尾积分给出可求和判别：阶梯面积夹住尾函数下的面积

这一页在讲什么

这是第 2 部分「随机变量的收敛」的第四页，是夹在两页应用之间的工具页。

• 上一页 第 11 页 证明「一阶矩有限 ⇒ $X_n/n\to 0」$时，需要知道偏差概率之和 ${\sum }_n\mathbb{P}(|X_1|>\epsilon n)$ 是有限的。它用的是本页不等式的左半边：阶梯和 $\le$ 期望。
• 下一页 第 13 页 证明反方向「独立同分布且一阶矩无穷 ⇒ ${\mathrm{limsup}}_n|X_n|/n=\infty 」，$需要知道 ${\sum }_n\mathbb{P}(|X_1|>Cn)=\infty 。$它用的是本页不等式的右半边：期望 $\le$ 阶梯和。
• 标题的意思：尾积分（tail integral）${\int }_0^{\infty }\mathbb{P}(Y>t)\mathrm{d}t$ 给出一个可求和判别（summability criterion）——判断级数 ${\sum }_n\mathbb{P}(Y>n)$ 是否有限，只要看期望是否有限，反之亦然。

先补基础

课件原文逐句精读

逐句看：

• Tail-series comparison：tail series（尾级数）指 ${\sum }_n\mathbb{P}(Y>nh)，$即把尾函数在等间隔的点 $0,h,2h,\dots$ 上的值加起来；comparison（比较）指拿它和尾积分 ${\int }_0^{\infty }T$ 比大小。
• intervals of width $h>0$：把 $[0,\infty )$ 切成宽度为 $h$ 的小区间 $[0,h),[h,2h),[2h,3h),\dots 。$$h$ 是任意固定的正数。上一页 第 11 页 的「另一种写法」就是把 $h$ 直接取成斜率 $\epsilon 。$
• For $Y\ge 0$：$Y$ 是非负随机变量。这个条件让尾积分公式 $\mathbb{E}Y={\int }_0^{\infty }T$ 成立（负的部分不在 $[0,\infty )$ 上）。用到 $|X_1|$ 这类随机变量时，它们自动非负。
• $T(t)=\mathbb{P}(Y>t)$：给尾函数起个名字 $T$（tail 的首字母）。
• a decreasing function：递减函数。这是整个比较能成立的唯一原因：递减函数在每个小区间上被两个端点的值夹住（先补基础）。

蓝条标题里的 summability criterion 是这页的结论：用来判断「级数 ${\sum }_n\mathbb{P}(Y>n)$ 是否有限」的判别法。下面把课件留白的比较不等式和判别法补全。

补全课件留白

Tail-series comparison: intervals of width h > 0｜尾级数比较：宽度为 h 的小区间

逐个看：

• 左边（下阶梯）：从 $n=1$ 开始，第 $n$ 个矩形的底是 $[(n-1)h,nh)，$高是右端点的值 $T(nh)。$
• 右边（上阶梯）：从 $n=0$ 开始，第 $n$ 个矩形的底是 $[nh,(n+1)h)，$高是左端点的值 $T(nh)。$
• 两边只差一项：右边比左边多了一项 $hT(0)。$所以只要阶梯和是有限数，「上阶梯 − 下阶梯」$=hT(0)\le h。$$h$ 越小，夹得越紧。

1. 每块上夹住。固定 $n\ge 0，$记 $J_n=[nh,(n+1)h)。$对 $t\in J_n，$有 $nh\le t<(n+1)h。$由 $T$ 递减（先补基础），

2. 每块的面积夹住。对上式在 $J_n$ 上积分。常数在长度为 $h$ 的区间上积分等于「常数 × $h」，$积分保持大小关系（单调性，第 33 页），所以

3. 把所有块加起来。小区间 $J_0,J_1,J_2,\dots$ 两两不交，并起来是 $[0,\infty )。$因此对每个 $t\ge 0，$$T(t)={\sum }_{n\ge 0}T(t)1_{J_n}(t)$（右边只有 $t$ 所在的那一项非零）。各项非负，部分和随项数递增，由单调收敛定理（第 36 页），积分与无穷和可以交换：

