一阶矩无穷时 lim sup |Xₙ|/n = ∞：独立同分布的观测会无穷多次越过任何直线

这一页在讲什么

这是第 2 部分「随机变量的收敛」的第五页，是 第 11 页 推论 8 的反面。

• 第 11 页：同分布、$\mathbb{E}|X_1|<\infty$ ⇒ $X_n/n\to 0$ 几乎必然（不需要独立）。
• 本页：独立同分布、$\mathbb{E}|X_1|=\infty$ ⇒ ${\mathrm{limsup}}_n|X_n|/n=\infty$ 几乎必然（需要独立）。
• 两页合起来，对独立同分布的序列得到一个干净的二分：

两页的结构完全对称：第 11 页 用尾级数比较的左半边 + 第一 Borel–Cantelli 引理；本页用右半边 + 第二 Borel–Cantelli 引理。代价是：第二引理需要独立性，所以本页的定理要求独立。

先补基础

课件原文逐句精读

• Infinite first moment（蓝条标题前半）：「一阶矩无穷」，即 $\mathbb{E}|X_1|=\infty 。$这是定理的条件。
• $\mathrm{limsup}|X_n|/n=\infty$（蓝条标题后半）：比值 $|X_n|/n$ 的上极限是无穷，即「比值会无穷多次超过任何给定的数」。这是定理的结论（几乎必然成立）。
• Theorem 9：定理 9，编号接着 第 11 页 的推论 8。它叫「定理」而不是「推论」，因为证明要用到一个新的条件（独立性）和另一个引理（第二 Borel–Cantelli 引理）。
• Independent, identically distributed $(X_n)$：「独立同分布的 $(X_n)」，$简写 i.i.d.（第 6 页 补充定义）。和 第 11 页 的推论 8 相比，多了「独立」两个字——这是定理成立的关键条件，后面例 3 说明去掉它会怎样。
• Proof：证明。定理和证明都留白，下面补全。
• 设定沿用 第 9 页：所有 $X_n$ 是同一个概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 上的实值随机变量。

补全课件留白

Theorem 9 (Independent, identically distributed (Xₙ))｜定理 9（独立同分布的序列）

逐个看：

• 独立：让事件 $\{|X_n|>Cn\}$ 相互独立，才能用第二 Borel–Cantelli 引理。
• 同分布：让每个 $\mathbb{P}(|X_n|>Cn)$ 都等于 $X_1$ 的尾概率 $\mathbb{P}(|X_1|>Cn)，$于是概率之和变成 $X_1$ 的尾级数，能用 第 12 页 的比较。
• $\mathbb{E}|X_1|=\infty$：通过尾级数比较的右半边，保证这个尾级数发散。
• 结论的人话：在几乎每一个世界 $\omega$ 里，画任意一条过原点的直线 $y=Cx，$点 $(n,|X_n(\omega )|)$ 都会无穷多次跳到直线上方。和 第 11 页 对照：那里是「任何直线最终都压得住」，这里是「任何直线永远压不住」。
• 「等价地」那一句：若对每个 $C$ 都有 $\mathbb{P}(|X_n|>Cn\text{i.o.})=1，$下面证明第 4、5 步给出 $\mathrm{limsup}=\infty ；$反过来，若 ${\mathrm{limsup}}_n|X_n(\omega )|/n=\infty ，$则对每个 $C，$$|X_n(\omega )|/n>C$ 无穷多次（否则从某项起都 $\le C，$上极限 $\le C）。$

Proof｜证明

1. 写出事件，验证独立。固定正整数 $C，$令

$B_n$ 是开集，因而是博雷尔集。$X_1,X_2,\dots$ 相互独立，所以 $A_1^C,A_2^C,\dots$ 相互独立（先补基础，第 6 页）。2. 用同分布换成 $X_1$ 的尾概率。同分布给出 $\mathbb{P}(X_n\in B_n)=\mathbb{P}(X_1\in B_n)，$即

