19 尖峰反例：几乎处处收敛到 0，期望却始终是 1——缺的是一个可积上界 · 第3讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

在 $[0, 1]$ 上均匀取点，令 $X_{n} = n 1_{[0, 1/ n]} 。$ 几乎每一点上 $X_{n} \to 0$ （因此也依概率收敛到 0），可 $E X_{n} = 1$ 永远不变。所以随机变量收敛推不出期望收敛。缺的是一个对所有 $n$ 都管用的可积上界——这正是控制收敛定理的条件。

这是第 3 部分「期望与密度的收敛」（第 19–25 页）的第一页。

第 2 部分回答了「 $X_{n}$ 什么时候收敛」。第 3 部分接着问：收敛以后，期望 $E X_{n}$ 会不会跟着收敛到 $E X ？$ 这就是目录页的第三个问题「需要什么额外条件，才能把极限移到积分里面」。
这一页先用一个反例说明「不加条件不行」，再回顾第 1 讲的两个工具：Fatou 引理（一个永远成立的不等式）和控制收敛定理（有可积上界时等号成立）。
下一页第 20 页把控制收敛定理推广到依概率收敛；第 22 页起讲概率密度的 Scheffé 引理。
这个尖峰函数在第 1 讲第 39 页出现过，那里说明「逐点收敛不保质量」；这里把它读成随机变量，问的是期望。

先补基础

基础补课概率空间 ([0,1], 𝓑([0,1]), λ) 与期望

样本空间 $[0, 1] ，$ 事件是博雷尔集 $B ([0, 1]) ，$ 概率 $λ$ 是长度。这个模型就是「在 $[0, 1]$ 里均匀地随机取一个点 $ω 」。$
随机变量的期望就是对 $λ$ 的积分： $E X = \int_{[0, 1]} X d λ$ （第 5 页）。
对「常数 × 示性函数」这种简单随机变量（第 30 页）： $E [a 1_{A}] = a λ (A) 。$ 例： $E [3 1_{[0, 1/2]}] = 3 \times \frac{1}{2} = 1.5 。$

基础补课「期望的极限」和「极限的期望」

期望的极限 $lim_{n} E X_{n} ：$ 先对每个 $n$ 求期望，得到一串数，再取极限。
极限的期望 $E [lim_{n} X_{n}] ：$ 先在每个 $ω$ 上取极限，得到一个新的随机变量，再求期望。
问题是这两个顺序能不能交换。第 1 讲的单调收敛定理（MCT，第 36 页）说：非负且递增时可以。这一页说：一般不行。

基础补课随机变量列的下极限

对每个 $ω ，$ $(lim inf_{n} X_{n}) (ω) := lim inf_{n} X_{n} (ω) ，$ 就是这串实数最终的「最低水平」（第 40 页）。
如果 $X_{n} (ω)$ 收敛到某个数 $x ，$ 那么下极限就等于 $x 。$
例： $X_{n} (ω)$ 依次是 $1, 0, 1, 0, \dots$ 时，下极限是 0。

基础补课共同的可积上界（控制函数）

如果存在一个随机变量 $Y \geq 0 ，$ 满足 $E Y < \infty$ ，并且对每个 $n$ 都有 $∣ X_{n} ∣ \leq Y$ （几乎必然），就说 $X_{n}$ 有一个共同的可积上界， $Y$ 叫控制函数（dominating function）。
关键词是「共同」：同一个 $Y$ 要管住所有的 $X_{n} 。$
例： $X_{n} (ω) = sin (nω) ，$ 取 $Y \equiv 1$ 就行。反例：本页的尖峰，每个 $X_{n}$ 都不超过常数 $n ，$ 但没有一个可积的 $Y$ 能同时管住所有 $X_{n}$ （下面证明）。

课件原文逐句精读

课件原文Convergence of expectations: the missing integrable bound

Counterexample 14 (The shrinking spike)　On $([0, 1], B ([0, 1]), λ)$ , let $X_{n} = n 1_{[0, 1/ n]}$ .

