31 简单函数的积分与写法无关 · 第1讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

同一个简单函数，可以用不同的方式把空间 $S$ 切成小块来写。这一页证明：不管怎么切，只要每块上函数是常数，算出来的积分都一样。 所以积分是函数本身的属性，不依赖你的写法。

上一页第 30 页用标准表示（按取值分组）定义了简单积分 $\int s d μ = \sum_{k} a_{k} μ (A_{k}) 。$
但实际计算时，我们常常用别的切法，例如把一个区间再切成两半，或者按「区间」而不是按「取值」来分块。这些切法算出来的数还一样吗？
命题 25 回答：一样。数学上把这种性质叫「良定义」（well-defined）：定义的结果不依赖于中间的人为选择。
这一步看起来琐碎，却必不可少：下一页第 32 页证明线性性时，要把两个简单函数放到同一套小块上比较，就要用到「换一种切法积分不变」。

先补基础

基础补课可测分割（回顾）

$S$ 的可测分割：有限个可测集 $A_{1}, \dots, A_{p} ，$ 两两不交、并起来是 $S 。$ 每个点恰好属于其中一块（详见第 30 页的基础补课）。
分割表示：若 $A_{1}, \dots, A_{p}$ 是可测分割，且 $s = \sum_{i = 1}^{p} a_{i} 1_{A_{i}} ，$ 那么在每一块 $A_{i}$ 上 $s$ 恒等于 $a_{i} 。$ 反过来说，分割表示就是「把 $S$ 切成可测的小块，每块上 $s$ 是常数」。
和标准表示的区别：分割表示里的 $a_{i}$ 可以重复（不同的块可以取同一个值）；标准表示要求 $a_{k}$ 互不相同，每块恰好是一个完整的水平集 ${s = a_{k}} 。$ 所以标准表示是分割表示中「切得最粗」的那一种。

基础补课良定义：结果不能依赖写法

举一个坏定义的例子：对分数 $\frac{p}{q}$ 规定 $F (\frac{p}{q}) = p + q 。$ 那么 $F (\frac{1}{2}) = 3 ，$ 可 $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} ，$ 而 $F (\frac{2}{4}) = 6 。$ 同一个数得到两个结果，这个「定义」是无效的。
简单积分也有同样的风险：同一个函数有很多种分割表示，如果不同表示算出不同的 $\sum a_{i} μ (A_{i}) ，$ 积分就没有意义了。命题 25 排除了这种风险。

基础补课双重求和与交换求和顺序

$\sum_{i = 1}^{p} \sum_{j = 1}^{q} c_{ij} ：$ 先对每个 $i$ 把 $j$ 从 1 加到 $q ，$ 再把这 $p$ 个结果加起来。 $\sum_{i, j} c_{ij}$ 表示把所有 $p \times q$ 个数 $c_{ij}$ 全部加起来。
把 $c_{ij}$ 排成一张 $p$ 行 $q$ 列的表：先按行加再把行和加起来，与先按列加再把列和加起来，结果相同，因为都是把表里每个数恰好加一次。例如表 $i = 1 i = 2 j = 1 13 j = 2 24$ 按行： $(1 + 2) + (3 + 4) = 10 ；$ 按列： $(1 + 3) + (2 + 4) = 10 。$
这对 $[0, \infty]$ 中的非负数（包括 $\infty ）$ 也成立：只要有一项是 $\infty ，$ 两种加法都得 $\infty ；$ 否则就是普通的有限个实数相加。
乘法分配律 $a \sum_{j} x_{j} = \sum_{j} a x_{j}$ 在 $[0, \infty]$ 中也成立（配合约定 $0 \cdot \infty = 0 ）：$ $a = 0$ 时两边都是 0； $a > 0$ 且某个 $x_{j} = \infty$ 时两边都是 $\infty 。$

基础补课有限可加性

测度的可数可加性（第 12 页）：两两不交的 $E_{1}, E_{2}, \dots$ 满足 $μ (⋃_{n} E_{n}) = \sum_{n} μ (E_{n}) 。$
只有有限个集合 $E_{1}, \dots, E_{q}$ 时，在后面补上无穷多个空集 $\emptyset$ （它们的测度是 0），就得到有限可加性： $μ (E_{1} \cup \dots \cup E_{q}) = μ (E_{1}) + \dots + μ (E_{q}) 。$ 本页证明要用的就是它。

课件原文逐句精读

课件原文Proposition 25

s = i = 1 \sum p a_{i} 1_{A_{i}} = j = 1 \sum q b_{j} 1_{B_{j}},

where each displayed family is a measurable partition of $S$ , then the two formulas for $\int s d μ$ agree.

