30 固定换测度下的收敛：ℙ 下收敛，ℚ 下也收敛 · 第3讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

如果 $Q ≪ P ，$ 那么「在 $P$ 下依概率收敛」自动推出「在 $Q$ 下依概率收敛」，「 $P$ -几乎必然收敛」自动推出「 $Q$ -几乎必然收敛」。原因很简单：收敛失败的事件在 $P$ 下概率很小（或为 0），绝对连续保证它在 $Q$ 下概率也很小（或为 0）。

这是第 4 部分里把「换测度」和第 2 部分「随机变量的收敛」接起来的一页。
上一页第 29 页的推论 19 说「 $P$ 概率小 ⇒ $Q$ 概率小」。依概率收敛说的恰好是「误差事件的概率趋于 0」，把推论 19 套上去就得到本页的结论。
这一页也会说明哪些东西不能转移：绝对连续不成立时收敛会失败；即使绝对连续，期望的收敛也不会自动转移。
后面第 5 部分用 $Q$ 抽样、再换回 $P$ 时，这一页保证「样本均值收敛」这类结论在两个概率之间来回搬运是安全的。

先补基础

基础补课两种收敛回顾

设 $X_{n} 、$ $X$ 是 $(Ω, F)$ 上的实值随机变量。

依概率收敛（第 14 页的定义 10）：对每个 $ε > 0 ，$ $P (∣ X_{n} - X ∣ > ε) \to 0$ （ $n \to \infty ）。$ 意思是「误差超过 $ε 」$ 这个坏事件的概率越来越小。
几乎必然收敛（第 9 页的定义 6）： $P ({ω : X_{n} (ω) \to X (ω)}) = 1 。$ 意思是除了一个零概率事件外，每条「路径」上的数列都收敛。
在本部分，两个概率同时出现，所以要说清楚「在哪个概率下」：「 $P$ 下依概率收敛」「 $Q$ -几乎必然收敛」等等。

基础补课「不收敛」这件事是一个事件

令 $N = {ω : X_{n} (ω) 不收敛到 X (ω)} 。$ 它可以写成

N = k \geq 1 ⋃ m \geq 1 ⋂ n \geq m ⋃ {∣ X_{n} - X ∣ > \frac{1}{k}},

读法：「存在某个 $k ，$ 使得误差大于 $\frac{1}{k}$ 的情形发生了无穷多次」（「无穷多次」就是 $⋂_{m} ⋃_{n \geq m} ，$ 见第 3 页）。右边由可数次并、交构成，每一块都是事件，所以 $N \in F ，$ 可以谈它的概率。

课件原文逐句精读

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Convergence in probability

中文翻译

依概率收敛

课件只印了一个小标题，下面的命题与证明都是板书，下一节补出。
蓝条标题 Convergence under a fixed change of measure：「在一个固定的换测度下的收敛」。固定的意思是：只有一个 $Q ，$ 它不随 $n$ 变化。如果每个 $n$ 用不同的 $Q_{n} ，$ 结论可以失败（见例 4）。
所谓「换测度」（change of measure）：随机变量 $X_{n} 、$ $X$ 作为 $Ω$ 上的函数完全不变，变的只是「用哪个概率去衡量事件」。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

Convergence in probability｜依概率收敛

命题（固定换测度下的收敛）

设 $P 、$ $Q$ 是 $(Ω, F)$ 上的概率测度， $Q ≪ P ；$ $X_{n} 、$ $X$ 是实值随机变量。

若 $X_{n} \to X$ 在 $P$ 下依概率收敛，则 $X_{n} \to X$ 在 $Q$ 下依概率收敛。
若 $X_{n} \to X$ $P$ -几乎必然，则 $X_{n} \to X$ $Q$ -几乎必然。

推导证明思路

第 1 条：固定误差门槛 $ε ，$ 误差事件 $A_{n} = {∣ X_{n} - X ∣ > ε}$ 满足 $P (A_{n}) \to 0 ，$ 由推论 19 的序列版本得 $Q (A_{n}) \to 0 。$ 第 2 条：不收敛事件 $N$ 满足 $P (N) = 0 ，$ 由绝对连续的定义得 $Q (N) = 0 。$

