18 阈值概率与间断点：只要 ℙ(X = c) = 0，就有 ℙ(Xₙ > c) → ℙ(X > c) · 第3讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

设 $X_{n} P X 。$ 「超过门槛 $c$ 的概率」 $P (X_{n} > c)$ 会不会收敛到 $P (X > c) ？$ 只要极限 $X$ 恰好等于 $c$ 的概率是 0，就会；如果 $P (X = c) > 0 ，$ 就可能不会——反例是 $X_{n} = c + \frac{1}{n} 、$ $X = c 。$

这是第 2 部分「随机变量的收敛」的最后一页，是上一页连续映射定理的一个应用。

上一页第 17 页的定理 13 说：只要函数 $g$ 在极限 $X$ 处（以概率 1）连续，依概率收敛就能「穿过」 $g ，$ 即 $g (X_{n}) P g (X) 。$
这一页取 $g$ 为门槛函数 $g (x) = 1_{(c, \infty)} (x) ：$ 超过 $c$ 记 1，否则记 0。它在 $x = c$ 处跳了一下， $c$ 是它的间断点（discontinuity）。标题里的 discontinuities 指的就是这个跳跃。
因为 $P (X_{n} > c) = E [g (X_{n})] ，$ 这一页其实已经在问「期望能不能跟着收敛」。这正是下一页第 19 页开始的第 3 部分「期望与密度的收敛」的主题，所以这一页也是两部分之间的桥。

先补基础

基础补课依概率收敛（第 14 页定义 10）

$X_{n} P X$ 读作「 $X_{n}$ 依概率收敛到 $X 」，$ 意思是：对每个 $ε > 0 ，$

P (∣ X_{n} - X ∣ > ε) \to 0 (n \to \infty) .

也就是「第 $n$ 步误差超过容忍度 $ε 」$ 这个坏事件的概率越来越小（第 14 页）。

例： $X_{n} = X + \frac{1}{n} 。$ 误差恒为 $\frac{1}{n} ；$ 当 $n > \frac{1}{ε}$ 时坏事件是空集，概率为 0，所以 $X_{n} P X 。$
几乎必然收敛推出依概率收敛（第 14 页命题 11），反过来不对（第 15 页的打字机序列）。所以本页结论对几乎必然收敛也成立。

基础补课门槛函数与「在一点连续」

固定实数 $c$ （门槛）。门槛函数 $g (x) = 1_{(c, \infty)} (x) ：$ $x > c$ 时取 1， $x \leq c$ 时取 0。于是 $g (X_{n}) = 1_{{X_{n} > c}} ，$ 并且 $E [g (X_{n})] = P (X_{n} > c)$ （示性函数的期望就是事件的概率）。
$g$ 在点 $x$ 连续的意思：只要数列 $x_{k} \to x ，$ 就有 $g (x_{k}) \to g (x) 。$
若 $x > c ：$ 当 $x_{k}$ 与 $x$ 的距离小于 $x - c$ 时 $x_{k} > c ，$ 于是 $g (x_{k}) = 1 = g (x) ，$ 所以 $g$ 在 $x$ 处连续。
若 $x < c ：$ 当 $x_{k}$ 与 $x$ 的距离小于 $c - x$ 时 $x_{k} < c ，$ 于是 $g (x_{k}) = 0 = g (x) ，$ $g$ 在 $x$ 处也连续。
若 $x = c ：$ 取 $x_{k} = c + \frac{1}{k} \to c ，$ 却有 $g (x_{k}) = 1 ，$ 而 $g (c) = 0 。$ 所以 $c$ 是 $g$ 唯一的间断点。

基础补课原子：随机变量在一点上的质量

若 $P (X = c) > 0 ，$ 就说 $X$ 的分布在 $c$ 点有一个原子（atom），也说「 $X$ 在 $c$ 上有质量」。
用分布函数 $F (x) = P (X \leq x)$ （第 8 页）来看：事件 ${X \leq c - \frac{1}{k}}$ 随 $k$ 增大而变大，并起来是 ${X < c} ，$ 由从下连续， $F$ 在 $c$ 处的左极限 $F (c -) = P (X < c) 。$ 所以

P (X = c) = P (X \leq c) - P (X < c) = F (c) - F (c -) .