中文翻译

命题 25 如果

s = i = 1 \sum p a_{i} 1_{A_{i}} = j = 1 \sum q b_{j} 1_{B_{j}},

其中 ${A_{1}, \dots, A_{p}}$ 和 ${B_{1}, \dots, B_{q}}$ 各自都是 $S$ 的可测分割，那么按这两种写法算出的 $\int s d μ$ 相同，即

i = 1 \sum p a_{i} μ (A_{i}) = j = 1 \sum q b_{j} μ (B_{j}) .

The simple integral is representation independent｜简单积分与表示方式无关

逐句拆开：

$s = \sum_{i} a_{i} 1_{A_{i}} = \sum_{j} b_{j} 1_{B_{j}}$ ：同一个函数 $s ，$ 写成了两种样子。两种写法用的块数可以不同（ $p$ 块和 $q$ 块），块的形状也可以完全不同。
each displayed family is a measurable partition of $S$ ：两族集合都要是可测分割。「可测」保证 $μ (A_{i}) 、$ $μ (B_{j})$ 有意义；「分割」保证每一块上函数是常数（见基础补课）。
the two formulas for $\int s d μ$ agree：两个求和公式 $\sum_{i} a_{i} μ (A_{i})$ 和 $\sum_{j} b_{j} μ (B_{j})$ 给出同一个数。老师在 $\int s d μ$ 下面画了双线，强调结论是关于「积分这个数」的。

命题 25（简单积分与分割表示无关）

若 ${A_{i}}_{i = 1}^{p}$ 与 ${B_{j}}_{j = 1}^{q}$ 都是 $S$ 的可测分割，且 $\sum_{i = 1}^{p} a_{i} 1_{A_{i}} = \sum_{j = 1}^{q} b_{j} 1_{B_{j}}$ （ $a_{i}, b_{j} \geq 0 ），$ 则

i = 1 \sum p a_{i} μ (A_{i}) = j = 1 \sum q b_{j} μ (B_{j}) .

特别地，取其中一种为标准表示，可知任何分割表示都能用来计算定义 23 中的积分。

它让我们能做什么：计算简单积分时，可以随手选最方便的切法，不必先整理成标准表示。比如第 30 页例 2 的台阶函数，直接按三个区间 $[0, 1) 、$ $[1, 2) 、$ $[2, 3]$ 算 $1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 5 ，$ 和标准表示的结果一样。

老师板书在说什么

老师板书板书转写（按从上到下的顺序）

在原文 $\int s d μ$ 下面画了双线。
proof. We consider $A_{i} \cap B_{j} \neq = \emptyset$ , we have $a_{i} = b_{j}$ .
$\int s d μ = i \sum a_{i} μ (A_{i}) = i \sum a_{i} j \sum μ (A_{i} \cap B_{j})$ （第一个等号写在 $\int s d μ$ 的下方）
$= i, j \sum b_{j} μ (A_{i} \cap B_{j})$
$= j \sum b_{j} μ (B_{j})$ . #

老师的证明只有四行，但每一行都藏着一个理由。按顺序补全：

第 2 行：两块相交，值就相同。 如果 $A_{i} \cap B_{j}$ 不是空集，就在里面取一个点 $x 。$

因为 $x \in A_{i} ，$ 而 $A$ 族是分割， $x$ 不在其他任何 $A_{i^{'}}$ 里，所以第一种写法在 $x$ 处的值是 $a_{i} ，$ 即 $s (x) = a_{i} 。$
同理， $x \in B_{j}$ 推出 $s (x) = b_{j} 。$
同一个点的函数值只有一个，所以 $a_{i} = b_{j} 。$

第 3 行：把每个 $A_{i}$ 按 $B$ 族再切细。 因为 $B_{1}, \dots, B_{q}$ 是 $S$ 的分割， $A_{i}$ 被它们切成两两不交的小块：

A_{i} = (A_{i} \cap B_{1}) \cup (A_{i} \cap B_{2}) \cup \dots \cup (A_{i} \cap B_{q}) .

