期望换算的证明（续）：单调收敛推到非负函数，正负部推到可积函数

这一页在讲什么

• 这是 第 32 页 的续页。课件只印了一个小标题 Nonnegative measurable functions（非负可测函数），证明本身是课上板书，下面补全。
• 在 第 32 页 的「标准四步」表里，上一页完成了第 1、2 步（示性函数 → 简单函数），这一页完成第 3、4 步（非负可测函数 → 可积函数）。
• 证完以后，命题 21 就能用在任何随机变量上。下一页 第 34 页 的链式法则、第 35 页 的倒数公式，以及第 5 部分重要性抽样的方差计算（第 38 页、第 39 页），都直接调用它。

先补基础

课件原文逐句精读

• 这是标准四步里的第 3 步：对象从「只取有限个值的简单函数」扩大到「任意非负可测函数」。后者可以取无穷多个值，可以无界，甚至可以在某些点取 $+\infty 。$
• Nonnegative（非负）：这是能用单调收敛定理的前提。MCT 只管非负函数。
• measurable（可测）：保证 $X$ 能积分，也保证能用二进逼近（二进逼近里的集合 $\{X\ge k{2}^{-n}\}$ 必须是事件）。
• 蓝条标题 Change of measure in expectations: proof：期望换测度公式的证明。它和 第 32 页 共用一个命题（命题 21），这一页是证明的后半段。

补全课件留白

Nonnegative measurable functions｜非负可测函数

要证：对每个可测的 $X:\Omega \to [0,\infty ]，$${\mathbb{E}}_{\mathbb{Q}}X={\mathbb{E}}_{\mathbb{P}}[XL]。$

1. 取逼近列。由二进逼近（第 34 页 定理 29），存在非负简单函数 $s_1\le s_2\le \cdots ，$对每个 $\omega$ 都有 $s_n(\omega )\uparrow X(\omega )。$
2. 乘上密度以后仍然单调逼近。$s_{n}L$ 是两个可测函数的乘积，所以可测，而且非负。固定一个 $\omega ，$把 $c=L(\omega )$ 看成一个非负有限常数，由上面「非负常数乘上递增数列」，
   $$s_1(\omega )L(\omega )\le s_2(\omega )L(\omega )\le \cdots ,s_n(\omega )L(\omega )\to X(\omega )L(\omega ).$$
   也就是 $s_{n}L\uparrow XL$ 逐点成立（下面「推导」一节把四种情形逐一列出）。
3. 在 $\mathbb{Q}$ 下用 MCT：$s_n\uparrow X，$所以 ${\mathbb{E}}_{\mathbb{Q}}{s}_n\uparrow {\mathbb{E}}_{\mathbb{Q}}X。$
4. 在 $\mathbb{P}$ 下用 MCT：$s_{n}L\uparrow XL，$所以 ${\mathbb{E}}_{\mathbb{P}}[s_{n}L]\uparrow {\mathbb{E}}_{\mathbb{P}}[XL]。$
5. 用上一页的结论把两列数连起来：每个 $s_n$ 都是非负简单函数，由 第 32 页 第 2 步，${\mathbb{E}}_{\mathbb{Q}}{s}_n={\mathbb{E}}_{\mathbb{P}}[s_{n}L]$ 对每个 $n$ 成立。所以第 3 步和第 4 步里的两列数是同一列数。
6. 结论：同一列数的极限是唯一的（在 $[0,\infty ]$ 里也是如此），所以 ${\mathbb{E}}_{\mathbb{Q}}X={\mathbb{E}}_{\mathbb{P}}[XL]。$

把第 3–5 步写成一行：

两边可以同时是 $+\infty ：$这时两列数都无界。命题 21 第 1 条证毕。

可积的有符号函数：拆成正部与负部（课件未印小标题）

要证：对可测的 $X:\Omega \to \mathbb{R}，$$X\in L^1(\mathbb{Q})⟺XL\in L^1(\mathbb{P})，$并且此时 ${\mathbb{E}}_{\mathbb{Q}}X={\mathbb{E}}_{\mathbb{P}}[XL]。$