也就是说， $P (X = c) = 0$ 恰好等价于 $F$ 在 $c$ 处连续。

例： $X$ 服从 $(0, 1)$ 上的均匀分布时，每个 $c$ 都有 $P (X = c) = 0$ （一个点的长度是 0）。 $X$ 是抛硬币的结果（各以 $\frac{1}{2}$ 的概率取 0 或 1）时， $P (X = 1) = \frac{1}{2} ，$ 在 1 处有原子。

基础补课实数列的上极限与下极限

第 40 页讲过函数列的 liminf、limsup，这里只要实数列的版本：

$lim sup_{n} a_{n} = lim_{m \to \infty} sup_{n \geq m} a_{n} ，$ 是数列最终的「最高水平」； $lim inf_{n} a_{n} = lim_{m \to \infty} in f_{n \geq m} a_{n} ，$ 是最终的「最低水平」。
例： $a_{n} = (- 1)^{n}$ 时 $lim inf_{n} a_{n} = - 1 ，$ $lim sup_{n} a_{n} = 1 。$
本页要用三条性质：
1. 总有 $lim inf_{n} a_{n} \leq lim sup_{n} a_{n} ；$
2. 若 $a_{n} \leq b + δ_{n}$ （ $b$ 是常数， $δ_{n} \geq 0$ 且 $δ_{n} \to 0 ），$ 则 $lim sup_{n} a_{n} \leq b ；$ 若 $a_{n} \geq b - δ_{n} ，$ 则 $lim inf_{n} a_{n} \geq b ；$
3. 若 $lim inf_{n} a_{n} = lim sup_{n} a_{n} = L ，$ 则 $a_{n} \to L 。$

基础补课从下连续与从上连续（第 1 讲）

从下连续（第 13 页）：事件递增 $B_{1} \subseteq B_{2} \subseteq \dots ，$ 则 $P (B_{k}) \to P (⋃_{k} B_{k}) 。$
从上连续（第 14 页）：事件递减 $B_{1} \supseteq B_{2} \supseteq \dots ，$ 则 $P (B_{k}) \to P (⋂_{k} B_{k})$ （概率测度总质量为 1，有限，所以可以用）。
本页会用到： ${X > c + \frac{1}{k}}$ 随 $k$ 递增，并起来是 ${X > c} ；$ ${X > c - \frac{1}{k}}$ 随 $k$ 递减，交起来是 ${X \geq c} 。$ 所以

P (X > c + \frac{1}{k}) ↑ P (X > c), P (X > c - \frac{1}{k}) ↓ P (X \geq c) .

课件原文逐句精读

课件原文Threshold probabilities and discontinuities

Assume $X_{n} P X$ .

Application to a threshold

中文翻译

（标题：阈值概率与间断点）

假设 $X_{n}$ 依概率收敛到 $X 。$

应用于一个阈值（门槛）

标题 Threshold probabilities and discontinuities：threshold（阈值、门槛）指一个固定的数 $c ；$ threshold probability（阈值概率）指「超过门槛的概率」 $P (X_{n} > c) 。$ discontinuities（间断点）指门槛函数在 $c$ 处的跳跃。标题把两件事放在一起，暗示了结论：阈值概率能否取极限，取决于极限 $X$ 在间断点 $c$ 上有没有质量。
Assume $X_{n} P X$ ：本页唯一的假设，依概率收敛（第 14 页定义 10）。
Application to a threshold：「在一个阈值上的应用」，应用的是上一页的连续映射定理（第 17 页定理 13）。课件在这个标题下留白，下面补全。

为什么关心阈值概率？实际问题里常常要算「超过某条线」的概率：产品寿命超过 $c$ 年的概率、投资损失超过 $c$ 元的概率、检验统计量超过临界值的概率。如果 $X_{n}$ 是 $X$ 的近似（模拟、估计、数值逼近），我们希望近似出来的阈值概率也逼近真实的阈值概率。这一页说明：大多数门槛可以，落在极限原子上的门槛不一定可以。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

Application to a threshold｜应用于一个阈值

命题（阈值概率的收敛）

设 $X_{n} P X ，$ $c \in R$ 是固定的门槛。

若 $P (X = c) = 0 ，$ 则

P (X_{n} > c) \to P (X > c), P (X_{n} \leq c) \to P (X \leq c) (n \to \infty) .