第 1 条的证明，一步一步来：

固定 $ε > 0 ，$ 令误差事件 $A_{n} = {∣ X_{n} - X ∣ > ε} 。$ 它是事件，因为 $X_{n} - X$ 可测。
由假设（ $P$ 下依概率收敛）， $P (A_{n}) \to 0 。$
要证 $Q (A_{n}) \to 0 。$ 任给 $η > 0$ （这是我们希望 $Q (A_{n})$ 小于的目标）。由推论 19（第 29 页），存在 $δ > 0 ，$ 使得任何事件 $A$ 只要 $P (A) < δ$ 就有 $Q (A) < η 。$
由第 2 步，存在 $N_{0} ，$ 使得 $n \geq N_{0}$ 时 $P (A_{n}) < δ 。$
于是 $n \geq N_{0}$ 时 $Q (A_{n}) < η 。$ 因为 $η > 0$ 是任意的，这就是 $Q (A_{n}) \to 0 。$
$ε > 0$ 也是任意的，所以 $X_{n} \to X$ 在 $Q$ 下依概率收敛。

注意第 3 步用的是同一个 $δ$ 管住所有的 $A_{n}$ ——这正是推论 19 里「 $δ$ 与事件无关」的用处。

第 2 条的证明：

令 $N = {X_{n} 不收敛到 X} 。$ 由「先补基础」， $N \in F 。$
由假设， $P (N) = 0 。$
由绝对连续的定义（第 26 页定义 17）， $Q (N) = 0 ，$ 也就是 $Q (X_{n} \to X) = 1 。$

第 2 条只用到了定义 17，连 Radon–Nikodym 定理都不需要。

人话版：同一批「轨道」，换一副眼镜看

把每个 $ω$ 想成一条轨道，轨道上写着一串数 $X_{1} (ω), X_{2} (ω), \dots 。$ 这些轨道是固定的，换测度不会改动任何一条。 $P$ 和 $Q$ 只是两副不同的眼镜：它们对「命运会挑中哪条轨道」给出不同的可能性。

「 $P$ -几乎必然收敛」：不收敛的那些坏轨道，在 $P$ 眼里合起来可能性为 0。
「 $Q ≪ P 」：$ $P$ 眼里可能性为 0 的轨道， $Q$ 也认为可能性为 0。
所以坏轨道在 $Q$ 眼里可能性也为 0——这就是第 2 条。第 1 条背后是同一个想法，只是把「可能性为 0」换成「可能性很小」，于是需要推论 19 这种定量版本。

第 1 条的另一个证明：用子列判别法（选读）

本讲第 16 页的子列判别法说： $X_{n} \to X$ 依概率收敛，当且仅当 $(X_{n})$ 的每个子列都有一个更小的子列几乎必然收敛到 $X 。$

设 $X_{n} \to X$ 在 $P$ 下依概率收敛。任取一个子列 $(X_{n_{k}}) ，$ 由判别法（在 $P$ 下）它有子列 $(X_{n_{k_{j}}})$ 满足 $P$ -几乎必然收敛；由本页第 2 条，它也 $Q$ -几乎必然收敛。于是每个子列都有 $Q$ -几乎必然收敛的子列，再由判别法（在 $Q$ 下）得 $X_{n} \to X$ 在 $Q$ 下依概率收敛。这个证明完全不用密度 $L 。$

什么不会自动转移

收敛速度会变： $Q (A_{n})$ 仍趋于 0，但可能比 $P (A_{n})$ 快，也可能慢（例 1）。
期望的收敛不会转移： $E_{P} ∣ X_{n} - X ∣ \to 0$ 推不出 $E_{Q} ∣ X_{n} - X ∣ \to 0$ （例 3）。原因是 $E_{Q} ∣ X_{n} - X ∣ = E_{P} [∣ X_{n} - X ∣ L]$ （第 32 页），权重 $L$ 可能恰好在 $∣ X_{n} - X ∣$ 很大的地方也很大。
反方向不成立： $Q$ 下收敛推不出 $P$ 下收敛，除非 $P ≪ Q$ 也成立。两个方向都成立（相互绝对连续，第 35 页）时，两种收敛在 $P 、$ $Q$ 下完全等价。

例子

例 1：收敛保住了，速度变了

$Ω = [0, 1] ，$ $P = λ ，$ $X_{n} = 1_{[0, 1/ n]} ，$ $X = 0 。$ 对 $0 < ε < 1 ，$ 误差事件是 $A_{n} = {X_{n} > ε} = [0, \frac{1}{n}] 。$

	$n = 4$	$n = 100$	一般 $n$
$P (A_{n})$	0.25	0.01	$\frac{1}{n}$
$Q (A_{n}) ，$ 密度 $L = 2 x$	0.0625	0.0001	$\frac{1}{n ^{2}}$
$Q^{'} (A_{n}) ，$ 密度 $L^{'} = \frac{1}{2 x}$	0.5	0.1	$\frac{1}{n}$

