25 概率误差的精确计算：L¹ 误差是 2/(n+1)，最大事件误差是 1/(n+1) · 第3讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

在 $(0, 1)$ 上，把均匀密度 $f = 1$ 换成「高度 $1 + \frac{1}{n} 、$ 只铺在 $(0, a_{n})$ 上」的密度 $f_{n} ，$ $a_{n} = \frac{n}{n + 1} 。$ 面积仍是 1，并且 $f_{n} \to f$ 逐点成立。精确计算得到： $\int ∣ f_{n} - f ∣ = \frac{2}{n + 1} ，$ 所有事件中概率误差最大的是 $(0, a_{n})$ （以及它的补集），最大误差恰好是 $\frac{1}{n + 1} 。$

这是第 3 部分「期望与密度的收敛」的最后一页，一个能把每个数都算出来的例子，用来检验前三页的结论：

第 22 页–第 23 页：Scheffé 引理说密度逐点收敛 ⇒ $\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0 ；$
第 24 页：最大事件误差 $= \frac{1}{2} \int ∣ f_{n} - f ∣ ，$ 在 ${f_{n} > f}$ 上取到，正部面积 = 负部面积。

本页把这些量全部精确算出，看它们怎样对上。下一页第 26 页开始第 4 部分：前面的密度都是题目给的，那里要问「密度从哪里来」。

先补基础

基础补课常数乘示性函数的积分

$c 1_{(0, a)}$ 在 $(0, a)$ 上取值 $c ，$ 其余取 0。它的积分是「高 × 宽」： $\int c 1_{(0, a)} d λ = c \cdot λ ((0, a)) = c a$ （第 30 页简单函数的积分）。
例： $\int 2 1_{(0, 1/2)} d λ = 2 \times \frac{1}{2} = 1 。$

基础补课(0,1) 上的均匀分布，以及 fₙ 是谁的密度

概率空间 $((0, 1), B ((0, 1)), λ) ：$ 在 $(0, 1)$ 里均匀地取一个点，事件的概率就是长度。均匀分布的密度是 $f = 1 ：$ $P (A) = \int_{A} 1 d λ = λ (A) 。$
$(0, a)$ 上的均匀分布，密度是 $\frac{1}{a} 1_{(0, a)}$ （高度要等于宽度的倒数，面积才是 1）。
本页的 $f_{n}$ 正是这样： $1 + \frac{1}{n} = \frac{n + 1}{n} = \frac{1}{a _{n}} 。$ 所以 $f_{n}$ 是 $(0, a_{n})$ 上均匀分布的密度， $P_{n}$ 就是「在 $(0, \frac{n}{n + 1})$ 里均匀取点」。 $a_{n}$ 越来越接近 1， $P_{n}$ 也越来越接近 $(0, 1)$ 上的均匀分布。

基础补课上一页的公式（回顾）

对两个密度 $f_{n} 、$ $f ，$ 记 $P_{n} (A) = \int_{A} f_{n} ，$ $P (A) = \int_{A} f 。$ 则（第 24 页）

\int (f_{n} - f)^{+} = \int (f_{n} - f)^{-} = \frac{1}{2} \int ∣ f_{n} - f ∣, A sup P_{n} (A) - P (A) = \frac{1}{2} \int ∣ f_{n} - f ∣,

上确界在 $A = {f_{n} > f}$ 上取到。

课件原文逐句精读

课件原文An exact calculation of the probability error

On $((0, 1), B ((0, 1)), λ)$ , set $f = 1$ and $f_{n} = (1 + 1/ n) 1_{(0, a_{n})}$ , where $a_{n} = n / (n + 1)$ .