若 $P (X = c) > 0 ，$ 上述结论可能不成立。反例： $X_{n} = c + \frac{1}{n} ，$ $X = c 。$

逐句理解：

条件 $P (X = c) = 0$ ：极限 $X$ 在门槛上没有原子。它不要求 $X_{n}$ 满足什么，只看极限。
结论：阈值概率跟着收敛。第二个式子是第一个的补集版本。
第 2 条说明条件不是摆设：极限的质量一旦压在间断点上，结论就可能失败。

补写的证明：连续映射 + 有界

推导证明思路

把 $P (X_{n} > c)$ 写成 $E [g (X_{n})] ，$ $g = 1_{(c, \infty)} 。$ $g$ 只在 $c$ 处间断，而 $X$ 以概率 1 不落在 $c$ 上，所以连续映射定理给出 $g (X_{n}) P g (X) ；$ $g$ 只取 0 和 1，是有界的，于是期望也收敛。

间断点：由先补基础， $g$ 在 $C = R ∖ {c}$ 的每一点连续，唯一的间断点是 $c 。$
极限不落在间断点上： $P (X \in C) = 1 - P (X = c) = 1 。$
连续映射：由第 17 页定理 13（在随机极限处连续即可）， $g (X_{n}) P g (X) ，$ 也就是

1_{{X_{n} > c}} P 1_{{X > c}} .

从依概率收敛到期望收敛：记 $D_{n} = 1_{{X_{n} > c}} - 1_{{X > c}} 。$ 两个示性函数相减，只可能是 $- 1 、$ $0 、$ $1 ，$ 所以 $∣ D_{n} ∣$ 只取 0 或 1，而且 $∣ D_{n} ∣ = 1$ 恰好当 $∣ D_{n} ∣ > \frac{1}{2} 。$ 于是

P (X_{n} > c) - P (X > c) = E D_{n} \leq E ∣ D_{n} ∣ = P (∣ D_{n} ∣ > \frac{1}{2}) \to 0.

第一个等号用了期望的线性，不等号是 $∣ E Z ∣ \leq E ∣ Z ∣$ （第 43 页命题 35），最后的「 $\to 0 」$ 就是第 3 步取 $ε = \frac{1}{2} 。$ 5. 补集： $P (X_{n} \leq c) = 1 - P (X_{n} > c) \to 1 - P (X > c) = P (X \leq c) 。$

补充第 4 步就是「有界收敛」

第 4 步的本质是： $∣ g ∣ \leq 1$ 有界，依概率收敛就能推出期望收敛。第 1 讲的有界收敛定理 BCT（第 46 页推论 37）要求的是几乎处处收敛，不能直接套在依概率收敛上；它的依概率版本是第 20 页定理 15 取 $Y \equiv 1$ 的特例。对示性函数，上面的直接计算最省事。

第 3 步用到的连续映射定理：为什么只要求「在 X 处连续」

设 $X_{n} P X ，$ $g : R \to R$ 博雷尔可测， $g$ 在博雷尔集 $C$ 的每一点连续，且 $P (X \in C) = 1 。$ 要证 $g (X_{n}) P g (X) 。$

任取一个子列 $(n_{k}) 。$ 它仍依概率收敛到 $X ，$ 由子列判别法（第 16 页定理 12）存在子子列 $(n_{k_{j}}) ，$ 使 $X_{n_{k_{j}}} \to X$ 几乎必然。
在事件 ${X_{n_{k_{j}}} \to X} \cap {X \in C}$ 上（两个概率为 1 的事件之交，概率仍为 1）： $X_{n_{k_{j}}} (ω) \to X (ω) ，$ 而 $g$ 在 $X (ω)$ 处连续，所以 $g (X_{n_{k_{j}}} (ω)) \to g (X (ω)) 。$
所以 $g (X_{n})$ 的每个子列都有几乎必然收敛到 $g (X)$ 的子子列。由定理 12 的另一个方向， $g (X_{n}) P g (X) 。$