由有限可加性， $μ (A_{i}) = \sum_{j = 1}^{q} μ (A_{i} \cap B_{j}) 。$ 代入并用分配律，得到 $\sum_{i} a_{i} \sum_{j} μ (A_{i} \cap B_{j}) = \sum_{i, j} a_{i} μ (A_{i} \cap B_{j}) 。$

第 4 行：把系数 $a_{i}$ 换成 $b_{j} 。$ 逐项看 $a_{i} μ (A_{i} \cap B_{j}) ：$

若 $A_{i} \cap B_{j} \neq = \emptyset ：$ 由第 2 行， $a_{i} = b_{j} ，$ 这一项等于 $b_{j} μ (A_{i} \cap B_{j}) 。$
若 $A_{i} \cap B_{j} = \emptyset ：$ $μ (\emptyset) = 0 ，$ 这一项是 $a_{i} \cdot 0 = 0 ，$ 写成 $b_{j} \cdot 0$ 也是 0。

所以每一项都可以换，和不变。这是整个证明的关键一步：换系数只在「两块真的相交」时才需要理由，而第 2 行正好提供了这个理由。

第 5 行：换成按列求和。 现在对 $(i, j)$ 的求和改成先对 $i$ 求和：

i, j \sum b_{j} μ (A_{i} \cap B_{j}) = j \sum b_{j} i \sum μ (A_{i} \cap B_{j}) = j \sum b_{j} μ (B_{j}),

最后一步和第 3 行一样： $A_{1}, \dots, A_{p}$ 把 $B_{j}$ 切成两两不交的小块， $\sum_{i} μ (A_{i} \cap B_{j}) = μ (B_{j}) 。$ 末尾的 # 表示证毕。

图解

图解：把两种切法叠在一起

这是老师的板书证明区域。它背后的图像是这样的（课件没有画，这里用文字描述）：

把空间 $S$ 画成一个长条。第一把刀按 $A$ 族切，得到 $p$ 段；第二把刀按 $B$ 族切，得到 $q$ 段。
两把刀同时切下去，长条被切成更细的小块 $A_{i} \cap B_{j} ，$ 这叫两个分割的公共加细（common refinement）。
在每个非空小块上，函数值既等于 $a_{i}$ 又等于 $b_{j}$ （板书第 2 行）。
把小块的「值 × 测度」排成一张表：第 $i$ 行第 $j$ 列放 $c_{ij} = (值) \cdot μ (A_{i} \cap B_{j}) 。$
- 按行加：第 $i$ 行的和是 $a_{i} μ (A_{i}) ，$ 再加起来得到 $A$ 写法的积分（板书第 3 行）；
- 按列加：第 $j$ 列的和是 $b_{j} μ (B_{j}) ，$ 再加起来得到 $B$ 写法的积分（板书第 5 行）。
同一张表按行加和按列加结果一样，所以两个积分相等。整个证明就是「一张表两种加法」。

例子

例 1：掷骰子，两种切法，一张表

$S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ，$ 每点概率 $\frac{1}{6} 。$ 函数 $s ：$ $s (1) = s (2) = 0 ，$ $s (3) = s (4) = 2 ，$ $s (5) = s (6) = 5 。$

写法 A： $A_{1} = {1}, A_{2} = {2}, A_{3} = {3, 4}, A_{4} = {5, 6} ，$ 值依次为 $0, 0, 2, 5 。$

i \sum a_{i} P (A_{i}) = 0 \cdot \frac{1}{6} + 0 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{2}{6} + 5 \cdot \frac{2}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} .

写法 B： $B_{1} = {1, 2}, B_{2} = {3}, B_{3} = {4}, B_{4} = {5, 6} ，$ 值依次为 $0, 2, 2, 5 。$

j \sum b_{j} P (B_{j}) = 0 \cdot \frac{2}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{2}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} .

公共加细（只列非空的小块）：

小块 $A_{i} \cap B_{j}$	包含的点	$a_{i}$	$b_{j}$	概率	值 × 概率
$A_{1} \cap B_{1}$	${1}$	0	0	$\frac{1}{6}$	0
$A_{2} \cap B_{1}$	${2}$	0	0	$\frac{1}{6}$	0
$A_{3} \cap B_{2}$	${3}$	2	2	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{6}$
$A_{3} \cap B_{3}$	${4}$	2	2	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{6}$
$A_{4} \cap B_{4}$	${5, 6}$	5	5	$\frac{2}{6}$	$\frac{10}{6}$

每一行里 $a_{i} = b_{j} ，$ 印证了板书第 2 行。
最后一列加起来是 $\frac{14}{6} 。$ 把属于同一个 $A_{i}$ 的行合并，得到写法 A 的各项；把属于同一个 $B_{j}$ 的行合并，得到写法 B 的各项。
其余 11 个小块（如 $A_{1} \cap B_{2} = {1} \cap {3} = \emptyset ）$ 是空集，测度为 0，对和没有贡献，所以系数换不换都无所谓（板书第 4 行）。

