47 补充：差商的积分、Fatou 引理与严格不等号 · 第3讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

两步完成上一页的例 24。第一步精确算出差商的积分： $\int_{0}^{1} g_{n} = f (1) - n \int_{0}^{1/ n} f \leq f (1) - f (0) 。$ 第二步用 Fatou 引理得到 $\int_{0}^{1} f^{'} \leq f (1) - f (0) 。$ 最后用跳跃函数和康托尔函数说明不等号可以严格：导数「看不见」跳跃和奇异的增长。

接着上一页：第 46 页定义了延拓后的差商 $g_{n} (x) = n [f (x + \frac{1}{n}) - f (x)] ，$ 证明了它非负、可测、几乎处处收敛到 $f^{'} 。$
两个小标题：Integral of the difference quotient（差商的积分）和 Fatou and strict inequality（Fatou 与严格不等号），分别对应上面的两步。
这一页是第 3 讲最后一页，末尾附有第 3 讲的回顾；下一讲从第 1 页开始。

先补基础

基础补课平移换元

令 $u = x + \frac{1}{n} ，$ 则 $d u = d x ；$ $x$ 从 0 走到 1 时， $u$ 从 $\frac{1}{n}$ 走到 $1 + \frac{1}{n} 。$ 所以

\int_{0}^{1} f (x + \frac{1}{n}) d x = \int_{1/ n}^{1 + 1/ n} f (u) d u .

直观上：把函数图像向左平移 $\frac{1}{n} ，$ 再在 $[0, 1]$ 上看，相当于原函数在 $[\frac{1}{n}, 1 + \frac{1}{n}]$ 上的面积。

基础补课区间可加

对 $a \leq b \leq c ，$ $\int_{a}^{c} = \int_{a}^{b} + \int_{b}^{c} 。$ 两个积分区间有公共部分时，相减就能把公共部分消掉，只剩两端。

基础补课用单调性估计小区间上的积分

$f$ 单调不减时，在区间 $[a, a + h]$ 上 $f (a) \leq f (u) \leq f (a + h) ，$ 所以

h f (a) \leq \int_{a}^{a + h} f (u) d u \leq h f (a + h),

即区间上的平均值 $\frac{1}{h} \int_{a}^{a + h} f$ 夹在两端的函数值之间。

基础补课单调函数的右极限

单调不减的函数在每一点都有右极限 $f (0 +) = lim_{x ↓ 0} f (x) ，$ 并且 $f (0) \leq f (0 +) 。$ 两者不相等，说明 $f$ 在 0 处向上跳了一下。

课件原文逐句精读

课件原文Supplement: the integral bound and strict inequality

Integral of the difference quotient（留白）

Fatou and strict inequality（留白）

中文翻译

蓝条标题：补充：积分上界与严格不等式。

差商的积分（课件留白）

Fatou 引理与严格不等号（课件留白）

（两部分内容见下一节。）

integral bound：积分的上界，指 $\int_{0}^{1} f^{'} \leq f (1) - f (0) 。$
strict inequality：严格不等号 $< ，$ 即等号确实可能不成立。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

Integral of the difference quotient｜差商的积分

命题差商积分的精确公式

对每个 $n \geq 1 ，$

\int_{0}^{1} g_{n} (x) d x = f (1) - n \int_{0}^{1/ n} f (u) d u \leq f (1) - f (0) .

并且 $n \to \infty$ 时 $\int_{0}^{1} g_{n} \to f (1) - f (0 +) 。$

推导证明思路

把 $g_{n}$ 拆成两项分别积分，第一项平移换元。两个积分区间 $[\frac{1}{n}, 1 + \frac{1}{n}]$ 和 $[0, 1]$ 的公共部分抵消，只剩右端一小段减左端一小段。右端那段落在延拓区域里， $f$ 是常数；左端那段用单调性估计。

先说明积分都有意义： $f$ 在 $[0, 2]$ 上单调、有界（夹在 $f (0)$ 和 $f (1)$ 之间），不连续点至多可数，所以黎曼可积，黎曼积分与勒贝格积分相等（第 1 讲第 27 页）。

