41 高斯换测度：同一个 X，在 ℚ 下均值从 0 挪到 a · 第3讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

$X$ 在 $P$ 下是标准正态 $N (0, 1) 。$ 取权重 $L = e^{a X - a^{2} /2} ，$ 令 $Q (A) = E_{P} [L 1_{A}] ，$ 那么同一个 $X$ 在 $Q$ 下就变成 $N (a, 1) ：$ 钟形曲线整体向右挪了 $a 。$ 权重的样子来自「两个密度相除」（The density ratio），指数里的 $- a^{2} /2$ 来自「总概率必须是 1」（Normalization）。

这一页属于第 5 部分「抽样中的应用」。前面第 36 页–第 40 页在区间 $(0, 1)$ 上做重要性抽样；从这一页起换到正态分布，这是实际应用里最常见的情形。
用到的理论都在第 4 部分：用密度造概率（第 26 页）、Radon–Nikodym 导数（第 27 页）、期望换算 $E_{Q} X = E_{P} [X L]$ （第 32 页）、倒数密度（第 35 页）。
后面几页的安排：第 42 页把两次平移接起来，用来检验链式法则；第 43 页–第 45 页用这一页的 $Q$ 去估计一个极小的概率 $P (X > b) 。$

先补基础

基础补课正态分布 N(μ,1)、密度 φ 与分布函数 Φ

$ϕ$ 是希腊字母 phi（读作「斐」，也常写成 $φ ），$ $Φ$ 是它的大写。课件规定 $ϕ (x) = (2 π)^{- 1/2} e^{- x^{2} /2} ，$ 这是标准正态密度：一条以 0 为中心、左右对称的钟形曲线， $ϕ (- x) = ϕ (x) ，$ 并且对每个 $x$ 都有 $ϕ (x) > 0 。$
$(2 π)^{- 1/2} = \frac{1}{2 π} \approx 0.3989$ 是让曲线下总面积等于 1 的常数： $\int_{- \infty}^{\infty} ϕ (x) d x = 1 。$
「 $X \sim N (0, 1)$ under $P 」$ 读作「在 $P$ 下 $X$ 服从标准正态分布」，意思是：对每个博雷尔集 $B ，$ $P (X \in B) = \int_{B} ϕ (x) d x 。$
$Φ (x) = \int_{- \infty}^{x} ϕ (y) d y$ 是标准正态的分布函数（CDF）。常用值： $Φ (0) = 0.5 ，$ $Φ (1) \approx 0.8413 ，$ $Φ (- 1) \approx 0.1587 。$
$N (a, 1)$ 的密度是 $ϕ (x - a) ：$ 把钟形曲线整体向右平移 $a$ （ $a < 0$ 时向左）。它的分布函数是 $Φ (x - a) 。$

基础补课指数的运算与平方展开

$e^{u} \cdot e^{v} = e^{u + v} ，$ $\frac{e ^{u}}{e ^{v}} = e^{u - v} ，$ $(e^{u})^{2} = e^{2 u} 。$ 例： $\frac{e ^{5}}{e ^{2}} = e^{3} 。$
$(x - a)^{2} = x^{2} - 2 a x + a^{2} 。$ 例： $(x - 3)^{2} = x^{2} - 6 x + 9 。$
配方：把 $x^{2} - 2 a x$ 凑成一个完全平方， $x^{2} - 2 a x = (x - a)^{2} - a^{2} 。$ 验证：右边展开是 $x^{2} - 2 a x + a^{2} - a^{2} 。$