Recall: Fatou and dominated convergence

中文翻译

（标题：期望的收敛——缺失的可积上界）

反例 14（收缩的尖峰）　在 $([0, 1], B ([0, 1]), λ)$ 上，令 $X_{n} = n 1_{[0, 1/ n]} 。$

回顾：Fatou 引理与控制收敛

标题：convergence of expectations（期望的收敛）是第 3 部分的主题；the missing integrable bound（缺失的可积上界）直接点出这个反例失败的原因。
Counterexample 14：反例 14，编号接着上一页的定理 13。反例（counterexample）是专门构造出来的例子，用来说明某个看起来合理的说法其实是错的。这里要否定的说法是：「 $X_{n} \to X$ 就推出 $E X_{n} \to E X 」。$
The shrinking spike：收缩的尖峰。 $X_{n}$ 的图像是一个宽 $\frac{1}{n} 、$ 高 $n$ 的矩形： $n$ 越大，越窄、越高，像一根越来越尖的刺。
$X_{n} = n 1_{[0, 1/ n]}$ ：逐点写出来就是

X_{n} (ω) = {n, 0, 0 \leq ω \leq \frac{1}{n}, \frac{1}{n} < ω \leq 1.

Recall: Fatou and dominated convergence：回顾第 1 讲的 Fatou 引理（引理 33）和控制收敛定理（定理 36），并看它们在这个反例上说了什么。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

Counterexample 14 (The shrinking spike)｜反例 14（收缩的尖峰）

例子反例 14 的完整计算

第 1 步：期望恒为 1。 $X_{n}$ 是简单随机变量「常数 $n$ × 区间 $[0, \frac{1}{n}]$ 的示性函数」，所以

E X_{n} = n \cdot λ ([0, \frac{1}{n}]) = n \cdot \frac{1}{n} = 1 对每个 n .

第 2 步：几乎必然收敛到 0。 固定 $ω 。$

若 $0 < ω \leq 1 ：$ 取一个整数 $N > \frac{1}{ω} 。$ 当 $n \geq N$ 时 $\frac{1}{n} < ω ，$ $ω$ 落在尖峰外面， $X_{n} (ω) = 0 。$ 所以 $X_{n} (ω) \to 0 。$
若 $ω = 0 ：$ $0$ 属于每个 $[0, \frac{1}{n}] ，$ $X_{n} (0) = n \to \infty ，$ 不收敛。

所以收敛集 ${X_{n} \to 0} = (0, 1] ，$ $λ ((0, 1]) = 1 ，$ 即 $X_{n} \to 0$ 几乎必然。例如 $ω = 0.3$ 时， $X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}, \dots$ 的值是 $1, 2, 3, 0, 0, \dots$ （因为 $0.3 \leq \frac{1}{3}$ 但 $0.3 > \frac{1}{4} ）。$

第 3 步：依概率收敛到 0。 对任意 $ε > 0 ，$ ${∣ X_{n} ∣ > ε} \subseteq {X_{n} \neq = 0} = [0, \frac{1}{n}] ，$ 所以

P (∣ X_{n} ∣ > ε) \leq \frac{1}{n} \to 0.

（也可以直接用第 14 页命题 11：几乎必然收敛推出依概率收敛。）

第 4 步：交换失败。 极限随机变量几乎必然等于 0，改动一个零概率集不影响期望（第 43 页），所以 $E [lim_{n} X_{n}] = E [0] = 0 。$ 而

n \to \infty lim E X_{n} = 1 \neq = 0 = E [n \to \infty lim X_{n}] .

人话版质量去哪儿了？

每个 $X_{n}$ 的图像下面积都是 1。随着 $n$ 增大，这 1 单位的「质量」被挤进越来越窄的 $[0, \frac{1}{n}] ，$ 最后全部堆到 $ω = 0$ 这一个点上，而这个点的概率是 0，极限函数「看不见」它。质量从一个零概率集逃走了。
用概率的话说： $X_{n}$ 以概率 $1 - \frac{1}{n}$ 取 0，以概率 $\frac{1}{n}$ 取巨大的值 $n 。$ 罕见但巨大的值贡献了 $n \cdot \frac{1}{n} = 1$ 的期望。
想成彩票：第 $n$ 期中奖概率 $\frac{1}{n} ，$ 奖金 $n$ 元，每期平均奖金都是 1 元；但对几乎每个 $ω ，$ 过了某一期以后你再也中不了奖。平均值被越来越罕见、越来越大的奖金撑着。

