23 Scheffé 引理的证明：对「公共部分」min(fₙ, f) 用控制收敛 · 第3讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

$f_{n}$ 本身可能没有可积上界，但它和 $f$ 的公共部分 $min (f_{n}, f)$ 永远被 $f$ 压住。于是可以对公共部分用 DCT： $\int min (f_{n}, f) \to \int f 。$ 再把误差写成 $∣ f_{n} - f ∣ = f_{n} + f - 2 min (f_{n}, f) ，$ 积分后三项分别趋于 $\int f 、$ $\int f 、$ $2 \int f ，$ 误差趋于 0。

这一页证明上一页第 22 页的定理 16（非负 Scheffé 引理）。
回忆条件： $f_{n}, f : S \to [0, \infty)$ 可测；（1） $f_{n} \to f$ $μ$ -a.e.；（2） $\int f_{n} d μ \to \int f d μ < \infty 。$ 要证 $\int ∣ f_{n} - f ∣ d μ \to 0 。$
难点：DCT 需要一个共同的可积上界，而 $f_{n}$ 可能没有（第 22 页例 3）。本页的妙处是换一个对象来用 DCT：不是 $f_{n} ，$ 而是 $min (f_{n}, f) 。$
下一页第 24 页把结论用到概率密度上，给出事件概率误差的精确公式。

先补基础

基础补课两个数的较小者 min(a, b) 与较大者 max(a, b)

$min (a, b)$ 是 $a 、$ $b$ 中较小的那个， $max (a, b)$ 是较大的那个。例： $min (3, 5) = 3 ，$ $max (3, 5) = 5 ，$ $min (2, 2) = 2 。$
两个总成立的等式：

min (a, b) + max (a, b) = a + b, max (a, b) - min (a, b) = ∣ a - b ∣.

理由：两个数里一个是较小者、另一个是较大者，加起来就是 $a + b ；$ 较大者减较小者就是两数之差的绝对值。

对函数逐点取： $min (f_{n}, f)$ 是在每个点 $x$ 上取 $min (f_{n} (x), f (x))$ 得到的新函数，它的图像是两条曲线中较低的那条。

基础补课可测函数的 min 仍可测

对每个实数 $t ，$ $min (f_{n}, f) (x) > t$ 当且仅当 $f_{n} (x) > t$ 且 $f (x) > t ，$ 所以

{min (f_{n}, f) > t} = {f_{n} > t} \cap {f > t},

两个可测集的交仍可测（第 9 页、第 29 页）。所以 $min (f_{n}, f)$ 可测，可以积分。

基础补课本页要用的积分性质

单调性（第 33 页）： $0 \leq g \leq h$ 时 $\int g \leq \int h 。$
线性（第 43 页命题 35）： $g, h$ 可积时 $\int (a g + bh) = a \int g + b \int h 。$ 前提是可积，否则可能出现 $\infty - \infty 。$
DCT（第 44 页定理 36）： $g_{n} \to g$ a.e.， $∣ g_{n} ∣ \leq G ，$ $\int G < \infty$ $\Rightarrow$ $\int g_{n} \to \int g 。$

课件原文逐句精读

课件原文Scheffé's lemma: proof

Proof: the common part

中文翻译

（标题：Scheffé 引理的证明）

证明：公共部分

Scheffé's lemma: proof：上一页定理 16 的证明。
Proof: the common part：common part（公共部分）指 $min (f_{n}, f)$ ——在每一点上， $f_{n}$ 和 $f$ 都有的那一部分高度。小标题已经把证明的关键对象点了出来。下面留白，由我们补全。

人话版「公共部分」的图像

在同一张图上画出 $f_{n}$ 和 $f$ 的图像。两条曲线下面的区域有一块重叠，重叠区域的「上边界」就是较低的那条曲线 $min (f_{n}, f) ，$ 它的面积是 $\int min (f_{n}, f) 。$

$f_{n}$ 下方的面积 $=$ 重叠面积 $+$ 只属于 $f_{n}$ 的部分；
$f$ 下方的面积 $=$ 重叠面积 $+$ 只属于 $f$ 的部分；
两条曲线之间夹着的面积 $\int ∣ f_{n} - f ∣$ $=$ 只属于 $f_{n}$ 的部分 $+$ 只属于 $f$ 的部分。

三式合起来： $\int ∣ f_{n} - f ∣ = \int f_{n} + \int f - 2 \int min (f_{n}, f) 。$ 下面的证明就是把这张图写成严格的推导。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