计算： $Q ([0, \frac{1}{n}]) = \int_{0}^{1/ n} 2 x d x = \frac{1}{n ^{2}} ；$ $Q^{'} ([0, \frac{1}{n}]) = \int_{0}^{1/ n} \frac{1}{2 x} d x = \frac{1}{n} 。$ 三行都趋于 0，但快慢不同： $L$ 在误差区域 $[0, \frac{1}{n}]$ 附近小，收敛更快； $L^{'}$ 在那里大，收敛更慢。

例 2（反例）：不绝对连续时，收敛会失败

$Ω = [0, 1] ，$ $P = λ ，$ $Q = δ_{0}$ （一定取到 0 这一点）。取尖峰 $X_{n} = n 1_{[0, 1/ n]}$ （第 19 页）， $X = 0 。$

$P$ 下：对每个 $x > 0 ，$ 当 $n > \frac{1}{x}$ 时 $X_{n} (x) = 0 ，$ 所以只在 $x = 0$ 一点不收敛，而 $P ({0}) = 0 ，$ 于是 $X_{n} \to 0$ $P$ -几乎必然；也依概率收敛： $P (X_{n} > ε) \leq \frac{1}{n} \to 0 。$
$Q$ 下： $Q$ 只看 $x = 0$ 这一点，而 $X_{n} (0) = n \to \infty 。$ 所以 $Q (X_{n} > ε) = 1$ 对所有 $n$ 成立，既不依概率收敛，也不几乎必然收敛。
问题出在哪： $Q ({0}) = 1$ 而 $P ({0}) = 0 ，$ $Q \neq ≪ P 。$ $Q$ 恰好把全部质量放在了 $P$ 看不见的那个「坏点」上。

例 3：期望的收敛不会跟着转移

$Ω = (0, 1] ，$ $P = λ ，$ $Q$ 的密度 $L (x) = \frac{1}{2 x} 。$ 令 $X_{n} = n 1_{(0, 1/ n]} ，$ $X = 0 。$

$P$ 下的期望： $E_{P} X_{n} = n \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \to 0 。$
$Q$ 下依概率收敛（本页命题保证）： $Q (X_{n} > ε) = Q ((0, \frac{1}{n}]) = \frac{1}{n} \to 0 。$
但 $Q$ 下的期望： $E_{Q} X_{n} = \int_{0}^{1/ n} n \cdot \frac{1}{2 x} d x = n \cdot \frac{1}{n} = 1 ，$ 不趋于 0。
原因：权重 $L$ 恰好在 $X_{n}$ 的「尖峰」所在的 $(0, \frac{1}{n}]$ 上很大，把 $P$ 下很小的期望放大了。

例 4：为什么要求换测度是「固定」的

$Ω = [0, 1] ，$ $P = λ ，$ $X_{n} = 1_{[0, 1/ n]} \to 0$ 在 $P$ 下依概率收敛。若每个 $n$ 换一个概率 $Q_{n} ：$ $[0, \frac{1}{n}]$ 上的均匀分布（密度 $n 1_{[0, 1/ n]} ），$ 则 $Q_{n} ≪ P$ 对每个 $n$ 都成立，但

Q_{n} (X_{n} > \frac{1}{2}) = Q_{n} ([0, \frac{1}{n}]) = 1 对所有 n .

「在 $Q_{n}$ 下看 $X_{n} 」$ 并不趋于 0。本页命题只对一个固定的 $Q$ 成立。

常见疑问与易错点

易错点问：两个概率下，随机变量 X_n 是不是也变了？

答：没有变。 $X_{n}$ 是 $Ω$ 上的同一个函数，每个 $ω$ 对应的值一样。变的只是「哪些 $ω$ 更可能出现」。所以「 $X_{n} (ω) \to X (ω) 」$ 这件事本身（事件 $N^{c} ）$ 不变，变的只是它的概率——而绝对连续保证概率 1 仍是概率 1。

易错点问：既然依概率收敛能转移，为什么期望的收敛不能？

答：依概率收敛只关心「坏事件的概率」，推论 19 能控制它；期望还关心「坏事件上的数值有多大」。例 3 中坏事件的 $Q$ -概率趋于 0，但坏事件上 $X_{n}$ 的值 $n$ 增长得足够快，乘起来不趋于 0。要让期望也收敛，还需要额外的条件（例如本讲第 20 页的共同可积上界）。

易错点问：在 ℚ 下，极限还是原来的 X 吗？

答：是 $X ，$ 但在 $Q$ 下极限「更不唯一」。依概率收敛的极限只在几乎必然意义下唯一：若 $X_{n} \to X$ 且 $X_{n} \to Y$ （都在 $Q$ 下依概率），则 $Q (X \neq = Y) = 0 。$ 因为 $Q ≪ P ，$ $Q$ 的零概率事件至少和 $P$ 一样多，所以在 $Q$ 下可以当极限的函数也更多。例如 $Q$ 是 $[0, \frac{1}{2}]$ 上的均匀分布时，任何只在 $(\frac{1}{2}, 1]$ 上与 $X$ 不同的 $Y$ 都同样是 $Q$ 下的极限。