Normalization and pointwise convergence

The absolute error

中文翻译

（标题：概率误差的精确计算）

在 $((0, 1), B ((0, 1)), λ)$ 上，令 $f = 1 ，$ $f_{n} = (1 + 1/ n) 1_{(0, a_{n})} ，$ 其中 $a_{n} = n / (n + 1) 。$

归一化与逐点收敛

绝对误差

逐个符号看：

$((0, 1), B ((0, 1)), λ)$ ：测度空间是开区间 $(0, 1) 、$ 它的博雷尔集、长度测度。这是第 24 页一般设定 $(S, M, μ)$ 的一个具体实例。
$f = 1$ ：极限密度，均匀分布。
$f_{n} = (1 + 1/ n) 1_{(0, a_{n})}$ ：在 $(0, a_{n})$ 上取 $1 + \frac{1}{n} ，$ 在 $[a_{n}, 1)$ 上取 0。和 $f$ 相比：左边一大段抬高了 $\frac{1}{n} ，$ 右边一小段挖空了。
$a_{n} = n / (n + 1)$ ： $a_{1} = \frac{1}{2} ，$ $a_{2} = \frac{2}{3} ，$ $a_{9} = \frac{9}{10} ，$ 逐渐增大趋于 1。也可以写成 $a_{n} = 1 - \frac{1}{n + 1} 。$
Normalization and pointwise convergence：normalization（归一化）指验证 $\int f_{n} = 1 ，$ 即 $f_{n}$ 确实是密度；pointwise convergence（逐点收敛）指验证 $f_{n} (x) \to f (x) 。$ 这两条正是第 24 页设定里的两个条件。
The absolute error：绝对误差 $\int ∣ f_{n} - f ∣ d λ ，$ 以及它给出的事件概率误差。
标题里的 exact（精确）：不是只证明「趋于 0」，而是把误差的确切数值算出来。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

Normalization and pointwise convergence｜归一化与逐点收敛

例子归一化：fₙ 是概率密度

非负： $f_{n}$ 只取 $1 + \frac{1}{n}$ 和 $0$ 两个值，都 $\geq 0 。$
积分为 1：高 × 宽，

\int_{(0, 1)} f_{n} d λ = (1 + \frac{1}{n}) \cdot λ ((0, a_{n})) = \frac{n + 1}{n} \cdot \frac{n}{n + 1} = 1.

$f$ 也是密度： $\int_{(0, 1)} 1 d λ = 1 。$

$a_{n}$ 的选法正是为了这一点：高度是 $\frac{n + 1}{n} ，$ 宽度就必须是它的倒数 $\frac{n}{n + 1} ，$ 面积才等于 1。抬高的那部分面积，恰好由挖空右端那一小段来补偿。

例子逐点收敛：fₙ(x) → 1 对每个 x ∈ (0,1)

固定 $x \in (0, 1) 。$

什么时候 $x$ 落在 $(0, a_{n})$ 里： $x < a_{n} ⟺ x < \frac{n}{n + 1} ⟺ x (n + 1) < n ⟺ x < n (1 - x) ⟺ n > \frac{x}{1 - x}$ （最后一步两边除以正数 $1 - x ）。$
此后的值：当 $n > \frac{x}{1 - x}$ 时， $f_{n} (x) = 1 + \frac{1}{n} 。$
取极限： $1 + \frac{1}{n} \to 1 = f (x) 。$

所以 $f_{n} \to f$ 在 $(0, 1)$ 的每一点成立（比「几乎处处」还好）。

数值： $x = 0.9$ 时 $\frac{x}{1 - x} = 9 。$ $n \leq 9$ 时 $a_{n} \leq 0.9 ，$ 点 $0.9$ 不在开区间 $(0, a_{n})$ 里， $f_{n} (0.9) = 0 ；$ $n = 10$ 起 $f_{n} (0.9) = 1 + \frac{1}{n} ，$ 依次是 $1.1, 1.0909, 1.0833, \dots \to 1 。$ 越靠近 1 的点，要等越久才开始收敛。

收敛不是一致的：对每个 $n ，$ 在 $[a_{n}, 1)$ 上 $∣ f_{n} - f ∣ = ∣0 - 1∣ = 1 ，$ 所以 $sup_{x} ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ = 1 ，$ 不趋于 0。
但 Scheffé 引理适用： $f_{n} 、$ $f$ 是密度， $f_{n} \to f$ 逐点成立，由第 24 页（Scheffé gives convergence in $L^{1} ），$ $\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0 。$ 下一小节把它精确算出来。

The absolute error｜绝对误差

例子绝对误差 ∫|fₙ − f| 的精确值

第 1 步：逐点的误差。

∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ = ⎩ ⎨ ⎧ (1 + \frac{1}{n}) - 1 = \frac{1}{n}, ∣0 - 1∣ = 1, 0 < x < a_{n} (抬高的部分), a_{n} \leq x < 1 (挖空的部分) .

