03 几乎处处收敛时，L¹ 收敛 ⇔ 绝对值的积分收敛 · 小测1

这道题在问什么

人话版一句话版

已知 $f_{n} \to f$ 几乎处处，并且都可积。题目说：「 $f_{n}$ 在 $L^{1}$ 意义下收敛到 $f 」$ （ $\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0 ），$ 当且仅当「 $f_{n}$ 的『总量』收敛到 $f$ 的总量」（ $\int ∣ f_{n} ∣ \to \int ∣ f ∣ ）。$ 也就是说，在几乎处处收敛的前提下，只要总量不丢失，就一定是 $L^{1}$ 收敛。总量丢失的典型例子是尖峰：每一点都趋于 0，面积却一直是 1。

考点：Fatou 引理（第 1 讲第 41 页）、三角不等式、推广的控制收敛定理（提示里给出的「Homework」结论，即作业 1 第 10 题）。
和讲义的关系：这就是第 3 讲第 22 页的 Scheffé 引理的一般形式（那里是非负的概率密度，总量都是 1）。
和其他题的关系：作业 2 第 1 题把它推广到 $L^{p} ：$ a.e. 收敛 + $∥ f_{n} ∥_{p} \to ∥ f ∥_{p}$ ⇒ $L^{p}$ 收敛。

先补基础

基础补课L¹ 收敛

$f_{n} \to f$ 在 $L^{1}$ 中（也说「依 $L^{1}$ 范数收敛」）指 $\int ∣ f_{n} - f ∣ d μ \to 0 。$ 直观上： $f_{n}$ 与 $f$ 之间夹着的总面积趋于 0。它比「积分收敛」 $\int f_{n} \to \int f$ 强得多： $\int f_{n} - \int f \leq \int ∣ f_{n} - f ∣ ，$ 反过来不成立（正负面积可以抵消）。

基础补课两个三角不等式

对实数 $a, b ：$

$∣ a ∣ \leq ∣ b ∣ + ∣ a - b ∣ ：$ 把 $a$ 写成 $b + (a - b) ，$ 再对这两项用三角不等式 $∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣ 。$ 例： $a = 3 ，$ $b = - 5 ，$ $3 \leq 5 + 8 ；$
反向三角不等式： $∣ a ∣ - ∣ b ∣ \leq ∣ a - b ∣ 。$ 例： $a = 3 ，$ $b = - 5 ，$ $3 - 5 = 2 \leq 8 。$ 对函数逐点使用，再积分即可。

基础补课提示里的「Homework」结论（推广的 DCT）

设 $f_{n}, g_{n}, f, g$ 可积， $g_{n} \geq 0 ，$ $f_{n} \to f 、$ $g_{n} \to g$ 几乎处处， $∣ f_{n} ∣ \leq g_{n}$ a.e.，且 $\int g_{n} \to \int g 。$ 则 $\int f_{n} \to \int f 。$

和普通 DCT 的区别：控制函数 $g_{n}$ 可以随 $n$ 变，只要它们的积分收敛到极限的积分。证明见作业 1 第 10 题（和上一题第 2 题一样，对 $g_{n} \pm f_{n}$ 用 Fatou）。

题目与原解答

课件原文题目

Let $(f_{n})_{n \in N}$ be a sequence of integrable functions converges a.s. to an integrable function $f$ . Show that

n \to \infty lim \int ∣ f_{n} - f ∣ d μ = 0 ⟺ n \to \infty lim \int ∣ f_{n} ∣ d μ = \int ∣ f ∣ d μ .

Hint: Using the following DCT result in Homework and Fatou's lemma: Assume that ${f_{n}}_{n = 1}^{\infty}, {g_{n}}_{n = 1}^{\infty}, f, g$ are integrable and $g_{n}$ are non-negative, $f_{n} \to f$ pointwise, $g_{n} \to g$ pointwise, $∣ f_{n} ∣ \leq g_{n}$ a.s., and $\int g_{n} d μ \to \int g d μ$ . Then $\int f_{n} d μ \to \int f d μ$ .

