34 Radon–Nikodym 导数的链式法则：连换两次测度，密度相乘 · 第3讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

先从 $P$ 换到 $Q ，$ 再从 $Q$ 换到第三个概率 $Q ，$ 那么「直接从 $P$ 换到 $Q 」$ 的密度就是两段密度的乘积：

\frac{d Q}{d P} = \frac{d Q}{d Q} \cdot \frac{d Q}{d P} P - 几乎必然 .

它看起来像分数约分，但其实是一个要证明的命题：证明只用两样东西——期望换算公式（命题 21）和密度的唯一性。

这是命题 21（第 32 页、第 33 页）证完之后的第一个应用，也是第 28 页「唯一性是识别工具」那句话的第一次实战。
下一页第 35 页会把 $Q$ 取成 $P$ 本身，从链式法则直接读出倒数公式 $\frac{d P}{d Q} = \frac{1}{L} 。$
第 42 页「高斯平移的复合」要把两次平移合成一次，用的也是这里的「密度相乘」。

先补基础

基础补课第三个概率 Q̃ 与「绝对连续的传递」

$Q$ 读作「Q 波浪」（Q tilde），只是同一个可测空间 $(Ω, F)$ 上第三个概率测度的名字。课件没有印出命题正文，本站选用这个记号，和第 27 页里的预告一致。
「 $Q ≪ Q ≪ P 」$ 是两句话的合写： $Q ≪ Q$ 并且 $Q ≪ P$ （定义 17，第 26 页）。
传递性：一种关系如果满足「 $a$ 与 $b$ 有关系、 $b$ 与 $c$ 有关系 ⇒ $a$ 与 $c$ 有关系」，就叫传递的。例如 $\leq ：$ $1 \leq 2 、$ $2 \leq 5$ ⇒ $1 \leq 5 。$ 命题 22 的第 1 条说「 $≪ 」$ 是传递的。

基础补课中学的链式法则：名字从哪里来

若 $z$ 是 $y$ 的函数、 $y$ 又是 $x$ 的函数，则 $\frac{d z}{d x} = \frac{d z}{d y} \cdot \frac{d y}{d x} 。$
例： $z = y^{2} ，$ $y = 3 x 。$ $\frac{d z}{d y} = 2 y ，$ $\frac{d y}{d x} = 3 ，$ 所以 $\frac{d z}{d x} = 2 y \cdot 3 = 6 y = 18 x ；$ 直接算 $z = 9 x^{2} ，$ $\frac{d z}{d x} = 18 x ，$ 一致。
含义：「变化率」一段一段地相乘。Radon–Nikodym 导数是「概率的变化率」（第 27 页角度二），所以也有同样形状的公式。

基础补课本页要用的两件工具

命题 21（第 32 页、第 33 页）： $Q ≪ P 、$ $L = \frac{d Q}{d P}$ 时，对每个非负可测 $X ，$ $E_{Q} X = E_{P} [X L] 。$
唯一性（第 28 页）：如果非负可测函数 $M$ 满足「 $Q (A) = E_{P} [M 1_{A}]$ 对所有 $A \in F$ 成立」，那么 $M$ 与 $\frac{d Q}{d P}$ 几乎必然相等。所以要认出一个 Radon–Nikodym 导数，只需要验证定义。

课件原文逐句精读

课件原文课件印刷文字

Proposition 22 (Chain rule)

Proof

中文翻译

命题 22（链式法则）

证明

课件只印了命题的名字和「Proof」这个标签，命题的内容和证明都是板书，下一节补全。
Chain rule（链式法则）：借用了微积分里的名字，因为结论和 $\frac{d z}{d x} = \frac{d z}{d y} \frac{d y}{d x}$ 形状一样。
蓝条标题 Chain rule for Radon–Nikodym derivatives：Radon–Nikodym 导数的链式法则。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

