46 补充：Fatou 引理与单调函数的导数 · 第3讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

第 3 部分一直在问「极限和期望能不能交换」。这里是一个只能得到不等号的经典例子： $f$ 单调不减时， $\int_{0}^{1} f^{'} \leq f (1) - f (0) 。$ 这一页先做准备：把导数 $f^{'}$ 写成一列非负差商 $g_{n}$ 的极限。下一页（第 47 页）算出 $\int g_{n} ，$ 用 Fatou 引理收尾，并说明不等号确实可以严格。

位置：第 3 讲最后的补充材料（两页）。同一道题在第 1 讲老师的板书里出现过（第 42 页），这里换成第 3 讲的视角重新讲一遍。
概率的视角： $[0, 1]$ 上的长度（勒贝格测度）总量是 1，所以 $([0, 1], B, Leb)$ 本身就是一个概率空间。差商 $g_{n}$ 和导数 $f^{'}$ 都是这个空间上的随机变量， $\int_{0}^{1} g_{n} d x$ 就是期望。问题于是变成第 3 部分的老问题： $g_{n} \to f^{'}$ 几乎必然，期望能不能跟着收敛？（第 19 页、第 20 页、第 22 页）
标题的意思：When only an inequality is justified，「只有不等式有根据的时候」。控制收敛（第 20 页）需要一个可积的上界，Scheffé 引理（第 22 页）需要预先知道积分收敛，这里都没有，只剩 Fatou 引理可用，而 Fatou 只给不等号。

先补基础

基础补课单调不减、几乎处处可导

单调不减（nondecreasing）： $x \leq y \Rightarrow f (x) \leq f (y) 。$ 图像只往上走或走平，可以有跳跃。
几乎处处可导：除去一个长度为 0 的集合，其余每一点都有导数。勒贝格证明过：单调函数一定几乎处处可导，所以这个假设其实是自动成立的，课件写出来是为了清楚。
例： $f = 1_{[1/2, 1]}$ （ $x < \frac{1}{2}$ 时为 0， $x \geq \frac{1}{2}$ 时为 1）只在 $x = \frac{1}{2}$ 处不可导，其余点导数为 0。

基础补课差商就是割线的斜率

从点 $(x, f (x))$ 到点 $(x + h, f (x + h))$ 连一条线段（割线），斜率是

\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} .

$h \to 0^{+}$ 时割线转成切线，斜率的极限就是（右）导数 $f^{'} (x) 。$ $f$ 单调不减时，割线永远不会向下倾斜，所以差商总是 $\geq 0$ 。

基础补课把 [0,1] 当成概率空间

令 $U$ 在 $[0, 1]$ 上均匀分布。对任意（可积或非负）可测函数 $h ，$

E h (U) = \int_{0}^{1} h (x) d x

（无意识统计学家定律，第 2 讲第 7 页）。所以「对 $x$ 积分」和「对随机点 $U$ 求期望」是一回事，「对几乎每个 $x$ 成立」就是「几乎必然成立」。

基础补课Fatou 引理（回顾）

若 $X_{n} \geq 0$ 可测，则 $E [lim inf_{n} X_{n}] \leq lim inf_{n} E X_{n}$ （第 1 讲第 41 页）。它只要求非负，不需要单调，也不需要上界；代价是只能得到 $\leq ，$ 而且这个不等号可以严格（尖峰例子，第 19 页）。

课件原文逐句精读

课件原文Supplement: Fatou and a monotone derivative

Example 24 (When only an inequality is justified) Let $f : [0, 1] \to R$ be nondecreasing and differentiable a.e. Set $f^{'} = 0$ where the derivative does not exist.