补写的反例：极限落在门槛上

例子反例：X_n = c + 1/n，X = c

收敛： $∣ X_{n} - X ∣ = \frac{1}{n} 。$ 对每个 $ε > 0 ，$ 当 $n > \frac{1}{ε}$ 时 $P (∣ X_{n} - X ∣ > ε) = 0 ，$ 所以 $X_{n} P X$ （其实是每个 $ω$ 上都收敛）。
阈值概率： $X_{n} = c + \frac{1}{n} > c$ 对每个 $ω$ 成立，所以 $P (X_{n} > c) = 1 ；$ 而 $X = c$ 不大于 $c ，$ 所以 $P (X > c) = 0 。$
结论： $P (X_{n} > c) = 1 \neq \to 0 = P (X > c) 。$
原因： $P (X = c) = 1 > 0 ，$ 极限的全部质量都压在门槛这个间断点上。 $X_{n}$ 从右边逼近 $c ，$ 每一步都「刚好过线」，到了极限却「刚好没过线」。用 $g$ 的语言： $g (X_{n}) = 1 ，$ $g (X) = 0 ，$ $g (X_{n})$ 根本不收敛到 $g (X) ，$ 连续映射定理的条件在这里失效。

例子

例 1：均匀分布的极限，任何门槛都可以

设 $X$ 服从 $(0, 1)$ 上的均匀分布， $X_{n} = X + \frac{1}{n} ，$ 门槛 $c = 0.5 。$ $P (X = 0.5) = 0 ，$ 命题说 $P (X_{n} > 0.5) \to P (X > 0.5) = 0.5 。$ 直接验证：

P (X_{n} > 0.5) = P (X > 0.5 - \frac{1}{n}) = 1 - (0.5 - \frac{1}{n}) = 0.5 + \frac{1}{n} (n \geq 2),

这里用了均匀分布 $P (X > t) = 1 - t$ （ $0 \leq t < 1 ）。$ 数值： $n = 2$ 时是 1， $n = 10$ 时是 0.6， $n = 100$ 时是 0.51，确实趋于 0.5。

例 2：抛硬币的极限，门槛在原子上就出问题

设 $X$ 以各 $\frac{1}{2}$ 的概率取 0 或 1， $X_{n} = X + \frac{1}{n} 。$

门槛 $c = 0.5$ （不是原子）：当 $n \geq 3$ 时， $0 + \frac{1}{n} \leq \frac{1}{3} < 0.5 ，$ 而 $1 + \frac{1}{n} > 0.5 ，$ 所以 $X_{n} > 0.5$ 恰好当 $X = 1 ，$ $P (X_{n} > 0.5) = \frac{1}{2} = P (X > 0.5) 。$ 结论成立。
门槛 $c = 1$ （原子， $P (X = 1) = \frac{1}{2} ）：$ $X_{n} > 1$ 恰好当 $X = 1 ，$ 所以 $P (X_{n} > 1) = \frac{1}{2}$ 对每个 $n$ 成立；但 $P (X > 1) = 0 。$ 极限是 $\frac{1}{2} \neq = 0 ，$ 结论失败。
门槛 $c = 0$ （原子， $P (X = 0) = \frac{1}{2} ）：$ $X_{n} > 0$ 总成立， $P (X_{n} > 0) = 1 ；$ 但 $P (X > 0) = \frac{1}{2} 。$ 结论也失败。

两次失败的差距都恰好是原子的质量 $\frac{1}{2} ，$ 下面的推导会说明这不是巧合。

例 3：极限是常数时

设 $X_{n} P a$ （ $a$ 是一个常数，比如「估计量依概率收敛到真值 $a 」）。$ 常数 $a$ 只在 $a$ 这一点有原子（质量为 1）。

若 $c < a ：$ $P (a = c) = 0 ，$ 所以 $P (X_{n} > c) \to P (a > c) = 1 。$
若 $c > a ：$ 同样 $P (X_{n} > c) \to P (a > c) = 0 。$
若 $c = a ：$ 命题不给结论。例如 $X_{n} = a + \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} ，$ $n$ 为偶数时 $X_{n} > a ，$ 为奇数时 $X_{n} < a ，$ 所以 $P (X_{n} > a)$ 在 1 和 0 之间来回跳，连极限都不存在。