第 2 步：分段积分。

\int_{(0, 1)} ∣ f_{n} - f ∣ d λ = \frac{1}{n} \cdot a_{n} + 1 \cdot (1 - a_{n}) = \frac{1}{n} \cdot \frac{n}{n + 1} + \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 1} = \frac{2}{n + 1} \to 0.

其中 $1 - a_{n} = 1 - \frac{n}{n + 1} = \frac{1}{n + 1} 。$

第 3 步：核对正部 = 负部。 $(f_{n} - f)^{+}$ 是抬高的部分，面积 $\frac{1}{n} \cdot a_{n} = \frac{1}{n + 1} ；$ $(f_{n} - f)^{-}$ 是挖空的部分，面积 $1 \cdot (1 - a_{n}) = \frac{1}{n + 1} 。$ 两者相等，各为 $\frac{2}{n + 1}$ 的一半，和第 24 页的结论 1 一致。

例子最大的事件概率误差：1/(n+1)

第 1 步：任一事件的误差公式。 对博雷尔集 $A \subseteq (0, 1) ，$ 把 $A$ 分成落在 $(0, a_{n})$ 里的部分和落在 $[a_{n}, 1)$ 里的部分：

P_{n} (A) - P (A) = \int_{A} (f_{n} - f) d λ = \frac{1}{n} λ (A \cap (0, a_{n})) - λ (A \cap [a_{n}, 1)) .

第 2 步：上界。 第一项至多 $\frac{1}{n} \cdot a_{n} = \frac{1}{n + 1} ，$ 第二项至少是 0，所以 $P_{n} (A) - P (A) \leq \frac{1}{n + 1} 。$ 反过来，第一项至少是 0，第二项至多 $λ ([a_{n}, 1)) = 1 - a_{n} ，$ 所以 $P_{n} (A) - P (A) \geq 0 - (1 - a_{n}) = - \frac{1}{n + 1} 。$ 故

P_{n} (A) - P (A) \leq \frac{1}{n + 1} 对每个事件 A .

第 3 步：在哪个事件上取到。

$A_{n} = (0, a_{n}) = {f_{n} > f} ：$ $P_{n} (A_{n}) = 1$ （ $P_{n}$ 的全部质量都在这里）， $P (A_{n}) = a_{n} ，$ 差 $1 - a_{n} = \frac{1}{n + 1} 。$
它的补集 $[a_{n}, 1) = {f_{n} < f} ：$ $P_{n} = 0 ，$ $P = \frac{1}{n + 1} ，$ 差 $- \frac{1}{n + 1} ，$ 绝对值相同。

所以 $sup_{A} ∣ P_{n} (A) - P (A) ∣ = \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{n + 1} ，$ 恰好是绝对误差的一半，与第 24 页一致。

读法：从 $P_{n}$ 抽出来的点永远不会超过 $a_{n} ，$ 而从 $P$ 抽出来的点以概率 $\frac{1}{n + 1}$ 超过 $a_{n} 。$ 「抽到的点 $\geq a_{n} 」$ 是最能区分两个分布的事件。

数值表（ $n = 1, 4, 9 ，$ 再加一个 $n = 99$ 看趋势）：

$n$	$a_{n}$	高度 $1 + \frac{1}{n}$	绝对误差 $\frac{2}{n + 1}$	最大事件误差 $\frac{1}{n + 1}$	取到最大误差的事件
1	$\frac{1}{2}$	2	1	$\frac{1}{2}$	$(0, \frac{1}{2})$ 或 $[\frac{1}{2}, 1)$
4	$\frac{4}{5}$	$\frac{5}{4}$	$\frac{2}{5} = 0.4$	$\frac{1}{5} = 0.2$	$(0, \frac{4}{5})$ 或 $[\frac{4}{5}, 1)$
9	$\frac{9}{10}$	$\frac{10}{9}$	$\frac{1}{5} = 0.2$	$\frac{1}{10} = 0.1$	$(0, \frac{9}{10})$ 或 $[\frac{9}{10}, 1)$
99	$0.99$	$1.0101$	$0.02$	$0.01$	$(0, 0.99)$ 或 $[0.99, 1)$

