42 高斯平移的复合：先挪到 a、再挪到 b，等于一步挪到 b · 第3讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

上一页的 $Q$ 让 $X \sim N (a, 1) 。$ 现在再换一次测度，得到第三个概率 $Q ，$ 让 $X \sim N (b, 1) 。$ 第二段权重必须以当前均值 $a$ 为中心： $\frac{d Q}{d Q} = e^{(b - a) (X - a) - (b - a)^{2} /2} 。$ 用链式法则把两段权重相乘，指数里的项逐一抵消，得到 $\frac{d Q}{d P} = e^{b X - b^{2} /2}$ ——和「一步从 0 挪到 $b 」$ 的公式完全一样。

这一页是链式法则（命题 22，第 34 页）在连续情形的第一个具体检验：两条路线（两步走、一步走）必须给出同一个密度，否则链式法则或我们的计算就有错。
它还教一条实用规则：从非标准的正态出发再平移时，先减去当前均值。课件小标题 centered at the current mean 说的就是这个。
下一页第 43 页回到一步平移，取 $a = b$ 去抽稀有事件。

先补基础

基础补课中心化：减去当前均值

若在 $Q$ 下 $X \sim N (a, 1) ，$ 令 $Y := X - a ，$ 则在 $Q$ 下 $Y \sim N (0, 1) 。$ 理由：对任意 $y ，$ $Q (Y \leq y) = Q (X \leq y + a) = Φ ((y + a) - a) = Φ (y) ，$ 这里用了上一页的结论 $Q (X \leq x) = Φ (x - a) 。$
「中心化」（centering）就是减去均值，把中心挪回 0。例： $a = 3 ，$ 某次 $X = 4.5 ，$ 则 $Y = 1.5 ，$ 表示「比当前均值高 1.5」。

基础补课链式法则回顾（命题 22）

第三个概率记作 $Q$ （读作「Q 波浪」），和第 34 页的记号一致。
命题 22：若 $Q ≪ Q$ 且 $Q ≪ P ，$ 则 $Q ≪ P ，$ 并且 $\frac{d Q}{d P} = \frac{d Q}{d Q} \cdot \frac{d Q}{d P}$ $P$ -几乎必然。人话：放大倍数一段一段相乘。
比值形式（第 34 页）：若 $\frac{d Q}{d P} > 0 ，$ 则 $\frac{d Q}{d Q} = \frac{d Q / d P}{d Q / d P} 。$

基础补课本页要用的展开

$(u - v) (s - t) = u s - u t - v s + v t 。$ 例： $(b - a) (X - a) = b X - ab - a X + a^{2} 。$
$(b - a)^{2} = b^{2} - 2 ab + a^{2} 。$ 例： $(3 - 1)^{2} = 9 - 6 + 1 = 4 。$
指数合并： $e^{u} \cdot e^{v} = e^{u + v} ，$ 所以两段权重相乘，就是把两个指数相加。

课件原文逐句精读

课件原文课件印刷文字

A second shift centered at the current mean

中文翻译

以当前均值为中心的第二次平移

逐词看：

a second shift（第二次平移）：上一页第 41 页是第一次平移，把 $X$ 的均值从 0 挪到 $a 。$ 这一页在此基础上再挪一次，从 $a$ 挪到 $b 。$
the current mean（当前均值）：做完第一次换测度后， $X$ 在 $Q$ 下的均值是 $a$ （第 41 页「推导」第 2 条算过 $E_{Q} X = a ）。$ 「当前」强调：现在的参照概率是 $Q ，$ 不再是 $P 。$
centered at（以……为中心）：第二段权重的公式里， $X$ 要以 $X - a$ 的形式出现，也就是先中心化再代公式。
蓝条标题 Composition of Gaussian shifts：高斯平移的复合。「复合」指一个接一个地做，就像函数的复合 $g (f (x)) 。$

这一页要回答两个问题：（1）第二段权重应该长什么样？（2）两段合起来，是不是等于一步到位？课件只印了小标题，内容是板书，下面补全。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