中文翻译

设 $(f_{n})$ 是一列可积函数，几乎处处收敛到可积函数 $f 。$ 证明： $\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0$ 当且仅当 $\int ∣ f_{n} ∣ \to \int ∣ f ∣ 。$

提示：用作业里的这个 DCT 结论和 Fatou 引理：设 $f_{n}, g_{n}, f, g$ 都可积， $g_{n}$ 非负， $f_{n} \to f 、$ $g_{n} \to g$ 逐点收敛， $∣ f_{n} ∣ \leq g_{n}$ a.s.，且 $\int g_{n} \to \int g 。$ 则 $\int f_{n} \to \int f 。$

原解答的思路（左栏方框）：

⇒：由 $∣ f_{n} ∣ \leq ∣ f ∣ + ∣ f_{n} - f ∣$ 得 $lim sup \int ∣ f_{n} ∣ \leq \int ∣ f ∣ ；$ 再和 Fatou 给出的 $\int ∣ f ∣ \leq lim inf \int ∣ f_{n} ∣$ 合起来。
⇐：令 $g_{n} = ∣ f_{n} ∣ + ∣ f ∣ ，$ $g = 2∣ f ∣ ；$ $∣ f_{n} - f ∣ \leq g_{n}$ 且 $∣ f_{n} - f ∣ \to 0 ，$ 用提示里的推广 DCT，得 $\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0 。$

原解答是正确的，下面把它补全，并给出另一种更短的写法。

思路：怎么想到的

⇒ 方向很容易： $L^{1}$ 收敛是「强」收敛，而 $\int ∣ f_{n} ∣$ 只是一个「总量」，强收敛自然推出总量收敛。只需要反向三角不等式。
⇐ 方向是重点：要从「总量收敛」推出「差的面积趋于 0」。差 $∣ f_{n} - f ∣$ 被 $∣ f_{n} ∣ + ∣ f ∣$ 压住，可是这个上界依赖于 $n ，$ 普通 DCT 用不上。好在它的积分 $\int (∣ f_{n} ∣ + ∣ f ∣)$ 收敛到极限 $2 \int ∣ f ∣ ，$ 这正是提示里推广 DCT 的条件。

完整解答

预备：由 $f_{n} \to f$ a.e. 得 $∣ f_{n} ∣ \to ∣ f ∣$ a.e.（绝对值是连续函数），以及 $∣ f_{n} - f ∣ \to 0$ a.e.

(⇒) L¹ 收敛 ⇒ 绝对值的积分收敛

由反向三角不等式 $∣ f_{n} ∣ - ∣ f ∣ \leq ∣ f_{n} - f ∣ ，$ 逐点成立，积分得

\int ∣ f_{n} ∣ - \int ∣ f ∣ \leq \int ∣ f_{n} ∣ - ∣ f ∣ \leq \int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0.

所以 $\int ∣ f_{n} ∣ \to \int ∣ f ∣ 。$ （第一个不等号是 $\int h \leq \int ∣ h ∣ ，$ 这里 $h = ∣ f_{n} ∣ - ∣ f ∣$ 可积。）

注：这一方向根本没用到 a.e. 收敛。

(⇐) 绝对值的积分收敛 ⇒ L¹ 收敛

写法一（原解答的写法，用推广 DCT）：令 $g_{n} = ∣ f_{n} ∣ + ∣ f ∣ ，$ $g = 2∣ f ∣ 。$ 逐条检查提示的条件：

$g_{n} \geq 0 ，$ $g_{n}, g$ 可积；
$g_{n} \to g$ a.e.（因为 $∣ f_{n} ∣ \to ∣ f ∣ ）；$
$\int g_{n} = \int ∣ f_{n} ∣ + \int ∣ f ∣ \to 2 \int ∣ f ∣ = \int g$ （这里用了假设 $\int ∣ f_{n} ∣ \to \int ∣ f ∣ ）；$
把提示里的「 $f_{n} 」$ 换成 $h_{n} := ∣ f_{n} - f ∣ ：$ $h_{n} \to 0$ a.e.， $∣ h_{n} ∣ \leq ∣ f_{n} ∣ + ∣ f ∣ = g_{n}$ （三角不等式）。

由推广 DCT， $\int h_{n} \to \int 0 = 0 ，$ 即 $\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0 。$

写法二（直接用 Fatou，一步到位）：令

k_{n} := ∣ f_{n} ∣ + ∣ f ∣ - ∣ f_{n} - f ∣ \geq 0

（三角不等式保证非负）。 $k_{n} \to ∣ f ∣ + ∣ f ∣ - 0 = 2∣ f ∣$ a.e. 由 Fatou，

2 \int ∣ f ∣ \leq n lim inf \int k_{n} = n lim inf (\int ∣ f_{n} ∣ + \int ∣ f ∣ - \int ∣ f_{n} - f ∣) = 2 \int ∣ f ∣ - n lim sup \int ∣ f_{n} - f ∣.

