29 绝对连续控制小事件：ℙ 概率小，ℚ 概率也小 · 第3讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

定义 17 只说「 $P (A) = 0 \Rightarrow Q (A) = 0 」。$ 这一页把它加强成「 $P (A)$ 很小 ⇒ $Q (A)$ 也很小」，而且「多小算小」有一个统一的标准 $δ ，$ 对所有事件都管用。证明的办法是把密度 $L$ 截断成「不超过 $M$ 的部分」和「超过 $M$ 的尾巴」分开估计。

上一页第 28 页讲完了密度的唯一性。这一页是定理 18（第 27 页）的第一个推论。
它的直接用途在下一页第 30 页： $P$ 下依概率收敛的随机变量，换到 $Q$ 下仍然依概率收敛。依概率收敛说的正是「误差事件的概率趋于 0」，所以需要「 $P$ 概率小 ⇒ $Q$ 概率小」这种定量的说法。
截断密度是一个很常用的技巧：无界的函数，先切掉一个「很高但很少」的尾巴，剩下的部分就有界了。

先补基础

基础补课ε-δ 语言：先给误差，再找门槛

「对任意 $ε > 0 ，$ 存在 $δ > 0 ，$ 使得对所有 $A ：$ $P (A) < δ \Rightarrow Q (A) < ε 」$ 要按下面的顺序读：

对手先出题：给你一个任意小的正数 $ε$ （希腊字母 epsilon），要求 $Q (A) < ε 。$
你来回答：你要找一个正数 $δ$ （delta），作为「 $P$ 概率的门槛」。
一视同仁：这个 $δ$ 找好之后，对所有事件 $A$ 都得管用——只要 $P (A) < δ ，$ 就必须 $Q (A) < ε 。$

关键是 $δ$ 只能依赖 $ε$ （以及固定的 $P 、$ $Q ），$ 不能依赖 $A$ 。如果允许先看 $A$ 再选 $δ ，$ 这个命题就没有内容了。

基础补课截断：把一个函数按「高度」切成两块

对一个非负函数 $L$ 和一个门槛 $M > 0 ，$ 有恒等式 $L = L 1_{{L \leq M}} + L 1_{{L > M}} .$ 理由：每个 $ω$ 要么 $L (ω) \leq M$ （第一项等于 $L (ω) ，$ 第二项是 0），要么 $L (ω) > M$ （反过来）。
第一块 $L 1_{{L \leq M}}$ 不超过 $M$ ，是有界的；第二块是「高于 $M$ 的尾巴」。
$E_{P} [L 1_{{L > M}}]$ 叫作 $L$ 的尾部期望：只统计 $L$ 很大的那些情形对期望的贡献。

基础补课控制收敛定理（DCT）回顾

控制收敛定理：若 $f_{n} \to f$ 几乎处处，并且存在一个与 $n$ 无关的可积函数 $g$ 使 $∣ f_{n} ∣ \leq g$ 对所有 $n$ 成立，则 $\int f_{n} \to \int f 。$ 「有一个共同的可积上界」就能交换极限和积分；本讲第 19 页的尖峰反例正是因为缺了这个上界才失败。

课件原文逐句精读

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Corollary 19 (Fixed probabilities $Q ≪ P$ )

Proof: truncate the density

中文翻译

推论 19（固定的概率 $Q ≪ P ）$

证明：截断密度

Corollary（推论）：由前面的定理（这里是定理 18）比较直接地推出来的结论。
括号里的 Fixed probabilities：强调 $P 、$ $Q$ 是固定的两个概率，不随任何下标 $n$ 变化。下面找到的 $δ$ 依赖这一对概率；如果 $Q$ 换成一列 $Q_{n} ，$ 就不一定能找到对所有 $n$ 都管用的 $δ$ （见例 3）。这也呼应下一页的标题 under a fixed change of measure。
Proof: truncate the density：证明的方法是「截断密度」，即上面基础补课里的那个切法。
蓝条标题 Absolute continuity controls small-event probabilities：绝对连续控制「小事件」的概率。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

Corollary 19 (Fixed probabilities ℚ ≪ ℙ)｜推论 19（固定的概率 ℚ ≪ ℙ）

推论 19（固定的概率 ℚ ≪ ℙ）

设 $P 、$ $Q$ 是 $(Ω, F)$ 上的概率测度，且 $Q ≪ P 。$ 那么对任意 $ε > 0 ，$ 存在 $δ > 0 ，$ 使得

A \in F, P (A) < δ ⟹ Q (A) < ε .