基础补课有密度时怎么算期望

若 $X$ 在 $P$ 下有密度 $f ，$ 则对任何非负可测函数 $g ，$ $E_{P} g (X) = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) f (x) d x .$ 这是第 2 讲「期望可以对分布积分」（第 7 页）在有密度时的样子：把 $g$ 乘上密度，再对 $x$ 积分。证明走的是和第 32 页一样的「示性函数 → 简单函数 → 非负可测函数（用单调收敛定理）」这几步。
特例 $g = 1_{B} ：$ $E_{P} 1_{{X \in B}} = P (X \in B) = \int_{B} f (x) d x ，$ 就是密度的定义。
平移换元： $\int_{- \infty}^{c} h (y - a) d y = \int_{- \infty}^{c - a} h (z) d z$ （令 $z = y - a ，$ 上限 $c$ 变成 $c - a ）。$ 它成立是因为勒贝格测度的平移不变性（第 23 页）：把区间整体挪动，长度不变。特别地， $\int_{- \infty}^{\infty} ϕ (y - a) d y = \int_{- \infty}^{\infty} ϕ (z) d z = 1 。$

课件原文逐句精读

课件原文课件印刷文字

Fix $a \in R$ and let $X \sim N (0, 1)$ under $P$ . We want this same $X$ to have law $N (a, 1)$ under $Q$ . Write $ϕ (x) = (2 π)^{- 1/2} e^{- x^{2} /2}$ .

The density ratio

Normalization

中文翻译

固定 $a \in R ，$ 设在 $P$ 下 $X \sim N (0, 1) 。$ 我们希望同一个 $X$ 在 $Q$ 下的分布是 $N (a, 1) 。$ 记 $ϕ (x) = (2 π)^{- 1/2} e^{- x^{2} /2} 。$

密度之比

归一化

逐句看：

Fix $a \in R$ ： $a$ 是一个事先定好的实数，可以是正数、负数或 0。 $a$ 就是我们想让均值挪动的距离。
$X \sim N (0, 1)$ under $P$ ：原来的概率 $P$ 下， $X$ 是标准正态。
this same $X$ ：这是整页最关键的词。我们不改动随机变量 $X$ （ $X$ 还是同一个函数 $Ω \to R ），$ 只改动「给每个结局 $ω$ 的权重」，也就是把概率从 $P$ 换成 $Q 。$ 这和第 31 页里「同一个函数，两个概率下分布不同」是同一件事。
to have law $N (a, 1)$ under $Q$ ：law（分布）指 $X$ 把概率「推到」实数轴上得到的那个分布（第 6 页）。目标是：按 $Q$ 看， $X$ 的钟形曲线以 $a$ 为中心。
Write $ϕ (x) = \dots$ ：只是给标准正态密度起个名字，后面反复用。
两个加粗小标题是老师板书的两步，下一节补全：先猜出权重 $L$ （密度之比），再检查它的期望是 1（归一化）。

为什么要费力换测度？第 43 页会看到：想估计 $P (X > 4) \approx 3 \times 1 0^{- 5}$ 这样的小概率，在 $P$ 下抽样几乎抽不到 $X > 4 ；$ 换到 $Q$ 下（ $a = 4 ）$ 抽样，一半的样本都落在 $X > 4 ，$ 再用权重纠正回来。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

The density ratio｜密度之比

思路：新密度 ÷ 旧密度。 在第 31 页的两点空间里， $L (ω)$ 就是「新概率 ÷ 旧概率」。连续情形完全类似：看 $X$ 落在一个很短的区间 $[x, x + h]$ 里的概率，

P (x \leq X \leq x + h) \approx ϕ (x) h, 希望 Q (x \leq X \leq x + h) \approx ϕ (x - a) h .

两者相除， $h$ 约掉，得到比值 $\frac{ϕ ( x - a )}{ϕ ( x )}$ （这正是第 27 页「角度二」说的：导数 = 小事件上概率的比值）。于是猜

L := \frac{ϕ ( X - a )}{ϕ ( X )} .