Proof: the common part｜证明：公共部分

推导证明思路

（i）逐点恒等式 $∣ f_{n} - f ∣ = f_{n} + f - 2 min (f_{n}, f) ；$ （ii）公共部分满足 $0 \leq min (f_{n}, f) \leq f$ 且几乎处处收敛到 $f ，$ 由 DCT， $\int min (f_{n}, f) \to \int f ；$ （iii）对恒等式积分并取极限。

第 0 步：只看足够大的 $n 。$ 由条件 2， $\int f_{n} \to \int f < \infty ，$ 所以存在 $N ，$ 使 $n \geq N$ 时 $\int f_{n} \leq \int f + 1 < \infty 。$ 数列的极限只取决于足够靠后的项，下面只考虑 $n \geq N ，$ 此时 $f_{n} 、$ $f$ 都可积。

第 1 步：逐点恒等式。 对任意实数 $a, b ，$

∣ a - b ∣ = a + b - 2 min (a, b) .

分两种情况验证：

若 $a \geq b$ ： $min (a, b) = b ，$ 右边 $= a + b - 2 b = a - b ；$ 而 $a - b \geq 0 ，$ 所以 $∣ a - b ∣ = a - b 。$ 两边相等。
若 $a < b$ ： $min (a, b) = a ，$ 右边 $= a + b - 2 a = b - a ；$ 而 $a - b < 0 ，$ 所以 $∣ a - b ∣ = b - a 。$ 两边相等。

在每个点 $x \in S$ 上取 $a = f_{n} (x) 、$ $b = f (x)$ （都是有限数），得到函数等式

∣ f_{n} - f ∣ = f_{n} + f - 2 min (f_{n}, f) 在 S 上处处成立 .

第 2 步：公共部分被 $f$ 夹住。 记 $m_{n} = min (f_{n}, f)$ （可测，见先补基础）。

$m_{n} \geq 0 ：$ 两个非负数的较小者仍非负。这里用到了 $f_{n} \geq 0 。$
$m_{n} \leq f ：$ 较小者不超过其中任何一个。

所以 $0 \leq m_{n} \leq f ，$ 也就是 $∣ m_{n} ∣ \leq f$ 对所有 $n$ 成立，而 $\int f < \infty 。$ $f$ 就是公共部分的共同可积上界。

第 3 步：公共部分收敛到 $f 。$ 由第 1 步的恒等式移项，

m_{n} = \frac{f _{n} + f - ∣ f _{n} - f ∣}{2} .

在每个满足 $f_{n} (x) \to f (x)$ 的点 $x$ 上（由条件 1，这些点之外是零测集）， $∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ \to 0 ，$ 所以

m_{n} (x) \to \frac{f ( x ) + f ( x ) - 0}{2} = f (x) .

即 $m_{n} \to f$ $μ$ -几乎处处。

第 4 步：对公共部分用 DCT。 第 3 步给出几乎处处收敛，第 2 步给出共同可积上界 $f 。$ 由 DCT（第 44 页），

\int m_{n} d μ \to \int f d μ .

第 5 步：积分恒等式，取极限。 当 $n \geq N$ 时， $f_{n} 、$ $f 、$ $m_{n}$ 都可积（ $0 \leq m_{n} \leq f ），$ 对第 1 步的等式两边积分并用线性（第 43 页命题 35）：

\int ∣ f_{n} - f ∣ d μ = \int f_{n} d μ + \int f d μ - 2 \int m_{n} d μ \to \int f d μ + \int f d μ - 2 \int f d μ = 0.

第一项的极限来自条件 2，第三项的极限来自第 4 步。所以 $\int ∣ f_{n} - f ∣ d μ \to 0 ，$ 定理 16 证毕。

每一步用到了哪个条件

步骤	内容	用到的条件
第 0 步	$n$ 大时 $\int f_{n} < \infty$	条件 2 与 $\int f < \infty$
第 1 步	$∣ a - b ∣ = a + b - 2 min (a, b)$	只用代数（值有限）
第 2 步	$0 \leq m_{n} \leq f$	非负性
第 3 步	$m_{n} \to f$ a.e.	条件 1
第 4 步	DCT： $\int m_{n} \to \int f$	$\int f < \infty$ （控制函数可积）
第 5 步	三项取极限	条件 2 与线性（需可积）

