连续映射定理：依概率收敛能「穿过」在极限处连续的函数

这一页在讲什么

这是第 2 部分「随机变量的收敛」的倒数第二页。

• 上一页 第 16 页 的定理 12 说：依概率收敛 ⟺ 每个子列都有几乎必然收敛的子子列。那一页最后总结了一个「通用套路」：先挑子子列，在子子列上用逐点的工具，再回到整个序列。本页的逐点工具是「连续函数保持数列的极限」。
• 标题里的 random limit（随机的极限）提醒你：极限 $X$ 不是一个固定的数，而是随 $\omega$ 变化的随机变量。所以不要求 $g$ 处处连续，只要求它在 $X$「真的会去的地方」连续。
• 下一页 第 18 页 把 $g$ 取成门槛函数 $1_{(c,\infty )}，$它在 $c$ 处有一个间断点。那里会看到：极限 $X$ 一旦以正概率停在间断点上，结论就可能失败。
• 实用意义：统计里常先证明估计量 ${\hat{\theta }}_n\stackrel{\mathbb{P}}{\to }\theta ，$接着就想知道 ${\hat{\theta }}_n^2、$$1/{\hat{\theta }}_n、$$e^{{\hat{\theta }}_n}$ 是否也收敛。本定理一次回答所有这类问题。

先补基础

课件原文逐句精读

• Continuous mappings：mapping 是映射、函数，continuous mapping 是连续映射。标题说这一页研究「把收敛的随机变量代进连续函数会怎样」。这个结论通常叫连续映射定理（continuous mapping theorem）。
• Theorem 13：定理 13，编号接着 第 16 页 的定理 12。正文留白。
• Continuity at the random limit：continuity 是连续性，at the random limit 是「在随机的极限处」。这个名字已经点出了条件的精髓：不要求 $g$ 处处连续，只要求 $g$ 在极限值 $X(\omega )$ 处连续；而 $X(\omega )$ 随 $\omega$ 变化，所以条件写成「$X$ 以概率 1 落在 $g$ 的连续点上」。
• Proof：定理 13 的证明，留白。
• 设定沿用 第 9 页、第 14 页：$X_n、$$X$ 是同一个概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 上的实值随机变量。

补全课件留白

Theorem 13 (Continuity at the random limit)｜定理 13（在随机极限处的连续性）

逐个看条件：

• $g$ 博雷尔可测：保证 $g(X_n)、$$g(X)$ 是随机变量，结论里的 $\mathbb{P}(|g(X_n)-g(X)|>\epsilon )$ 才有意义。$g$ 连续时自动成立。
• $g$ 在 $C$ 的每一点连续：$C$ 是「好点」的集合。$g$ 可以在 $C$ 外有间断点：门槛函数取 $C=\mathbb{R}\setminus \{c\}，$倒数函数取 $C=\mathbb{R}\setminus \{0\}。$
• $\mathbb{P}(X\in C)=1$：极限 $X$ 几乎必然落在好点上。只对极限 $X$ 有要求，对 $X_n$ 没有要求——$X_n$ 落到间断点上也没关系（见易错点）。$C$ 是博雷尔集，$\{X\in C\}$ 才是事件。
• 结论 1 是本页的主角；结论 2 是证明里要用的逐点版本，本身也常用。

Proof｜证明

第一步：几乎必然版本（结论 2）。

1. 好事件：令 ${\Omega }_1=\{X_n\to X\}，$${\Omega }_2=\{X\in C\}，$${\Omega }_0={\Omega }_1\cap {\Omega }_2。$${\Omega }_1$ 是事件（第 9 页），${\Omega }_2$ 是事件（$C$ 是博雷尔集）。由假设 $\mathbb{P}({\Omega }_1)=\mathbb{P}({\Omega }_2)=1，$所以 $\mathbb{P}({\Omega }_0^c)\le \mathbb{P}({\Omega }_1^c)+\mathbb{P}({\Omega }_2^c)=0，$即 $\mathbb{P}({\Omega }_0)=1。$
2. 固定一个好的 $\omega \in {\Omega }_0$：记 $x_n=X_n(\omega )，$$x=X(\omega )。$这是一串普通的实数，$x_n\to x$（因为 $\omega \in {\Omega }_1），$而且 $x\in C$（因为 $\omega \in {\Omega }_2）。$
3. 用连续性：$g$ 在 $x$ 处连续，按数列的说法（先补基础），$g(x_n)\to g(x)，$即 $g(X_n(\omega ))\to g(X(\omega ))。$
4. 结论：这对 ${\Omega }_0$ 中的每个 $\omega$ 成立，而 $\mathbb{P}({\Omega }_0)=1，$所以 $g(X_n)\to g(X)$ 几乎必然。

