31 两点空间上的换测度：把 Radon–Nikodym 导数直接算出来 · 第3讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

在只有两个结局的世界里，Radon–Nikodym 导数就是两个比值： $L (ω_{1}) = \frac{q}{p} ，$ $L (ω_{2}) = \frac{1 - q}{1 - p}$ ——「新概率 ÷ 旧概率」。前面几页的所有概念（绝对连续、密度、唯一性、反方向是否绝对连续）在这里都能一眼看清。

这是第 4 部分的第一个具体例子（例 20）。前面第 26 页–第 30 页都是一般理论，这一页把它们放到最小的样本空间上全部手算一遍。
这个例子也是后面几页的「试验田」：第 32 页的期望换算公式、第 35 页的倒数密度公式，都可以先在这里验证。
两点空间虽小，却很实用：抛一枚硬币、金融里的「一期二叉树」模型都是它。

先补基础

基础补课两点空间上的事件和函数

$Ω = {ω_{1}, ω_{2}}$ 只有两个样本点。 $F = 2^{Ω}$ 是它的幂集（所有子集组成的集合，第 9 页），共 4 个事件： $\emptyset 、$ ${ω_{1}} 、$ ${ω_{2}} 、$ $Ω 。$
这个空间上的一个概率只需要一个数：给定 $P ({ω_{1}}) = p ，$ 就有 $P ({ω_{2}}) = 1 - p ，$ $P (\emptyset) = 0 ，$ $P (Ω) = 1 。$
这个空间上的一个函数 $X$ 就是两个数 $X (ω_{1}) 、$ $X (ω_{2}) 。$ 因为 $F$ 包含所有子集，任何函数都可测，都是随机变量。
期望就是加权平均： $E_{P} X = p X (ω_{1}) + (1 - p) X (ω_{2}) 。$

课件原文逐句精读

课件原文课件印刷文字

Example 20 (An explicit Radon–Nikodym derivative) On $Ω = {ω_{1}, ω_{2}}$ with $F = 2^{Ω}$ , let

P ({ω_{1}}) = p, P ({ω_{2}}) = 1 - p, 0 < p < 1.

To assign probabilities $q$ and $1 - q$ , where $0 \leq q \leq 1$

中文翻译

例 20（一个显式的 Radon–Nikodym 导数） 在 $Ω = {ω_{1}, ω_{2}} 、$ $F = 2^{Ω}$ 上，令

P ({ω_{1}}) = p, P ({ω_{2}}) = 1 - p, 0 < p < 1.

为了（给 $ω_{1} 、$ $ω_{2} ）$ 分别赋予概率 $q$ 和 $1 - q ，$ 其中 $0 \leq q \leq 1$ ……（后半句是板书）

逐句看：

explicit（显式的）：一般的 Radon–Nikodym 定理（第 27 页）只说密度存在；这里要把它具体写出来。
$0 < p < 1$ （严格不等号）：两个点在 $P$ 下的概率都是正的。于是 $P$ 的零概率事件只有空集，这一点下面反复要用。
$0 \leq q \leq 1$ （可以取等号）：新概率 $Q$ 允许把某个点的概率设成 0 或 1。等号情形正是用来观察「反方向的绝对连续会不会失败」的。
课件上这句话没有写完（「To assign probabilities $q$ and $1 - q$ …」），后半句「…to $ω_{1}$ and $ω_{2}$ , take $L = \dots 」$ 以及全部计算是课上板书，下一节补全。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

Example 20 (An explicit Radon–Nikodym derivative)｜例 20（一个显式的 Radon–Nikodym 导数）

例 20 的完整计算

目标：定义 $Q ({ω_{1}}) = q ，$ $Q ({ω_{2}}) = 1 - q ，$ 求 $L = \frac{d Q}{d P} 。$

第 1 步： $Q ≪ P$ 对每个 $q \in [0, 1]$ 都成立。 $P$ 的零概率事件只有 $\emptyset$ （因为 $p > 0 、$ $1 - p > 0 ），$ 而 $Q (\emptyset) = 0 。$ 所以定义 17（第 26 页）的条件自动满足。

第 2 步：列方程求 $L 。$ 密度要满足 $Q (A) = E_{P} [L 1_{A}] 。$ 取 $A = {ω_{1}} ：$ $E_{P} [L 1_{{ω_{1}}}] = L (ω_{1}) p ，$ 要等于 $q ；$ 取 $A = {ω_{2}} ：$ $L (ω_{2}) (1 - p)$ 要等于 $1 - q 。$ 解得

L (ω_{1}) = \frac{q}{p}, L (ω_{2}) = \frac{1 - q}{1 - p}, 即 L = \frac{q}{p} 1_{{ω_{1}}} + \frac{1 - q}{1 - p} 1_{{ω_{2}}} .