第 22 页里每个反例恰好破坏表中的某一行：尖峰破坏第 5 步（ $\int f_{n} = 1 \neq \to 0 ），$ $1 + sin (2 πn x)$ 破坏第 3 步，正负尖峰破坏第 2 步， $R$ 上的 $f = 1$ 破坏第 0 步和第 4 步。

两种等价的写法

写法一：用负部。 注意 $f - m_{n} = f - min (f_{n}, f) = (f - f_{n})^{+}$ （若 $f_{n} \geq f ，$ 两边都是 0；若 $f_{n} < f ，$ 两边都是 $f - f_{n} ）。$ 于是 $0 \leq (f - f_{n})^{+} \leq f ，$ DCT 给出 $\int (f - f_{n})^{+} \to 0 。$ 再用逐点等式 $∣ f_{n} - f ∣ = (f_{n} - f) + 2 (f - f_{n})^{+}$ （按 $f_{n} \geq f$ 与 $f_{n} < f$ 两种情况验证），积分得

\int ∣ f_{n} - f ∣ = (\int f_{n} - \int f) + 2 \int (f - f_{n})^{+} \to 0 + 0.

这是 Durrett、Williams 等教材常用的写法，和「公共部分」是同一个证明。

写法二：用 Fatou。 $f_{n} + f - ∣ f_{n} - f ∣ = 2 m_{n} \geq 0 ，$ 几乎处处收敛到 $2 f 。$ 对它用 Fatou（第 41 页）： $\int 2 f \leq lim inf_{n} (\int f_{n} + \int f - \int ∣ f_{n} - f ∣) = 2 \int f - lim sup_{n} \int ∣ f_{n} - f ∣ ，$ 消去有限数 $2 \int f ，$ 得 $lim sup_{n} \int ∣ f_{n} - f ∣ \leq 0 。$ 这个写法不需要 DCT，第 22 页「更多细节」里的一般版本用的就是它。

例子

例 1：示性函数——公式变成集合的「对称差」

取 $f_{n} = 1_{A} ，$ $f = 1_{B}$ （ $A, B$ 是可测集）。

公共部分： $min (1_{A}, 1_{B}) = 1_{A \cap B}$ （两个都为 1 时才是 1）。
误差： $∣ 1_{A} - 1_{B} ∣ = 1_{A △ B} ，$ 其中 $A △ B = (A ∖ B) \cup (B ∖ A)$ 叫对称差：只属于其中一个集合的点。
恒等式积分后变成

μ (A △ B) = μ (A) + μ (B) - 2 μ (A \cap B) .

数值：在 $[0, 1]$ 上取 $A = [0, 0.6] ，$ $B = [0.3, 1] 。$ $A \cap B = [0.3, 0.6] ，$ $A △ B = [0, 0.3) \cup (0.6, 1] 。$ 左边 $0.3 + 0.4 = 0.7 ；$ 右边 $0.6 + 0.7 - 2 \times 0.3 = 0.7 。$

例 2：在指数密度上走一遍证明

取第 22 页例 1 中 $n = 1$ 的情形： $f_{1} (x) = 2 e^{- 2 x} ，$ $f (x) = e^{- x}$ （ $x \geq 0 ），$ 交点 $x^{*} = ln 2 ；$ $x < ln 2$ 时 $f_{1} > f ，$ $x > ln 2$ 时 $f_{1} < f 。$

公共部分： $m_{1} = f$ （在 $[0, ln 2)$ 上）、 $m_{1} = f_{1}$ （在 $[ln 2, \infty)$ 上）。
公共面积：

\int m_{1} = \int_{0}^{l n 2} e^{- x} d x + \int_{l n 2}^{\infty} 2 e^{- 2 x} d x = (1 - \frac{1}{2}) + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} .

代入恒等式： $\int ∣ f_{1} - f ∣ = 1 + 1 - 2 \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2} ，$ 和第 22 页表格里的 0.5 一致。
对一般的 $n ，$ $\int m_{n}$ 随 $n$ 增大趋于 1（DCT 的结论），误差 $2 - 2 \int m_{n}$ 趋于 0。

例 3：尖峰——证明在哪一步断掉

在 $[0, 1]$ 上 $f_{n} = n 1_{[0, 1/ n]} ，$ $f = 0$ （第 19 页）。

第 2–4 步都没问题： $m_{n} = min (f_{n}, 0) = 0 ，$ $\int m_{n} = 0 \to 0 = \int f 。$
第 5 步： $\int ∣ f_{n} - 0∣ = \int f_{n} + 0 - 0 = 1 。$ 要它趋于 0，必须 $\int f_{n} \to \int f = 0 ，$ 而这正是条件 2，尖峰不满足。

