12 |f| ≤ 1 时 ∫√(1−f²) ≤ √(1−(∫f)²)：单位圆上的点，平均起来落在圆盘里 · 作业1

这道题在问什么

人话版一句话版

把每个 $x$ 对应到单位圆上半部的一个点 $P (x) = (f (x), 1 - f (x)^{2}) 。$ 两个积分 $a = \int f 、$ $b = \int 1 - f^{2}$ 恰好是这些点的平均位置（重心）的两个坐标。圆上的点平均起来只会落在圆盘里，所以 $a^{2} + b^{2} \leq 1 ，$ 也就是 $b \leq 1 - a^{2} ，$ 这就是要证的不等式。重心恰好落在圆周上，只可能是（几乎）所有点重合在一处，即 $f$ 几乎处处是常数。

考点：总测度为 1 时的不等式 $(\int g)^{2} \leq \int g^{2}$ （Cauchy–Schwarz 的特例，第 2 讲第 26 页）及其等号条件；也可以看成凹函数的 Jensen 不等式（第 24 页）。
难点在第 (ii) 问：第 (i) 问只要几行计算；「等号何时成立」才需要想清楚。原解答这一问答错了（见「原解答逐行对照」）。
和其他题的关系：第 7 题同样是「用 Hölder / Cauchy–Schwarz 证不等式，再找等号条件」。两题的共同教训：用了哪个不等式，就去查那个不等式的等号条件。

先补基础

基础补课这里的 μ 和两个积分

$μ$ 是 $[0, 1]$ 上的 Lebesgue 测度（区间的「长度」）， $μ ([0, 1]) = 1 。$ 所以 $([0, 1], μ)$ 是一个概率空间， $\int_{[0, 1]} g d μ$ 可以理解成「 $g$ 在 $[0, 1]$ 上的平均值」。下面简写成 $\int g 。$
题目默认 $f$ 可测。因为 $∣ f ∣ \leq 1 ，$ $1 - f^{2} \geq 0 ，$ 所以 $1 - f^{2}$ 有定义，取值在 $[0, 1]$ 里。它也可测： ${1 - f^{2} > c} = {f \in U} ，$ 其中 $U = {t \in [- 1, 1] : 1 - t^{2} > c}$ 是由连续函数定义的开集（第 1 讲第 29 页「连续函数都可测吗」）。
有界的可测函数在总测度有限的空间上可积，所以 $\int f 、$ $\int 1 - f^{2}$ 都是有限的数。
例： $f (x) = x$ 时， $\int f = \frac{1}{2} ；$ $\int_{0}^{1} 1 - x^{2} d x = \frac{π}{4} ，$ 就是四分之一个单位圆的面积。

基础补课「平均的平方 ≤ 平方的平均」及其等号条件

设总测度为 1， $g$ 可测且 $\int g^{2} < \infty ，$ 记 $m = \int g 。$ 则

(\int g)^{2} \leq \int g^{2},

等号成立当且仅当 $g = m$ a.e.（ $g$ 几乎处处等于一个常数）。

证明：把 $(g - m)^{2} \geq 0$ 展开再积分，并用 $\int 1 = 1 ：$

0 \leq \int (g - m)^{2} = \int g^{2} - 2 m \int g + m^{2} \int 1 = \int g^{2} - m^{2} .

若等号成立，非负函数 $(g - m)^{2}$ 的积分是 0，所以 $(g - m)^{2} = 0$ a.e.（第 2 讲第 5 页自测第 2 题），即 $g = m$ a.e.。反过来， $g = m$ a.e. 时两边都等于 $m^{2} 。$

用概率的语言，这就是 $Var (g) = E g^{2} - (E g)^{2} \geq 0 ：$ 方差为 0 当且仅当随机变量几乎必然是常数。
它也是 Cauchy–Schwarz 不等式 $(\int g \cdot 1)^{2} \leq \int g^{2} \cdot \int 1^{2}$ 的特例（第 26 页）。
例： $g (x) = x ：$ $(\int g)^{2} = \frac{1}{4} ，$ $\int g^{2} = \frac{1}{3} 。$ 差 $\frac{1}{12}$ 正是 $[0, 1]$ 上均匀分布的方差。

题目与原解答

课件原文题目

Let $f : [0, 1] \to R$ and $sup {∣ f (x) ∣ : x \in [0, 1]} \leq 1$ .

(i) Show that

\int_{[0, 1]} 1 - f^{2} d μ \leq 1 - (\int_{[0, 1]} f d μ)^{2}

(ii) Describe the class of functions for which the equality takes place.