\int_{0}^{1} g_{n} d x = n \int_{0}^{1} f (x + \frac{1}{n}) d x - n \int_{0}^{1} f (x) d x = n \int_{1/ n}^{1 + 1/ n} f (u) d u - n \int_{0}^{1} f (u) d u = n [\int_{1/ n}^{1} f + \int_{1}^{1 + 1/ n} f] - n [\int_{0}^{1/ n} f + \int_{1/ n}^{1} f] = n \int_{1}^{1 + 1/ n} f (u) d u - n \int_{0}^{1/ n} f (u) d u = f (1) - n \int_{0}^{1/ n} f (u) d u （线性） （平移换元） （区间可加） （公共部分 [\frac{1}{n}, 1] 抵消） （延拓： [1, 1 + \frac{1}{n}] 上 f \equiv f (1) ） .

上界：由「先补基础」的单调性估计， $n \int_{0}^{1/ n} f \geq n \cdot \frac{1}{n} \cdot f (0) = f (0) ，$ 所以 $\int_{0}^{1} g_{n} \leq f (1) - f (0) 。$

极限： $n \int_{0}^{1/ n} f$ 是 $f$ 在 $[0, \frac{1}{n}]$ 上的平均值。区间左端点这一个点不影响积分，而在 $(0, \frac{1}{n}]$ 上 $f (0 +) \leq f (u) \leq f (\frac{1}{n}) ，$ 所以这个平均值夹在 $f (0 +)$ 和 $f (\frac{1}{n})$ 之间。 $n \to \infty$ 时 $f (\frac{1}{n}) \to f (0 +) ，$ 所以平均值趋于 $f (0 +) ，$ 从而 $\int_{0}^{1} g_{n} \to f (1) - f (0 +) 。$

图解：一个「伸缩相消」的公式

$\int_{0}^{1} g_{n}$ 是 $[0, 1]$ 上每一点「向右看 $\frac{1}{n}$ 的增长量」的平均（乘了 $n ）。$ 把它写成两块面积之差：

第一块： $f$ 在 $[\frac{1}{n}, 1 + \frac{1}{n}]$ 上的面积（图像整体向左挪了 $\frac{1}{n} ）；$
第二块： $f$ 在 $[0, 1]$ 上的面积。

两块的绝大部分 $[\frac{1}{n}, 1]$ 重合、互相抵消，只剩右端多出的一条 $[1, 1 + \frac{1}{n}]$ 和左端少掉的一条 $[0, \frac{1}{n}] 。$ 每条宽 $\frac{1}{n} ，$ 乘以 $n$ 就是两端的平均高度之差：右端平均高度是 $f (1) ，$ 左端平均高度约为 $f (0 +) 。$ 这和离散求和里的「伸缩相消」 $\sum_{k} (a_{k + 1} - a_{k}) = a_{末} - a_{初}$ 是同一个道理。

Fatou and strict inequality｜Fatou 引理与严格不等号

定理结论：导数的积分不超过总增量

$f^{'}$ 可积，并且

\int_{0}^{1} f^{'} (x) d x \leq f (1) - f (0 +) \leq f (1) - f (0) .

证明：由第 46 页， $g_{n} \geq 0$ 可测且几乎处处 $g_{n} \to f^{'} ，$ 所以几乎处处 $lim inf_{n} g_{n} = f^{'} 。$ 由 Fatou 引理（第 1 讲第 41 页），

\int_{0}^{1} f^{'} d x = \int_{0}^{1} n lim inf g_{n} d x \leq n lim inf \int_{0}^{1} g_{n} d x = f (1) - f (0 +) \leq f (1) - f (0) .