第 3 步：检查它确实是密度。

非负： $q \geq 0 、$ $1 - q \geq 0 ，$ 分母 $p 、$ $1 - p$ 都是正数。
期望为 1： $E_{P} L = p \cdot \frac{q}{p} + (1 - p) \cdot \frac{1 - q}{1 - p} = q + (1 - q) = 1 。$
四个事件逐一核对：

事件 $A$	$E_{P} [L 1_{A}]$	$Q (A)$
$\emptyset$	$0$	$0$
${ω_{1}}$	$\frac{q}{p} \cdot p = q$	$q$
${ω_{2}}$	$\frac{1 - q}{1 - p} \cdot (1 - p) = 1 - q$	$1 - q$
$Ω$	$q + (1 - q) = 1$	$1$

第 4 步：唯一性。 由第 28 页，密度在「 $P$ -几乎必然」意义下唯一；这里 $P$ 没有非空的零概率事件，所以 $L$ 在每一点都唯一。第 2 步的方程也说明了这一点：两个未知数、两个方程，解是唯一的。

第 5 步：反方向 $P ≪ Q$ 什么时候成立？ 要看 $Q$ 的零概率事件是否也是 $P$ 的零概率事件。

$0 < q < 1$ ： $Q$ 的零概率事件也只有空集，所以 $P ≪ Q ，$ 两者相互绝对连续。此时反方向的密度是 $\frac{d P}{d Q} (ω_{1}) = \frac{p}{q}, \frac{d P}{d Q} (ω_{2}) = \frac{1 - p}{1 - q},$ 恰好是 $\frac{1}{L}$ （第 35 页的倒数公式）。
$q = 0$ ： $Q ({ω_{1}}) = 0 ，$ 但 $P ({ω_{1}}) = p > 0 ，$ 所以 $P \neq ≪ Q 。$ 此时 $L (ω_{1}) = 0 ：$ 密度在一个 $P$ -概率为正的点上等于 0。
$q = 1$ ： $Q ({ω_{2}}) = 0 ，$ 但 $P ({ω_{2}}) = 1 - p > 0 ，$ 所以 $P \neq ≪ Q 。$ 此时 $L (ω_{2}) = 0 。$
总结： $P ≪ Q ⟺ L$ 处处为正 $⟺ 0 < q < 1$ 。这正是第 35 页开头的条件「 $L > 0$ $P$ -a.s.」。

第 6 步：期望怎么换算（第 32 页的预告）。 对随机变量 $X ，$ 记 $x_{1} = X (ω_{1}) ，$ $x_{2} = X (ω_{2}) ：$

E_{Q} X = q x_{1} + (1 - q) x_{2} = p \cdot \frac{q}{p} x_{1} + (1 - p) \cdot \frac{1 - q}{1 - p} x_{2} = E_{P} [X L] .

$Q$ 下的平均 = $P$ 下对 $X L$ 的平均。

怎样理解 L 的两个值

$L (ω)$ 是「新概率 ÷ 旧概率」。 $L (ω_{1}) > 1 ⟺ q > p ：$ $Q$ 比 $P$ 更看好 $ω_{1} 。$
$L \equiv 1 ⟺ q = p ：$ 两个概率相同（与第 28 页例 4 一致）。
$L$ 本身不是概率，可以大于 1。例如 $p = 0.01 、$ $q = 0.5$ 时 $L (ω_{1}) = 50 。$ 它只受一个约束：在 $P$ 下的平均值是 1。所以一个点上 $L$ 很大，另一个点上 $L$ 就得小于 1 来平衡。

人话版把 L 想成「放大倍数」

画两根柱子代表 $P ：$ 左柱高 $p$ （ $ω_{1} ），$ 右柱高 $1 - p$ （ $ω_{2} ）。$ 换测度就是把左柱放大 $L (ω_{1})$ 倍、右柱放大 $L (ω_{2})$ 倍，得到 $Q$ 的两根柱子 $q$ 和 $1 - q 。$ 放大倍数可以大于 1（拉长）也可以小于 1（压短），但放大之后两根柱子的总高度必须还是 1——这就是 $E_{P} L = p L (ω_{1}) + (1 - p) L (ω_{2}) = 1 。$ 如果某根柱子被放大 0 倍（ $q = 0$ 或 $q = 1 ），$ 它就消失了，再也「缩放」不回来，这就是反方向 $P ≪ Q$ 失败的原因。

例子

例 1：公平硬币换成偏硬币

抛一枚硬币， $ω_{1} = H$ （正面）， $ω_{2} = T$ （反面）。 $P$ 是公平硬币（ $p = \frac{1}{2} ），$ $Q$ 是正面概率 $0.9$ 的偏硬币（ $q = 0.9 ）。$

