28 Radon–Nikodym 导数的唯一性：盯住「一个密度更大」的那个事件 · 第3讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

如果两个函数 $L 、$ $L^{'}$ 都能当 $Q$ 关于 $P$ 的密度，那么它们几乎必然相等： $P (L \neq = L^{'}) = 0 。$ 证明的诀窍是只看「 $L$ 比 $L^{'}$ 大」的那个事件——在那里两者之差是正的，积分却是 0，于是这个事件的概率只能是 0。

上一页第 27 页的定理 18 保证密度存在；这一页证明它唯一（在「可以差一个零概率事件」的意义下）。
有了唯一性，才可以说「那个」Radon–Nikodym 导数 $\frac{d Q}{d P} ，$ 而不是「某一个」。
唯一性还是一个很实用的识别工具：只要找到任何一个满足 $Q (A) = \int_{A} L d P$ （对所有 $A ）$ 的 $L ，$ 它就一定是 $\frac{d Q}{d P} 。$ 第 34 页的链式法则、第 35 页的倒数密度都靠这一招。

先补基础

基础补课事件 {L > L′} 以及它为什么是事件

${L > L^{'}}$ 是 ${ω \in Ω : L (ω) > L^{'} (ω)}$ 的简写：所有「 $L$ 的值比 $L^{'}$ 大」的样本点。
它属于 $F$ （是合法的事件）。理由：若 $L (ω) > L^{'} (ω) ，$ 两者之间一定夹着一个有理数 $r ；$ 反过来 $L (ω) > r > L^{'} (ω)$ 也推出 $L (ω) > L^{'} (ω) 。$ 所以 ${L > L^{'}} = r 为有理数 ⋃ ({L > r} \cap {L^{'} < r}),$ 而有理数只有可数个，每个 ${L > r} 、$ ${L^{'} < r}$ 都是事件（ $L 、$ $L^{'}$ 可测，第 29 页），σ-代数对可数并、交封闭（第 9 页）。

基础补课零积分原理：非负函数积分为 0 ⇒ 几乎处处为 0

陈述：若 $g \geq 0$ 可测且 $\int g d P = 0 ，$ 则 $P (g > 0) = 0 。$ （这是第 43 页的内容，下面给一个只用已学知识的证明。）

对每个正整数 $k ：$ $g \geq \frac{1}{k} 1_{{g > 1/ k}} 。$ 理由：在 ${g > \frac{1}{k}}$ 上右边是 $\frac{1}{k} < g ；$ 在别处右边是 $0 \leq g 。$
两边积分（单调性）： $0 = \int g d P \geq \frac{1}{k} P (g > \frac{1}{k}) ，$ 所以 $P (g > \frac{1}{k}) = 0 。$
${g > 0} = ⋃_{k \geq 1} {g > \frac{1}{k}} ，$ 而且这些事件随 $k$ 增大而变大。由从下连续性（第 13 页）， $P (g > 0) = lim_{k} P (g > \frac{1}{k}) = 0 。$

基础补课可积函数的线性

若 $\int ∣ f ∣ d P < \infty 、$ $\int ∣ g ∣ d P < \infty$ （都可积），则 $\int (f - g) d P = \int f d P - \int g d P$ （第 43 页）。
「可积」这个前提不能少：如果两个积分都是 $+ \infty ，$ 右边就成了没有意义的 $\infty - \infty 。$

课件原文逐句精读

课件原文课件印刷文字

Uniqueness: the event where one density is larger

中文翻译

唯一性：一个密度比另一个大的那个事件

这个小标题把证明的关键一步直接写出来了：要证明两个密度 $L 、$ $L^{'}$ 几乎相等，就去看事件 ${L > L^{'}}$ （「一个密度比另一个大」的地方）。
为什么偏偏看这个事件？因为在这个事件上， $L - L^{'}$ 符号是确定的（都是正的）。一个符号确定的函数积分为 0，就只能几乎处处为 0；而一个正负都有的函数积分为 0，完全可能是正负抵消（例如 $\int_{0}^{1} (2 x - 1) d x = 0 ，$ 可 $2 x - 1$ 并不是 0）。
蓝条标题 Uniqueness of the Radon–Nikodym derivative：Radon–Nikodym 导数的唯一性。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

Uniqueness: the event where one density is larger｜唯一性：一个密度比另一个大的那个事件

命题（Radon–Nikodym 导数的唯一性）

设 $P 、$ $Q$ 是 $(Ω, F)$ 上的概率测度， $L 、$ $L^{'}$ 都是 $F$ -可测的非负函数，并且

\int_{A} L d P = Q (A) = \int_{A} L^{'} d P 对所有 A \in F .