A second shift centered at the current mean｜以当前均值为中心的第二次平移

设定。 $Q$ 是第 41 页造出的概率： $\frac{d Q}{d P} = e^{a X - a^{2} /2} ，$ 在 $Q$ 下 $X \sim N (a, 1) 。$ 再固定一个 $b \in R ，$ 目标是造 $Q ，$ 使 $X$ 在 $Q$ 下服从 $N (b, 1) 。$

第 1 步：在 $Q$ 下找一个标准正态变量。 由基础补课， $Y := X - a$ 在 $Q$ 下服从 $N (0, 1) 。$

第 2 步：把上一页的命题用在 $(Q, Y)$ 上。 上一页的命题只用到一件事：「有一个概率，在它之下某个随机变量是标准正态」。把那里的 $(P, X, a)$ 换成 $(Q, Y, c) ，$ 其中平移量 $c := b - a ，$ 就得到

\frac{d Q}{d Q} := e^{c Y - c^{2} /2} = e^{(b - a) (X - a) - (b - a)^{2} /2}, Q (A) := E_{Q} [e^{(b - a) (X - a) - (b - a)^{2} /2} 1_{A}] (A \in F) .

上一页的命题保证：这个权重处处为正、在 $Q$ 下期望为 1，所以 $Q$ 是概率， $Q ≪ Q ，$ 并且在 $Q$ 下 $Y \sim N (c, 1) 。$

第 3 步：翻译回 $X 。$ $X = Y + a ，$ 所以对任意 $x ，$

Q (X \leq x) = Q (Y \leq x - a) = Φ ((x - a) - c) = Φ (x - b) .

最后一步用了 $a + c = b 。$ 于是在 $Q$ 下 $X \sim N (b, 1)$ 。

另一条路：用「密度之比」核对第二段权重。 在 $Q$ 下 $X$ 的密度是 $ϕ (x - a) ，$ 目标密度是 $ϕ (x - b) 。$ 按第 41 页的思路，权重应是两者之比：

\frac{ϕ ( x - b )}{ϕ ( x - a )} = e^{- \frac{( x - b ) ^{2}}{2} + \frac{( x - a ) ^{2}}{2}} = e^{\frac{- ( x ^{2} - 2 b x + b ^{2} ) + ( x ^{2} - 2 a x + a ^{2} )}{2}} = e^{(b - a) x - \frac{b ^{2} - a ^{2}}{2}} .

再把第 2 步的「中心化形式」展开：

(b - a) (x - a) - \frac{( b - a ) ^{2}}{2} = (b - a) x - ab + a^{2} - \frac{b ^{2} - 2 ab + a ^{2}}{2} = (b - a) x - ab + a^{2} - \frac{b ^{2}}{2} + ab - \frac{a ^{2}}{2} = (b - a) x - \frac{b ^{2} - a ^{2}}{2} .

两者相同。所以 「以当前均值为中心」的公式，正是 $N (b, 1)$ 的密度除以 $N (a, 1)$ 的密度。

用链式法则把两次平移合起来

条件。 $Q$ 由关于 $Q$ 的密度定义， $Q$ 由关于 $P$ 的密度定义，由第 26 页的命题， $Q ≪ Q 、$ $Q ≪ P 。$ 命题 22 的条件满足。

相乘。 由命题 22，

\frac{d Q}{d P} = \frac{d Q}{d Q} \cdot \frac{d Q}{d P} = e^{(b - a) (X - a) - \frac{( b - a ) ^{2}}{2}} \cdot e^{a X - \frac{a ^{2}}{2}} = e^{E},

其中指数 $E = (b - a) (X - a) - \frac{( b - a ) ^{2}}{2} + a X - \frac{a ^{2}}{2} 。$

逐项展开。 三块分别是

$(b - a) (X - a) = b X - a X - ab + a^{2} ；$
$- \frac{( b - a ) ^{2}}{2} = - \frac{b ^{2} - 2 ab + a ^{2}}{2} = - \frac{b ^{2}}{2} + ab - \frac{a ^{2}}{2} ；$
$a X - \frac{a ^{2}}{2}$ （原样保留）。

