01 封面：Borel–Cantelli、收敛与 Radon–Nikodym · 第3讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

第 3 讲研究「无穷多次」：一列事件会不会发生无穷多次？一列随机变量会不会越来越接近某个极限？极限和期望能不能交换？最后再学怎样换一个概率测度来算期望，并用它改进随机抽样。

这是第 3 讲的封面。前两讲一直在「打地基」：

第 1 讲：概率空间 $(Ω, F, P) 、$ 测度、勒贝格积分，以及三大极限定理 MCT、Fatou 引理、DCT（MCT、Fatou、DCT）。
第 2 讲：随机变量、分布、期望，用尾概率算期望，以及 Markov、Chebyshev 这类「用矩控制概率」的不等式（随机变量、期望、广义 Markov 不等式）。

第 3 讲第一次真正开始用这些工具解决概率问题。它的主角不再是「一个」事件或「一个」随机变量，而是一整列： $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots$ 或 $X_{1}, X_{2}, X_{3}, \dots 。$

先补基础

基础补课序列（sequence）与下标

序列就是排成一队、永远不结束的一列对象：第 1 个、第 2 个、第 3 个……记作 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots ，$ 或简写为 $(x_{n})_{n \geq 1} 。$
下标 $n$ 表示「第几个」。例如 $x_{n} = \frac{1}{n}$ 这个序列是 $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots 。$
概率里常见的序列：抛硬币的第 $n$ 次结果、第 $n$ 天的股价、做 $n$ 次试验后的样本平均值。

基础补课收敛（convergence）的最朴素意思

「 $x_{n}$ 收敛到 $x 」，$ 记作 $x_{n} \to x ，$ 意思是： $n$ 足够大以后， $x_{n}$ 和 $x$ 要多近有多近。
例： $x_{n} = \frac{1}{n} \to 0 。$ 你要求误差不超过 $0.01 ，$ 那么从第 $100$ 项起都做到了；要求不超过 $0.001 ，$ 从第 $1000$ 项起就做到了。
反例： $x_{n} = (- 1)^{n}$ 在 $- 1$ 和 $1$ 之间来回跳，不靠近任何一个数，所以不收敛。
对随机变量来说，「越来越近」可以有好几种不同的理解，这正是第 2 部分要讲清楚的事。

课件原文逐句精读

课件原文封面

Borel–Cantelli, Sequence Convergence, and Radon–Nikodym

Topic 3

中文翻译

Borel–Cantelli（博雷尔–坎泰利）、序列的收敛，与 Radon–Nikodym（拉东–尼科迪姆）

第 3 讲

标题由三个关键词组成，各对应这一讲的一块内容。

① Borel–Cantelli｜事件会不会发生无穷多次

这是两位数学家的姓：法国的 Émile Borel（博雷尔）和意大利的 Francesco Cantelli（坎泰利）。中间的短横「–」表示「两人共同的名字」，不是减号。
以他们命名的是两个引理（lemma，意思是「为后面服务的小定理」）：第一 Borel–Cantelli 引理（第 4 页）和第二 Borel–Cantelli 引理（第 7 页）。
它们回答的问题是：一列事件 $A_{1}, A_{2}, \dots$ 中，会不会有无穷多个发生？ 例如「一直抛硬币，连续 10 次正面这件事会不会反复出现无穷多次」。

② Sequence Convergence｜随机变量序列的收敛

Sequence 是「序列」，Convergence 是「收敛」。
这里说的是随机变量序列 $X_{1}, X_{2}, \dots$ 的收敛。随机变量是函数（第 4 页），「函数越来越接近另一个函数」有好几种说法：几乎必然收敛（第 9 页）、依概率收敛（第 14 页），以及期望意义下的收敛（第 20 页）。
这一讲要搞清楚：它们各是什么意思、谁能推出谁、什么时候期望也跟着收敛。

③ Radon–Nikodym｜换一个概率测度

同样是两位数学家的姓：奥地利的 Johann Radon（拉东）和波兰的 Otto Nikodym（尼科迪姆）。
Radon–Nikodym 定理（第 27 页）告诉我们：如果一个新的概率测度 $Q$ 和原来的 $P$ 满足一定的相容条件，那么 $Q$ 可以写成「 $P$ 乘上一个密度函数」。
用它可以在两个概率测度之间换算期望，这是金融定价和「重要性抽样」（第 38 页）的数学基础。