动手试一试尖峰 fₙ = n·𝟏[0,1/n]：面积恒为 1，固定点上的值最终为 0

拖动滑块增大 $n ：$ 矩形越来越窄、越来越高，读数里的面积始终是 1。再盯住 $x = 0.3$ 这条虚线： $n \geq 4$ 以后它上面的函数值一直是 0——每一点最终都变成 0，面积却一点没少。

补写：为什么找不到可积上界（the missing integrable bound）

任何上界都要盖住最大值：若 $Y$ 满足「对每个 $n ，$ $X_{n} \leq Y$ 几乎必然」，那么（可数个概率为 1 的事件之交仍然概率为 1）几乎必然对所有 $n$ 同时成立，所以 $Y \geq sup_{n} X_{n}$ 几乎必然。
算出 $sup_{n} X_{n}$ ：对 $0 < ω \leq 1 ，$ $X_{n} (ω) = n$ 恰好当 $n \leq \frac{1}{ω} ，$ 否则为 0。满足 $n \leq \frac{1}{ω}$ 的最大整数是 $⌊ \frac{1}{ω} ⌋$ （不超过 $\frac{1}{ω}$ 的最大整数），所以

n \geq 1 sup X_{n} (ω) = ⌊ \frac{1}{ω} ⌋ .

这个最小的上界期望已经无穷：在区间 $(\frac{1}{k + 1}, \frac{1}{k}]$ 上 $⌊ \frac{1}{ω} ⌋ = k ，$ 区间长度是 $\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} = \frac{1}{k ( k + 1 )} ，$ 所以

E ⌊ \frac{1}{ω} ⌋ = k = 1 \sum \infty k \cdot \frac{1}{k ( k + 1 )} = k = 1 \sum \infty \frac{1}{k + 1} = \infty

（调和级数发散；这个函数和第 5 页的计数 $N (ω)$ 是同一个，那里用四种方法算过）。4. 结论： $E Y \geq E [sup_{n} X_{n}] = \infty 。$ 不存在共同的可积上界。 这就是标题说的「缺失的可积上界」。

Recall: Fatou and dominated convergence｜回顾：Fatou 引理与控制收敛定理

第 1 讲的定理是对一般测度空间 $(S, M, μ)$ 写的。概率空间是 $μ (S) = 1$ 的特殊情形：积分换成期望，「几乎处处（a.e.）」换成「几乎必然（a.s.）」。

引理 33（Fatou 引理，第 1 讲 p41）

若随机变量 $X_{n} \geq 0$ （允许取 $+ \infty ），$ 则

E [n \to \infty lim inf X_{n}] \leq n \to \infty lim inf E X_{n} .

条件只有一个：非负。不需要收敛，不需要上界。
读法：「下极限的期望」不超过「期望的下极限」。直觉：取极限的过程中质量可能丢失，但不会凭空多出来。
在尖峰上： $lim inf_{n} X_{n} = 0$ 几乎必然，所以左边是 $E [0] = 0 ；$ 右边是 $lim inf_{n} 1 = 1 。$ 不等式 $0 \leq 1$ 成立，而且是严格的。Fatou 引理只保证「不多」，不保证「不少」（第 41 页）。

定理 36（控制收敛定理 DCT，第 1 讲 p44）

设 $X_{n} \to X$ 几乎必然，且存在随机变量 $Y \geq 0 ，$ $E Y < \infty ，$ 使得对每个 $n$ 都有 $∣ X_{n} ∣ \leq Y 。$ 则 $E ∣ X ∣ < \infty ，$ 并且

E ∣ X_{n} - X ∣ \to 0, E X_{n} \to E X .

两个条件：（1）几乎必然收敛；（2）共同的可积上界。
在尖峰上：条件（1）满足，条件（2）不满足（上面刚证明）。结论 $E X_{n} \to E X$ 确实失败。反例 14 说明条件（2）不能去掉。
它是怎么从 Fatou 来的（第 1 讲第 44 页的板书）： $∣ X_{n} - X ∣ \leq ∣ X_{n} ∣ + ∣ X ∣ \leq 2 Y ，$ 所以 $2 Y - ∣ X_{n} - X ∣ \geq 0 ，$ 对它用 Fatou：

E [2 Y] \leq n lim inf E [2 Y - ∣ X_{n} - X ∣] = E [2 Y] - n lim sup E ∣ X_{n} - X ∣.