$L (H) = \frac{0.9}{0.5} = 1.8 ，$ $L (T) = \frac{0.1}{0.5} = 0.2 。$
检查： $0.5 \times 1.8 + 0.5 \times 0.2 = 0.9 + 0.1 = 1 。$
读法：看到正面时，「偏硬币假设」比「公平假设」可信 1.8 倍；看到反面时只有 0.2 倍。这就是统计里似然比的意思。

例 2：抛两次，似然比相乘

同一枚硬币独立抛两次， $Ω = {HH, HT, TH, TT} 。$ $P ：$ 每个结局 $\frac{1}{4} ；$ $Q ：$ 两次独立、每次正面概率 0.9，所以 $Q (HH) = 0.81 ，$ $Q (HT) = Q (TH) = 0.09 ，$ $Q (TT) = 0.01 。$

结局	$P$	$Q$	$L = Q / P$	单次比值之积
HH	0.25	0.81	3.24	$1.8 \times 1.8$
HT	0.25	0.09	0.36	$1.8 \times 0.2$
TH	0.25	0.09	0.36	$0.2 \times 1.8$
TT	0.25	0.01	0.04	$0.2 \times 0.2$

检查 $E_{P} L = \frac{3.24 + 0.36 + 0.36 + 0.04}{4} = \frac{4}{4} = 1 。$ 规律：独立重复时，总的似然比等于每一次似然比的乘积。抛 $n$ 次、出现 $k$ 次正面时， $L = 1. 8^{k} \times 0. 2^{n - k} 。$

例 3：金融里的「风险中性概率」

一只股票今天价格 100，明天要么涨到 120（ $ω_{1} ），$ 要么跌到 90（ $ω_{2} ）；$ 真实世界里上涨概率 $p = 0.6 。$ 假设利率为 0。

风险中性概率 $q$ 的定义是：在 $Q$ 下股票明天价格的期望等于今天价格， $120 q + 90 (1 - q) = 100 ，$ 解得 $30 q = 10 ，$ $q = \frac{1}{3} 。$
密度： $L (ω_{1}) = \frac{1/3}{0.6} = \frac{5}{9} \approx 0.556 ，$ $L (ω_{2}) = \frac{2/3}{0.4} = \frac{5}{3} \approx 1.667 。$ 检查 $0.6 \times \frac{5}{9} + 0.4 \times \frac{5}{3} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1 。$
用途：执行价 100 的看涨期权明天的收益是 $X (ω_{1}) = 20 、$ $X (ω_{2}) = 0 ，$ 它今天的价格是 $E_{Q} X = \frac{1}{3} \times 20 \approx 6.67 。$ 按第 6 步也可以在真实概率下算： $E_{P} [X L] = 0.6 \times 20 \times \frac{5}{9} \approx 6.67 ，$ 结果一样。

推导：一步一步来

推导证明思路

把例 2 推广到抛 $n$ 次：先写出每个结局在 $P 、$ $Q$ 下的概率，相除得到 $L ；$ 再用二项式定理验证 $E_{P} L = 1 。$

设一枚硬币独立抛 $n$ 次， $P$ 下每次正面概率为 $p$ （ $0 < p < 1 ），$ $Q$ 下为 $q$ （ $0 \leq q \leq 1 ）。$ 样本点 $ω$ 是一个长度为 $n$ 的 H/T 串，记 $k (ω)$ 为其中正面的个数。

两个概率：独立性意味着一个串的概率是各次概率的乘积，所以 $P ({ω}) = p^{k} (1 - p)^{n - k}, Q ({ω}) = q^{k} (1 - q)^{n - k} (k = k (ω)) .$
密度：每个 $P ({ω}) > 0 ，$ 按第 27 页的离散公式， $L (ω) = \frac{Q ({ ω })}{P ({ ω })} = (\frac{q}{p})^{k} (\frac{1 - q}{1 - p})^{n - k} .$ 这就是「每次的比值相乘」：出现一次正面乘一个 $\frac{q}{p} ，$ 出现一次反面乘一个 $\frac{1 - q}{1 - p} 。$
按正面个数分组求期望：恰有 $k$ 个正面的串共有 $(k n)$ 个（从 $n$ 个位置中选 $k$ 个放正面），每个串上 $L \cdot P ({ω}) = q^{k} (1 - q)^{n - k} 。$ 所以 $E_{P} L = k = 0 \sum n (k n) q^{k} (1 - q)^{n - k} = (q + (1 - q))^{n} = 1,$ 最后一步是二项式定理 $(a + b)^{n} = \sum_{k} (k n) a^{k} b^{n - k} 。$
检查 $n = 2$ ： $p = \frac{1}{2} 、$ $q = 0.9$ 时 $L = 1. 8^{k} \times 0. 2^{2 - k} ，$ $k = 2, 1, 0$ 分别给出 $3.24 、$ $0.36 、$ $0.04 ，$ 和例 2 的表格一致。