1. 可积性的等价。$|X|$ 非负可测，由第 3 步 ${\mathbb{E}}_{\mathbb{Q}}|X|={\mathbb{E}}_{\mathbb{P}}[|X|L]。$又因为 $L\ge 0，$$|X|L=|XL|。$所以
   $${\mathbb{E}}_{\mathbb{Q}}|X|={\mathbb{E}}_{\mathbb{P}}|XL|.$$
   左边有限当且仅当右边有限，也就是 $X\in L^1(\mathbb{Q})⟺XL\in L^1(\mathbb{P})。$
2. 乘积的正部、负部。因为 $L\ge 0，$乘上 $L$ 不改变符号，所以
   $$(XL{)}^{+}=X^{+}L,(XL{)}^{-}=X^{-}L.$$
   逐点核对：若 $X(\omega )\ge 0，$则 $X(\omega )L(\omega )\ge 0，$左边分别是 $X(\omega )L(\omega )$ 和 $0，$右边也是（此时 $X^{-}(\omega )=0）；$若 $X(\omega )<0，$则 $X(\omega )L(\omega )\le 0，$左边分别是 $0$ 和 $-X(\omega )L(\omega )，$右边也是（此时 $X^{+}(\omega )=0）。$
3. 相减。设 $X\in L^1(\mathbb{Q})。$因为 $X^{\pm }\le |X|，$${\mathbb{E}}_{\mathbb{Q}}{X}^{+}$ 和 ${\mathbb{E}}_{\mathbb{Q}}{X}^{-}$ 都有限。于是
   $$\begin{array}{rlrl}{\mathbb{E}}_{\mathbb{Q}}X& ={\mathbb{E}}_{\mathbb{Q}}{X}^{+}-{\mathbb{E}}_{\mathbb{Q}}{X}^{-}& & \text{（可积函数积分的定义）}\\ & ={\mathbb{E}}_{\mathbb{P}}[X^{+}L]-{\mathbb{E}}_{\mathbb{P}}[X^{-}L]& & \text{（第 3 步分别用于 }{X}^{+}\text{、}{X}^{-}\text{）}\\ & ={\mathbb{E}}_{\mathbb{P}}[(XL{)}^{+}]-{\mathbb{E}}_{\mathbb{P}}[(XL{)}^{-}]& & \text{（本步第 2 条）}\\ & ={\mathbb{E}}_{\mathbb{P}}[XL]& & \text{（第 1 条保证 }XL\text{ 可积，再用定义）}\end{array}$$

命题 21 全部证毕。标准四步到此走完：

例子

推导：一步一步来

固定 $\omega ，$记 $a_n=s_n(\omega )，$$a=X(\omega )，$$c=L(\omega )。$已知 $a_n\uparrow a，$$c\in [0,\infty )。$

四种情形里，极限都等于 $X(\omega )L(\omega )，$并且数列都不减（$a_n\le a_{n+1}$ 乘以 $c\ge 0$ 不改变不等号方向）。所以 $s_{n}L\uparrow XL$ 在每一点成立，MCT 的条件完全满足。

第二行说明了约定 $0\cdot \infty =0$ 的必要性：若 $X$ 在 $\mathbb{Q}$ 看不见的地方（$L=0）$取 $+\infty ，$这些点对 ${\mathbb{E}}_{\mathbb{P}}[XL]$ 毫无贡献；对 ${\mathbb{E}}_{\mathbb{Q}}X$ 也毫无贡献，因为 $\mathbb{Q}(L=0)={\mathbb{E}}_{\mathbb{P}}[L{1}_{\{L=0\}}]=0。$约定让两边的「看不见」保持一致。

常见疑问与易错点

小结与自测