分母 $ϕ (X)$ 永远大于 0，所以这个比值对每个 $ω$ 都有定义。下面把它化简，每一步都写出来：

\frac{ϕ ( x - a )}{ϕ ( x )} = \frac{( 2 π ) ^{- 1/2} e ^{- (x - a)^{2} /2}}{( 2 π ) ^{- 1/2} e ^{- x^{2} /2}} = e^{- \frac{( x - a ) ^{2}}{2} + \frac{x ^{2}}{2}} = e^{\frac{- ( x ^{2} - 2 a x + a ^{2} ) + x ^{2}}{2}} = e^{\frac{2 a x - a ^{2}}{2}} = e^{a x - a^{2} /2} . （代入 ϕ 的定义） （常数 (2 π)^{- 1/2} 约掉； e^{u} / e^{v} = e^{u - v} ） （展开 (x - a)^{2} ，通分） （ - x^{2} 与 + x^{2} 抵消）

所以 $L = e^{a X - a^{2} /2}$ 。 $L$ 是 $X$ 的连续函数，因而是可测函数（第 29 页），是一个随机变量；它处处为正。

怎么读这个权重（取 $a > 0 ）：$

$L$ 随 $X$ 增大而增大： $X$ 越大， $Q$ 给它的权重比 $P$ 越多，钟形曲线的质量被往右「搬」。
$L = 1$ 恰好发生在 $a X - \frac{a ^{2}}{2} = 0 ，$ 即 $X = \frac{a}{2}$ ——两个均值 $0$ 和 $a$ 的正中间，也就是两条钟形曲线的交点。左边 $L < 1$ （压低），右边 $L > 1$ （抬高）。

人话版画一张图就明白了

在同一个坐标系里画两条钟形曲线：实线 $ϕ (x)$ 以 0 为中心，虚线 $ϕ (x - a)$ 以 $a$ 为中心（设 $a > 0 ）。$ 两条曲线形状完全一样，只是左右错开，在 $x = \frac{a}{2}$ 处相交。 $L (x)$ 就是「虚线高度 ÷ 实线高度」：交点左边虚线矮， $L < 1 ；$ 交点右边虚线高， $L > 1 ；$ 越往右，实线比虚线掉得快得多，比值 $e^{a x - a^{2} /2}$ 按指数增长。把实线每一点的高度乘以 $L (x) ，$ 正好得到虚线——这就是「 $Q$ 下的密度 $= L \times P$ 下的密度」。

Normalization｜归一化

光有 $L \geq 0$ 还不够：由第 26 页的命题，要让 $Q (A) = E_{P} [L 1_{A}]$ 是一个概率，还需要 $Q (Ω) = E_{P} L = 1 。$ 指数里多出来的常数 $- \frac{a ^{2}}{2}$ 就是为这件事准备的。关键是算出 $E_{P} e^{a X} 。$

第 1 步：写成积分。 用「有密度时怎么算期望」（ $g (x) = e^{a x} \geq 0 ）：$

E_{P} e^{a X} = \int_{- \infty}^{\infty} e^{a x} ϕ (x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} (2 π)^{- 1/2} e^{a x - x^{2} /2} d x .

第 2 步：对指数配方。

a x - \frac{x ^{2}}{2} = - \frac{1}{2} (x^{2} - 2 a x) = - \frac{1}{2} ((x - a)^{2} - a^{2}) = - \frac{( x - a ) ^{2}}{2} + \frac{a ^{2}}{2} .

第一个等号提出 $- \frac{1}{2} ；$ 第二个等号用配方 $x^{2} - 2 a x = (x - a)^{2} - a^{2} ；$ 第三个等号把 $- \frac{1}{2}$ 乘进去。

第 3 步：认出平移后的密度。 由第 2 步，

e^{a x} ϕ (x) = (2 π)^{- 1/2} e^{- (x - a)^{2} /2} \cdot e^{a^{2} /2} = e^{a^{2} /2} ϕ (x - a) .

第 4 步：积分。 常数 $e^{a^{2} /2}$ 提到积分外面，再用平移换元：

E_{P} e^{a X} = e^{a^{2} /2} \int_{- \infty}^{\infty} ϕ (x - a) d x = e^{a^{2} /2} \cdot 1 = e^{a^{2} /2} .

第 5 步：归一化成立。 $L = e^{- a^{2} /2} \cdot e^{a X} ，$ 其中 $e^{- a^{2} /2}$ 是常数，可以提出期望：

E_{P} L = e^{- a^{2} /2} E_{P} e^{a X} = e^{- a^{2} /2} \cdot e^{a^{2} /2} = 1.