中文翻译

设 $f : [0, 1] \to R ，$ $sup {∣ f (x) ∣ : x \in [0, 1]} \leq 1$ （即处处 $∣ f ∣ \leq 1 ）。$

(i) 证明 $\int_{[0, 1]} 1 - f^{2} d μ \leq 1 - (\int_{[0, 1]} f d μ)^{2} 。$

(ii) 描述使等号成立的函数类。

「describe the class」的意思是：找出所有使等号成立的 $f ，$ 给一个充分必要的刻画，而不只是举几个例子。
原解答把两问标成 (a)、(b)，分别对应题目的 (i)、(ii)。

原解答的思路（左栏）：(a) 对 $f$ 和 $1 - f^{2}$ 分别用 Cauchy–Schwarz，得到 $(\int f)^{2} + (\int 1 - f^{2})^{2} \leq \int f^{2} + \int (1 - f^{2}) = 1 。$ 这一问正确，只是少了最后开方的一句话。(b) 声称等号成立当且仅当 $c f = 1 - f^{2} 、$ $f^{2} = \frac{1}{c ^{2} + 1}$ （ $c \neq = 0$ 为常数）。理由不对，答案也不完整；正确答案是「 $f$ 几乎处处等于某个常数 $c \in [- 1, 1] 」。$

思路：怎么想到的

两边平方，再移项，要证的式子变成

(\int f)^{2} + (\int 1 - f^{2})^{2} \leq 1.

这个形式让人想到： $f^{2} + (1 - f^{2})^{2} = 1$ 处处成立，积分以后 $\int f^{2} + \int (1 - f^{2})^{2} = 1 。$ 所以只要把「平均的平方 ≤ 平方的平均」分别用在两项上，再相加。
等号条件：两个「≤」相加得到「=」，只可能每一个都是「=」。于是问题变成：两个等号同时成立需要什么。

图解：单位圆上的点云与它的重心

（描述）画一个单位圆，只看上半部分。对每个 $x \in [0, 1] ，$ 在圆上标出点 $P (x) = (f (x), 1 - f (x)^{2}) ：$ 横坐标是 $f (x) ，$ 纵坐标自动非负，而且 $P (x)$ 到原点的距离恰好是 1。

把所有点按 $μ$ 平均，得到重心 $G = (\int f, \int 1 - f^{2}) = (a, b) 。$
圆盘是凸的，圆上点的平均一定在圆盘里： $a^{2} + b^{2} \leq 1 。$ 所以重心的高度 $b$ 不超过圆周在横坐标 $a$ 处的高度 $1 - a^{2} ，$ 这就是 (i)。
点越分散，重心越往圆心缩；只有（几乎）所有点重合在一处时，重心才在圆周上，这就是 (ii)。
例： $f (x) = x$ 时，点从 $(0, 1)$ 沿圆弧走到 $(1, 0) ，$ 重心是 $(\frac{1}{2}, \frac{π}{4}) \approx (0.5, 0.785) ；$ 圆周在横坐标 $0.5$ 处的高度是 $\frac{3}{2} \approx 0.866 ，$ 重心比圆周低约 $0.08 。$

完整解答

记 $a = \int f ，$ $b = \int 1 - f^{2} 。$ 由「先补基础」，两个积分都是有限的数，且 $μ ([0, 1]) = 1 。$

(i) 第 1 步：对 $g = f$ 用「平均的平方 ≤ 平方的平均」： $a^{2} \leq \int f^{2} 。$

第 2 步：对 $g = 1 - f^{2}$ 用同一个不等式： $b^{2} \leq \int (1 - f^{2}) = 1 - \int f^{2} 。$

第 3 步：两式相加， $\int f^{2}$ 抵消：

a^{2} + b^{2} \leq 1, 即 b^{2} \leq 1 - a^{2} .

第 4 步（开方）：由第 3 步， $1 - a^{2} \geq b^{2} \geq 0 。$ $\cdot$ 在 $[0, \infty)$ 上递增，所以 $∣ b ∣ = b^{2} \leq 1 - a^{2} ，$ 而 $b \leq ∣ b ∣ 。$ 这就证明了 (i)。

(ii) 结论：等号成立当且仅当 $f$ 几乎处处等于某个常数 $c \in [- 1, 1] 。$

充分性：若 $f = c$ a.e.，则 $1 - f^{2} = 1 - c^{2}$ a.e.。左边 $= 1 - c^{2} ，$ 右边 $= 1 - c^{2} ，$ 相等。