$n = 1$ 时 $f_{1} = 2 1_{(0, 1/2)} ，$ 和 $f = 1$ 在 $[\frac{1}{2}, 1)$ 上完全不重叠，最大误差达到 $\frac{1}{2} 。$ 随着 $n$ 增大，误差按 $\frac{1}{n + 1}$ 的速度下降。

例子

例 1：n = 4 时几个具体事件的误差

$f_{4} = \frac{5}{4} 1_{(0, 4/5)} ，$ 最大误差上界 $\frac{1}{5} = 0.2 。$ 用第 1 步的公式 $P_{4} (A) - P (A) = \frac{1}{4} λ (A \cap (0, 0.8)) - λ (A \cap [0.8, 1)) ：$

事件 $A$	$P_{4} (A)$	$P (A)$	差 $P_{4} (A) - P (A)$
$(0, 0.5)$	$\frac{5}{4} \times 0.5 = 0.625$	0.5	$+ 0.125$
$(0.5, 1)$	$\frac{5}{4} \times 0.3 = 0.375$	0.5	$- 0.125$
$(0.7, 1)$	$\frac{5}{4} \times 0.1 = 0.125$	0.3	$- 0.175$
$(0, 0.8)$	1	0.8	$+ 0.2$
$[0.8, 1)$	0	0.2	$- 0.2$

所有误差都不超过 $0.2 ，$ 只有 $(0, 0.8)$ 和它的补集达到 $0.2 。$ 像 $(0.7, 1)$ 这样同时包含「抬高」和「挖空」两段的事件，两种误差部分抵消。

例 2：用随机变量来实现这两个分布

设 $U$ 服从 $(0, 1)$ 上的均匀分布，令 $X = U ，$ $X_{n} = a_{n} U 。$

$X_{n}$ 服从 $(0, a_{n})$ 上的均匀分布：对 $0 < t < a_{n} ，$ $P (X_{n} \leq t) = P (U \leq \frac{t}{a _{n}}) = \frac{t}{a _{n}} ，$ 正是密度 $\frac{1}{a _{n}} = 1 + \frac{1}{n}$ 积出来的分布函数。
两者非常接近： $∣ X_{n} - X ∣ = (1 - a_{n}) U \leq \frac{1}{n + 1}$ 对每个样本点成立。
事件 ${X \geq a_{n}}$ 的概率是 $\frac{1}{n + 1} ，$ 而 ${X_{n} \geq a_{n}}$ 是不可能事件。这正是取到最大误差的事件。

例 3（反例）：随机变量逐点收敛，总变差却不趋于 0

仍取 $U$ 为均匀分布，令 $Y_{n} = ⌊ n U ⌋ / n$ （把 $U$ 向下取到 $\frac{1}{n}$ 的整数倍）。

$∣ Y_{n} - U ∣ \leq \frac{1}{n}$ 对每个样本点成立，收敛得和例 2 一样好。
但 $Y_{n}$ 只取有理数，所以 $P (Y_{n} \in Q) = 1 ，$ 而 $P (U \in Q) = 0$ （有理数可数，长度为 0）。事件「取值是有理数」上的概率差是 1，总变差距离恒为 1。
原因： $Y_{n}$ 的分布是离散的，对 $λ$ 没有密度，Scheffé 引理的设定根本不成立。本页的结论依赖于「 $f_{n}$ 是对同一个 $μ$ 的密度，并且逐点收敛」，而不是「随机变量逐点收敛」。

推导：一步一步来

误差的两个来源一样大。 绝对误差 $\frac{2}{n + 1}$ 由两块组成：

高度误差：在长度 $a_{n}$ 的区间上每点高了 $\frac{1}{n} ，$ 面积 $\frac{a _{n}}{n} = \frac{1}{n + 1} ；$
缺失质量：在长度 $1 - a_{n}$ 的区间上完全没有质量，面积 $\frac{1}{n + 1} 。$