最后一步用了 $\int ∣ f_{n} ∣ \to \int ∣ f ∣$ （于是 $\int ∣ f_{n} ∣ + \int ∣ f ∣ \to 2 \int ∣ f ∣ ），$ 以及 $lim inf (c_{n} - a_{n}) = lim c_{n} - lim sup a_{n}$ （ $c_{n}$ 收敛时成立）。 $2 \int ∣ f ∣$ 有限，消去得 $lim sup \int ∣ f_{n} - f ∣ \leq 0 ，$ 即 $\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0 。$ $■$

原解答逐行对照

⇒ 第一行：「 $∣ f_{n} (x) ∣ \leq ∣ f (x) ∣ + ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣$ 对所有 $x 、$ 所有 $n$ 成立」。这是三角不等式，正确。
⇒ 第二行：积分后取 $lim sup ：$ $lim sup \int ∣ f_{n} ∣ \leq \int ∣ f ∣ + lim sup \int ∣ f_{n} - f ∣ = \int ∣ f ∣ 。$ 正确（用了假设 $\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0 ）。$
「Combining this with the inequality from Fatou's Lemma」：意思是「把它和 Fatou 引理给出的不等式结合起来」。Fatou 给出 $\int ∣ f ∣ = \int lim inf ∣ f_{n} ∣ \leq lim inf \int ∣ f_{n} ∣ 。$ 注意这里用到了 $∣ f_{n} ∣ \to ∣ f ∣$ a.e.，原解答没有写出来。于是 $lim sup \int ∣ f_{n} ∣ \leq \int ∣ f ∣ \leq lim inf \int ∣ f_{n} ∣ ，$ 夹逼得结论。
⇐：「Define $g_{n} := ∣ f_{n} ∣ + ∣ f ∣$ and $g := 2∣ f ∣$ . Then by assumption $\int g_{n} \to \int g 」，$ 然后用作业的结论。正确，但没有逐条验证推广 DCT 的条件（上面写法一补上了）。

易错点原解答的小问题：⇒ 方向绕远了

原解答的 ⇒ 方向用了「三角不等式 + Fatou」两步，其实反向三角不等式一步就够，而且不需要 a.e. 收敛。考试时两种写法都对，但要知道 ⇒ 方向成立的范围更广。

易错点原解答的小问题：「a.s.」与「a.e.」混用

题目设定是一般测度空间 $(Ω, F, μ) ，$ 应该说「几乎处处」（a.e.）；「几乎必然」（a.s.）是概率空间里的说法。含义相同，只是场合不同。

例子与数值验证

例 1：总量丢失——尖峰

$[0, 1]$ 上 $f_{n} = 1_{[0, 1]} + n 1_{(0, 1/ n)} ，$ $f = 1_{[0, 1]} 。$

$f_{n} \to f$ 逐点成立（每个 $x > 0 ，$ $n$ 大到 $\frac{1}{n} < x$ 后尖峰就离开了）。
$\int ∣ f_{n} ∣ = 1 + 1 = 2 \neq \to 1 = \int ∣ f ∣ ：$ 总量多出来的那 1 在极限中「消失」了。
相应地 $\int ∣ f_{n} - f ∣ = \int n 1_{(0, 1/ n)} = 1 \neq \to 0 ，$ 不是 $L^{1}$ 收敛。两边都不成立，和题目的等价关系一致。

例 2：去掉 a.e. 收敛，⇐ 方向就错了

$[0, 1]$ 上 $f_{n} (x) = 1 + sin (2 πn x) ，$ $f \equiv 1 。$

$f_{n} \geq 0 ，$ $\int ∣ f_{n} ∣ = \int (1 + sin 2 πn x) d x = 1 = \int ∣ f ∣ ：$ 总量完全相同。
但 $\int ∣ f_{n} - f ∣ = \int_{0}^{1} ∣ sin 2 πn x ∣ d x = \frac{2}{π} \approx 0.637 ，$ 不趋于 0（数值积分对 $n = 1, 3, 10$ 都得到 $0.63662 ）。$
原因： $f_{n}$ 并不几乎处处收敛到 $f ，$ 它在 0 和 2 之间越振越快。题目中「a.e. 收敛」这个条件是必需的。