按类型合并（表中「—」表示这一块没有这种项）：

项的类型	第 1 块	第 2 块	第 3 块	合计
含 $X$	$b X - a X$	—	$+ a X$	$b X$
含 $ab$	$- ab$	$+ ab$	—	$0$
含 $a^{2}$	$+ a^{2}$	$- \frac{a ^{2}}{2}$	$- \frac{a ^{2}}{2}$	$0$
含 $b^{2}$	—	$- \frac{b ^{2}}{2}$	—	$- \frac{b ^{2}}{2}$

所以 $E = b X - \frac{b ^{2}}{2} ，$

\frac{d Q}{d P} = e^{b X - b^{2} /2} .

与一步到位比较。 直接用第 41 页，把平移量 $a$ 换成 $b ，$ 得到的概率 $Q_{b}$ 满足 $\frac{d Q _{b}}{d P} = e^{b X - b^{2} /2} 。$ 两者密度完全相同，所以对每个事件 $A \in F ，$

Q (A) = E_{P} [e^{b X - b^{2} /2} 1_{A}] = Q_{b} (A) .

两步走和一步走得到的是同一个概率测度，不只是 $X$ 的分布相同。

人话版像换外币：汇率相乘

把 $P 、$ $Q 、$ $Q$ 想成三种货币，Radon–Nikodym 导数是「汇率」（第 32 页的比喻）。人民币先换美元、再把美元换欧元，总汇率等于两段汇率相乘，并且等于人民币直接换欧元的汇率——前提是两段报价用的是同一个中间货币。「以当前均值为中心」就相当于第二段必须按「美元」报价（以 $Q$ 为参照），而不是又按「人民币」报价（以 $P$ 为参照）。

补充分步平移在实际中有什么用

实际的重要性抽样里，最好的平移量往往事先不知道，常见做法是先小挪一步、根据样本再调整、再挪一步。本页保证：无论中间走了多少步，最后的样本权重都可以统一写成相对于原概率 $P$ 的一个密度（这里是 $e^{b X - b^{2} /2} ），$ 而估计 $P$ 下的量只需要这一个总权重。

命题（高斯平移的复合）

设在 $P$ 下 $X \sim N (0, 1) ，$ $a, b \in R ，$ $\frac{d Q}{d P} = e^{a X - a^{2} /2} 。$ 令 $Q (A) := E_{Q} [e^{(b - a) (X - a) - (b - a)^{2} /2} 1_{A}] 。$ 那么

$Q$ 是概率测度， $Q ≪ Q ，$ $\frac{d Q}{d Q} = e^{(b - a) (X - a) - (b - a)^{2} /2} ，$ 并且在 $Q$ 下 $X \sim N (b, 1) ；$
$Q ≪ P ，$ $\frac{d Q}{d P} = e^{b X - b^{2} /2} ；$
因此 $Q$ 与「从 $P$ 一步平移 $b 」$ 得到的概率在所有事件上都相等。

为什么一定要「以当前均值为中心」

一个很自然的错误：直接照抄上一页的公式，把平移量写成 $c = b - a ，$ 却忘了中心化，用 $L_{2}^{'} = e^{c X - c^{2} /2}$ 当第二段权重。检查它能不能归一化：

E_{Q} e^{c X} = E_{P} [e^{c X} \cdot e^{a X - a^{2} /2}] = e^{- a^{2} /2} E_{P} e^{(a + c) X} = e^{- a^{2} /2} e^{(a + c)^{2} /2} = e^{a c + c^{2} /2} . （命题 21 ：期望换算） （指数合并，常数提出） （上一页的公式 E_{P} e^{tX} = e^{t^{2} /2} ） （ \frac{( a + c ) ^{2} - a ^{2}}{2} = a c + \frac{c ^{2}}{2} ）