两块相等不是巧合，而是两个密度都归一化的直接后果（正部 = 负部）。如果只把高度抬高、不挖空右端，总面积就会超过 1， $f_{n}$ 不再是密度。

为什么误差是 $\frac{1}{n + 1}$ 量级。 $∣ f_{n} - f ∣$ 在大部分地方是 $\frac{1}{n}$ （小），在一小段上是 1（大），但那一小段的长度是 $\frac{1}{n + 1} 。$ 两者都随 $n$ 以 $\frac{1}{n}$ 的速度缩小。对照逐点收敛： $sup_{x} ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ = 1$ 始终不变。 $L^{1}$ 误差看的是面积，不是最大高度差，所以「最坏的点」的误差不缩小，不妨碍面积缩小。

用重叠面积再算一次。 $min (f_{n}, f) = 1$ 在 $(0, a_{n})$ 上， $= 0$ 在 $[a_{n}, 1)$ 上，重叠面积 $a_{n} 。$ 由第 23 页、第 24 页： $\int ∣ f_{n} - f ∣ = 2 (1 - a_{n}) = \frac{2}{n + 1} ，$ 总变差 $= 1 - a_{n} = \frac{1}{n + 1} 。$ 三种算法结果一致。

常见疑问与易错点

易错点问：sup ₓ |fₙ(x) − f(x)| 始终是 1，为什么还说 fₙ 收敛到 f？

答：这里有三种不同的「收敛」。一致收敛（最大高度差趋于 0）不成立；逐点收敛（每个固定的 $x$ 上收敛）成立； $L^{1}$ 收敛（面积误差趋于 0）也成立。Scheffé 引理只需要逐点收敛，就能推出 $L^{1}$ 收敛。高度差为 1 的区域长度只有 $\frac{1}{n + 1} ，$ 对面积、对概率的影响都越来越小。

易错点问：靠近 1 的点收敛得很慢，会不会影响结论？

答：不会。 $x = 0.99$ 要到 $n \geq 100$ 才开始有 $f_{n} (x) = 1 + \frac{1}{n} ，$ 越靠近 1 越慢，但每个固定的点最终都会收敛，这就是逐点收敛。Scheffé 引理不要求各点收敛得一样快。

易错点问：最大误差在 (0, aₙ) 上取到，还是在 [aₙ, 1) 上取到？

答：两个都是。 $P_{n} (A) - P (A)$ 在 $(0, a_{n})$ 上等于 $+ \frac{1}{n + 1} ，$ 在 $[a_{n}, 1)$ 上等于 $- \frac{1}{n + 1} 。$ 总变差取的是绝对值的上确界，两者一样大。一般地，若 $A$ 取到最大误差，它的补集 $A^{c}$ 也取到： $P_{n} (A^{c}) - P (A^{c}) = (1 - P_{n} (A)) - (1 - P (A)) = - (P_{n} (A) - P (A)) 。$

易错点问：随机变量很接近，分布就一定在总变差意义下很接近吗？

答：不一定（例 3）。总变差比较的是每个事件的概率，包括「取值是有理数」这种很「细」的事件。离散分布和连续分布无论多接近，总有这样的事件把它们区分开。只有两者都有对同一个 $μ$ 的密度、并且密度逐点收敛时，Scheffé 引理才保证总变差趋于 0。

小结与自测

小结本页小结

设定： $f = 1 ，$ $f_{n} = (1 + \frac{1}{n}) 1_{(0, a_{n})} ，$ $a_{n} = \frac{n}{n + 1} ；$ $f_{n}$ 是 $(0, a_{n})$ 上均匀分布的密度。
归一化： $\int f_{n} = \frac{n + 1}{n} \cdot \frac{n}{n + 1} = 1 ；$ 逐点收敛： $n > \frac{x}{1 - x}$ 后 $f_{n} (x) = 1 + \frac{1}{n} \to 1$ （不一致）。
绝对误差： $\int ∣ f_{n} - f ∣ = \frac{a _{n}}{n} + (1 - a_{n}) = \frac{2}{n + 1} ，$ 正部、负部各 $\frac{1}{n + 1} 。$
最大事件误差 $\frac{1}{n + 1} ，$ 在 $(0, a_{n}) = {f_{n} > f}$ 和它的补集上取到； $n = 1, 4, 9$ 时分别是 $\frac{1}{2} 、$ $\frac{1}{5} 、$ $\frac{1}{10} 。$