最后一个等号用了上一小节算出的极限。右边有限，所以 $f^{'}$ 可积。 $■$

用概率的语言： $U$ 在 $[0, 1]$ 上均匀分布， $E f^{'} (U) \leq lim inf_{n} E g_{n} (U) ，$ 这正是 Fatou 引理的期望形式。

不等号会在哪里「丢」东西？上面的链条里有两个 $\leq ：$

Fatou 那一步： $\int lim inf g_{n} < lim inf \int g_{n} 。$ 原因是质量集中到零测集上，在极限中消失，如例 2 的尖峰、例 4 的康托尔函数。
最后一步： $f (0 +) > f (0) ，$ 即 $f$ 在左端点 0 处有跳跃。差商的窗口都在点的右边，任何 $g_{n}$ 都「看不见」0 处的跳跃，见例 3。

动手试一试尖峰：跳跃函数的差商就是它

例 2 中跳跃函数 $1_{[1/2, 1]}$ 的差商 $g_{n} ，$ 是一个宽 $\frac{1}{n} 、$ 高 $n$ 的矩形，和这个演示里的 $n \cdot 1_{[0, 1/ n]}$ 形状完全相同，只是位置挪到了 $\frac{1}{2}$ 左边。拖动 $n ：$ 面积 $\int g_{n}$ 一直是 1，而每一点最终都是 0，所以 $\int lim g_{n} = 0 < 1 。$ 这就是 Fatou 不等号严格的情形。

例子

例 1：等号成立——f(x) = x²

由公式， $\int_{0}^{1} g_{n} = f (1) - n \int_{0}^{1/ n} u^{2} d u = 1 - n \cdot \frac{1}{3 n ^{3}} = 1 - \frac{1}{3 n ^{2}} 。$

每个 $n$ 都 $< 1 = f (1) - f (0) ，$ 并且 $\to 1 ；$
而 $\int_{0}^{1} f^{'} = \int_{0}^{1} 2 x d x = 1 ，$ 所以 $\int f^{'} = lim \int g_{n} = f (1) - f (0) ，$ 处处取等号。
原因： $g_{n}$ 被常数 2 压住（第 46 页例 1），控制收敛定理把 Fatou 的 $\leq$ 升级成了 $= 。$

例 2：Fatou 那一步严格——中间的跳跃 f = 𝟏[1/2,1]

$\int_{0}^{1} g_{n} = f (1) - n \int_{0}^{1/ n} f = 1 - 0 = 1$ （ $n \geq 3$ 时 $[0, \frac{1}{n}]$ 上 $f = 0 ）。$
$f^{'} = 0$ 几乎处处， $\int_{0}^{1} f^{'} = 0 。$
链条： $0 = \int f^{'} < lim inf \int g_{n} = 1 = f (1) - f (0 +) = f (1) - f (0) 。$ 丢失发生在 Fatou 这一步：质量 1 全部集中在跳跃点 $\frac{1}{2}$ 左边的尖峰里，尖峰越来越窄，极限中消失了。

例 3：最后一步严格——左端点的跳跃

令 $f (0) = 0 ，$ $f (x) = 1$ （ $0 < x \leq 1 ）。$ 它单调不减，在 $(0, 1]$ 上导数为 0。

$\int_{0}^{1} g_{n} = f (1) - n \int_{0}^{1/ n} f = 1 - n \cdot \frac{1}{n} = 0$ 对每个 $n$ 成立。
$\int_{0}^{1} f^{'} = 0 。$ 所以 Fatou 这一步取等号： $0 = 0 。$
但 $f (1) - f (0 +) = 1 - 1 = 0 < 1 = f (1) - f (0) 。$ 丢失发生在最后一步：0 处的跳跃在每个差商窗口的左边，没有任何 $g_{n}$ 看得见它。