所以 $E_{Q} L_{2}^{'} = e^{- c^{2} /2} \cdot e^{a c + c^{2} /2} = e^{a c} 。$ 除非 $a = 0$ 或 $c = 0 ，$ 它不等于 1，造出来的「概率」总质量是 $e^{a c} ，$ 根本不是概率。

如果硬要把它归一化（除以它的期望 $e^{a c} ），$ 得到

\frac{L _{2}^{'}}{e ^{a c}} = e^{c X - a c - c^{2} /2} = e^{c (X - a) - c^{2} /2},

恰好就是中心化的公式。「以当前均值为中心」不是随意的写法，而是归一化逼出来的。 原因也很好理解：上一页公式 $e^{a X - a^{2} /2}$ 里的 $X ，$ 其实是「 $X$ 减去 $P$ 下的均值 0」；参照概率换成 $Q$ 之后，要减去的就是 $Q$ 下的均值 $a 。$

例子

例 1：a = 1，b = 3，代数字核对

第一段： $\frac{d Q}{d P} = e^{X - 1/2} 。$
第二段： $c = b - a = 2 ，$ $\frac{d Q}{d Q} = e^{2 (X - 1) - 2^{2} /2} = e^{2 X - 4} 。$
相乘： $e^{X - 1/2} \cdot e^{2 X - 4} = e^{3 X - 9/2} ；$ 直接公式 $e^{b X - b^{2} /2} = e^{3 X - 9/2} 。$ 一致。
在 $X = 2$ 处： $e^{1.5} \times e^{0} \approx 4.482 ，$ 直接 $e^{6 - 4.5} = e^{1.5} ；$ 在 $X = 0$ 处： $e^{- 0.5} \times e^{- 4} = e^{- 4.5} \approx 0.0111 ，$ 直接 $e^{- 4.5} 。$
三个概率下 $X > 3$ 的可能性： $P (X > 3) = 1 - Φ (3) \approx 0.00135 ，$ $Q (X > 3) = 1 - Φ (2) \approx 0.0228 ，$ $Q (X > 3) = 1 - Φ (0) = 0.5 。$ 每挪一步，事件 ${X > 3}$ 就变得更常见。

例 2：往回挪（b = 0）就是倒数密度

取 $b = 0 ：$ $\frac{d Q}{d Q} = e^{- a (X - a) - a^{2} /2} = e^{- a X + a^{2} - a^{2} /2} = e^{- a X + a^{2} /2} 。$
链式法则： $\frac{d Q}{d P} = e^{0 \cdot X - 0} = 1 ，$ 所以 $Q = P ：$ 挪过去再挪回来，回到原来的概率。
于是 $\frac{d P}{d Q} = e^{- a X + a^{2} /2} = \frac{1}{L} ，$ 这正是第 35 页的倒数密度，也是上一页命题的第 3 条。验证： $e^{- a X + a^{2} /2} \cdot e^{a X - a^{2} /2} = e^{0} = 1 。$

例 3：分两小步挪，和一大步一样

把 $0 \to b$ 拆成 $0 \to \frac{b}{2} \to b ：$

第一步（从 0 挪 $\frac{b}{2} ）：$ $e^{\frac{b}{2} X - \frac{b ^{2}}{8}} ；$
第二步（从 $\frac{b}{2}$ 再挪 $\frac{b}{2} ，$ 以 $\frac{b}{2}$ 为中心）： $e^{\frac{b}{2} (X - \frac{b}{2}) - \frac{b ^{2}}{8}} = e^{\frac{b}{2} X - \frac{b ^{2}}{4} - \frac{b ^{2}}{8}} ；$
相乘：指数是 $b X - (\frac{1}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}) b^{2} = b X - \frac{b ^{2}}{2} 。$ 和一步挪 $b$ 相同。