自测

1. 取 $n = 19 。$ 求 $a_{19} 、$ 绝对误差和最大事件误差，并写出一个取到最大误差的事件。

点开看答案

$a_{19} = \frac{19}{20} = 0.95 。$ 绝对误差 $\frac{2}{20} = 0.1 ，$ 最大事件误差 $\frac{1}{20} = 0.05 ，$ 在 $(0, 0.95)$ 上取到： $P_{19} ((0, 0.95)) = 1 ，$ $P ((0, 0.95)) = 0.95 。$

2. 要让每个事件的概率误差都不超过 $0.001 ，$ $n$ 至少要多大？

点开看答案

最大事件误差是 $\frac{1}{n + 1} ，$ 要求 $\frac{1}{n + 1} \leq 0.001 ，$ 即 $n + 1 \geq 1000 ，$ $n \geq 999 。$

3. 取 $n = 9 ，$ 计算事件 $A = (0.5, 1)$ 上的误差 $P_{9} (A) - P (A) ，$ 并检查它不超过最大误差。

点开看答案

$A \cap (0, 0.9) = (0.5, 0.9) ，$ 长度 0.4； $A \cap [0.9, 1)$ 长度 0.1。由公式 $P_{9} (A) - P (A) = \frac{1}{9} \times 0.4 - 0.1 = \frac{0.4 - 0.9}{9} = - \frac{0.5}{9} \approx - 0.056 。$ 绝对值 $0.056 < 0.1 。$ 直接验证： $P_{9} (A) = \frac{10}{9} \times 0.4 = \frac{4}{9} \approx 0.444 ，$ $P (A) = 0.5 ，$ 差约 $- 0.056 。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
补集	complement	样本空间里不属于 A 的元素全体，记作 Aᶜ，对应「A 不发生」。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
Scheffé 引理	Scheffé's lemma	非负可积的 fₙ → f 几乎处处，且 ∫fₙ → ∫f < ∞，则 ∫\|fₙ − f\| → 0。概率密度逐点收敛，分布就在全变差意义下收敛。
逐点收敛	pointwise convergence	对定义域里的每一个点 x，数列 fₙ(x) 都收敛到 f(x)；这样得到的函数 f 叫逐点极限。
正部	positive / negative part	f⁺ = max(f, 0)，f⁻ = max(−f, 0)，f = f⁺ − f⁻，\|f\| = f⁺ + f⁻。
简单函数	simple function	只取有限个值的可测函数，是若干示性函数的线性组合，图像像台阶。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
上确界	supremum (sup)	最小的上界。最大值不一定存在，但有上界的实数集一定有上确界。
测度空间	measure space	三元组 (S, 𝓜, μ)：空间、σ-代数、测度。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
博雷尔 σ-代数	Borel sigma-algebra	由实数轴上所有开区间生成的 σ-代数 𝓑(ℝ)，包含所有常见的集合。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
几乎处处	almost everywhere (a.e.)	除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。
部分和	partial sum	级数 a₁ + a₂ + … 的前 n 项之和 Sₙ = a₁ + … + aₙ；级数的值就是 Sₙ 在 n → ∞ 时的极限。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
累积分布函数	cumulative distribution function (CDF)	F(x) = P(X ≤ x)，单调不减、右连续，完全决定分布。
样本点	sample point	一个完整的结局 ω；每次试验恰好实现一个样本点。
有理数	rational number	能写成分数 p/q 的数，全体有理数记作 ℚ；它们可数，却在数轴上处处稠密。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
一致收敛	uniform convergence	所有点上的最大差距 supₓ \|fₙ(x) − f(x)\| → 0。比逐点收敛强：不允许某些点收敛得特别慢。