那么 $L = L^{'}$ $P$ -几乎必然，即 $P (L \neq = L^{'}) = 0 。$

推导证明思路

先证 $P (L > L^{'}) = 0 ：$ 在事件 $A = {L > L^{'}}$ 上， $L - L^{'} > 0 ，$ 但它在 $A$ 上的积分等于 $Q (A) - Q (A) = 0 ，$ 由零积分原理 $P (A) = 0 。$ 再把 $L 、$ $L^{'}$ 对调，得 $P (L^{'} > L) = 0 。$ 两部分合起来就是 $P (L \neq = L^{'}) = 0 。$

一步一步来：

取事件：令 $A = {L > L^{'}} 。$ 由「先补基础」， $A \in F ，$ 所以可以把它代入假设。
两个积分都有限： $\int_{A} L d P = Q (A) \leq 1 ，$ $\int_{A} L^{'} d P = Q (A) \leq 1 。$ 所以 $L 1_{A} 、$ $L^{'} 1_{A}$ 都是可积函数。这里用到了 $Q$ 是概率（总量有限）。
差的积分为 0：由可积函数的线性， $\int (L - L^{'}) 1_{A} d P = \int_{A} L d P - \int_{A} L^{'} d P = Q (A) - Q (A) = 0.$
被积函数非负，并且恰好在 $A$ 上为正：令 $g = (L - L^{'}) 1_{A} 。$ 在 $A$ 上 $L > L^{'} ，$ 所以 $g > 0 ；$ 在 $A$ 外 $g = 0 。$ 因此 $g \geq 0$ 处处成立，并且 ${g > 0} = A 。$
用零积分原理（第 43 页）： $g \geq 0$ 且 $\int g d P = 0 ，$ 所以 $P (A) = P (g > 0) = 0 。$
对称：把 $L$ 和 $L^{'}$ 的角色对调（假设对两者是对称的），同样得到 $P (B) = 0 ，$ 其中 $B = {L^{'} > L} 。$
合起来： ${L \neq = L^{'}} = A \cup B ，$ 所以 $P (L \neq = L^{'}) \leq P (A) + P (B) = 0 。$

证毕。

人话版画一张图想一想

在 $Ω = [0, 1] 、$ $P = λ$ 的情形，把 $L$ 和 $L^{'}$ 画成两条曲线。事件 $A = {L > L^{'}}$ 就是「 $L$ 的曲线在 $L^{'}$ 上方」的那些横坐标。第 3 步说：在 $A$ 上方，两条曲线夹出来的面积是 0。可是在 $A$ 上两条曲线确实分开了（上面那条严格高），夹出面积为 0 的唯一可能是： $A$ 这片横坐标的总长度是 0。这就是第 5 步。

为什么只能是「几乎必然」唯一

反过来也成立：如果 $L^{'}$ 和一个密度 $L$ 只在一个 $P$ -零概率事件 $N$ 上不同，那么 $L^{'}$ 也是密度。 理由：对每个 $A ，$ $L 1_{A}$ 和 $L^{'} 1_{A}$ 只在 $N$ 上可能不同，而零概率事件上的改动不影响积分（第 43 页），所以 $\int_{A} L^{'} d P = \int_{A} L d P = Q (A) 。$

所以「几乎必然唯一」已经是最好的结论了：想要「每一点都唯一」是不可能的。当我们写「 $\frac{d Q}{d P} = 2 x 」$ 时，意思是「 $2 x$ 是一个密度，任何其他密度都和它几乎必然相等」。教材里把这样一个具体的函数叫作 Radon–Nikodym 导数的一个版本（version）。

另一种证明：不做减法（选读）

对正整数 $k ，$ 令 $A_{k} = {L \geq L^{'} + \frac{1}{k}} 。$ 在 $A_{k}$ 上 $L \geq L^{'} + \frac{1}{k} ，$ 积分得

Q (A_{k}) = \int_{A_{k}} L d P \geq \int_{A_{k}} L^{'} d P + \frac{1}{k} P (A_{k}) = Q (A_{k}) + \frac{1}{k} P (A_{k}) .