例 4（反例）：不中心化，总质量就不是 1

$a = 1 、$ $b = 3$ （ $c = 2 ）。$ 若错误地取第二段权重 $L_{2}^{'} = e^{2 X - 2} ，$ 则由上面的计算， $E_{Q} L_{2}^{'} = e^{a c} = e^{2} \approx 7.39 。$ 按它定义的 $Q^{'} (Ω) \approx 7.39 ，$ 不是概率。对比正确的 $e^{2 (X - 1) - 2} = e^{2 X - 4} ：$ 两者只差常数因子 $e^{2} ，$ 这个因子恰好就是中心化时减掉的 $a c 。$

推导：一步一步来

推导证明思路

把上面的计算写成一个对任意两个均值都成立的公式；再用第 34 页的「连换多次」推论，说明任意多步平移的复合都等于一步平移。

任意两个正态之间的密度之比。 对任意 $μ, ν \in R ，$ 把上面「另一条路」中的 $a, b$ 换成 $μ, ν ，$ 同样的展开给出 $\frac{ϕ ( x - ν )}{ϕ ( x - μ )} = e^{(ν - μ) (x - μ) - (ν - μ)^{2} /2} .$ $μ = 0$ 就是第 41 页， $μ = a 、$ $ν = b$ 就是本页的第二段权重。
相乘就是分数约分。 这些比值都是正数，可以像普通分数一样约分： $\frac{ϕ ( x - b )}{ϕ ( x - a )} \cdot \frac{ϕ ( x - a )}{ϕ ( x )} = \frac{ϕ ( x - b )}{ϕ ( x )} = e^{b x - b^{2} /2} .$ 这是验证本页结论最快的办法；上面按类型合并的表格，是把同一件事用指数写出来。
任意多步。 取任意一串点 $0 = a_{0}, a_{1}, \dots, a_{k} = b ，$ 第 $j$ 步从 $a_{j - 1}$ 挪到 $a_{j} ，$ 权重是 $\frac{ϕ ( X - a _{j} )}{ϕ ( X - a _{j - 1} )} 。$ 由第 34 页的「连换多次」推论，总密度是连乘积，中间的分子分母两两约掉： $j = 1 \prod k \frac{ϕ ( X - a _{j} )}{ϕ ( X - a _{j - 1} )} = \frac{ϕ ( X - a _{k} )}{ϕ ( X - a _{0} )} = \frac{ϕ ( X - b )}{ϕ ( X )} = e^{b X - b^{2} /2} .$ 这种「中间项全部抵消」的乘积叫望远镜乘积（像把一节节套筒收起来）。
结论。 不管怎么分段，只要每一段都以当前均值为中心，最终的概率都等于一步平移 $b$ 的概率。例 3 是 $k = 2 、$ 每步 $\frac{b}{2}$ 的情形。

常见疑问与易错点

易错点问：d Q̃/dℚ 和 d Q̃/dℙ，哪个才是 Q̃ 的「密度」？

答：都是，只是参照的概率不同。同一个 $Q ，$ 相对 $Q$ 的放大倍数是 $e^{(b - a) (X - a) - (b - a)^{2} /2} ，$ 相对 $P$ 的放大倍数是 $e^{b X - b^{2} /2} ，$ 两者由链式法则联系。用哪一个，取决于你手里的样本是从哪个概率抽出来的。

易错点问：b 可以比 a 小吗？

答：可以， $b - a$ 为负就是往左挪。例： $a = 3 、$ $b = 1 ，$ 第二段权重 $e^{- 2 (X - 3) - 2} ，$ 它随 $X$ 增大而减小，把质量往左搬。例 2 的 $b = 0$ 是一个特例。

易错点问：两个概率都让 X ~ N(b,1)，它们是不是一定相等？

答：不一定。 $X$ 的分布只描述「和 $X$ 有关的事件」。如果 $Ω$ 里还有一枚和 $X$ 无关的硬币，你可以在平移 $X$ 的同时把硬币换成偏的： $X$ 仍然服从 $N (b, 1) ，$ 但概率测度已经不同。本页能断言 $Q = Q_{b} ，$ 靠的是两者关于 $P$ 的密度相同，而不仅仅是 $X$ 的分布相同。