④ Topic 3｜第 3 讲

右下角的 1 / 49 是幻灯片编号，表示这是 49 张幻灯片里的第 1 张；本站收录的 PDF 共 47 页。

这一讲的五个部分

部分	页码	一句话
1. Borel–Cantelli	第 3 页–第 8 页	事件发生无穷多次的概率什么时候是 0、什么时候是 1
2. 随机变量的收敛	第 9 页–第 18 页	把第 1 部分用到「误差事件」上，比较几种收敛
3. 期望与密度的收敛	第 19 页–第 25 页	加什么条件，极限才能搬进期望（积分）里
4. Radon–Nikodym 与换测度	第 26 页–第 35 页	用密度在两个概率之间换算
5. 抽样中的应用	第 36 页–第 45 页	换测度让随机模拟的误差变小

下一页（第 2 页）会把每一部分要回答的问题逐句讲清楚。

例子

例 1：本讲会回答的四个具体问题

一枚公平硬币一直抛下去，「连续 10 次正面」会不会出现无穷多次？（第 8 页：以概率 1 会。）
令 $X_{n} = n \cdot 1_{[0, 1/ n]}$ （在区间 $[0, 1]$ 上随机取点）。每一点上 $X_{n}$ 最终都等于 0，那么期望 $E X_{n}$ 也趋于 0 吗？（第 19 页：不会， $E X_{n}$ 始终等于 1。）
存在一列随机变量，任何一个样本点上它都不收敛，但在「出错的概率越来越小」的意义下它又收敛到 0 吗？（第 15 页：存在，叫「打字机序列」。）
想估计一个很小的概率（比如 $1 0^{- 6} ），$ 直接模拟几乎永远碰不到这个事件，怎么办？（第 5 部分：换一个概率测度去抽样。）

小结与自测

小结本页小结

第 3 讲的主角是一整列事件或随机变量，核心问题是「无穷多次」和「越来越近」。
三个关键词：Borel–Cantelli（事件重复发生）、Sequence Convergence（随机变量收敛）、Radon–Nikodym（换概率测度）。
需要的工具来自前两讲：MCT、Fatou、DCT（第 1 讲），分布、期望、尾积分、Markov 不等式（第 2 讲）。

自测

1. 标题里 Borel–Cantelli 中间的「–」是什么意思？

点开看答案

表示这是两个人（Borel 和 Cantelli）共同的名字，不是减号。Radon–Nikodym 也一样。

2. 序列 $x_{n} = 1 + \frac{1}{n}$ 收敛吗？收敛到多少？从第几项起误差不超过 $0.01 ？$

点开看答案

收敛到 1。误差 $∣ x_{n} - 1∣ = \frac{1}{n} ，$ 要 $\frac{1}{n} \leq 0.01 ，$ 即 $n \geq 100 ，$ 所以从第 100 项起误差都不超过 $0.01 。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
无穷多次	infinitely often (i.o.)	「Aₙ 发生无穷多次」就是集合 lim sup Aₙ。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
Fatou 引理	Fatou's lemma	非负可测函数列满足 ∫ liminf fₙ ≤ liminf ∫ fₙ（只保证这个方向）。
勒贝格积分	Lebesgue integral	按函数值分块的积分：先定义简单函数的积分，再用下方的简单函数逼近取上确界。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
尾概率	tail probability	随机变量取到「很大的值」的概率，例如 P(X > t) 或 P(\|X\| ≥ t)。它随 t 增大而下降得越慢，分布的尾巴就越「厚」。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
Borel–Cantelli 引理	Borel–Cantelli lemma	概率之和有限 ⇒ 只发生有限次；独立且概率之和无穷 ⇒ 发生无穷多次。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
依概率收敛	convergence in probability	对每个 ε > 0，P(\|Xₙ − X\| > ε) → 0；比几乎必然收敛弱。
Radon–Nikodym 导数	Radon–Nikodym derivative	Q ≪ P 时存在 L = dQ/dP ≥ 0，使 Q(A) = ∫_A L dP；它是「换测度的密度」。
概率密度	density	满足 P(X ∈ B) = ∫_B f(x) dx 的函数 f；有密度等价于 CDF 绝对连续。
重要性抽样	importance sampling	从另一个更合适的分布抽样，再乘以权重纠正，从而减小估计的方差。
换测度	change of measure	用 E_Q[X] = E_P[X · dQ/dP] 在两个概率之间换算期望。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
样本点	sample point	一个完整的结局 ω；每次试验恰好实现一个样本点。
打字机序列	typewriter sequence	在 [0,1) 上从左到右一遍遍扫过、越来越窄的小区间的示性函数列：依概率收敛到 0，却在每一点都不收敛。
Markov 不等式	Markov's inequality	X ≥ 0 时 P(X ≥ t) ≤ E X / t：期望小，取大值的概率就小。