例 3：概率密度——Scheffé 引理

设 $p_{n}, p$ 是概率密度（非负，积分为 1）， $p_{n} \to p$ 几乎处处。总量自动收敛（都是 1），所以 $\int ∣ p_{n} - p ∣ \to 0 ，$ 进而对任何事件 $A ，$ $\int_{A} p_{n} - \int_{A} p \leq \int ∣ p_{n} - p ∣ \to 0 ，$ 而且对 $A$ 一致。例： $N (\frac{1}{n}, 1)$ 的密度逐点收敛到 $N (0, 1)$ 的密度，所以两个分布在所有事件上的概率差一致地趋于 0（第 3 讲第 22 页–第 24 页）。

拓展延伸

Brezis–Lieb 引理：丢失的量到底去了哪里

设 $f_{n} \to f$ a.e.， $sup_{n} \int ∣ f_{n} ∣^{p} < \infty$ （ $0 < p < \infty ）。$ 则

\int ∣ f_{n} ∣^{p} - \int ∣ f_{n} - f ∣^{p} \to \int ∣ f ∣^{p} .

即「总量」= 极限的总量 + 差的总量（渐近地）。本题是 $p = 1$ 的特殊情形： $\int ∣ f_{n} ∣ \to \int ∣ f ∣$ 当且仅当 $\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0 。$ 例 1 中多出来的那 1 正是 $\int ∣ f_{n} - f ∣ 。$

推广到 Lᵖ

作业 2 第 1 题： $1 \leq p < \infty ，$ $f_{n} \to f$ a.e.， $∥ f_{n} ∥_{p} \to ∥ f ∥_{p} < \infty$ ⇒ $\int ∣ f_{n} - f ∣^{p} \to 0 。$ 证明完全仿照写法二：对 $2^{p - 1} (∣ f_{n} ∣^{p} + ∣ f ∣^{p}) - ∣ f_{n} - f ∣^{p} \geq 0$ 用 Fatou。

和一致可积的关系

在概率空间上，a.e. 收敛（甚至依概率收敛）的 $X_{n} \to X$ 是 $L^{1}$ 收敛，当且仅当 ${X_{n}}$ 一致可积（Vitali 收敛定理，见小测 2 第 2 题、小测 2 第 3 题）。本题给出了另一个等价条件： $E ∣ X_{n} ∣ \to E ∣ X ∣ 。$ 所以在 a.e. 收敛的前提下，「一致可积」⇔「 $E ∣ X_{n} ∣ \to E ∣ X ∣ 」。$

常见疑问与易错点

易错点问：为什么不能直接用普通的 DCT 证明 ⇐？

答：普通 DCT 要一个不依赖 $n$ 的可积控制函数。 $∣ f_{n} - f ∣ \leq ∣ f_{n} ∣ + ∣ f ∣$ 的上界依赖 $n ；$ 而 $sup_{n} ∣ f_{n} ∣$ 不一定可积（例 1 里就不可积）。推广 DCT 只要求上界的积分收敛，正好适用。

易错点问：题目里 ∫|fₙ| → ∫|f| 能换成 ∫fₙ → ∫f 吗？

答：不能。 $[0, 1]$ 上 $f_{n} = n 1_{(0, 1/ n)} - n 1_{(1/ n, 2/ n)}$ 逐点趋于 0， $\int f_{n} = 0 = \int 0 ，$ 但 $\int ∣ f_{n} ∣ = 2 ，$ $\int ∣ f_{n} - 0∣ = 2 \neq \to 0 。$ 正负两块面积互相抵消，「积分收敛」看不出总量丢失。

易错点问：f 可积这个条件用在哪里？

答：用在「消去 $2 \int ∣ f ∣ 」$ 这一步（写法二），以及推广 DCT 的条件「 $g = 2∣ f ∣$ 可积」。若 $\int ∣ f ∣ = \infty ，$ 题目两边都没有意义。