Nonnegative difference quotients（以下留白）

中文翻译

蓝条标题：补充：Fatou 引理与单调函数的导数。

例 24（只能证明不等式的情形） 设 $f : [0, 1] \to R$ 单调不减，且几乎处处可导。在导数不存在的点上，令 $f^{'} = 0 。$

非负的差商（课件留白，见下一节。）

逐句说明：

nondecreasing：单调不减，允许走平；differentiable a.e.：几乎处处可导。
Set $f^{'} = 0$ where the derivative does not exist：不可导点组成零测集，在零测集上改函数值不影响积分（第 1 讲第 43 页）。这样规定以后， $f^{'}$ 就是定义在整个 $[0, 1]$ 上的非负函数。
justified：有根据的、被证明了的。「只有不等式有根据」预告了结论只有 $\leq 。$

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

例 24（完整陈述）

在上述条件下， $f^{'}$ 在 $[0, 1]$ 上勒贝格可积，并且

\int_{0}^{1} f^{'} (x) d x \leq f (1) - f (0) .

不等号可以是严格的（见第 47 页）。

Nonnegative difference quotients｜非负差商

第 1 步（向右延拓）：差商要用到 $f (x + \frac{1}{n}) ，$ 而 $x$ 靠近 1 时 $x + \frac{1}{n}$ 超出了 $[0, 1] 。$ 为此规定

f (x) = f (1) (x > 1) .

延拓后的 $f$ 在 $[0, \infty)$ 上仍然单调不减：在 1 的右边它保持水平，不会往下走。

第 2 步（定义差商）：对 $n = 1, 2, \dots$ 和 $x \in [0, 1] ，$ 令

g_{n} (x) = \frac{f ( x + \frac{1}{n} ) - f ( x )}{1/ n} = n [f (x + \frac{1}{n}) - f (x)] .

它是步长 $h = \frac{1}{n}$ 的割线斜率。

第 3 步（三条性质）：

非负： $x + \frac{1}{n} > x$ 且 $f$ 单调不减，所以 $f (x + \frac{1}{n}) \geq f (x) ，$ $g_{n} (x) \geq 0 。$
可测：单调函数可测，因为对每个 $a ，$ ${f > a}$ 是一个区间。 $x \mapsto f (x + \frac{1}{n})$ 也单调，所以 $g_{n}$ 是可测函数之差的常数倍，仍可测。
几乎处处收敛到 $f^{'}$ ：取 $x \in (0, 1)$ 且 $f$ 在 $x$ 处可导。 $n$ 足够大时 $x + \frac{1}{n} < 1 ，$ 延拓不起作用， $g_{n} (x)$ 就是 $h = \frac{1}{n} \to 0^{+}$ 的右差商，所以 $g_{n} (x) \to f^{'} (x) 。$ 可能失败的点只有不可导点和两个端点 $0 、$ $1 ，$ 它们合起来是零测集。

第 4 步（副产品）： $f^{'}$ 几乎处处是可测函数 $g_{n}$ 的极限，因而可测（勒贝格测度完备，零测集上的改动不破坏可测性）；又由第 1 条， $f^{'} \geq 0$ 几乎处处。所以 $\int_{0}^{1} f^{'}$ 有意义，取值在 $[0, \infty]$ 中。下一页证明它其实 $\leq f (1) - f (0) < \infty 。$

图解：一族越来越短的割线

在 $f$ 的图像上取一点 $x ，$ 向右走 $\frac{1}{n}$ 连一条割线：

$n = 1$ 时割线很长，它的斜率 $g_{1} (x)$ 是 $f$ 在 $[x, x + 1]$ 上的平均增长速度；
$n$ 越大，割线越短，越贴近 $x$ 处的切线， $g_{n} (x)$ 趋向 $f^{'} (x) ；$
因为 $f$ 单调不减，每条割线都是水平或向上的， $g_{n} \geq 0$ 正是 Fatou 引理需要的条件。

在跳跃点附近情况不同：若 $f$ 在 $x_{0}$ 处向上跳了 $J ，$ 那么对 $x$ 刚好在 $x_{0}$ 左边、距离不到 $\frac{1}{n}$ 的点，割线跨过了跳跃，斜率约为 $n J ，$ 非常大。这就是下面例 2 里出现的「尖峰」。

例子

例 1：光滑函数 f(x) = x²——差商老老实实收敛

$x \leq 1 - \frac{1}{n}$ 时，

g_{n} (x) = n [(x + \frac{1}{n})^{2} - x^{2}] = n [\frac{2 x}{n} + \frac{1}{n ^{2}}] = 2 x + \frac{1}{n} ⟶ 2 x = f^{'} (x) .