这说明：依概率收敛到 $a ，$ 等于说「落在 $a$ 两侧任何一条固定线之外的概率趋于 0」，但它不管 $X_{n}$ 从哪一侧贴近 $a 。$

推导：一步一步来

不用连续映射的直接夹逼证明

这个证明只用依概率收敛的定义和第 1 讲的从上、从下连续，还顺便说明了差距为什么恰好是 $P (X = c) 。$

推导证明思路

「 $X_{n}$ 超过 $c 」$ 和「 $X$ 超过 $c 」$ 只在误差大于 $ε 、$ 或 $X$ 离 $c$ 不到 $ε$ 时才可能不一致。前者的概率趋于 0，后者在 $ε \to 0$ 时缩成 ${X = c} 。$

固定 $ε > 0 ，$ 记 $δ_{n} = P (∣ X_{n} - X ∣ > ε) ，$ 由依概率收敛， $δ_{n} \to 0 。$

上方的包含： ${X_{n} > c} \subseteq {X > c - ε} \cup {∣ X_{n} - X ∣ > ε} 。$ 理由：若 $X_{n} > c$ 且 $∣ X_{n} - X ∣ \leq ε ，$ 则 $X \geq X_{n} - ε > c - ε 。$
下方的包含： ${X > c + ε} \subseteq {X_{n} > c} \cup {∣ X_{n} - X ∣ > ε} 。$ 理由：若 $X > c + ε$ 且 $∣ X_{n} - X ∣ \leq ε ，$ 则 $X_{n} \geq X - ε > c 。$
取概率（单调性与次可加性 $P (A \cup B) \leq P (A) + P (B) ）：$

P (X > c + ε) - δ_{n} \leq P (X_{n} > c) \leq P (X > c - ε) + δ_{n} .

令 $n \to \infty$ ：由上极限、下极限的性质 2（先补基础），

P (X > c + ε) \leq n lim inf P (X_{n} > c) \leq n lim sup P (X_{n} > c) \leq P (X > c - ε) .

令 $ε = \frac{1}{k} \to 0$ ：第 4 步对每个 $k$ 成立，中间两项不依赖 $k 。$ 由从下连续，左端 $↑ P (X > c) ；$ 由从上连续，右端 $↓ P (X \geq c) 。$ 所以

P (X > c) \leq n lim inf P (X_{n} > c) \leq n lim sup P (X_{n} > c) \leq P (X \geq c) .

差距就是原子：两端之差 $P (X \geq c) - P (X > c) = P (X = c) 。$ 若它为 0，上下极限都等于 $P (X > c) ，$ 由性质 3， $P (X_{n} > c) \to P (X > c) 。$

第 5 步的不等式不需要任何条件：阈值概率的极限行为总被夹在 $P (X > c)$ 和 $P (X \geq c)$ 之间，最多「漂移」 $P (X = c)$ 那么多。例 2 中两次失败的差距都是 $\frac{1}{2} ，$ 正是原子的质量。

原子最多可数个：几乎所有门槛都没问题

固定正整数 $k ，$ 考虑集合 ${c : P (X = c) \geq \frac{1}{k}} 。$ 它最多有 $k$ 个点：若有 $k + 1$ 个不同的点 $c_{1}, \dots, c_{k + 1} ，$ 事件 ${X = c_{i}}$ 两两不交，它们的并的概率是 $\sum_{i} P (X = c_{i}) \geq \frac{k + 1}{k} > 1 ，$ 与概率不超过 1 矛盾。
所有原子组成的集合是 $⋃_{k \geq 1} {c : P (X = c) \geq \frac{1}{k}} ，$ 可数个有限集合之并，至多可数。
所以除了至多可数个门槛以外，命题的条件 $P (X = c) = 0$ 都成立。例 2 的原子只有 0 和 1 两个。