例 4：连续函数也可以严格——康托尔函数

康托尔函数 $F$ 连续（所以 $F (0 +) = F (0) = 0 ），$ $F^{'} = 0$ 几乎处处， $F (1) = 1 。$

公式给出 $\int_{0}^{1} g_{n} = 1 - n \int_{0}^{1/ n} F 。$ 在 $[0, \frac{1}{n}]$ 上 $0 \leq F \leq F (\frac{1}{n}) ，$ 所以 $\int_{0}^{1} g_{n} \geq 1 - F (\frac{1}{n}) \to 1 。$ 例如 $n = 3^{k}$ 时 $F (3^{- k}) = 2^{- k} ，$ 故 $\int_{0}^{1} g_{3^{k}} \geq 1 - 2^{- k} 。$
而 $\int_{0}^{1} F^{'} = 0 。$ 链条： $0 < 1 = f (1) - f (0) ，$ 丢失全部发生在 Fatou 这一步。
和例 2 的区别：这里没有任何跳跃，增长被「抹」在长度为 0 的康托尔集上，差商的质量分散在越来越多、越来越细的小区间里。

了解更多：丢掉的增量到底是什么

把单调不减的 $f$ 看成 CDF 那样的「增长记录」： $f (b) - f (a)$ 是区间 $(a, b]$ 上的增长量。由第 2 讲第 20 页的分解，总增长可以分成三类：

类型	例子	导数能看见吗
绝对连续部分	$x^{2}$ 的增长	能：这部分的增长恰好等于 $\int f^{'}$
跳跃部分	$1_{[1/2, 1]}$ 在 $\frac{1}{2}$ 处的跳跃	不能：跳跃点处不可导，别处导数为 0
奇异连续部分	康托尔函数	不能：增长集中在零测集上

所以（当 $f$ 右连续时）

f (1) - f (0) - \int_{0}^{1} f^{'} = 跳跃之和 + 奇异连续部分的增长 \geq 0,

等号成立当且仅当 $f$ 绝对连续（第 2 讲第 17 页）。这也是 Radon–Nikodym 定理（第 27 页）的一个具体例子：「绝对连续部分」才有密度，密度就是导数。

常见疑问与易错点

易错点问：为什么不直接用微积分基本定理？

答：微积分基本定理 $\int_{0}^{1} f^{'} = f (1) - f (0)$ 要求 $f$ 足够好，例如 $f^{'}$ 连续，或者 $f$ 绝对连续。一般的单调函数可以有跳跃（例 2、例 3），也可以像康托尔函数那样连续却「偷偷」增长（例 4），这时等号确实不成立。所以这里只能证明不等号，正如课件标题所说：only an inequality is justified。

易错点问：既然 ∫ gₙ → f(1) − f(0+) 存在极限，为什么还要用 liminf？

答：Fatou 引理的标准形式用 $lim inf ，$ 因为一般情况下 $\int g_{n}$ 不一定收敛。这里恰好算出了极限， $lim inf$ 就等于这个极限，写成 $lim$ 也对。

易错点问：这个结论在概率里有什么用？

答：CDF 就是单调不减的函数。把 $f$ 换成一个随机变量的 CDF $F ，$ 结论就是： $\int_{a}^{b} F^{'} \leq F (b) - F (a) = P (a < X \leq b) 。$ 密度 $F^{'}$ 的积分可能小于真实概率，缺掉的正是离散和奇异部分的质量。只有当分布绝对连续（有密度）时，才能放心地用 $\int_{a}^{b} F^{'}$ 来算概率（第 2 讲第 17 页）。

第 3 讲回顾

小结第 3 讲六个部分串起来

Borel–Cantelli（第 3 页–第 8 页）：「无穷多次」与「最终总是」； $\sum P (A_{n}) < \infty$ ⇒ 只发生有限次（第一引理）；独立且 $\sum P (A_{n}) = \infty$ ⇒ 发生无穷多次（第二引理）。
随机变量的收敛（第 9 页–第 18 页）：几乎必然收敛与误差事件；偏差概率可求和 ⇒ 几乎必然收敛；几乎必然 ⇒ 依概率，反之不成立（打字机序列）；子列判别法；连续映射定理。
期望与密度的收敛（第 19 页–第 25 页）：逐点收敛推不出期望收敛（尖峰）；依概率收敛下的控制收敛；Scheffé 引理；密度收敛 ⇒ 事件概率一致收敛。
Radon–Nikodym 与换测度（第 26 页–第 35 页）：绝对连续与密度；Radon–Nikodym 定理及唯一性；换测度下的期望公式；链式法则与倒数密度。
抽样中的应用（第 36 页–第 45 页）：无偏估计的方差可以无穷；重要性抽样怎样选密度；高斯换测度；稀有事件抽样及其方差改进。
补充（第 46 页–第 47 页）：Fatou 引理给出 $\int_{0}^{1} f^{'} \leq f (1) - f (0) ，$ 不等号可以严格。