Proposition 22 (Chain rule)｜命题 22（链式法则）

命题 22（链式法则）

设 $P 、$ $Q 、$ $Q$ 是 $(Ω, F)$ 上的概率测度，并且 $Q ≪ Q 、$ $Q ≪ P 。$ 那么

$Q ≪ P ；$
$\frac{d Q}{d P} = \frac{d Q}{d Q} \cdot \frac{d Q}{d P}$ $P$ -几乎必然。

逐条理解：

两个条件要「首尾相接」： $Q ≪ Q$ 保证 $\frac{d Q}{d Q}$ 存在， $Q ≪ P$ 保证 $\frac{d Q}{d P}$ 存在（定理 18，第 27 页）。少了任何一个，右边的某个因子就没有定义（见例 5）。
第 1 条： $P$ 认为不可能的事， $Q$ 也认为不可能； $Q$ 认为不可能的事， $Q$ 也认为不可能。所以 $P$ 认为不可能的事， $Q$ 也认为不可能。这保证左边的 $\frac{d Q}{d P}$ 存在。
第 2 条的人话：把 Radon–Nikodym 导数想成「放大倍数」（第 31 页）。如果在某个 $ω$ 附近， $Q$ 给的概率是 $P$ 的 2 倍， $Q$ 给的概率又是 $Q$ 的 3 倍，那么 $Q$ 给的概率就是 $P$ 的 $2 \times 3 = 6$ 倍。
为什么只说 $P$ -几乎必然：Radon–Nikodym 导数本来就只在几乎必然意义下唯一（第 28 页），在一个 $P$ -零概率事件上改动任何一边，等式都可能在那里失效，但作为密度没有区别。

Proof｜证明

推导证明思路

第 1 条：零概率事件沿着 $P \to Q \to Q$ 一路传下去。第 2 条：记 $L_{1} = \frac{d Q}{d P} 、$ $L_{2} = \frac{d Q}{d Q} ，$ 用命题 21 验证乘积 $L_{2} L_{1}$ 满足「 $Q$ 关于 $P$ 的密度」的定义，再用唯一性认出它。

由定理 18（第 27 页），可以取定 $L_{1} = \frac{d Q}{d P}$ 和 $L_{2} = \frac{d Q}{d Q} ，$ 它们都是取值在 $[0, \infty)$ 的可测函数。

第 1 条的证明。

取 $A \in F ，$ 设 $P (A) = 0 。$
因为 $Q ≪ P ，$ 所以 $Q (A) = 0 。$
因为 $Q ≪ Q ，$ 所以 $Q (A) = 0 。$
$A$ 是任意的 $P$ -零概率事件，所以 $Q ≪ P 。$

第 2 条的证明。

候选函数：令 $M = L_{2} L_{1} 。$ 它是两个非负有限可测函数的乘积，所以非负、有限、可测。
验证定义：对任意 $A \in F ，$ $Q (A) = E_{Q} [L_{2} 1_{A}] = E_{P} [L_{2} 1_{A} \cdot L_{1}] = E_{P} [M 1_{A}] . （ L_{2} 是 Q 关于 Q 的密度）（命题 21 ，取非负可测的 X = L_{2} 1_{A} ）$ 注意第二个等号：命题 21 的「 $X 」$ 这里是 $L_{2} 1_{A} ，$ 它非负、可测，但一般不是简单函数，所以必须用第 33 页证完的第 3 步。
识别：第 2 步说 $M$ 满足「对所有 $A ，$ $Q (A) = \int_{A} M d P 」，$ 这正是 $Q$ 关于 $P$ 的密度的定义。由唯一性（第 28 页）， $M = \frac{d Q}{d P}$ $P$ -几乎必然。

证毕。顺便注意：第 2 步本身就说明 $Q$ 有关于 $P$ 的密度 $M ，$ 由第 26 页的命题，这已经推出 $Q ≪ P 。$ 第 1 条单独证一遍，是因为它本身就是一个有用的结论（传递性），而且证明只有两行。