所以条件 2 在证明里只在最后一步出场，但它是不可替代的：公共部分的面积可以收敛得很好，「只属于 $f_{n}$ 的那部分」却完全靠条件 2 来管住。

例 4：离散情形——均匀骰子和灌铅骰子

取 $S = {1, \dots, 6} ，$ $μ$ 为计数测度（积分就是求和）。均匀骰子的分布列 $f (k) = \frac{1}{6} ；$ 灌铅骰子的分布列 $g (k) = \frac{1}{10}$ （ $k = 1, \dots, 5 ），$ $g (6) = \frac{1}{2} 。$

公共部分： $k \leq 5$ 时 $min (\frac{1}{6}, \frac{1}{10}) = \frac{1}{10} ；$ $k = 6$ 时 $min (\frac{1}{6}, \frac{1}{2}) = \frac{1}{6} 。$ 公共质量 $\sum_{k} min (f (k), g (k)) = 5 \times \frac{1}{10} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3} 。$
用恒等式： $\sum_{k} ∣ f (k) - g (k) ∣ = 1 + 1 - 2 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3} 。$
直接验证： $k \leq 5$ 时每项差 $\frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{1}{15} ，$ 五项共 $\frac{1}{3} ；$ $k = 6$ 时差 $\frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3} 。$ 合计 $\frac{2}{3} ，$ 一致。
读法：两颗骰子有 $\frac{2}{3}$ 的概率质量是「共有」的，各自「独有」的部分都是 $\frac{1}{3}$ （ $f$ 独有的在 1–5 点， $g$ 独有的在 6 点）。两块独有部分一样大，这是第 24 页正部、负部相等的一个实例。

推导：一步一步来

对概率密度的特别形式。 若 $\int f_{n} = \int f = 1 ，$ 第 5 步的恒等式变成

\int ∣ f_{n} - f ∣ d μ = 2 - 2 \int min (f_{n}, f) d μ = 2 (1 - \int min (f_{n}, f) d μ) .

范围：公共面积 $\int min (f_{n}, f)$ 在 $0$ 和 $1$ 之间（ $0 \leq min (f_{n}, f) \leq f ，$ 积分在 $0$ 与 $\int f = 1$ 之间），所以 $0 \leq \int ∣ f_{n} - f ∣ \leq 2 。$
等于 2：恰好当公共面积为 0，即 $min (f_{n}, f) = 0$ a.e.：两个密度几乎处处「不重叠」。例： $1_{(0, 1)}$ 与 $1_{(1, 2)} 。$
等于 0：恰好当公共面积为 1，此时 $f_{n} = f$ a.e.。
Scheffé 的结论就是：密度逐点收敛时，重叠面积趋于 1。

为什么第 3 步不用「min 是连续函数」这句话。 也可以那样说，但需要先说明二元函数 $(a, b) \mapsto min (a, b)$ 连续。改写成 $m_{n} = \frac{1}{2} (f_{n} + f - ∣ f_{n} - f ∣)$ 以后，只用到「和、差、绝对值都保持数列的极限」，每一步都是第 1 讲用过的事实。

常见疑问与易错点

易错点问：为什么不直接对 fₙ 用 DCT？

答：因为 $f_{n}$ 不一定有共同的可积上界（第 22 页例 3 的 $1 + n 1_{I_{n}}$ 就没有）。公共部分的好处在于：不管 $f_{n}$ 多大， $min (f_{n}, f)$ 都不超过 $f$ ，上界是现成的。 $f_{n}$ 超出 $f$ 的那部分「不受控制」，但它的面积可以用总面积减出来，这正是条件 2 的用处。

易错点问：第 5 步把积分拆成三项，为什么要强调 n ≥ N？

答：线性只对可积函数成立。如果某个 $\int f_{n} = \infty ，$ 右边会出现 $\infty + \int f - 2 \int m_{n} ，$ 左边 $\int ∣ f_{n} - f ∣$ 也是 $\infty ，$ 等式虽然不算错，却不能用来取极限。条件 2 保证从某一项起 $\int f_{n}$ 有限，而极限只看这些项。