补充为什么「密度之比」自动满足归一化

不用算也能看出来： $E_{P} L = \int \frac{ϕ ( x - a )}{ϕ ( x )} ϕ (x) d x = \int ϕ (x - a) d x = 1$ ——分母和密度约掉，剩下新密度的总面积。上面的五步是把这件事用指数形式老老实实算一遍，顺便得到一个以后常用的公式 $E_{P} e^{a X} = e^{a^{2} /2}$ （标准正态的矩母函数）。

验证：在 ℚ 下 X ∼ N(a,1)

现在按第 26 页定义 $Q (A) := E_{P} [L 1_{A}] 。$ 它是概率，而且 $\frac{d Q}{d P} = L 。$ 还要检查它确实完成了任务： $X$ 在 $Q$ 下的分布函数是 $Φ (x - a) 。$ 对任意 $x \in R ：$

Q (X \leq x) = E_{P} [L 1_{{X \leq x}}] = \int_{- \infty}^{x} e^{a y - a^{2} /2} ϕ (y) d y = \int_{- \infty}^{x} ϕ (y - a) d y = \int_{- \infty}^{x - a} ϕ (z) d z = Φ (x - a) . （ Q 的定义， A = {X \leq x} ） （有密度时算期望， g (y) = e^{a y - a^{2} /2} 1_{(- \infty, x]} (y) ） （密度之比： e^{a y - a^{2} /2} ϕ (y) = ϕ (y - a) ） （换元 z = y - a ） （ Φ 的定义）

$Φ (x - a)$ 正是 $N (a, 1)$ 的分布函数，而分布函数决定整个分布（第 8 页），所以在 $Q$ 下 $X \sim N (a, 1)$ 。

命题（高斯换测度）

设在 $(Ω, F, P)$ 上 $X \sim N (0, 1) ，$ 固定 $a \in R 。$ 令

L := \frac{ϕ ( X - a )}{ϕ ( X )} = e^{a X - a^{2} /2}, Q (A) := E_{P} [L 1_{A}] (A \in F) .

那么：

$L > 0 ，$ $E_{P} L = 1 ，$ 所以 $Q$ 是 $(Ω, F)$ 上的概率测度， $Q ≪ P ，$ $\frac{d Q}{d P} = L ；$
在 $Q$ 下 $X \sim N (a, 1) ：$ $Q (X \leq x) = Φ (x - a)$ 对所有 $x \in R$ 成立；
因为 $L > 0 ，$ 反方向 $P ≪ Q$ 也成立，并且 $\frac{d P}{d Q} = \frac{1}{L} = e^{- a X + a^{2} /2}$ （第 35 页）。

第 3 条就是后面稀有事件抽样要用的「纠正权重」。

一般做法：任意两个密度之间怎么换

设 $X$ 在 $P$ 下有密度 $f ，$ 想让它在 $Q$ 下有密度 $g ，$ 并且「 $g (x) > 0$ 的地方一定有 $f (x) > 0 」。$ 令 $L = \frac{g ( X )}{f ( X )}$ （在 $f (X) = 0$ 这个零概率事件上令 $L = 0 ），$ 则 $E_{P} L = \int_{{f > 0}} \frac{g}{f} f d x = \int g d x = 1 ，$ 并且 $Q (X \in B) = \int_{B} g d x 。$ 本页是 $f = ϕ 、$ $g (x) = ϕ (x - a)$ 的情形，例 2 是指数分布的情形；第 38 页挑选抽样密度，本质上也是在挑一个合适的新密度。条件「 $g > 0 \Rightarrow f > 0 」$ 就是绝对连续，例 3 说明它不能少。

例子

例 1：a = 1 时的权重和概率

$L = e^{X - 1/2} 。$ 几个取值：

$X$ 的值	$- 1$	$0$	$0.5$	$1$	$2$	$3$
$L = e^{X - 1/2}$	$0.223$	$0.607$	$1$	$1.649$	$4.482$	$12.18$