右边为什么不依赖于 L₂ 的版本（选读）

$L_{2}$ 只在 $Q$ -几乎必然的意义下唯一。设 $L_{2}^{'}$ 是另一个版本，它和 $L_{2}$ 只在一个 $Q$ -零概率事件 $N$ 上不同。那么 $L_{2}^{'} L_{1}$ 和 $L_{2} L_{1}$ 只可能在 $N \cap {L_{1} > 0}$ 上不同（在 $L_{1} = 0$ 的地方两个乘积都是 0）。而

0 = Q (N) = E_{P} [L_{1} 1_{N}],

函数 $L_{1} 1_{N} \geq 0$ 的积分为 0，由零积分原理（第 28 页基础补课） $P (L_{1} 1_{N} > 0) = 0 ，$ 而 ${L_{1} 1_{N} > 0} = N \cap {L_{1} > 0} 。$ 所以两个乘积 $P$ -几乎必然相等： $Q$ 的零概率事件里， $L_{1} > 0$ 的那一部分一定是 $P$ 的零概率事件。这句话下一页还会用到。

两个直接推论

连换多次：若 $P = Q_{0} ，$ $Q_{1} ≪ Q_{0} ，$ $Q_{2} ≪ Q_{1} ，\dots，$ $Q_{k} ≪ Q_{k - 1} ，$ 则 $Q_{k} ≪ P ，$ 并且 $\frac{d Q _{k}}{d P} = j = 1 \prod k \frac{d Q _{j}}{d Q _{j - 1}} P - 几乎必然 .$ 证明见下面「推导」一节。 $\prod$ 是连乘号， $\prod_{j = 1}^{k} a_{j} = a_{1} a_{2} \dots a_{k} 。$
比值形式：在命题 22 的条件下，如果还有 $L_{1} = \frac{d Q}{d P} > 0$ $P$ -几乎必然，那么在 ${L_{1} > 0}$ 上把第 2 条两边同除以 $L_{1} ，$ 得 $\frac{d Q}{d Q} = \frac{d Q / d P}{d Q / d P} P - 几乎必然 .$ 也就是说：两个概率相对于同一个参照概率的密度都知道时，它们之间的密度就是两个密度之比。第 5 部分计算重要性抽样的权重，用的就是这种「密度之比」（第 35 页、第 38 页）。下一页还会说明： $L_{1} > 0$ 时，条件 $Q ≪ Q$ 可以由 $Q ≪ P$ 推出，不必单独检查。

例子

例 1：三点空间，逐点验证

$Ω = {a, b, c} 。$ $P = (\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}) ，$ $Q = (\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ （第 27 页例 1）， $Q = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) 。$ 每个点在三个概率下都为正，所以所有绝对连续都成立，离散情形的密度就是逐点比值。

点	$\frac{d Q}{d P}$	$\frac{d Q}{d Q}$	乘积	直接算 $\frac{d Q}{d P}$
$a$	$\frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3}$	$\frac{1/3}{1/6} = 2$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}$
$b$	$1$	$1$	$1$	$1$
$c$	$\frac{1/2}{1/6} = 3$	$\frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}$	$2$	$\frac{1/3}{1/6} = 2$

检查： $E_{P} [乘积] = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{6} \cdot 2 = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1 。$

例 2：两次换硬币

抛一枚硬币， $ω_{1} = H ，$ $ω_{2} = T 。$ $P ：$ 公平（正面概率 0.5）； $Q ：$ 正面概率 0.9； $Q ：$ 正面概率 0.6。

$\frac{d Q}{d P} = (\frac{0.9}{0.5}, \frac{0.1}{0.5}) = (1.8, 0.2)$ （第 31 页例 1）。
$\frac{d Q}{d Q} = (\frac{0.6}{0.9}, \frac{0.4}{0.1}) = (\frac{2}{3}, 4) 。$
乘积： $(\frac{2}{3} \times 1.8, 4 \times 0.2) = (1.2, 0.8) 。$
直接： $\frac{d Q}{d P} = (\frac{0.6}{0.5}, \frac{0.4}{0.5}) = (1.2, 0.8) 。$ 一致。

