E g(X) = ∫ g(x) f(x) dx。
换测度	change of measure	用 E_Q[X] = E_P[X · dQ/dP] 在两个概率之间换算期望。