三讲连起来看：第 1 讲建立测度与积分，以及 MCT、Fatou、DCT 这些「交换极限与积分」的工具；第 2 讲把它们翻译成随机变量、期望和不等式；第 3 讲研究无穷多个随机变量的极限行为，以及如何更换概率测度。回头复习时，可以从各讲的总结页开始：第 47 页、第 32 页。

下一讲（第 1 页）：第 3 讲一直默认「独立的样本」存在。第 4 讲构造多个随机变量共同的乘积空间（乘积测度），学会用 Fubini–Tonelli 定理交换积分顺序，并给出「独立」的严格定义。

小结与自测

小结本页小结

差商积分的精确公式： $\int_{0}^{1} g_{n} = f (1) - n \int_{0}^{1/ n} f \leq f (1) - f (0) ，$ 并且 $\to f (1) - f (0 +) 。$
Fatou： $\int_{0}^{1} f^{'} \leq lim inf \int g_{n} = f (1) - f (0 +) \leq f (1) - f (0) ，$ 所以 $f^{'}$ 可积。
两处可能「丢」：Fatou 一步（尖峰、康托尔函数）和左端点的跳跃。
等号成立当且仅当 $f$ 绝对连续；导数只看得见绝对连续部分的增长。

自测

1. 对 $f (x) = x ，$ 用本页的公式算出 $\int_{0}^{1} g_{n} 。$ 第 1 讲板书的做法得到的是 $1 - \frac{1}{n}$ （第 42 页自测第 2 题），两者为什么不同？ $n \to \infty$ 时呢？

点开看答案

$\int_{0}^{1} g_{n} = f (1) - n \int_{0}^{1/ n} u d u = 1 - n \cdot \frac{1}{2 n ^{2}} = 1 - \frac{1}{2 n} 。$

板书的做法在最后一段 $[1 - \frac{1}{n}, 1]$ 上令 $g_{n} = 0 ，$ 得到 $1 - \frac{1}{n} ；$ 这里用常数延拓，最后一段上 $g_{n} (x) = n (1 - x) ，$ 还贡献了 $\int_{1 - 1/ n}^{1} n (1 - x) d x = \frac{1}{2 n} ，$ 合计 $1 - \frac{1}{2 n} 。$ 两种做法都 $< 1 ，$ 并且 $n \to \infty$ 时都趋于 $1 = \int_{0}^{1} f^{'} 。$

2. 令 $f = 1_{[1/2, 1]} + 1_{[3/4, 1]}$ （两个跳跃，各高 1）。 $\int_{0}^{1} f^{'}$ 和 $f (1) - f (0)$ 各是多少？

点开看答案

$f^{'} = 0$ 几乎处处，所以 $\int_{0}^{1} f^{'} = 0 ；$ $f (1) - f (0) = 2 - 0 = 2 。$ 缺掉的 2 正是两个跳跃的高度之和。

3. 设 $X$ 的 CDF 是 $F ，$ 且 $P (X = 0) = \frac{1}{2} ，$ 其余一半质量在 $(0, 1]$ 上均匀分布。 $\int_{- 1}^{1} F^{'} (x) d x$ 是多少？为什么不等于 $F (1) - F (- 1) = 1 ？$