常见疑问与易错点

易错点问：X_n 都收敛到 X 了，为什么 ℙ(X_n > c) 不一定收敛到 ℙ(X > c)？

答：因为 $P (X_{n} > c) = E [g (X_{n})]$ 中间隔着门槛函数 $g ，$ 而 $g$ 在 $c$ 处是跳跃的。在 $c$ 附近， $X_{n}$ 哪怕只挪动一点点， $g (X_{n})$ 也会在 0 和 1 之间翻转。如果极限 $X$ 有正的概率正好停在 $c$ 上，这种翻转就会以正的概率发生，阈值概率就收敛不到正确的值（反例 $X_{n} = c + \frac{1}{n} ）。$

易错点问：条件 ℙ(X = c) = 0 是必要的吗？

答：不是，它是充分条件。 $X_{n} = c - \frac{1}{n} 、$ $X = c$ 时， $P (X = c) = 1 ，$ 但 $P (X_{n} > c) = 0 = P (X > c) ，$ 结论碰巧成立。不过换成「 $\geq 」$ 就失败了： $P (X_{n} \geq c) = 0 ，$ $P (X \geq c) = 1 。$ 条件 $P (X = c) = 0$ 的好处是让 $> 、$ $\geq 、$ $< 、$ $\leq$ 四种写法同时成立，不用操心 $X_{n}$ 从哪一侧逼近。

易错点问：把「>」换成「≥」，结论还成立吗？

答：只要 $P (X = c) = 0$ 就成立。把推导第 1 步换成 ${X_{n} \geq c} \subseteq {X \geq c - ε} \cup {∣ X_{n} - X ∣ > ε}$ （若 $X_{n} \geq c$ 且误差 $\leq ε ，$ 则 $X \geq c - ε ），$ 第 2 步不变（ $X_{n} > c$ 当然推出 $X_{n} \geq c ），$ 再令 $ε = \frac{1}{k} \to 0 ，$ 得到同样的夹逼： $P (X > c) \leq lim inf P (X_{n} \geq c) \leq lim sup P (X_{n} \geq c) \leq P (X \geq c) 。$

易错点问：这和以后会学的「依分布收敛」有什么关系？

答：命题的第二个结论说：在 $F_{X}$ 的每个连续点 $c$ 上（即 $P (X = c) = 0 ），$ 都有 $P (X_{n} \leq c) \to P (X \leq c) 。$ 这正是「依分布收敛」的定义。所以这一页顺便证明了：依概率收敛推出依分布收敛。依分布收敛的定义之所以只要求在连续点上收敛，原因就是本页的反例。

易错点问：如果 X 有密度，是不是任何门槛都可以？

答：是。有密度 $f$ 时， $P (X = c) = \int_{{c}} f (x) d x = 0$ （一个点的勒贝格测度为 0，第 17 页），所以对每个 $c$ 都有 $P (X_{n} > c) \to P (X > c) 。$ 只有带原子的极限（离散分布、混合分布）才需要小心那几个原子。

小结与自测

小结本页小结

阈值概率 $P (X_{n} > c) = E [1_{(c, \infty)} (X_{n})] ；$ 门槛函数只在 $c$ 处间断。
设 $X_{n} P X 。$ 一般地 $P (X > c) \leq lim inf_{n} P (X_{n} > c) \leq lim sup_{n} P (X_{n} > c) \leq P (X \geq c) ，$ 上下界之差恰为 $P (X = c) 。$
若 $P (X = c) = 0$ （ $c$ 是 $F_{X}$ 的连续点），则 $P (X_{n} > c) \to P (X > c) ，$ $\leq 、$ $\geq 、$ $<$ 的版本也成立。证明可以走「连续映射 + 有界」，也可以直接夹逼。
若 $P (X = c) > 0 ，$ 可能失败： $X_{n} = c + \frac{1}{n} ，$ $X = c ，$ $P (X_{n} > c) = 1$ 而 $P (X > c) = 0 。$
原子至多可数个，所以除可数个门槛外结论都成立。

自测

1. 设 $X_{n} P X ，$ $X$ 服从 $(0, 1)$ 上的均匀分布。 $P (X_{n} \leq 0.3)$ 收敛吗？收敛到多少？

点开看答案

收敛到 0.3。因为 $P (X = 0.3) = 0 ，$ 由命题 $P (X_{n} \leq 0.3) \to P (X \leq 0.3) = 0.3 。$