例 3：零概率点上随便取值也没关系

$Ω = {a, b, c} ，$ $P = (\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}) ，$ $Q = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0) ，$ $Q = (1, 0, 0) 。$

条件： $P$ 没有非空零概率事件，所以 $Q ≪ P ；$ $Q$ 的零概率事件只有 $\emptyset$ 和 ${c} ，$ 而 $Q ({c}) = 0 ，$ 所以 $Q ≪ Q 。$
$\frac{d Q}{d P} = (1, 2, 0) 。$
$\frac{d Q}{d Q} ：$ 在 $a$ 是 $\frac{1}{1/2} = 2 ，$ 在 $b$ 是 $\frac{0}{1/2} = 0 ，$ 在 $c$ 可以取任意非负数，因为 $Q ({c}) = 0 。$ 比如取 7。
乘积： $(2 \times 1, 0 \times 2, 7 \times 0) = (2, 0, 0) 。$ 直接算 $\frac{d Q}{d P} = (\frac{1}{1/2}, 0, 0) = (2, 0, 0) 。$ 一致。
那个随便取的 7 被 $\frac{d Q}{d P} (c) = 0$ 「乘没了」。这就是上面选读里说的： $Q$ 的零概率点里，只有 $L_{1} > 0$ 的部分才会影响乘积，而那部分对 $P$ 也是零概率。

例 4：连续情形，用比值形式求中间的密度

$Ω = (0, 1) ，$ $P = λ ，$ $Q$ 的密度 $\frac{d Q}{d P} = 2 x ，$ $Q$ 的密度 $\frac{d Q}{d P} = 3 x^{2} 。$

先猜： $2 x > 0$ 在 $(0, 1)$ 上处处成立，比值形式提示 $\frac{d Q}{d Q} = \frac{3 x ^{2}}{2 x} = \frac{3}{2} x 。$ 这里还没有检查 $Q ≪ Q ，$ 所以先把它当作猜测。
再验证定义（用命题 21）：对任意事件 $A ，$ $E_{Q} [\frac{3}{2} x 1_{A}] = E_{P} [\frac{3}{2} x 1_{A} \cdot 2 x] = \int_{A} 3 x^{2} d x = Q (A) 。$ 所以 $\frac{3}{2} x$ 确实是 $Q$ 关于 $Q$ 的密度；由第 26 页的命题，这也顺便证明了 $Q ≪ Q 。$
链式法则： $\frac{3}{2} x \cdot 2 x = 3 x^{2} ，$ 回到 $\frac{d Q}{d P} 。$
「先猜、再验证定义、最后由唯一性认定」是求 Radon–Nikodym 导数最常用的办法，第 38 页求重要性抽样的权重也是这样做的。

例 5（反例）：链条断了，「约分」就不成立

$Ω = [0, 1] ，$ $P = λ ，$ $Q$ 是 $[0, \frac{1}{2}]$ 上的均匀分布（ $\frac{d Q}{d P} = 2 1_{[0, 1/2]} ），$ $Q = λ 。$

$Q ≪ P$ 成立（两者相同）， $Q ≪ P$ 也成立；但 $Q ≪ Q$ 不成立： $Q ((\frac{1}{2}, 1]) = 0 ，$ $Q ((\frac{1}{2}, 1]) = \frac{1}{2} 。$
于是 $\frac{d Q}{d Q}$ 不存在。事实上找不到任何函数 $f$ 使 $f \cdot \frac{d Q}{d P} = \frac{d Q}{d P} = 1 ：$ 在 $(\frac{1}{2}, 1]$ 上左边是 $f \cdot 0 = 0 ，$ 右边是 1。
教训：链式法则的「约分」需要链条上每一环的绝对连续。