理解这个结论：

比定义 17 强在哪里：定义 17 只管 $P (A)$ 恰好等于 0 的事件；推论 19 管的是 $P (A)$ 很小但不为 0 的事件，并且给出一个统一的门槛。
反过来也对：如果某一对概率满足「对任意 $ε$ 存在 $δ \dots\dots」，$ 那么 $Q ≪ P 。$ 理由：取 $P (A) = 0$ 的事件，对任何 $ε ，$ 都有 $P (A) = 0 < δ ，$ 所以 $Q (A) < ε ；$ $ε$ 可以任意小，只能 $Q (A) = 0 。$ 所以对概率测度而言，推论 19 的性质和绝对连续是等价的。
序列版本（下一页要用）：若事件列满足 $P (A_{n}) \to 0 ，$ 则 $Q (A_{n}) \to 0 。$ 理由：任给 $ε ，$ 取推论 19 的 $δ ；$ 因为 $P (A_{n}) \to 0 ，$ 存在 $N$ 使 $n \geq N$ 时 $P (A_{n}) < δ ，$ 于是 $Q (A_{n}) < ε 。$

Proof: truncate the density｜证明：截断密度

推导证明思路

由定理 18 写 $Q (A) = E_{P} [L 1_{A}] 。$ 把 $L$ 在高度 $M$ 处截断：不超过 $M$ 的部分贡献至多 $M P (A) ；$ 超过 $M$ 的尾巴贡献至多 $E_{P} [L 1_{{L > M}}] ，$ 与 $A$ 无关，并且 $M$ 大时趋于 0。先选 $M$ 让尾巴小于 $ε /2 ，$ 再选 $δ = ε / (2 M) 。$

设 $L = \frac{d Q}{d P}$ （由定理 18， $L$ 可测、取值在 $[0, \infty) 、$ $E_{P} L = 1 ）。$ 固定 $ε > 0 。$

截断分解：对任意 $M > 0$ 和任意 $A \in F ，$ 由截断恒等式和非负函数积分的可加性（第 38 页）， $Q (A) = E_{P} [L 1_{A}] = E_{P} [L 1_{{L \leq M}} 1_{A}] + E_{P} [L 1_{{L > M}} 1_{A}] .$
估计第一项： $L 1_{{L \leq M}} \leq M ，$ 所以 $L 1_{{L \leq M}} 1_{A} \leq M 1_{A} 。$ 积分的单调性给出 $E_{P} [L 1_{{L \leq M}} 1_{A}] \leq M E_{P} [1_{A}] = M P (A) .$
估计第二项： $1_{A} \leq 1 ，$ 所以 $E_{P} [L 1_{{L > M}} 1_{A}] \leq E_{P} [L 1_{{L > M}}] =: T_{M} .$ 注意 $T_{M}$ 不含 $A$ 。
合起来得到关键不等式：对所有 $M > 0 、$ 所有 $A \in F ，$ $Q (A) \leq M P (A) + T_{M} .$
尾巴趋于 0：让 $M$ 取 $1, 2, 3, \dots 。$
- 逐点：对每个 $ω ，$ $L (ω)$ 是有限数，当 $M \geq L (ω)$ 时 $1_{{L > M}} (ω) = 0 ，$ 所以 $L 1_{{L > M}} (ω) \to 0 。$
- 控制： $0 \leq L 1_{{L > M}} \leq L ，$ 而 $E_{P} L = 1 < \infty ，$ $L$ 是与 $M$ 无关的可积上界。
- 由控制收敛定理（第 44 页）， $T_{M} \to 0$ （ $M \to \infty ）。$
先选 $M$ ：由第 5 步，存在 $M$ 使 $T_{M} < ε /2 。$
再选 $δ$ ：令 $δ = \frac{ε}{2 M} 。$ 若 $P (A) < δ ，$ 则 $M P (A) < M δ = ε /2 ，$ 由第 4 步 $Q (A) \leq M P (A) + T_{M} < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε .$

证毕。选择的顺序是： $ε \to M \to δ ，$ 整个过程没有用到 $A$ ，所以 $δ$ 对所有事件一视同仁。

人话版画一张图想一想

在 $Ω = [0, 1] 、$ $P = λ$ 时， $Q (A) = \int_{A} L d λ$ 就是「曲线 $L$ 下方、横坐标落在 $A$ 里」那块面积。在高度 $M$ 处画一条水平线，把这块面积切成两层：

下层（高度不超过 $M ）：$ 它是一些宽度合计为 $λ (A) 、$ 高度不超过 $M$ 的竖条，面积至多 $M \cdot λ (A) 。$ $A$ 越窄，这一层越小。
上层（水平线以上的「尖顶」）：不管 $A$ 是什么，它都不会超过整条曲线在水平线以上的全部面积 $T_{M} 。$ 水平线抬得越高，这部分越小。