2. 设 $X = 2$ （常数）， $X_{n} = 2 + \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} 。$ $X_{n}$ 依概率收敛到 $X$ 吗？ $P (X_{n} > 2)$ 收敛吗？是命题的哪个条件不满足？

点开看答案

$∣ X_{n} - X ∣ = \frac{1}{n} \to 0 ，$ 所以依概率收敛（其实处处收敛）。 $n$ 为偶数时 $X_{n} = 2 + \frac{1}{n} > 2 ，$ $P (X_{n} > 2) = 1 ；$ $n$ 为奇数时 $X_{n} = 2 - \frac{1}{n} < 2 ，$ $P (X_{n} > 2) = 0 。$ 数列 $1, 0, 1, 0, \dots$ 没有极限。不满足的条件是 $P (X = 2) = 0 ：$ 这里 $P (X = 2) = 1 。$

3. 填空：在夹逼不等式 $P (X > c) \leq lim inf_{n} P (X_{n} > c) \leq lim sup_{n} P (X_{n} > c) \leq P (X \geq c)$ 中，最右端与最左端之差等于 ______；它为 0 时阈值概率收敛。

点开看答案

$P (X = c) 。$ 因为 ${X \geq c}$ 是 ${X > c}$ 与 ${X = c}$ 的不交并，所以 $P (X \geq c) - P (X > c) = P (X = c) 。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
依概率收敛	convergence in probability	对每个 ε > 0，P(\|Xₙ − X\| > ε) → 0；比几乎必然收敛弱。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
空集	empty set	一个元素也没有的集合，记作 ∅。作为事件，它永远不会发生。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
打字机序列	typewriter sequence	在 [0,1) 上从左到右一遍遍扫过、越来越窄的小区间的示性函数列：依概率收敛到 0，却在每一点都不收敛。
示性函数	indicator function	𝟏_A(x) 在 x ∈ A 时取 1，否则取 0；它的积分就是 A 的测度。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
累积分布函数	cumulative distribution function (CDF)	F(x) = P(X ≤ x)，单调不减、右连续，完全决定分布。
从下连续	continuity from below	集合一层层变大（Eₙ ↑ E）时，测度也跟着收敛：μ(Eₙ) → μ(E)。
左极限	left limit	自变量从左边（比 x 小的一侧）靠近 x 时，函数值趋向的数，记作 f(x−)。分布函数在 x 处的跳跃 F(x) − F(x−) 就是 P(X = x)。
从上连续	continuity from above	集合一层层变小（Eₙ ↓ E）且 μ(E₁) < ∞ 时，μ(Eₙ) → μ(E)。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
补集	complement	样本空间里不属于 A 的元素全体，记作 Aᶜ，对应「A 不发生」。
有界收敛定理	bounded convergence theorem (BCT)	有限测度上一致有界、几乎处处收敛的函数列，积分收敛；是 DCT 的特例。
几乎处处	almost everywhere (a.e.)	除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。
博雷尔 σ-代数	Borel sigma-algebra	由实数轴上所有开区间生成的 σ-代数 𝓑(ℝ)，包含所有常见的集合。
子列	subsequence	从一个数列里按顺序挑出无穷多项组成的新数列。
次可加性	subadditivity	并集的测度不超过各部分测度之和：μ(A ∪ B) ≤ μ(A) + μ(B)。
上极限	limit superior (lim sup)	数列「尾部的最大可能值」的极限；对集合则表示「发生无穷多次」。
下极限	limit inferior (lim inf)	数列「尾部的最小可能值」的极限；对集合则表示「从某一项起一直发生」。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
两两不交	pairwise disjoint	一列集合中任意两个都没有公共元素，对应「任意两件事不会同时发生」。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
依分布收敛	convergence in distribution	在极限分布函数 F 的每个连续点 x 上，P(Xₙ ≤ x) → F(x)。它只比较分布，不要求 Xₙ 本身靠近 X。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
下界	lower bound	数集 A 的下界是一个数 m，A 里每个数都 ≥ m。例如 0 和 −3 都是 (0,1] 的下界；所有下界中最大的那个叫下确界。