因为 $Q (A_{k}) \leq 1$ 是有限数，两边减去它得 $0 \geq \frac{1}{k} P (A_{k}) ，$ 所以 $P (A_{k}) = 0 。$ 又因为 $L (ω) > L^{'} (ω)$ 时总有某个 $k$ 使 $L (ω) \geq L^{'} (ω) + \frac{1}{k} ，$ 所以 ${L > L^{'}} = ⋃_{k} A_{k} ，$ 由从下连续性 $P (L > L^{'}) = 0 。$ 这个证明同样在「两边减去 $Q (A_{k}) 」$ 处用到了 $Q (A_{k}) < \infty 。$

总量无穷时唯一性可以失败（选读）

取只有一个点的空间 $Ω = {0} ，$ $μ ({0}) = \infty ，$ $ν ({0}) = \infty$ （它们是测度，但不是概率）。常数函数 $L \equiv 1$ 和 $L^{'} \equiv 2$ 都满足 $ν (A) = \int_{A} L d μ ：$ 对 $A = {0}$ 两边都是 $\infty$ （ $1 \cdot \infty = 2 \cdot \infty = \infty ），$ 对 $A = \emptyset$ 两边都是 0。可是 $L \neq = L^{'}$ 在整个 $Ω$ 上成立，而 $μ (Ω) = \infty \neq = 0 。$ 上面证明的第 3 步在这里变成 $\infty - \infty ，$ 没有意义。所以第 2 步的有限性不是装饰，是证明的关键。

例子

例 1：在有理数上乱改，密度仍然是同一个

$Ω = [0, 1] ，$ $P = λ ，$ $Q$ 的密度 $L (x) = 2 x 。$ 令

L^{'} (x) = {2 x, 5, x 是无理数, x 是有理数 .

$L^{'}$ 也是 $Q$ 的密度： ${L \neq = L^{'}}$ 包含在 $[0, 1]$ 的有理数集里，长度为 0，所以对每个 $A ，$ $\int_{A} L^{'} d λ = \int_{A} L d λ = Q (A) 。$
这和命题一致：命题说两者几乎必然相等，这里 $P (L \neq = L^{'}) = 0$ 确实成立。
这个 $L^{'}$ 处处不连续，看起来和 $2 x$ 很不一样，但作为密度它们没有区别。

例 2：离散空间里，唯一性只在零概率点上失效

$Ω = {a, b, c} ，$ $P = (0.5, 0.5, 0) ，$ $Q = (0.2, 0.8, 0) 。$ 取两个候选密度 $L = (0.4, 1.6, 0) ，$ $L^{'} = (0.4, 1.6, 7)$ （按 $a, b, c$ 的顺序）。

两者都是密度：它们只在 $c$ 上不同，而 $P ({c}) = 0 。$
按证明走一遍： $A = {L > L^{'}} = \emptyset ，$ $P (A) = 0 ；$ $B = {L^{'} > L} = {c} ，$ $P (B) = 0 。$ 所以 $P (L \neq = L^{'}) = 0 。$
在 $a 、$ $b$ 这两个 $P$ -概率为正的点上， $L$ 的值被 $Q ({ω}) / P ({ω})$ 唯一确定，改不了。

例 3：两个不同的函数，事件 {L > L′} 上就露馅

$Ω = [0, 1] ，$ $P = λ 。$ $L (x) = 2 x$ 和 $L^{'} (x) = 2 (1 - x)$ 都满足非负、积分为 1，它们各自定义一个概率 $Q 、$ $Q^{'} 。$ 它们是不是同一个概率？

看「一个密度更大」的事件 $A = {L > L^{'}} = {2 x > 2 - 2 x} = (\frac{1}{2}, 1] 。$
$\int_{A} L d λ = \int_{1/2}^{1} 2 x d x = \frac{3}{4} ，$ $\int_{A} L^{'} d λ = \int_{1/2}^{1} 2 (1 - x) d x = \frac{1}{4} 。$
在同一个事件上给出不同的概率，所以 $Q \neq = Q^{'} 。$ 这正是证明的逻辑：只要两个函数在一个正概率事件上真的不同，在「谁更大」的那个事件上积分就会不同。

例 4：密度几乎必然等于 1 ⟺ 两个概率相同

设 $Q ≪ P ，$ $L = \frac{d Q}{d P} 。$

若 $L = 1$ $P$ -几乎必然：对每个 $A ，$ $Q (A) = \int_{A} L d P = \int_{A} 1 d P = P (A)$ （零概率事件上的差别不影响积分），所以 $Q = P 。$
若 $Q = P$ ：常数函数 $1$ 满足 $\int_{A} 1 d P = P (A) = Q (A) ，$ 所以 $1$ 是一个密度；由唯一性，任何密度 $L$ 都满足 $L = 1$ $P$ -几乎必然。
用法：想判断两个概率是不是同一个，可以算它们的密度，看是否几乎必然等于 1。例如第 31 页的两点空间中， $L \equiv 1$ 恰好发生在 $q = p$ 的时候。