易错点问：如果 f 也可以取负值，第 2 步会怎样？

答：第 2 步的 $m_{n} \geq 0$ 用到了 $f_{n} \geq 0$ 和 $f \geq 0 。$ 若允许负值， $min (f_{n}, f)$ 可能比 $f$ 小很多（比如 $f_{n} = - n 1_{(1/ n, 2/ n]}$ 的负尖峰），不再被 $∣ f ∣$ 控制，DCT 用不上。第 22 页的正负尖峰反例说明，此时结论确实可以失败。

易错点问：恒等式里的「2」是从哪来的？

答：公共部分被两个函数都包含了。 $\int f_{n}$ 里有一份公共面积， $\int f$ 里又有一份；两者相加时公共面积算了两次，而误差 $\int ∣ f_{n} - f ∣$ 只包含两块「独有」部分，不含公共部分，所以要减去 2 份。集合版本 $μ (A △ B) = μ (A) + μ (B) - 2 μ (A \cap B)$ 也是同样的道理（例 1）。

易错点问：「公共部分」和概率有什么关系？

答：对两个密度 $f_{n} 、$ $f ，$ $\int min (f_{n}, f)$ 叫两个分布的重叠系数。一个直观的解释（这里只作直觉，不作证明）：可以设计一个随机试验，让服从 $f_{n}$ 的 $X_{n}$ 和服从 $f$ 的 $X$ 以概率 $\int min (f_{n}, f)$ 取同一个值。重叠越大，两个分布越「难以区分」。第 24 页会把 $1 - \int min (f_{n}, f)$ 解释为总变差距离。

小结与自测

小结本页小结

逐点恒等式： $∣ a - b ∣ = a + b - 2 min (a, b) ，$ 分 $a \geq b 、$ $a < b$ 两种情况验证。
公共部分 $m_{n} = min (f_{n}, f)$ 满足 $0 \leq m_{n} \leq f$ （用非负性），且 $m_{n} \to f$ a.e.（用条件 1）。
DCT（控制函数 $f ，$ $\int f < \infty ）：$ $\int m_{n} \to \int f 。$
积分恒等式（ $n$ 足够大时三项都可积）： $\int ∣ f_{n} - f ∣ = \int f_{n} + \int f - 2 \int m_{n} \to 0$ （用条件 2）。
对密度： $\int ∣ f_{n} - f ∣ = 2 (1 - \int min (f_{n}, f)) ，$ Scheffé 说重叠面积趋于 1。

自测

1. 用恒等式 $∣ a - b ∣ = a + b - 2 min (a, b)$ 计算 $a = 7 、$ $b = 2.5$ 时的值，并直接验证。

点开看答案

$min (7, 2.5) = 2.5 ，$ 右边 $= 7 + 2.5 - 5 = 4.5 ；$ 直接算 $∣7 - 2.5∣ = 4.5 。$ 一致。

2. 设 $f_{n} 、$ $f$ 是密度， $\int min (f_{n}, f) d μ = 0.9 。$ 求 $\int ∣ f_{n} - f ∣ d μ 。$

点开看答案

$\int ∣ f_{n} - f ∣ = 2 (1 - 0.9) = 0.2 。$

3. 证明中第 4 步对 $m_{n}$ 用 DCT 时，控制函数是什么？为什么它可积？

点开看答案

控制函数是 $f$ 本身：第 2 步给出 $0 \leq m_{n} \leq f 。$ 它可积是因为定理 16 的条件 2 要求 $\int f < \infty$ （对密度来说 $\int f = 1 ）。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
Scheffé 引理	Scheffé's lemma	非负可积的 fₙ → f 几乎处处，且 ∫fₙ → ∫f < ∞，则 ∫\|fₙ − f\| → 0。概率密度逐点收敛，分布就在全变差意义下收敛。
几乎处处	almost everywhere (a.e.)	除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。
概率密度	density	满足 P(X ∈ B) = ∫_B f(x) dx 的函数 f；有密度等价于 CDF 绝对连续。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
可测集	measurable set	σ-代数里的集合，也就是可以谈「测度多大」的集合；在概率空间里，可测集就叫事件。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
正部	positive / negative part	f⁺ = max(f, 0)，f⁻ = max(−f, 0)，f = f⁺ − f⁻，\|f\| = f⁺ + f⁻。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
计数测度	counting measure	μ(A) = A 中元素的个数（无限集记为 ∞）。在 ℕ 上对它积分就是求和。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
逐点收敛	pointwise convergence	对定义域里的每一个点 x，数列 fₙ(x) 都收敛到 f(x)；这样得到的函数 f 叫逐点极限。