因为 $E [2 Y] < \infty ，$ 两边可以消去，得到 $lim sup_{n} E ∣ X_{n} - X ∣ \leq 0 ，$ 即 $E ∣ X_{n} - X ∣ \to 0 。$ 可积上界的作用就是让「消去 $E [2 Y] 」$ 这一步合法；若 $E [2 Y] = \infty ，$ 上式变成 $\infty \leq \infty ，$ 什么也推不出。

第 1 讲的四个「极限与积分交换」工具在尖峰上的表现：

工具	要求	尖峰满足吗	结论
MCT（第 36 页）	$0 \leq X_{1} \leq X_{2} \leq \dots$	否： $ω = 0.3$ 处是 $1, 2, 3, 0, \dots ，$ 不递增	不适用
Fatou（第 41 页）	$X_{n} \geq 0$	是	$0 \leq 1 ，$ 成立但严格
DCT（第 44 页）	a.s. 收敛 + 共同可积上界	否： $sup_{n} X_{n}$ 期望无穷	不适用
BCT（第 46 页）	a.s. 收敛 + 常数上界 $∣ X_{n} ∣ \leq M$	否：高度 $n$ 无界	不适用

例子

例 1：把高度换成 n^a——上界可积与否，决定成败

令 $X_{n} = n^{a} 1_{[0, 1/ n]}$ （ $a > 0 ），$ 和尖峰一样几乎必然收敛到 0，期望是

E X_{n} = n^{a} \cdot \frac{1}{n} = n^{a - 1} .

$0 < a < 1$ ： $E X_{n} \to 0 ，$ 交换成立。例如 $a = \frac{1}{2}$ 时 $E X_{n} = \frac{1}{n} ，$ $n = 100$ 时是 0.1。这时有可积上界 $Y (ω) = ω^{- a}$ （ $ω > 0 ）：$ 若 $ω \leq \frac{1}{n} ，$ 则 $n \leq \frac{1}{ω} ，$ 所以 $n^{a} \leq ω^{- a} ；$ 并且 $E Y = \int_{0}^{1} ω^{- a} d ω = \frac{1}{1 - a} < \infty 。$ DCT 适用。
$a = 1$ ：就是本页的尖峰， $E X_{n} \equiv 1 。$
$a > 1$ ： $E X_{n} = n^{a - 1} \to \infty ，$ 期望不仅不收敛到 0，还越来越大。例如 $a = 2$ 时 $E X_{n} = n 。$

尖峰的高度和宽度「刚好抵消」，处在成败的分界线上。

例 2：Fatou 的不等号也可以因为「来回振荡」而严格

在 $[0, 1]$ 上令 $X_{n} = 1_{[0, 1/2]}$ （ $n$ 为奇数）、 $X_{n} = 1_{(1/2, 1]}$ （ $n$ 为偶数）。

若 $ω \leq \frac{1}{2} ，$ 数列是 $1, 0, 1, 0, \dots ；$ 若 $ω > \frac{1}{2} ，$ 数列是 $0, 1, 0, 1, \dots 。$ 两种情况的下极限都是 0，所以 $E [lim inf_{n} X_{n}] = 0 。$
每个 $E X_{n} = \frac{1}{2} ，$ 所以 $lim inf_{n} E X_{n} = \frac{1}{2} 。$
Fatou： $0 \leq \frac{1}{2} ，$ 严格。这里 $X_{n}$ 根本不收敛，「质量」是在振荡中被下极限丢掉的。

例 3：DCT 正常工作的例子

在 $[0, 1]$ 上令 $X_{n} (ω) = ω^{1/ n} 。$

对 $0 < ω \leq 1 ，$ $ω^{1/ n} \to ω^{0} = 1 ；$ 在 $ω = 0$ 处 $X_{n} (0) = 0 。$ 所以 $X_{n} \to 1$ 几乎必然。
共同上界： $0 \leq X_{n} \leq 1 ，$ 取 $Y \equiv 1 ，$ $E Y = 1 < \infty 。$
DCT 预言 $E X_{n} \to E [1] = 1 。$ 直接计算： $E X_{n} = \int_{0}^{1} ω^{1/ n} d ω = \frac{1}{1 + 1/ n} = \frac{n}{n + 1} \to 1 。$ 完全一致。