推导：一步一步来

推导证明思路

对换测度的次数 $k$ 做数学归纳： $k = 1$ 时公式就是定义；假设 $k - 1$ 次时成立，把前 $k - 1$ 次看成「一次」，再用一次命题 22。

命题：设 $Q_{0} = P ，$ 并且 $Q_{j} ≪ Q_{j - 1}$ （ $j = 1, \dots, k ）。$ 则 $Q_{k} ≪ P ，$ 并且 $\frac{d Q _{k}}{d P} = \prod_{j = 1}^{k} \frac{d Q _{j}}{d Q _{j - 1}}$ $P$ -几乎必然。

$k = 1$ ：右边只有一个因子 $\frac{d Q _{1}}{d Q _{0}} = \frac{d Q _{1}}{d P} ，$ 等式自动成立。
归纳假设：设 $k - 1$ 时结论成立，即 $Q_{k - 1} ≪ P ，$ 并且 $\frac{d Q _{k - 1}}{d P} = \prod_{j = 1}^{k - 1} \frac{d Q _{j}}{d Q _{j - 1}}$ $P$ -几乎必然。
用一次命题 22：因为 $Q_{k} ≪ Q_{k - 1}$ 且 $Q_{k - 1} ≪ P ，$ 得 $Q_{k} ≪ P ，$ 并且 $\frac{d Q _{k}}{d P} = \frac{d Q _{k}}{d Q _{k - 1}} \cdot \frac{d Q _{k - 1}}{d P}$ $P$ -几乎必然。
代入：把第 2 步的等式代进第 3 步。两个函数 $P$ -几乎必然相等，各乘上同一个函数后仍然 $P$ -几乎必然相等；两个「 $P$ -几乎必然」的等式只在两个零概率事件的并上可能失效，而这个并的概率仍是 0。于是 $\frac{d Q _{k}}{d P} = \prod_{j = 1}^{k} \frac{d Q _{j}}{d Q _{j - 1}}$ $P$ -几乎必然。

数值例子：抛 $n$ 次硬币，依次把正面概率从 $0.5$ 换到 $0.9 、$ 再换到 $0.6 。$ 一个有 $k$ 个正面的结局上，由第 31 页「推导」一节的公式，

\frac{d Q}{d P} = 1. 8^{k} 0. 2^{n - k}, \frac{d Q}{d Q} = (\frac{2}{3})^{k} 4^{n - k},

乘积是 $(\frac{2}{3} \times 1.8)^{k} (4 \times 0.2)^{n - k} = 1. 2^{k} 0. 8^{n - k} ，$ 正好等于直接从 $0.5$ 换到 $0.6$ 的密度 $(\frac{0.6}{0.5})^{k} (\frac{0.4}{0.5})^{n - k} 。$

常见疑问与易错点

易错点问：看起来就是约分，为什么还要证明？

答： $\frac{d Q}{d Q}$ 不是两个数相除，而是一个由「对所有事件 $A$ 成立的积分等式」定义出来的函数（第 27 页）。「约分」只是助记；它成立要靠命题 21 和唯一性，而且需要绝对连续的条件——例 5 中链条断了一环，「约分」就完全失效。

易错点问：为什么证明里一定要用 p33 的「非负可测函数」版本，而不能只用简单函数版本？

答：第 2 条证明中代入命题 21 的函数是 $X = L_{2} 1_{A} 。$ 密度 $L_{2}$ 一般取无穷多个值（例 4 中 $L_{2} = \frac{3}{2} x ），$ $L_{2} 1_{A}$ 不是简单函数，只有第 33 页证完的一般版本才能用。

易错点问：dQ̃/dQ 只在 ℚ-几乎必然意义下确定，乘积却说 ℙ-几乎必然，会不会不一致？

答：不会。 $Q$ 的零概率事件可能不是 $P$ 的零概率事件（ $Q$ 的零集更多），但在这些事件上改动 $L_{2} ，$ 只会在 $L_{1} > 0$ 的部分影响乘积，而那一部分对 $P$ 是零概率（上面选读的证明，以及例 3）。所以乘积在 $P$ -几乎必然意义下是确定的。