第二步：依概率版本（结论 1）。 记 $Z_n=g(X_n)，$$Z=g(X)，$要证 $Z_n\stackrel{\mathbb{P}}{\to }Z。$按定理 12 的（⇐）方向，只需证明：$(Z_n)$ 的每个子列都有几乎必然收敛到 $Z$ 的子子列。

1. 任取一个子列：下标 $n_1<n_2<\cdots 。$对应的 $(Z_{n_k})$ 就是 $(g(X_{n_k}))$——同一组下标。
2. 原序列的这个子列仍依概率收敛：$X_{n_k}\stackrel{\mathbb{P}}{\to }X。$理由：对每个 $\epsilon >0，$数列 $\mathbb{P}(|X_{n_k}-X|>\epsilon )$ 是趋于 0 的数列 $\mathbb{P}(|X_n-X|>\epsilon )$ 的子列，也趋于 0（第 16 页 先补基础）。
3. 挑子子列：由定理 12（⇒），存在 $k_1<k_2<\cdots ，$使 $X_{n_{k_j}}\to X$ 几乎必然（$j\to \infty ）。$
4. 套用第一步：第一步对任何几乎必然收敛到 $X$ 的序列都成立。把它用在序列 $(X_{n_{k_j}}{)}_{j\ge 1}$ 上，得 $g(X_{n_{k_j}})\to g(X)$ 几乎必然，即 $Z_{n_{k_j}}\to Z$ 几乎必然。
5. 回到整个序列：第 1 步的子列是任取的，所以 $(Z_n)$ 的每个子列都有几乎必然收敛到 $Z$ 的子子列。由定理 12（⇐），$Z_n\stackrel{\mathbb{P}}{\to }Z，$即 $g(X_n)\stackrel{\mathbb{P}}{\to }g(X)。$证毕。

例子

推导：一步一步来

两个序列一起：和与乘积

设 $X_n\stackrel{\mathbb{P}}{\to }X，$$Y_n\stackrel{\mathbb{P}}{\to }Y$（都在同一个概率空间上）。

和：$X_n+Y_n\stackrel{\mathbb{P}}{\to }X+Y，$用三角不等式直接证。若 $|X_n-X|\le \frac{\epsilon }{2}$ 且 $|Y_n-Y|\le \frac{\epsilon }{2}，$则 $|(X_n+Y_n)-(X+Y)|\le \epsilon 。$取逆否再取概率：

乘积：$X_n{Y}_n\stackrel{\mathbb{P}}{\to }XY。$直接估计会遇到例 1 的困难，用子列判别法「挑两次」：

1. 任取子列 $(n_k)。$由定理 12（⇒），挑出子子列 $(m_j)，$使 $X_{m_j}\to X$ 几乎必然。
2. $(Y_{m_j}{)}_j$ 是 $(Y_n)$ 的子列，仍依概率收敛到 $Y；$再挑一次，得到它的子列 $(m_i^{\prime })，$使 $Y_{m_i^{\prime }}\to Y$ 几乎必然。$(X_{m_i^{\prime }})$ 是几乎必然收敛序列 $(X_{m_j})$ 的子列，仍几乎必然收敛到 $X。$
3. 在两个概率为 1 的收敛事件之交上（概率仍为 1），两个实数列同时收敛，乘积也收敛：$X_{m_i^{\prime }}{Y}_{m_i^{\prime }}\to XY。$
4. $(m_i^{\prime })$ 是所取子列 $(n_k)$ 的子子列，而 $(n_k)$ 是任取的，由定理 12（⇐），$X_n{Y}_n\stackrel{\mathbb{P}}{\to }XY。$

同样的办法给出二元版本：$h:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ 连续时，$h(X_n,Y_n)\stackrel{\mathbb{P}}{\to }h(X,Y)。$取 $Y_n=X_n$ 就又回到了 $X_n^2\stackrel{\mathbb{P}}{\to }{X}^2。$

一张对照表：间断点与需要的条件

常见疑问与易错点

小结与自测