推导：一步一步来

第 3 步里坏事件的精确形状。 对 $0 < ε < n ，$ ${∣ X_{n} ∣ > ε} = {X_{n} = n} = [0, \frac{1}{n}] ，$ 概率恰好是 $\frac{1}{n} ；$ 对 $ε \geq n ，$ $X_{n}$ 的值不超过 $n \leq ε ，$ 坏事件是空集。两种情况都有 $P (∣ X_{n} ∣ > ε) \leq \frac{1}{n} 。$

为什么 $sup_{n} X_{n}$ 是随机变量。 它是可数个随机变量的上确界：对每个实数 $t ，$ ${sup_{n} X_{n} > t} = ⋃_{n} {X_{n} > t}$ 是可数个事件的并，仍是事件（第 9 页）。所以「 $E [sup_{n} X_{n}] 」$ 是有意义的。

「Fatou 的等号可能失败」和「DCT 的条件」之间的关系。 对非负的 $X_{n} \to X ，$ Fatou 给出 $E X \leq lim inf_{n} E X_{n} 。$ 如果再有共同可积上界 $Y ，$ 对 $Y - X_{n} \geq 0$ 用 Fatou 得到另一个方向：

E [Y - X] \leq n lim inf E [Y - X_{n}] = E Y - n lim sup E X_{n} ⟹ n lim sup E X_{n} \leq E X,

两个方向合起来就是 $E X_{n} \to E X 。$ 尖峰只有第一个方向（ $0 \leq 1 ），$ 缺了上界，第二个方向就没有了。

常见疑问与易错点

易错点问：ω = 0 这一点上 X_n → ∞，是不是它把期望搞坏了？

答：不是。一个点的概率是 0，改动它不影响任何期望。把尖峰改成 $X_{n} = n 1_{(0, 1/ n]} ，$ 那么 $X_{n} (0) = 0 ，$ 每一点都收敛到 0，而 $E X_{n}$ 仍然是 1。问题出在质量向 0 点附近集中，而不是某个坏点。

易错点问：几乎必然收敛都不够，那到底还要什么？

答：要一个额外条件，防止质量逃走。第 1 讲给的是 DCT 的共同可积上界；下一页第 20 页说明这个条件配上依概率收敛也够用；对概率密度，第 22 页的 Scheffé 引理给出另一种条件（总质量收敛）。更一般的充要条件叫一致可积（uniform integrability），本讲不展开，小测 2 第 2 题专门讲它。

易错点问：Fatou 引理的不等号方向怎么记？为什么要求非负？

答：用尖峰记：极限是 0，期望是 1，所以「极限的期望 $\leq$ 期望的下极限」，质量只会丢不会多。非负不能去掉：对 $- X_{n} = - n 1_{[0, 1/ n]} ，$ 左边 $E [lim inf_{n} (- X_{n})] = E [0] = 0 ，$ 右边 $lim inf_{n} E (- X_{n}) = - 1 ，$ 不等式 $0 \leq - 1$ 是错的。

易错点问：每个 X_n 都不超过 n，都是有界的，为什么不能用有界收敛定理？

答：BCT 要求同一个常数 $M$ 管住所有的 $X_{n} 。$ 尖峰的上界 $n$ 随 $n$ 变大，没有统一的 $M 。$ 「每个都有界」和「一致有界」是两回事，这正是「共同」上界这个词的分量。

小结与自测

小结本页小结

反例 14： $X_{n} = n 1_{[0, 1/ n]}$ 在 $([0, 1], B, λ)$ 上几乎必然、依概率收敛到 0，但 $E X_{n} = 1 ，$ 所以 $lim_{n} E X_{n} \neq = E [lim_{n} X_{n}] 。$
失败的原因：质量集中到零概率的点上逃走了；最小的上界 $sup_{n} X_{n} = ⌊ 1/ ω ⌋$ 期望无穷，没有共同的可积上界。
Fatou（非负即可）： $E [lim inf X_{n}] \leq lim inf E X_{n} ，$ 尖峰上是严格的 $0 \leq 1 。$
DCT：几乎必然收敛 + 共同可积上界 $\Rightarrow$ $E ∣ X_{n} - X ∣ \to 0 。$ 上界让「消去 $E [2 Y] 」$ 合法。