所以要让 $Q (A)$ 小，先把水平线抬高（选 $M ）$ 压住尖顶，再要求 $A$ 足够窄（选 $δ ）$ 压住下层。

第 5 步也可以用单调收敛定理

$L 1_{{L \leq M}}$ 随 $M$ 增大而单调不减，并且逐点趋于 $L$ （理由同第 5 步）。由 MCT（第 36 页）， $E_{P} [L 1_{{L \leq M}}] ↑ E_{P} L = 1 。$ 于是 $T_{M} = 1 - E_{P} [L 1_{{L \leq M}}] \to 0 。$ 这里的减法合法，因为两项都是有限数。

易错点这个证明在哪里用到了「ℚ 是概率」

第 5 步需要 $L$ 可积（ $E_{P} L < \infty ）$ 才能保证尾巴 $T_{M} \to 0 。$ $Q$ 是概率时 $E_{P} L = Q (Ω) = 1 ，$ 自动满足。见下面例 4：总量无穷时，结论真的会失败。

例子

例 1：有界密度，δ 可以直接写出来

$Ω = [0, 1] ，$ $P = λ ，$ $Q$ 的密度 $L (x) = 2 x 。$

$L \leq 2$ 处处成立，取 $M = 2 ，$ 尾巴 $T_{2} = E_{P} [L 1_{{L > 2}}] = 0 。$
关键不等式变成 $Q (A) \leq 2 P (A) 。$ 所以对任意 $ε ，$ 取 $δ = ε /2$ 即可。
例如 $ε = 0.1 ：$ 只要事件的长度小于 $0.05 ，$ 它的 $Q$ -概率就小于 $0.1 。$

例 2：无界密度，必须截断

$Ω = (0, 1] ，$ $P = λ ，$ $Q$ 的密度 $L (x) = \frac{1}{2 x}$ （上一页的自测第 3 题）。它在 0 附近无界，没法像例 1 那样取一个 $M$ 盖住全部。

尾巴： $L (x) > M ⟺ x < \frac{1}{2 M} ⟺ x < \frac{1}{4 M ^{2}} ，$ 所以 $T_{M} = \int_{0}^{1/ (4 M^{2})} \frac{1}{2 x} d x = [x]_{0}^{1/ (4 M^{2})} = \frac{1}{2 M} .$
取 $ε = 0.1$ ：第 6 步要求 $T_{M} < \frac{ε}{2} = 0.05 ，$ 即 $\frac{1}{2 M} < 0.05 ，$ 也就是 $M > 10 。$ 取 $M = 11 ，$ $T_{11} = \frac{1}{22} \approx 0.045 。$ 第 7 步取 $δ = \frac{ε}{2 M} = \frac{0.1}{22} \approx 0.0045 。$
核对：长度为 $t$ 的集合里， $Q$ -概率最大的是放在最左边的 $(0, t)$ （因为 $L$ 在左边最大）， $Q ((0, t)) = t 。$ 当 $t < 0.0045$ 时 $t < 0.068 < 0.1 ，$ 结论成立。
其实 $δ = ε^{2} = 0.01$ 就够了（ $0.01 = 0.1 ）。$ 证明给出的 $δ$ 偏保守，但推论只要求存在一个 $δ 。$

例 3：为什么强调「固定的」概率

$Ω = [0, 1] ，$ $P = λ ，$ 对每个 $n$ 令 $Q_{n}$ 的密度为 $L_{n} = n 1_{[0, 1/ n]}$ （尖峰第 19 页的形状）。

每个 $Q_{n} ≪ P ，$ 所以对每个 $n$ 单独都有一个 $δ_{n} 。$
但取 $ε = \frac{1}{2} 、$ 事件 $A_{n} = [0, \frac{1}{2 n}] ：$ $P (A_{n}) = \frac{1}{2 n} ，$ $Q_{n} (A_{n}) = n \cdot \frac{1}{2 n} = \frac{1}{2} 。$ 所以 $δ_{n}$ 必须 $\leq \frac{1}{2 n} ，$ 随 $n$ 增大趋于 0。
不存在一个对所有 $n$ 都管用的 $δ 。$ 推论 19 只对一对固定的概率成立。

例 4（反例）：总量无穷的测度

$Ω = (0, 1) ，$ $P = λ ，$ 令 $ν (A) = \int_{A} \frac{1}{x} d x 。$ $ν$ 是一个测度，且 $ν ≪ λ$ （长度为 0 的集合上积分为 0），但 $ν$ 不是概率： $ν ((0, 1)) = \infty 。$

对任何 $δ > 0 ，$ $λ ((0, δ)) = δ ，$ 而 $ν ((0, δ)) = \int_{0}^{δ} \frac{d x}{x} = \infty 。$
所以对 $ε = 1$ 找不到任何 $δ ，$ 推论 19 的结论失败。
失败的原因：密度 $\frac{1}{x}$ 不可积，尾巴 $T_{M} = \int_{{1/ x > M}} \frac{1}{x} d x = \int_{0}^{1/ M} \frac{d x}{x} = \infty ，$ 第 5 步不成立。