在 $X = 0.5$ （0 与 1 的中点）权重恰好是 1；越往右权重越大。
$P (X \leq 0) = Φ (0) = 0.5 ，$ 而 $Q (X \leq 0) = Φ (0 - 1) = Φ (- 1) \approx 0.1587 ：$ 换到 $Q$ 后， $X$ 取负值变得不太可能。
$P (X > 1) = 1 - Φ (1) \approx 0.1587 ，$ 而 $Q (X > 1) = 1 - Φ (0) = 0.5 ：$ 原来六分之一左右的事件，在 $Q$ 下变成了「抛硬币」。

例 2：同样的办法用在指数分布上

设在 $P$ 下 $X$ 只取正值，服从参数为 1 的指数分布，密度 $e^{- x}$ （ $x > 0 ）。$ 想让 $X$ 在 $Q$ 下服从参数为 $λ > 0$ 的指数分布，密度 $λ e^{- λ x} 。$

密度之比： $L = \frac{λ e ^{- λ X}}{e ^{- X}} = λ e^{- (λ - 1) X} > 0 。$
归一化： $E_{P} L = \int_{0}^{\infty} λ e^{- (λ - 1) x} e^{- x} d x = \int_{0}^{\infty} λ e^{- λ x} d x = [- e^{- λ x}]_{0}^{\infty} = 1 。$
验证： $Q (X > t) = \int_{t}^{\infty} λ e^{- (λ - 1) x} e^{- x} d x = \int_{t}^{\infty} λ e^{- λ x} d x = e^{- λ t} ，$ 正是参数 $λ$ 的指数分布的尾概率。
取 $λ = \frac{1}{2} ：$ $L = \frac{1}{2} e^{X /2} ，$ 大的 $X$ 被加权， $X$ 在 $Q$ 下的均值从 1 变成 2。

例 3（反例）：均匀分布不能这样「平移」

设在 $P$ 下 $X$ 服从 $(0, 1)$ 上的均匀分布，想让它在 $Q$ 下服从 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ 上的均匀分布。

目标要求 $Q (1 < X < \frac{3}{2}) = \frac{1}{2} ，$ 可是 $P (1 < X < \frac{3}{2}) = 0 。$ 这违反了绝对连续 $Q ≪ P$ （第 26 页定义 17），所以不存在这样的密度 $L 。$
用「密度之比」看：新密度在 $(1, \frac{3}{2})$ 上是 1，旧密度是 0，比值是「 $1 \div 0 」。$
高斯情形没有这个问题，因为 $ϕ (x) > 0$ 对每个 $x$ 都成立： $P$ 给每个区间都留了正的概率，想往哪里挪都可以。

推导：一步一步来

推导证明思路

上面只验证了分布函数。这里用期望换算公式（第 32 页）一次性算出 $X$ 在 $Q$ 下的所有期望，并算出 $L$ 的二阶矩——后者预告了「平移太远」的代价。

1. $Q$ 下任意函数的期望。 对非负可测函数 $g ：$

E_{Q} g (X) = E_{P} [g (X) L] = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) e^{a x - a^{2} /2} ϕ (x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) ϕ (x - a) d x . （命题 21 ：期望换算） （有密度时算期望） （密度之比那一步）

第一行用的是第 32 页的命题 21。所以 $X$ 在 $Q$ 下的密度就是 $ϕ (x - a) 。$

2. 均值是 $a 。$ 取 $g (x) = x$ （它有正有负，但对 $ϕ (x - a)$ 可积，命题 21 第 2 条同样适用）：

E_{Q} X = \int x ϕ (x - a) d x = \int (z + a) ϕ (z) d z = \int z ϕ (z) d z + a \int ϕ (z) d z = 0 + a = a .