易错点问：链式法则的条件在这里一定满足吗？

答：满足，而且更强。三段密度 $e^{a X - a^{2} /2} 、$ $e^{(b - a) (X - a) - (b - a)^{2} /2} 、$ $e^{b X - b^{2} /2}$ 都处处为正，所以 $P 、$ $Q 、$ $Q$ 两两相互绝对连续（第 35 页），往哪个方向换都可以。

小结与自测

小结本页小结

在 $Q$ 下 $X \sim N (a, 1)$ 时，先中心化 $Y = X - a ，$ 再平移 $b - a ：$ $\frac{d Q}{d Q} = e^{(b - a) (X - a) - (b - a)^{2} /2} ，$ 它就是密度之比 $\frac{ϕ ( X - b )}{ϕ ( X - a )} 。$
链式法则：两段相乘，指数中含 $ab 、$ $a^{2}$ 的项全部抵消，得 $\frac{d Q}{d P} = e^{b X - b^{2} /2} ，$ 与一步平移相同，所以是同一个概率测度。
不中心化的权重 $e^{(b - a) X - (b - a)^{2} /2}$ 在 $Q$ 下期望是 $e^{a (b - a)} ，$ 不满足归一化。
$b = 0$ 给出倒数密度 $\frac{d P}{d Q} = e^{- a X + a^{2} /2} ；$ 分多少步平移结果都一样（望远镜乘积）。

自测

1. 取 $a = 2 、$ $b = - 1 。$ 写出 $\frac{d Q}{d Q} ，$ 乘上 $\frac{d Q}{d P} ，$ 验证结果是 $e^{b X - b^{2} /2} 。$

点开看答案

$c = b - a = - 3 ，$ $\frac{d Q}{d Q} = e^{- 3 (X - 2) - 9/2} = e^{- 3 X + 6 - 4.5} = e^{- 3 X + 1.5} 。$ $\frac{d Q}{d P} = e^{2 X - 2} 。$ 相乘：指数 $- 3 X + 1.5 + 2 X - 2 = - X - 0.5 。$ 而 $b X - \frac{b ^{2}}{2} = - X - \frac{1}{2} 。$ 一致。

2. $a = 2 。$ 若错误地用 $e^{X - 1/2}$ （即 $c = 1$ 却没有中心化）作为第二段权重，它在 $Q$ 下的期望是多少？正确的权重是什么？

点开看答案

$E_{Q} e^{c X - c^{2} /2} = e^{a c} = e^{2} \approx 7.39 \neq = 1 。$ 正确的权重是 $e^{1 \cdot (X - 2) - 1/2} = e^{X - 5/2} ，$ 它等于错误权重除以 $e^{2} 。$

3. 用第 34 页的比值形式，从 $\frac{d Q}{d P} = e^{b X - b^{2} /2}$ 和 $\frac{d Q}{d P} = e^{a X - a^{2} /2}$ 直接求 $\frac{d Q}{d Q} ，$ 并说明它与中心化公式相同。

点开看答案

$\frac{d Q}{d P} > 0 ，$ 所以 $\frac{d Q}{d Q} = \frac{e ^{b X - b^{2} /2}}{e ^{a X - a^{2} /2}} = e^{(b - a) X - \frac{b ^{2} - a ^{2}}{2}} 。$ 上面「另一条路」已经展开验证过 $(b - a) (X - a) - \frac{( b - a ) ^{2}}{2} = (b - a) X - \frac{b ^{2} - a ^{2}}{2} ，$ 所以两者相同。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
换测度	change of measure	用 E_Q[X] = E_P[X · dQ/dP] 在两个概率之间换算期望。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
Radon–Nikodym 导数	Radon–Nikodym derivative	Q ≪ P 时存在 L = dQ/dP ≥ 0，使 Q(A) = ∫_A L dP；它是「换测度的密度」。
重要性抽样	importance sampling	从另一个更合适的分布抽样，再乘以权重纠正，从而减小估计的方差。
绝对连续	absolute continuity	函数版：小区间总长很小时增量总和也很小；测度版：Q ≪ P，P 为零的事件 Q 也为零。