常见疑问与易错点

易错点问：为什么 q 可以取 0 或 1，p 却必须严格在 0 和 1 之间？

答： $0 < p < 1$ 保证 $P$ 没有非空的零概率事件，于是任何 $Q$ 都满足 $Q ≪ P ，$ 公式 $\frac{q}{p} 、$ $\frac{1 - q}{1 - p}$ 的分母也不会是 0。如果 $p = 0 ，$ ${ω_{1}}$ 是 $P$ -零概率事件，只有 $q = 0$ 时才有 $Q ≪ P ；$ 否则根本没有密度（第 27 页自测第 2 题）。

易错点问：L 是随机变量吗？它在 ℙ 下的分布是什么？

答：是。 $L$ 是 $Ω$ 上的函数，在 $2^{Ω}$ 下可测。它在 $P$ 下以概率 $p$ 取值 $\frac{q}{p} ，$ 以概率 $1 - p$ 取值 $\frac{1 - q}{1 - p} ，$ 平均值是 1。在 $Q$ 下它的分布不同：以概率 $q$ 取 $\frac{q}{p} 。$ 同一个函数，两个概率下分布不同，这就是「换测度」。

易错点问：q = 0 时 ℚ 还绝对连续于 ℙ 吗？

答：是的。 $Q ≪ P$ 只要求 $P$ 的零概率事件是 $Q$ 的零概率事件，而 $P$ 的零概率事件只有空集。 $q = 0$ 失败的是反方向 $P ≪ Q 。$ 不要把两个方向搞混。

小结与自测

小结本页小结

两点空间上 $\frac{d Q}{d P} (ω_{1}) = \frac{q}{p} ，$ $\frac{d Q}{d P} (ω_{2}) = \frac{1 - q}{1 - p} ：$ 新概率 ÷ 旧概率； $E_{P} L = 1 。$
$0 < p < 1$ 使 $P$ 没有非空零概率事件，所以 $Q ≪ P$ 对所有 $q$ 成立，且密度处处唯一。
$P ≪ Q ⟺ L$ 处处为正 $⟺ 0 < q < 1 ；$ 此时 $\frac{d P}{d Q} = \frac{1}{L} 。$
期望换算： $E_{Q} X = E_{P} [X L] ；$ 独立重复时似然比相乘。

自测

1. 取 $p = \frac{1}{4} ，$ $q = \frac{3}{4} 。$ 求 $L ，$ 并验证 $E_{P} L = 1 。$

点开看答案

$L (ω_{1}) = \frac{3/4}{1/4} = 3 ，$ $L (ω_{2}) = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3} 。$ $E_{P} L = \frac{1}{4} \times 3 + \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1 。$

2. 对哪些 $q ，$ $P ≪ Q$ 成立？ $q = 1$ 时密度 $L$ 在哪一点为 0？

点开看答案

$0 < q < 1$ 时成立。 $q = 1$ 时 $L (ω_{2}) = \frac{1 - 1}{1 - p} = 0 ：$ $Q$ 完全不给 $ω_{2}$ 质量，而 $P ({ω_{2}}) = 1 - p > 0 ，$ 所以 $P \neq ≪ Q 。$

3. 沿用第 1 题， $X (ω_{1}) = 10 ，$ $X (ω_{2}) = 0 。$ 分别直接计算 $E_{Q} X$ 和用 $E_{P} [X L]$ 计算。

点开看答案

直接： $E_{Q} X = \frac{3}{4} \times 10 + \frac{1}{4} \times 0 = 7.5 。$ 换算： $E_{P} [X L] = \frac{1}{4} \times (10 \times 3) + \frac{3}{4} \times (0 \times \frac{1}{3}) = 7.5 。$ 两者相等。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
Radon–Nikodym 导数	Radon–Nikodym derivative	Q ≪ P 时存在 L = dQ/dP ≥ 0，使 Q(A) = ∫_A L dP；它是「换测度的密度」。
绝对连续	absolute continuity	函数版：小区间总长很小时增量总和也很小；测度版：Q ≪ P，P 为零的事件 Q 也为零。
样本空间	sample space	一次试验所有可能的完整结局组成的集合，记作 Ω。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
样本点	sample point	一个完整的结局 ω；每次试验恰好实现一个样本点。
幂集	power set	一个集合的所有子集组成的集合族，记作 2^Ω；n 个元素的集合有 2ⁿ 个子集。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
子集	subset	A 的每个元素都在 B 里，就说 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
空集	empty set	一个元素也没有的集合，记作 ∅。作为事件，它永远不会发生。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
换测度	change of measure	用 E_Q[X] = E_P[X · dQ/dP] 在两个概率之间换算期望。
独立	independence	任意有限个事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。