第二个等号是换元 $z = x - a ；$ $\int z ϕ (z) d z = 0$ 是因为 $z ϕ (z)$ 是奇函数（ $ϕ$ 左右对称），正负两半面积相等、互相抵消。

3. 权重的二阶矩。 用「归一化」一节算出的公式 $E_{P} e^{c X} = e^{c^{2} /2}$ （那里的 $a$ 可以是任何实数，这里取 $c = 2 a ）：$

E_{P} L^{2} = E_{P} e^{2 a X - a^{2}} = e^{- a^{2}} E_{P} e^{2 a X} = e^{- a^{2}} \cdot e^{(2 a)^{2} /2} = e^{- a^{2}} \cdot e^{2 a^{2}} = e^{a^{2}} .

于是 $L$ 在 $P$ 下的方差是 $e^{a^{2}} - 1 。$ $a = 1$ 时约为 1.72， $a = 3$ 时约为 8102， $a = 4$ 时约为 $8.9 \times 1 0^{6} 。$ 平移得越远，权重就越不均匀：少数样本权重极大，多数样本权重极小。第 44 页会看到，这正是「平移距离不能随便选」的原因。

常见疑问与易错点

易错点问：换测度之后，X 本身变了吗？

答：没有变。 $X$ 还是原来那个函数，对同一个 $ω$ 取同一个值。变的是「每个 $ω$ 有多大可能」： $Q$ 把 $X$ 取大值的那些 $ω$ 加了权重。所以说「在 $P$ 下 $X \sim N (0, 1) 、$ 在 $Q$ 下 $X \sim N (a, 1) 」$ 并不矛盾，就像第 31 页里同一枚硬币在两个假设下正面概率不同。

易错点问：为什么不干脆令 Y = X + a？它也服从 N(a,1)。

答： $Y = X + a$ 是换随机变量、不换概率；这一页是换概率、不换随机变量。两种做法得到的分布一样，但用途不同：重要性抽样需要把「 $Q$ 下的样本」和「 $P$ 下的期望」联系起来，靠的就是 $E_{P} Z = E_{Q} [Z / L]$ 这样的换算公式（第 35 页），只有换测度才有这个公式。实际抽样时，我们确实用 $X = a + Z$ （ $Z$ 为标准正态）来生成 $Q$ 下的样本，这一点在第 43 页会用到。

易错点问：指数里的 −a²/2 可以省掉吗？

答：不可以。若取 $L^{'} = e^{a X} ，$ 则 $E_{P} L^{'} = e^{a^{2} /2} \neq = 1$ （ $a \neq = 0$ 时），造出来的 $Q^{'} (Ω) = e^{a^{2} /2} > 1 ，$ 不是概率。 $- \frac{a ^{2}}{2}$ 就是归一化常数：把 $L^{'}$ 除以它的期望 $e^{a^{2} /2}$ 得到 $L 。$

易错点问：L 可以大于 1，这合理吗？

答：合理。 $L$ 不是概率，是「放大倍数」（第 31 页）。它唯一的约束是 $P$ 下的平均值为 1：一部分地方放大（ $X > \frac{a}{2} ），$ 另一部分地方就得压小（ $X < \frac{a}{2} ）。$

小结与自测

小结本页小结

目标：不改 $X ，$ 只换概率，让 $X$ 的分布从 $N (0, 1)$ 变成 $N (a, 1) 。$
密度之比： $L = \frac{ϕ ( X - a )}{ϕ ( X )} = e^{a X - a^{2} /2} ，$ 靠展开 $(x - a)^{2}$ 化简。
归一化：配方 $a x - \frac{x ^{2}}{2} = - \frac{( x - a ) ^{2}}{2} + \frac{a ^{2}}{2}$ 给出 $E_{P} e^{a X} = e^{a^{2} /2} ，$ 所以 $E_{P} L = 1 。$
验证： $Q (X \leq x) = Φ (x - a) ；$ 并且 $L > 0 ，$ 所以 $P 、$ $Q$ 相互绝对连续， $\frac{d P}{d Q} = e^{- a X + a^{2} /2} 。$
平移越远， $L$ 越不均匀： $E_{P} L^{2} = e^{a^{2}} 。$