$x > 1 - \frac{1}{n}$ 时用到了延拓： $g_{n} (x) = n [1 - x^{2}] ，$ 只占长度 $\frac{1}{n}$ 的一小段。这一段上 $g_{n} \leq n [1 - (1 - \frac{1}{n})^{2}] = 2 - \frac{1}{n} < 2 ，$ 所以所有 $g_{n}$ 都被常数 2 压住，控制收敛定理可以用，期望会收敛（下一页算出 $\int_{0}^{1} g_{n} = 1 - \frac{1}{3 n ^{2}} \to 1 ）。$

例 2：一个跳跃 f = 𝟏[1/2,1]——差商变成尖峰

逐点算 $g_{n} (x) = n [f (x + \frac{1}{n}) - f (x)] ：$

$x$ 的位置	$f (x)$	$f (x + \frac{1}{n})$	$g_{n} (x)$
$x < \frac{1}{2} - \frac{1}{n}$	0	0	0
$\frac{1}{2} - \frac{1}{n} \leq x < \frac{1}{2}$	0	1	$n$
$x \geq \frac{1}{2}$	1	1	0

$g_{n}$ 是一个宽 $\frac{1}{n} 、$ 高 $n$ 的尖峰，紧贴在跳跃点 $\frac{1}{2}$ 的左边，面积恒为 1。
固定任意 $x ：$ 若 $x < \frac{1}{2} ，$ $n$ 大到 $\frac{1}{n} < \frac{1}{2} - x$ 后 $g_{n} (x) = 0 ；$ 若 $x \geq \frac{1}{2} ，$ $g_{n} (x) = 0$ 一直成立。所以 $g_{n} (x) \to 0$ 对每个 $x$ 都成立，而 $f^{'} = 0$ 几乎处处，极限正确。
这和第 19 页的尖峰一模一样，只是位置平移到了 $\frac{1}{2}$ 左边：每一点都趋于 0，面积却一直是 1。没有可积的上界（尖峰高度 $n \to \infty ），$ 控制收敛用不了。

例 3：康托尔函数——连续，差商却仍然「藏」着质量

康托尔函数 $F$ （第 2 讲第 19 页）连续、单调不减，在康托尔集之外导数为 0，而康托尔集长度为 0，所以 $F^{'} = 0$ 几乎处处， $g_{n} \to 0$ 几乎处处。

但 $F$ 从 0 爬到了 1，差商 $g_{n}$ 的「质量」聚集在康托尔集附近越来越窄的许多小区间上。和例 2 不同，这里没有一个单独的尖峰，而是很多个越来越细的小尖峰。下一页会算出 $\int_{0}^{1} g_{n} \to 1 ，$ 而 $\int_{0}^{1} F^{'} = 0 。$

常见疑问与易错点

易错点问：为什么要把 f 延拓到 1 的右边？老师板书里是怎么做的？

答： $x > 1 - \frac{1}{n}$ 时 $f (x + \frac{1}{n})$ 没有定义，必须处理。这里用常数 $f (1)$ 延拓，好处是单调性和 $g_{n} \geq 0$ 都保留，下一页的计算也最短。第 1 讲的板书（第 42 页）用的是另一种办法：在最后一段 $[1 - \frac{1}{n}, 1]$ 上直接令 $g_{n} = 0 。$ 两种做法都对，最后得到同样的不等式。

易错点问：既然 g_n → f′，为什么不直接说 ∫ g_n → ∫ f′？

答：逐点收敛推不出积分收敛，这正是第 3 部分反复强调的（第 19 页）。例 2 就是反例： $g_{n} \to 0$ 处处成立，但 $\int g_{n} = 1$ 不趋于 0。要交换极限和积分，需要额外条件：控制收敛要一个可积上界，Scheffé 要已知积分收敛。这两个条件在一般的单调 $f$ 下都没有。