4. 对第 2 步求和。对 $n=0,1,2,\dots$ 把第 2 步的三项分别相加（非负数列的比较，可以是 $+\infty ）：$

5. 改写下标。左边令 $m=n+1，$$n$ 从 0 跑到 $\infty$ 时 $m$ 从 1 跑到 $\infty ，$左边就是 ${\sum }_{m\ge 1}hT(mh)。$中间用尾积分公式（第 12 页）换成 $\mathbb{E}Y。$证毕。

补写：阶梯面积夹住曲线下的面积

课件这一页没有印图，老师课上多半会画下面这张图。请你在纸上跟着画一遍：

为什么这件事有用：曲线下面积（期望）是一个积分，不好直接和「级数」比较；而阶梯面积恰好是 $h$ 乘以一个级数。夹住之后：

• 若 $\mathbb{E}Y<\infty ，$下阶梯面积也有限，即 ${\sum }_{n\ge 1}T(nh)<\infty ；$
• 若 ${\sum }_{n\ge 1}T(nh)<\infty ，$上阶梯面积 $\le h+h{\sum }_{n\ge 1}T(nh)<\infty ，$所以 $\mathbb{E}Y<\infty 。$

补写：可求和判别法（标题的结论）

在前后两页怎么用（这正是课件把这页放在这里的原因）：

第二行再去掉 $n=0$ 那一项（它不超过 1），得到 ${\sum }_{n\ge 1}\mathbb{P}(|X_1|>Cn)=\infty ，$这就是 第 13 页 要喂给第二 Borel–Cantelli 引理的条件。

例子

推导：一步一步来

另一种证明：逐点数格子，再取期望（不需要尾积分公式）。

1. 固定 $\omega ，$记 $y=Y(\omega )\ge 0，$令 $N(\omega )={\sum }_{n\ge 1}{1}_{\{Y>nh\}}(\omega )，$它数的是「满足 $nh<y$ 的正整数 $n$ 有几个」。
2. 若 $y=0，$没有这样的 $n，$$N=0。$若 $y>0，$满足条件的 $n$ 是 $1,2,\dots ,N，$最大的那个满足 $Nh<y，$而下一个 $N+1$ 不满足，即 $(N+1)h\ge y。$所以

（$y=0$ 时三项都是 0；$y>0$ 时最右边是 $(N+1)h。）$ 3. 取期望。$\mathbb{E}N={\sum }_{n\ge 1}\mathbb{P}(Y>nh)：$非负项的无穷和与期望可交换（MCT，第 36 页；做法同 第 4 页 证明二第 2 步），且 $\mathbb{E}{1}_A=\mathbb{P}(A)。$于是

这就是引理，而且完全没用尾积分公式。两种证明是同一件事的两面：第一种在「$t$ 轴」上切竖条，第二种在每个 $\omega$ 上数「$Y(\omega )$ 盖住了几个格子」。

让 $h\to 0：$阶梯逼近曲线。 设 $\mathbb{E}Y<\infty 。$由引理，$0\le \mathbb{E}Y-{\sum }_{n\ge 1}hT(nh)\le hT(0)\le h。$$h\to 0$ 时右边趋于 0，所以

这就是「黎曼和逼近积分」在尾函数上的版本，例 1 的表格已经看到了这个趋势。

从级数的角度看推论 8 的界。 第 11 页 的第 3 步要的是 ${\sum }_{n\ge 1}\mathbb{P}(|X_1|>\epsilon n)\le \mathbb{E}|X_1|/\epsilon 。$用引理：$Y=|X_1|、$$h=\epsilon ，$左半边给出 $\epsilon {\sum }_{n\ge 1}\mathbb{P}(|X_1|>n\epsilon )\le \mathbb{E}|X_1|，$两边除以 $\epsilon$ 即得。

常见疑问与易错点

小结与自测