自测

1. 对尖峰 $X_{n} = n 1_{[0, 1/ n]} ，$ 求 $P (X_{n} > 0.5)$ 和 $E [X_{n}^{2}] 。$

点开看答案

$X_{n} > 0.5$ 恰好当 $X_{n} = n$ （因为 $n \geq 1 > 0.5 ），$ 即 $ω \in [0, \frac{1}{n}] ，$ 所以 $P (X_{n} > 0.5) = \frac{1}{n} 。$ $X_{n}^{2} = n^{2} 1_{[0, 1/ n]} ，$ 所以 $E [X_{n}^{2}] = n^{2} \cdot \frac{1}{n} = n \to \infty 。$

2. 对 $X_{n} = n^{a} 1_{[0, 1/ n]} ，$ $a$ 取什么值时 $E X_{n} \to 0 ？$ 此时控制函数可以取什么？

点开看答案

$E X_{n} = n^{a - 1} ，$ 当 $a < 1$ 时趋于 0。 $0 < a < 1$ 时可以取 $Y (ω) = ω^{- a} ，$ $E Y = \frac{1}{1 - a} < \infty$ （ $a \leq 0$ 时 $X_{n} \leq 1 ，$ 取 $Y \equiv 1$ 即可）。

3. 判断：若 $X_{n} \to 0$ 几乎必然，且对每个 $n$ 都有 $E X_{n} = 1 ，$ 那么一定不存在可积的 $Y$ 使 $∣ X_{n} ∣ \leq Y$ 对所有 $n$ 成立。

点开看答案

正确。若这样的 $Y$ 存在，DCT 会给出 $E X_{n} \to E [0] = 0 ，$ 与 $E X_{n} = 1$ 矛盾。这是 DCT 的逆否命题，也是用尖峰证明「没有可积上界」的另一种方法。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
依概率收敛	convergence in probability	对每个 ε > 0，P(\|Xₙ − X\| > ε) → 0；比几乎必然收敛弱。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
Fatou 引理	Fatou's lemma	非负可测函数列满足 ∫ liminf fₙ ≤ liminf ∫ fₙ（只保证这个方向）。
Scheffé 引理	Scheffé's lemma	非负可积的 fₙ → f 几乎处处，且 ∫fₙ → ∫f < ∞，则 ∫\|fₙ − f\| → 0。概率密度逐点收敛，分布就在全变差意义下收敛。
概率密度	density	满足 P(X ∈ B) = ∫_B f(x) dx 的函数 f；有密度等价于 CDF 绝对连续。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
逐点收敛	pointwise convergence	对定义域里的每一个点 x，数列 fₙ(x) 都收敛到 f(x)；这样得到的函数 f 叫逐点极限。
样本空间	sample space	一次试验所有可能的完整结局组成的集合，记作 Ω。
博雷尔 σ-代数	Borel sigma-algebra	由实数轴上所有开区间生成的 σ-代数 𝓑(ℝ)，包含所有常见的集合。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
示性函数	indicator function	𝟏_A(x) 在 x ∈ A 时取 1，否则取 0；它的积分就是 A 的测度。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
下极限	limit inferior (lim inf)	数列「尾部的最小可能值」的极限；对集合则表示「从某一项起一直发生」。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
级数	series	无穷多项相加 a₁ + a₂ + …，它的值是前 n 项和在 n → ∞ 时的极限。
测度空间	measure space	三元组 (S, 𝓜, μ)：空间、σ-代数、测度。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
几乎处处	almost everywhere (a.e.)	除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。
有界收敛定理	bounded convergence theorem (BCT)	有限测度上一致有界、几乎处处收敛的函数列，积分收敛；是 DCT 的特例。
空集	empty set	一个元素也没有的集合，记作 ∅。作为事件，它永远不会发生。
上确界	supremum (sup)	最小的上界。最大值不一定存在，但有上界的实数集一定有上确界。
一致可积	uniformly integrable (UI)	一族随机变量的尾部期望一致地变小：supₜ E[\|Xₜ\|; \|Xₜ\| > λ] → 0（λ → ∞）。它是「依概率收敛 ⇒ 期望收敛」的关键条件。
一致有界	uniformly bounded	存在同一个常数 M，使所有 n、所有点 x 都有 \|fₙ(x)\| ≤ M。「一致」是指一个 M 管住整列函数。