易错点问：由链式法则能推出 ℙ ≪ Q̃ 吗？

答：不能。链式法则只沿着 $P \to Q \to Q$ 这一个方向传递。例 3 中 $Q = (1, 0, 0) ，$ $Q ({b}) = 0$ 而 $P ({b}) = \frac{1}{4} ，$ 所以 $P \neq ≪ Q 。$ 反方向要成立，需要密度处处为正，这是下一页的内容。

小结与自测

小结本页小结

命题 22： $Q ≪ Q ≪ P$ ⇒ $Q ≪ P ，$ 并且 $\frac{d Q}{d P} = \frac{d Q}{d Q} \cdot \frac{d Q}{d P}$ $P$ -几乎必然。
证明 = 用命题 21 验证乘积满足密度的定义 + 用唯一性认出它。
人话：放大倍数一段一段相乘；连换 $k$ 次就连乘 $k$ 个密度。
比值形式：参照概率相同时，两个概率之间的密度是两个密度之比（分母要 $> 0 ）。$
条件不可少：链条上任一环不绝对连续，「约分」就失效。

自测

1. $Ω = {1, 2} ，$ $P = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) ，$ $Q = (\frac{1}{4}, \frac{3}{4}) ，$ $Q = (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}) 。$ 求 $\frac{d Q}{d P} 、$ $\frac{d Q}{d Q} ，$ 并用链式法则求 $\frac{d Q}{d P} ，$ 再直接核对。

点开看答案

$\frac{d Q}{d P} = (\frac{1/4}{1/2}, \frac{3/4}{1/2}) = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}) ；$ $\frac{d Q}{d Q} = (\frac{1/3}{1/4}, \frac{2/3}{3/4}) = (\frac{4}{3}, \frac{8}{9}) ；$ 乘积 $(\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}, \frac{3}{2} \cdot \frac{8}{9}) = (\frac{2}{3}, \frac{4}{3}) 。$ 直接： $(\frac{1/3}{1/2}, \frac{2/3}{1/2}) = (\frac{2}{3}, \frac{4}{3}) 。$ 一致。

2. 判断：若 $Q ≪ Q$ 且 $Q ≪ P ，$ 则 $P ≪ Q 。$

点开看答案

错误。链式法则只给出 $Q ≪ P 。$ 例 3 是反例： $Q ({b}) = 0 ，$ 但 $P ({b}) = \frac{1}{4} > 0 。$

3. $Ω = (0, 1) ，$ $P = λ ，$ $\frac{d Q}{d P} = 2 x ，$ $\frac{d Q}{d P} = 4 x^{3} 。$ 求 $\frac{d Q}{d Q} ，$ 并验证它在 $Q$ 下的期望是 1。

点开看答案

比值形式提示 $\frac{d Q}{d Q} = \frac{4 x ^{3}}{2 x} = 2 x^{2} 。$ 验证定义：对任意事件 $A ，$ 由命题 21， $E_{Q} [2 x^{2} 1_{A}] = E_{P} [2 x^{2} 1_{A} \cdot 2 x] = \int_{A} 4 x^{3} d x = Q (A) ，$ 所以它确实是密度。取 $A = Ω$ 得 $E_{Q} [2 x^{2}] = \int_{0}^{1} 4 x^{3} d x = 1 。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
可测空间	measurable space	一个集合加上它上面的一个 σ-代数，例如 (Ω, 𝓕)；还没有给出测度。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
Radon–Nikodym 导数	Radon–Nikodym derivative	Q ≪ P 时存在 L = dQ/dP ≥ 0，使 Q(A) = ∫_A L dP；它是「换测度的密度」。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
简单函数	simple function	只取有限个值的可测函数，是若干示性函数的线性组合，图像像台阶。
重要性抽样	importance sampling	从另一个更合适的分布抽样，再乘以权重纠正，从而减小估计的方差。
绝对连续	absolute continuity	函数版：小区间总长很小时增量总和也很小；测度版：Q ≪ P，P 为零的事件 Q 也为零。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
换测度	change of measure	用 E_Q[X] = E_P[X · dQ/dP] 在两个概率之间换算期望。