小结与自测

小结本题小结

⇒：反向三角不等式 $\int ∣ f_{n} ∣ - \int ∣ f ∣ \leq \int ∣ f_{n} - f ∣ ，$ 一步得到，不需要 a.e. 收敛。
⇐： $∣ f_{n} - f ∣ \leq ∣ f_{n} ∣ + ∣ f ∣ ，$ 上界的积分收敛到 $2 \int ∣ f ∣ ，$ 用推广 DCT；或者对 $∣ f_{n} ∣ + ∣ f ∣ - ∣ f_{n} - f ∣ \geq 0$ 用 Fatou。
a.e. 收敛是必需的（ $1 + sin 2 πn x$ 的反例）；它就是 Scheffé 引理，推广到 $L^{p}$ 是 Brezis–Lieb 引理。

自测

1. 设 $f_{n} \to f$ a.e.， $f_{n}, f \geq 0$ 可积，且 $\int f_{n} \to \int f 。$ $\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0$ 吗？

点开看答案

是。非负时 $∣ f_{n} ∣ = f_{n} 、$ $∣ f ∣ = f ，$ 条件就是 $\int ∣ f_{n} ∣ \to \int ∣ f ∣ ，$ 由本题得 $L^{1}$ 收敛。这正是 Scheffé 引理。

2. 例 1 中，验证 $\int ∣ f_{n} ∣ - \int ∣ f_{n} - f ∣ \to \int ∣ f ∣$ （Brezis–Lieb 的 $p = 1$ 情形）。

点开看答案

$\int ∣ f_{n} ∣ = 2 ，$ $\int ∣ f_{n} - f ∣ = 1 ，$ 差为 $1 = \int ∣ f ∣ ，$ 对每个 $n$ 都成立。

3. 判断：若 $\int ∣ f_{n} ∣ \to \int ∣ f ∣$ （不假设 a.e. 收敛），则 $f_{n} \to f$ 在 $L^{1}$ 中。

点开看答案

错。例 2： $f_{n} = 1 + sin 2 πn x ，$ $f = 1 ，$ $\int ∣ f_{n} ∣ = \int ∣ f ∣ = 1 ，$ 但 $\int ∣ f_{n} - f ∣ = \frac{2}{π} 。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
几乎处处	almost everywhere (a.e.)	除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
Fatou 引理	Fatou's lemma	非负可测函数列满足 ∫ liminf fₙ ≤ liminf ∫ fₙ（只保证这个方向）。
推广的控制收敛定理	generalized dominated convergence theorem	\|fₙ\| ≤ gₙ，fₙ → f，gₙ → g，且 ∫gₙ → ∫g < ∞，则 ∫fₙ → ∫f：控制函数也可以随 n 变化。
三角不等式	triangle inequality	\|a + b\| ≤ \|a\| + \|b\|：分两段走的总路程不会比直接走更短。推广有 \|∫f\| ≤ ∫\|f\|、E\|X + Y\| ≤ E\|X\| + E\|Y\|，以及 Lᵖ 范数的 Minkowski 不等式。
Scheffé 引理	Scheffé's lemma	非负可积的 fₙ → f 几乎处处，且 ∫fₙ → ∫f < ∞，则 ∫\|fₙ − f\| → 0。概率密度逐点收敛，分布就在全变差意义下收敛。
概率密度	density	满足 P(X ∈ B) = ∫_B f(x) dx 的函数 f；有密度等价于 CDF 绝对连续。
反向三角不等式	reverse triangle inequality	\| \|a\| − \|b\| \| ≤ \|a − b\|：两个数的绝对值之差不超过它们的距离。常用来从「fₙ 接近 f」推出「\|fₙ\| 接近 \|f\|」。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
逐点收敛	pointwise convergence	对定义域里的每一个点 x，数列 fₙ(x) 都收敛到 f(x)；这样得到的函数 f 叫逐点极限。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
测度空间	measure space	三元组 (S, 𝓜, μ)：空间、σ-代数、测度。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
等价关系	equivalence relation	满足自反、对称、传递的「相似」关系，能把集合分成互不重叠的等价类。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
依概率收敛	convergence in probability	对每个 ε > 0，P(\|Xₙ − X\| > ε) → 0；比几乎必然收敛弱。
一致可积	uniformly integrable (UI)	一族随机变量的尾部期望一致地变小：supₜ E[\|Xₜ\|; \|Xₜ\| > λ] → 0（λ → ∞）。它是「依概率收敛 ⇒ 期望收敛」的关键条件。