自测

1. 取 $a = - 2 。$ 写出 $L ，$ 并求 $Q (X \leq - 2) 。$

点开看答案

$L = e^{a X - a^{2} /2} = e^{- 2 X - 2} 。$ 由命题第 2 条， $Q (X \leq - 2) = Φ (- 2 - (- 2)) = Φ (0) = \frac{1}{2} 。$ 在 $Q$ 下 $X$ 的中心是 $- 2 ，$ 所以一半概率落在 $- 2$ 左边。

2. 用配方计算 $E_{P} e^{3 X}$ （ $X \sim N (0, 1) ）。$

点开看答案

$3 x - \frac{x ^{2}}{2} = - \frac{1}{2} (x^{2} - 6 x) = - \frac{1}{2} ((x - 3)^{2} - 9) = - \frac{( x - 3 ) ^{2}}{2} + \frac{9}{2} ，$ 所以 $e^{3 x} ϕ (x) = e^{9/2} ϕ (x - 3) ，$ 积分得 $E_{P} e^{3 X} = e^{9/2} \int ϕ (x - 3) d x = e^{9/2} \approx 90.0 。$ 这与公式 $E_{P} e^{a X} = e^{a^{2} /2}$ （ $a = 3 ）$ 一致。

3. 设 $a \neq = 0 。$ $X$ 取什么值时 $L = 1 ？$ 当 $a > 0$ 时， $X$ 在哪一侧 $L > 1 ？$

点开看答案

$L = 1 ⟺ a X - \frac{a ^{2}}{2} = 0 ⟺ X = \frac{a}{2} ，$ 即 0 和 $a$ 的中点，也是两条钟形曲线 $ϕ (x)$ 与 $ϕ (x - a)$ 的交点。 $a > 0$ 时 $a X - \frac{a ^{2}}{2}$ 随 $X$ 增大而增大，所以 $X > \frac{a}{2}$ 时 $L > 1 ：$ 新曲线在交点右边比旧曲线高。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
重要性抽样	importance sampling	从另一个更合适的分布抽样，再乘以权重纠正，从而减小估计的方差。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
Radon–Nikodym 导数	Radon–Nikodym derivative	Q ≪ P 时存在 L = dQ/dP ≥ 0，使 Q(A) = ∫_A L dP；它是「换测度的密度」。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
标准正态分布	standard normal distribution	均值 0、方差 1 的正态分布 N(0, 1)，密度 exp(−x²/2)/√(2π)，分布函数记作 Φ。
博雷尔 σ-代数	Borel sigma-algebra	由实数轴上所有开区间生成的 σ-代数 𝓑(ℝ)，包含所有常见的集合。
累积分布函数	cumulative distribution function (CDF)	F(x) = P(X ≤ x)，单调不减、右连续，完全决定分布。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
示性函数	indicator function	𝟏_A(x) 在 x ∈ A 时取 1，否则取 0；它的积分就是 A 的测度。
简单函数	simple function	只取有限个值的可测函数，是若干示性函数的线性组合，图像像台阶。
平移不变性	translation invariance	把集合整体平移，测度不变：μ(E + t) = μ(E)。长度就有这个性质。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
换测度	change of measure	用 E_Q[X] = E_P[X · dQ/dP] 在两个概率之间换算期望。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
指数分布	exponential distribution	P(X > x) = e^(−λx)（x ≥ 0）的分布，均值 1/λ，常用来描述等待时间。
绝对连续	absolute continuity	函数版：小区间总长很小时增量总和也很小；测度版：Q ≪ P，P 为零的事件 Q 也为零。
尾概率	tail probability	随机变量取到「很大的值」的概率，例如 P(X > t) 或 P(\|X\| ≥ t)。它随 t 增大而下降得越慢，分布的尾巴就越「厚」。
阶矩	moment	E[\|X\|ᵖ] 叫 p 阶（绝对）矩；它有限与否反映尾部有多「重」。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
方差	variance	Var X = E[(X − E X)²]，衡量随机变量围绕均值的波动大小。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。