易错点问：g_n 真的可以叫「随机变量」吗？

答：可以。在概率空间 $([0, 1], B, Leb)$ 上，任何可测函数都是随机变量（第 2 讲第 4 页）。记 $U (x) = x ，$ 则 $g_{n} = g_{n} (U) ，$ 「对几乎每个 $x ，$ $g_{n} (x) \to f^{'} (x) 」$ 就是「 $g_{n} (U) \to f^{'} (U)$ 几乎必然」，而 $\int_{0}^{1} g_{n} d x = E g_{n} (U) 。$

小结与自测

小结本页小结

例 24： $f$ 单调不减、几乎处处可导，不可导点令 $f^{'} = 0 ，$ 目标是证明 $\int_{0}^{1} f^{'} \leq f (1) - f (0) 。$
准备工作：把 $f$ 在 1 的右边延拓成常数 $f (1) ，$ 定义差商 $g_{n} (x) = n [f (x + \frac{1}{n}) - f (x)] 。$
三条性质： $g_{n} \geq 0 、$ 可测、几乎处处 $g_{n} \to f^{'} ，$ 正好是 Fatou 引理需要的条件。
跳跃（例 2）和康托尔函数（例 3）会让 $g_{n}$ 变成尖峰，没有可积上界，所以只能用 Fatou。

自测

1. 对 $f (x) = x ，$ 算出 $g_{n} (0) 。$ $g_{n} (0)$ 收敛吗？这会影响结论吗？

点开看答案

$g_{n} (0) = n [1/ n - 0] = n \to \infty ，$ 不收敛到有限值（ $x$ 在 0 处的右导数是 $+ \infty ，$ 不可导）。但 ${0}$ 只是一个点，长度为 0，按约定令 $f^{'} (0) = 0$ 即可，不影响积分，也不影响「几乎处处收敛」。

2. 对 $f = 1_{[1/2, 1]} ，$ $\int_{0}^{1} g_{n}$ 等于多少？ $\int_{0}^{1} lim_{n} g_{n}$ 等于多少？

点开看答案

$\int_{0}^{1} g_{n} = n \cdot \frac{1}{n} = 1$ （尖峰的面积）； $lim_{n} g_{n} = 0$ 处处成立，所以 $\int_{0}^{1} lim_{n} g_{n} = 0 。$ 两者不相等，极限和积分不能交换。

3. 若 $f$ 单调不增， $g_{n}$ 的符号是什么？还能直接用 Fatou 吗？

点开看答案

$g_{n} \leq 0 ，$ 不满足 Fatou 的非负条件。办法是对 $- f$ （单调不减）使用本例，得到 $\int_{0}^{1} (- f)^{'} \leq - f (1) + f (0) ，$ 即 $\int_{0}^{1} f^{'} \geq f (1) - f (0) 。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
单调递增	nondecreasing	后一项不小于前一项；单调有界的数列一定有极限。
Fatou 引理	Fatou's lemma	非负可测函数列满足 ∫ liminf fₙ ≤ liminf ∫ fₙ（只保证这个方向）。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
Scheffé 引理	Scheffé's lemma	非负可积的 fₙ → f 几乎处处，且 ∫fₙ → ∫f < ∞，则 ∫\|fₙ − f\| → 0。概率密度逐点收敛，分布就在全变差意义下收敛。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
几乎处处	almost everywhere (a.e.)	除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
无意识统计学家定律	law of the unconscious statistician (LOTUS)	求 g(X) 的期望，不必先求出 g(X) 的分布，直接把 g 对 X 的分布 𝓛(X) 积分；X 有密度 f 时就是 E g(X) = ∫ g(x) f(x) dx。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
康托尔集	Cantor set	反复挖掉中间三分之一得到的集合：不可数，但长度为 0。
逐点收敛	pointwise convergence	对定义域里的每一个点 x，数列 fₙ(x) 都收敛到 f(x)；这样得到的函数 f 叫逐点极限。