常见疑问与易错点

易错点问：为什么不直接看事件 {L ≠ L′}？

答：在 ${L \neq = L^{'}}$ 上， $L - L^{'}$ 有时为正、有时为负，积分为 0 可能只是正负抵消，推不出任何东西。把它拆成 ${L > L^{'}}$ 和 ${L^{'} > L}$ 两块，每一块上符号固定，才能用零积分原理。这就是小标题 the event where one density is larger 的用意。

易错点问：证明里哪一步用到了「ℚ 是概率」？

答：第 2、3 步。要把 $\int_{A} (L - L^{'}) d P$ 拆成两个积分相减，两个积分都必须有限；这里它们都等于 $Q (A) \leq 1 。$ 上面的选读例子说明，总量无穷时这一步会变成 $\infty - \infty ，$ 唯一性也真的会失败。

易错点问：既然密度不唯一，那「dℚ/dℙ」到底指哪一个函数？

答：指这些几乎必然相等的函数中的任何一个。所有关于它的等式都理解成「 $P$ -几乎必然成立」，例如链式法则第 34 页就明确写着 $P$ -a.s.。在只关心积分、概率、期望的问题里，选哪个版本结果都一样。

易错点问：几乎必然相等的两个函数，在某一点的值可以差很多吗？

答：可以，例 1 里 $L (0.5) = 1$ 而 $L^{'} (0.5) = 5 。$ 「几乎必然相等」只保证不相等的点合起来概率为 0，不限制在这些点上差多少。

小结与自测

小结本页小结

唯一性：两个密度 $L 、$ $L^{'}$ 若对所有事件给出相同的 $Q ，$ 则 $P (L \neq = L^{'}) = 0 。$
关键一步：在 $A = {L > L^{'}}$ 上 $L - L^{'} > 0 ，$ 但积分 $= Q (A) - Q (A) = 0 ，$ 由零积分原理 $P (A) = 0 ；$ 对称地 $P (L^{'} > L) = 0 。$
「几乎必然」唯一是最好的结论：在零概率事件上改动密度不影响任何积分。
有限性（ $Q (A) \leq 1 ）$ 保证了减法有意义；总量无穷时唯一性可以失败。
用途：找到任何一个合格的 $L ，$ 它就是 $\frac{d Q}{d P} 。$

自测

1. $Ω = [0, 1] ，$ $P = λ 。$ $L (x) = 2 x ，$ $L^{'} (x) = 2 x \cdot 1_{{x 是无理数}} 。$ 它们给出同一个 $Q$ 吗？

点开看答案

给出同一个 $Q 。$ 两者只在有理数上可能不同（ $L^{'}$ 在有理数上是 0），而 $[0, 1]$ 中有理数的全体长度为 0，所以 $P (L \neq = L^{'}) = 0 ，$ 对每个 $A$ 积分都相同。

2. 在证明中，为什么 $g = (L - L^{'}) 1_{A}$ 处处非负？

点开看答案

在 $A = {L > L^{'}}$ 上， $L - L^{'} > 0 ，$ 乘以 $1_{A} = 1$ 仍为正；在 $A$ 外， $1_{A} = 0 ，$ $g = 0 。$ 所以处处 $g \geq 0 。$ 这正是只看「 $L$ 更大」的事件带来的好处。

3. 设 $Ω = {1, 2} ，$ $P = (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}) ，$ $Q = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) 。$ $\frac{d Q}{d P}$ 是否在每一点都唯一？为什么？

点开看答案

每一点都唯一。两点的 $P$ -概率都为正，只有空集是 $P$ -零概率事件，「几乎必然相等」在这里就等于「处处相等」。具体地 $L (1) = \frac{1/2}{1/3} = \frac{3}{2} ，$ $L (2) = \frac{1/2}{2/3} = \frac{3}{4} ，$ 检查 $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
Radon–Nikodym 导数	Radon–Nikodym derivative	Q ≪ P 时存在 L = dQ/dP ≥ 0，使 Q(A) = ∫_A L dP；它是「换测度的密度」。
样本点	sample point	一个完整的结局 ω；每次试验恰好实现一个样本点。
有理数	rational number	能写成分数 p/q 的数，全体有理数记作 ℚ；它们可数，却在数轴上处处稠密。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
从下连续	continuity from below	集合一层层变大（Eₙ ↑ E）时，测度也跟着收敛：μ(Eₙ) → μ(E)。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
几乎处处	almost everywhere (a.e.)	除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
空集	empty set	一个元素也没有的集合，记作 ∅。作为事件，它永远不会发生。