点开看答案

$F^{'}$ 几乎处处等于密度部分： $(0, 1)$ 上为 $\frac{1}{2} ，$ 其余为 0（0 处的跳跃不可导）。所以 $\int_{- 1}^{1} F^{'} = \frac{1}{2} 。$ 缺掉的 $\frac{1}{2}$ 是 0 处原子的质量（跳跃），导数看不见它。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
Fatou 引理	Fatou's lemma	非负可测函数列满足 ∫ liminf fₙ ≤ liminf ∫ fₙ（只保证这个方向）。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
几乎处处	almost everywhere (a.e.)	除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
单调递增	nondecreasing	后一项不小于前一项；单调有界的数列一定有极限。
右极限	right limit	自变量从右边（比 x 大的一侧）靠近 x 时，函数值趋向的数，记作 f(x+)。分布函数总是右连续的：F(x+) = F(x)。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
勒贝格积分	Lebesgue integral	按函数值分块的积分：先定义简单函数的积分，再用下方的简单函数逼近取上确界。
黎曼积分	Riemann integral	大一学的定积分：按 x 轴切竖条求和取极限。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
康托尔集	Cantor set	反复挖掉中间三分之一得到的集合：不可数，但长度为 0。
累积分布函数	cumulative distribution function (CDF)	F(x) = P(X ≤ x)，单调不减、右连续，完全决定分布。
绝对连续	absolute continuity	函数版：小区间总长很小时增量总和也很小；测度版：Q ≪ P，P 为零的事件 Q 也为零。
奇异连续分布	singular continuous distribution	没有原子（每一点的概率都是 0），却没有密度的分布：全部质量集中在一个长度为 0 的集合上，例如康托尔分布。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
Radon–Nikodym 导数	Radon–Nikodym derivative	Q ≪ P 时存在 L = dQ/dP ≥ 0，使 Q(A) = ∫_A L dP；它是「换测度的密度」。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
无穷多次	infinitely often (i.o.)	「Aₙ 发生无穷多次」就是集合 lim sup Aₙ。
独立	independence	任意有限个事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
打字机序列	typewriter sequence	在 [0,1) 上从左到右一遍遍扫过、越来越窄的小区间的示性函数列：依概率收敛到 0，却在每一点都不收敛。
偏差概率	deviation probability	Xₙ 和目标 X 相差超过 ε 的概率 P(\|Xₙ − X\| > ε)。它趋于 0 就是依概率收敛；对每个 ε 它都可求和时，由 Borel–Cantelli 引理可推出几乎必然收敛。
可求和	summable	非负数列的级数和有限：Σ aₙ < ∞。例如 Σ 1/n² 可求和，Σ 1/n 不可求和（和是 +∞）。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
子列	subsequence	从一个数列里按顺序挑出无穷多项组成的新数列。
Scheffé 引理	Scheffé's lemma	非负可积的 fₙ → f 几乎处处，且 ∫fₙ → ∫f < ∞，则 ∫\|fₙ − f\| → 0。概率密度逐点收敛，分布就在全变差意义下收敛。
依概率收敛	convergence in probability	对每个 ε > 0，P(\|Xₙ − X\| > ε) → 0；比几乎必然收敛弱。
逐点收敛	pointwise convergence	对定义域里的每一个点 x，数列 fₙ(x) 都收敛到 f(x)；这样得到的函数 f 叫逐点极限。
一致收敛	uniform convergence	所有点上的最大差距 supₓ \|fₙ(x) − f(x)\| → 0。比逐点收敛强：不允许某些点收敛得特别慢。
换测度	change of measure	用 E_Q[X] = E_P[X · dQ/dP] 在两个概率之间换算期望。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
重要性抽样	importance sampling	从另一个更合适的分布抽样，再乘以权重纠正，从而减小估计的方差。
方差	variance	Var X = E[(X − E X)²]，衡量随机变量围绕均值的波动大小。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
Tonelli 定理	Tonelli's theorem	f 非负可测、两个测度 σ-有限时，二重积分等于两种顺序的累次积分，三者可以同时为 ∞。
乘积空间	product space	笛卡尔积 Ω₁ × Ω₂，配上乘积 σ-代数（以及乘积测度）。
乘积测度	product measure	在每个可测矩形上取 μ₁(A₁)μ₂(A₂) 的唯一测度（σ-有限时）。平面面积就是长度 × 长度的乘积测度。