3. 尾级数发散。对 $Y=|X_1|\ge 0、$宽度 $h=C$ 用 第 12 页 引理的右半边：

右边第一项 $C\mathbb{P}(|X_1|>0)\le C$ 是有限数，所以第二项必须是 $\infty ：$

4. 第二 Borel–Cantelli 引理。第 1 步给出独立，第 3 步给出和为无穷。由定理 4（第 7 页），

在 ${\Omega }_C$ 上，$\frac{|X_n|}{n}>C$ 对无穷多个 $n$ 成立，由先补基础，${\mathrm{limsup}}_n\frac{|X_n|}{n}\ge C。$ 5. 对 $C\in \mathbb{N}$ 取交。令 ${\Omega }^{\ast }={\bigcap }_{C=1}^{\infty }{\Omega }_C。$由可数次可加性（第 4 页）和第 4 步，

所以 $\mathbb{P}({\Omega }^{\ast })=1。$在 ${\Omega }^{\ast }$ 上，对每个正整数 $C$ 都有 ${\mathrm{limsup}}_n|X_n|/n\ge C，$因此 ${\mathrm{limsup}}_n|X_n|/n=\infty 。$证毕。

定理里「对每个 $C>0」$的说法：任给实数 $C>0，$取正整数 $C^{\prime }\ge C，$则 $\{|X_n|>C^{\prime }n\}\subseteq \{|X_n|>Cn\}，$所以 ${\Omega }_{C^{\prime }}\subseteq \{|X_n|>Cn\text{i.o.}\}，$后者概率也是 1。

与推论 8 合起来：独立同分布时的二分法

例子

推导：一步一步来

推广：样本均值也不收敛（强大数定律的逆）。 设 $X_n$ 独立同分布，$\mathbb{E}|X_1|=\infty ，$$S_n=X_1+\cdots +X_n。$则 $S_n/n$ 不可能几乎必然收敛到一个有限的数（甚至有限的随机变量）。

1. 反设在一个概率为正的事件 $G$ 上，$S_n(\omega )/n\to c(\omega )，$$c(\omega )$ 是有限实数。
2. 对 $n\ge 2，$$X_n=S_n-S_{n-1}，$所以

3. 在 $G$ 上，$\frac{S_n}{n}\to c，$$\frac{S_{n-1}}{n-1}\to c，$$\frac{n-1}{n}\to 1，$所以 $\frac{X_n}{n}\to c-1\cdot c=0。$
4. 于是 $|X_n|/n\to 0$ 在 $G$ 上成立，${\mathrm{limsup}}_n|X_n|/n=0；$而定理 9 说 $\mathrm{limsup}=\infty$ 几乎必然，两者只能在概率为 0 的事件上同时成立。所以 $\mathbb{P}(G)=0，$矛盾。

意思是：一阶矩无穷时，样本均值无法稳定下来。 这是后面学强大数定律时「为什么要假设 $\mathbb{E}|X_1|<\infty 」$的答案：这个条件不仅够用，而且对独立同分布序列是必要的。

每个 $C$ 都能独立地用一次第二引理吗？ 能。第 1–4 步里 $C$ 是固定的，用的是一列事件 $(A_n^C{)}_{n\ge 1}；$换一个 $C，$就是另一列事件，重新用一次引理。第 5 步才把这可数多个结论合并。整个证明里从不需要不同 $C$ 对应的事件之间有任何独立性。

尾级数比较右半边的作用。 第 3 步要从「$\mathbb{E}|X_1|=\infty 」$推出「${\sum }_n\mathbb{P}(|X_1|>Cn)=\infty 」。$第 11 页 只用了左半边（期望 $\ge$ 下阶梯），那个方向推不出这里要的结论；这里必须用「期望 $\le$ 上阶梯」：上阶梯面积至少是无穷，而它只比级数多一个有限的首项。

常见疑问与易错点

小结与自测