例 2：区间上的两种切法

在 $([0, 3], B, Leb)$ 上， $s = 1$ （ $[0, 1)$ 上）、 $3$ （ $[1, 2)$ 上）、 $1$ （ $[2, 3]$ 上）。

标准表示： ${s = 1} = [0, 1) \cup [2, 3] ，$ ${s = 3} = [1, 2) ，$ 积分 $1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 5 。$
更细的切法： $[0, \frac{1}{2}) 、$ $[\frac{1}{2}, 1) 、$ $[1, 2) 、$ $[2, 3] ，$ 值为 $1, 1, 3, 1 ，$ 积分 $1 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 5 。$

两种切法结果相同。更细的切法里值 1 出现了三次，这在分割表示中是允许的。

例子反例：不是分割的写法，命题 25 管不到

$1_{[0, 2]} + 1_{[1, 3]}$ （第 30 页自测第 1 题）也是 $\sum c_{i} 1_{C_{i}}$ 的形式，但 $[0, 2]$ 和 $[1, 3]$ 相交于 $[1, 2] ，$ 不是分割，所以命题 25 不能直接用。它的积分是否等于 $Leb ([0, 2]) + Leb ([1, 3]) = 4 ？$ 答案是肯定的，但理由要等下一页第 32 页的线性性。

推导：一步一步来

推导证明思路

把两个分割叠起来得到公共加细 ${A_{i} \cap B_{j}} 。$ 在每个非空小块上两种写法给出同一个值；于是两个积分都等于「公共加细上的值 × 测度之和」，一个按行加，一个按列加。

把老师的四行写成一条完整的等式链，每一步标出理由：

i = 1 \sum p a_{i} μ (A_{i}) = i = 1 \sum p a_{i} j = 1 \sum q μ (A_{i} \cap B_{j}) = i = 1 \sum p j = 1 \sum q a_{i} μ (A_{i} \cap B_{j}) = i = 1 \sum p j = 1 \sum q b_{j} μ (A_{i} \cap B_{j}) = j = 1 \sum q i = 1 \sum p b_{j} μ (A_{i} \cap B_{j}) = j = 1 \sum q b_{j} i = 1 \sum p μ (A_{i} \cap B_{j}) = j = 1 \sum q b_{j} μ (B_{j}) （ A_{i} 被 B 族切成不交小块，有限可加性） （分配律，在 [0, \infty] 中成立） （非空小块上 a_{i} = b_{j} ；空小块的项为 0 ） （有限个非负项，交换求和顺序） （分配律） （ B_{j} 被 A 族切成不交小块，有限可加性） .

补充说明两个细节：

为什么每个 $A_{i} \cap B_{j}$ 都可测： $A_{i} 、$ $B_{j}$ 都可测，σ-代数对交集封闭。所以式子里的每个 $μ (A_{i} \cap B_{j})$ 都有意义。
为什么小块两两不交：固定 $i ，$ 不同的 $j$ 对应的 $A_{i} \cap B_{j}$ 分别含于不交的 $B_{j}$ 中，所以互不相交；并起来是 $A_{i} \cap (B_{1} \cup \dots \cup B_{q}) = A_{i} \cap S = A_{i} 。$ 固定 $j$ 时把两个角色对调：不同的 $i$ 对应的 $A_{i} \cap B_{j}$ 分别含于不交的 $A_{i}$ 中，所以互不相交；并起来是 $(A_{1} \cup \dots \cup A_{p}) \cap B_{j} = S \cap B_{j} = B_{j} 。$

常见疑问与易错点

易错点问：这么显然的事为什么还要证明？

答：因为「积分」是用一个公式定义的，而公式的输入是「一种写法」，不是函数本身。只有证明了「不同写法给出同一个结果」，才能说「 $s$ 的积分」是一个确定的数。分数的例子 $F (\frac{p}{q}) = p + q$ 说明，不检查良定义是会出错的。

易错点问：分割表示里每块上函数一定是常数吗？

答：是的。若 $s = \sum_{i} a_{i} 1_{A_{i}}$ 而 $A_{i}$ 两两不交、覆盖 $S ，$ 则 $A_{i}$ 中每个点只让 $1_{A_{i}}$ 取 1，其余都是 0，所以 $s$ 在 $A_{i}$ 上恒等于 $a_{i} 。$ 因此不可能出现「一块里有两个不同的值」的分割表示。