常见疑问与易错点

易错点问：为什么不直接取 M = L 的最大值？

答： $L$ 可能没有最大值（例 2 中 $L$ 在 0 附近趋于无穷）。截断的妙处在于：不需要 $L$ 有界，只需要「 $L$ 很大的部分对期望的贡献很小」，而这由 $L$ 可积加控制收敛定理保证。

易错点问：为什么要把 ε 分成两个 ε/2？

答： $Q (A)$ 的上界由两块组成： $M P (A)$ 和 $T_{M} 。$ 让每块都小于 $\frac{ε}{2} ，$ 加起来就小于 $ε 。$ 这是分析里最常见的「分两半」技巧，换成 $\frac{ε}{3} + \frac{2 ε}{3}$ 也完全可以。

易错点问：如果允许 δ 随事件 A 改变，会怎样？

答：那命题就变成空话了。对单个事件 $A ，$ 如果 $Q (A) \geq ε ，$ 由绝对连续可知 $P (A) > 0 ，$ 取 $δ = P (A)$ 时条件「 $P (A) < δ 」$ 根本不成立，命题自动为真；如果 $Q (A) < ε ，$ 结论本来就成立。所以「对每个 $A$ 各选一个 $δ 」$ 什么都没说。推论 19 的价值在于一个 $δ$ 管住所有事件，下一页正是靠这一点处理一整列误差事件 $A_{n} 。$

易错点问：把 ℙ 和 ℚ 对调，结论还成立吗？

答：只有在 $P ≪ Q$ 也成立时才行。第 26 页例 4 中 $Q$ 是 $[0, \frac{1}{2}]$ 上的均匀分布：事件 $(\frac{1}{2}, 1]$ 的 $Q$ -概率是 0， $P$ -概率却是 $\frac{1}{2} ，$ 所以「 $Q$ 概率小 ⇒ $P$ 概率小」不成立。

小结与自测

小结本页小结

推论 19： $Q ≪ P$ ⇒ 对任意 $ε > 0$ 存在 $δ > 0 ，$ 使 $P (A) < δ$ 蕴含 $Q (A) < ε ；$ $δ$ 与 $A$ 无关。
关键不等式： $Q (A) \leq M P (A) + E_{P} [L 1_{{L > M}}] ；$ 尾巴项由控制收敛定理（或 MCT）趋于 0。
选择顺序： $ε \to M \to δ = ε / (2 M) 。$
对概率测度，这个 ε-δ 性质和绝对连续等价；序列版本是「 $P (A_{n}) \to 0 \Rightarrow Q (A_{n}) \to 0 」。$
「固定」很重要：一列 $Q_{n}$ 不一定有共同的 $δ ；$ 总量无穷的测度也会失败。

自测

1. $Ω = [0, 1] ，$ $P = λ ，$ $Q$ 的密度 $L (x) = 3 x^{2} 。$ 对 $ε = 0.3$ 给出一个可行的 $δ 。$

点开看答案

$L \leq 3 ，$ 所以 $Q (A) = \int_{A} 3 x^{2} d x \leq 3 λ (A) 。$ 取 $δ = 0.1 ：$ $λ (A) < 0.1$ 时 $Q (A) < 0.3 。$

2. 用推论 19 证明：若 $Q ≪ P$ 且 $P (A_{n}) \to 0 ，$ 则 $Q (A_{n}) \to 0 。$

点开看答案

任给 $ε > 0 ，$ 由推论 19 取 $δ 。$ 因为 $P (A_{n}) \to 0 ，$ 存在 $N ，$ 使 $n \geq N$ 时 $P (A_{n}) < δ ，$ 从而 $Q (A_{n}) < ε 。$ $ε$ 任意，所以 $Q (A_{n}) \to 0 。$

3. 在例 2 中，如果要求 $ε = 0.02 ，$ 按证明的做法应该怎样选 $M$ 和 $δ ？$

点开看答案

需要 $T_{M} = \frac{1}{2 M} < \frac{ε}{2} = 0.01 ，$ 即 $M > 50 ，$ 取 $M = 51 。$ 再取 $δ = \frac{ε}{2 M} = \frac{0.02}{102} \approx 0.000196 。$ （直接计算可知 $δ = ε^{2} = 0.0004$ 也行，证明给的更保守。）

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
依概率收敛	convergence in probability	对每个 ε > 0，P(\|Xₙ − X\| > ε) → 0；比几乎必然收敛弱。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
几乎处处	almost everywhere (a.e.)	除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
绝对连续	absolute continuity	函数版：小区间总长很小时增量总和也很小；测度版：Q ≪ P，P 为零的事件 Q 也为零。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
单调递增	nondecreasing	后一项不小于前一项；单调有界的数列一定有极限。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。