易错点问：如果 ℚ ≪ ℙ，在 ℚ 下依概率收敛能推出在 ℙ 下依概率收敛吗？

答：不能。取 $Ω = [0, 1] ，$ $P = λ ，$ $Q$ 为 $[0, \frac{1}{2}]$ 上的均匀分布， $X_{n} = n 1_{(1/2, 1]} 。$ $Q$ 下 $X_{n} = 0$ 几乎必然，当然收敛到 0；但 $P (X_{n} > 1) = \frac{1}{2}$ 对所有 $n \geq 2$ 成立， $P$ 下不依概率收敛到 0。方向必须是「从被控制的一方（ $P ）$ 到控制之下的一方（ $Q ）」。$

小结与自测

小结本页小结

$Q ≪ P$ （固定）时： $P$ 下依概率收敛 ⇒ $Q$ 下依概率收敛（用推论 19）； $P$ -几乎必然收敛 ⇒ $Q$ -几乎必然收敛（只用定义 17）。
随机变量本身不变，变的只是衡量事件的概率。
不绝对连续时会失败（点质量 + 尖峰）；收敛速度可以改变；期望的收敛不会自动转移；方向不能反过来。

自测

1. 设 $Q ≪ P$ 且 $X_{n} \to X$ $P$ -几乎必然。用一句话说明为什么 $X_{n} \to X$ $Q$ -几乎必然。

点开看答案

不收敛事件 $N = {X_{n} \neq \to X}$ 满足 $P (N) = 0 ；$ 由绝对连续， $Q (N) = 0 ，$ 即 $Q (X_{n} \to X) = 1 。$

2. $Ω = [0, 1] ，$ $P = λ ，$ $Q$ 的密度 $L (x) = 3 x^{2} ，$ $X_{n} = 1_{[0, 1/ n]} 。$ 求 $Q (X_{n} > \frac{1}{2}) ，$ 并判断 $Q$ 下是否依概率收敛到 0。

点开看答案

$Q (X_{n} > \frac{1}{2}) = Q ([0, \frac{1}{n}]) = \int_{0}^{1/ n} 3 x^{2} d x = \frac{1}{n ^{3}} \to 0 。$ 对任意 $0 < ε < 1$ 误差事件都是 $[0, \frac{1}{n}]$ （ $ε \geq 1$ 时是空集），所以 $Q$ 下依概率收敛到 0，而且比 $P$ 下（ $\frac{1}{n} ）$ 快得多。

3. 判断：若 $Q ≪ P$ 且 $E_{P} ∣ X_{n} ∣ \to 0 ，$ 则 $E_{Q} ∣ X_{n} ∣ \to 0 。$

点开看答案

错误。例 3 就是反例： $E_{P} X_{n} = \frac{1}{n} \to 0 ，$ 但 $E_{Q} X_{n} = 1 。$ 能转移的只是「依概率收敛」：由 Markov 不等式 $P (∣ X_{n} ∣ > ε) \leq E_{P} ∣ X_{n} ∣/ ε \to 0 ，$ 再由本页命题得 $Q$ 下依概率收敛到 0。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
依概率收敛	convergence in probability	对每个 ε > 0，P(\|Xₙ − X\| > ε) → 0；比几乎必然收敛弱。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
绝对连续	absolute continuity	函数版：小区间总长很小时增量总和也很小；测度版：Q ≪ P，P 为零的事件 Q 也为零。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
换测度	change of measure	用 E_Q[X] = E_P[X · dQ/dP] 在两个概率之间换算期望。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
无穷多次	infinitely often (i.o.)	「Aₙ 发生无穷多次」就是集合 lim sup Aₙ。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
Radon–Nikodym 导数	Radon–Nikodym derivative	Q ≪ P 时存在 L = dQ/dP ≥ 0，使 Q(A) = ∫_A L dP；它是「换测度的密度」。
子列	subsequence	从一个数列里按顺序挑出无穷多项组成的新数列。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
下极限	limit inferior (lim inf)	数列「尾部的最小可能值」的极限；对集合则表示「从某一项起一直发生」。
点质量	point mass (Dirac measure)	把全部质量 1 放在一个点上：δ₀(E) = 1 当且仅当 0 ∈ E。
空集	empty set	一个元素也没有的集合，记作 ∅。作为事件，它永远不会发生。
Markov 不等式	Markov's inequality	X ≥ 0 时 P(X ≥ t) ≤ E X / t：期望小，取大值的概率就小。