易错点问：如果某个小块的测度是 ∞，交换求和顺序还成立吗？

答：成立。所有项都是 $[0, \infty]$ 中的非负数：只要有一项是 $\infty ，$ 无论先加哪些，总和都是 $\infty ；$ 如果都有限，就是普通有限个实数相加。非负在这里很关键：如果允许负数，就可能出现 $\infty - \infty ，$ 交换顺序的结论就不再可靠。

易错点问：命题 25 和下一页的线性性是什么关系？

答：命题 25 只处理「两种写法都是分割」的情况。像 $1_{[0, 2]} + 1_{[1, 3]}$ 这种集合互相重叠的写法，需要下一页的线性性 $\int (s + t) = \int s + \int t 。$ 而证明线性性的第一步，就是把 $s$ 和 $t$ 放到公共加细上——那时要用到本页的结论。

小结与自测

小结本页小结

同一个简单函数有很多种分割表示（把 $S$ 切成可测小块、每块上取常数），标准表示只是其中最粗的一种。
命题 25：任意两种分割表示算出的 $\sum a_{i} μ (A_{i})$ 都相同，所以简单积分是良定义的。
证明关键：非空的 $A_{i} \cap B_{j}$ 上 $a_{i} = b_{j} ；$ 两个积分都是公共加细表格的总和，一个按行加，一个按列加。
以后计算简单积分，可以选任何方便的分割，不必先化成标准表示。

自测

1. 在 $([0, 1], B, Leb)$ 上， $s = 2$ （ $[0, \frac{1}{2})$ 上）、 $2$ （ $[\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ 上）、 $6$ （ $[\frac{3}{4}, 1]$ 上）。分别用这个三块的分割和标准表示计算 $\int s d Leb ，$ 验证结果相同。

点开看答案

三块分割： $2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 6 \cdot \frac{1}{4} = 1 + 0.5 + 1.5 = 3 。$ 标准表示： ${s = 2} = [0, \frac{3}{4}) ，$ ${s = 6} = [\frac{3}{4}, 1] ，$ 积分 $2 \cdot \frac{3}{4} + 6 \cdot \frac{1}{4} = 1.5 + 1.5 = 3 。$ 两者相同。

2. 板书第 4 行把 $a_{i} μ (A_{i} \cap B_{j})$ 换成 $b_{j} μ (A_{i} \cap B_{j}) 。$ 当 $A_{i} \cap B_{j} = \emptyset$ 时， $a_{i}$ 和 $b_{j}$ 可能不相等，为什么仍然可以换？

点开看答案

因为此时 $μ (A_{i} \cap B_{j}) = μ (\emptyset) = 0 ，$ 两项都等于 0（系数乘以 0 仍是 0），所以换不换对总和没有影响。只有当小块非空时才需要 $a_{i} = b_{j} ，$ 而这正是板书第 2 行证明的。

3. 判断：「在 $(R, B, Leb)$ 上， $s = 1_{[0, 1]} + 1_{[0, 1]}$ 和 $s = 2 \cdot 1_{[0, 1]}$ 是同一个函数的两种分割表示。」

点开看答案

错。它们确实是同一个函数（在 $[0, 1]$ 上取 2，其余取 0），但第一种写法里两块集合完全重合，不是分割，而且缺了覆盖 $[0, 1]$ 之外部分的块。第二种写法补上 $0 \cdot 1_{R ∖ [0, 1]}$ 后才是分割表示（也是标准表示）。第一种写法算出 $1 + 1 = 2$ 也是对的，但这要靠下一页的线性性来保证，不是命题 25 的结论。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
简单函数	simple function	只取有限个值的可测函数，是若干示性函数的线性组合，图像像台阶。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
标准表示	canonical representation	把简单函数写成 Σ aₖ 𝟏_{Aₖ}，其中 aₖ 各不相同、Aₖ = {s = aₖ}。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
分割	partition	把区间 [a,b] 用分点 a = x₀ < x₁ < … < xₙ = b 切成小段。
可测集	measurable set	σ-代数里的集合，也就是可以谈「测度多大」的集合；在概率空间里，可测集就叫事件。
两两不交	pairwise disjoint	一列集合中任意两个都没有公共元素，对应「任意两件事不会同时发生」。
可数可加性	countable additivity	两两不交的可数个集合，并集的测度等于各自测度之和。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
空集	empty set	一个元素也没有的集合，记作 ∅。作为事件，它永远不会发生。
有限可加性	finite additivity	两两不交的有限个集合，并集的测度等于各自测度之和。可数可加性是它的加强版：可数无穷多个集合也成立。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
交集	intersection	同时属于两个集合的元素全体，A ∩ B 对应「A 且 B」。