必要性：设 $b = 1 - a^{2} ，$ 则 $a^{2} + b^{2} = 1 。$ 第 1、2 步的两个不等式都是「≤」；如果其中有一个严格小于，相加以后也严格小于 1。所以两个都取等号。特别地 $a^{2} = \int f^{2} ，$ 由「先补基础」里的等号条件， $f = a$ a.e.。 $■$

补充只有第 2 步取等号是不够的

第 2 步取等号只说明 $1 - f^{2}$ 几乎处处是常数，也就是 $∣ f ∣$ 几乎处处是常数； $f$ 本身仍可以在 $+ c 、$ $- c$ 之间跳来跳去（例 3）。真正把 $f$ 锁定成常数的是第 1 步的等号。

原解答逐行对照

(a)「By Cauchy-Schwarz inequality, we have $(\int f)^{2} + (\int 1 - f^{2})^{2} \leq \int f^{2} + \int (1 - f^{2})^{2} 」$ ：正确。这里的 Cauchy–Schwarz 是 $(\int g \cdot 1)^{2} \leq \int g^{2} \cdot \int 1^{2} ，$ 用了两次，并且用到 $\int 1 = μ ([0, 1]) = 1 。$
「 $= \int (f^{2} + (1 - f^{2})^{2}) = \int 1 = 1 」$ ：正确（积分的线性）。
缺的一句：原解答停在 $a^{2} + b^{2} \leq 1 ，$ 没有写出要证的 $b \leq 1 - a^{2}$ （上面第 4 步）。
(b)「Cauchy-Schwarz inequality is a special case of Hölder's inequality, hence, for strictly convex function, the equality holds if and only if $c f = 1 - f^{2}$ , $f^{2} = \frac{1}{c ^{2} + 1}$ , $c \neq = 0$ is a constant.」：这一问有两个问题，见下。

易错点原解答的问题：等号条件找错了地方

理由不对。「 $c f = 1 - f^{2} 」$ 是把 Cauchy–Schwarz 用在 $f$ 与 $1 - f^{2}$ 这一对函数上（ $\int f 1 - f^{2} \leq \int f^{2} \cdot \int (1 - f^{2}) ）$ 时的等号条件，可是 (a) 根本没有用这个不等式。(a) 是把 $g$ 与常数 $1$ 配对，等号条件是「 $g$ 与 $1$ 成比例」，即 $g$ 几乎处处是常数。「strictly convex function」一句也没有对应的论证（想用严格凹性，应该用 Jensen 不等式，见「拓展延伸」方法三）。
答案不完整。 $c$ 是固定的常数，而 $1 - f^{2} \geq 0 ，$ 所以 $c f \geq 0 ，$ $f$ 与 $c$ 同号；再加上 $f^{2} = \frac{1}{c ^{2} + 1} ，$ 得到 $f \equiv \frac{c}{∣ c ∣ 1 + c ^{2}} 。$ 所以原解答给出的函数类其实是「取值在 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$ 里的常数函数」，漏掉了 $f \equiv 0$ 和 $f \equiv \pm 1$ 。这三个常数也使等号成立： $f \equiv 0$ 时两边都是 1， $f \equiv \pm 1$ 时两边都是 0。
「处处」应为「几乎处处」：在一个零测集上改动 $f$ 的值，不影响任何积分（例 4）。
正确答案：等号成立 $⟺$ $f$ 几乎处处等于某个常数 $c \in [- 1, 1] 。$

例子与数值验证

下表用中点法（把 $[0, 1]$ 等分成 20 万份）计算两边，记 $L = \int 1 - f^{2}$ （左边）、 $R = 1 - (\int f)^{2}$ （右边）：

$f (x)$	$\int f$	$L$	$R$	等号？
$x$	$0.5$	$0.78540$ （ $= \frac{π}{4} ）$	$0.86603$ （ $= \frac{3}{2} ）$	否
$sin 2 π x$	$0$	$0.63662$ （ $= \frac{2}{π} ）$	$1$	否
左半 $\frac{1}{2} 、$ 右半 $- \frac{1}{2}$	$0$	$0.70711$	$1$	否
常数 $\frac{1}{2}$	$0.5$	$0.86603$	$0.86603$	是
常数 $0$	$0$	$1$	$1$	是
常数 $1$	$1$	$0$	$0$	是

例 1：f(x) = x

$\int_{0}^{1} 1 - x^{2} d x$ 是四分之一个单位圆的面积 $\frac{π}{4} \approx 0.785 ；$ $\int_{0}^{1} x d x = \frac{1}{2} ，$ 右边是 $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{2} \approx 0.866 。$ $f$ 不是常数，所以不等式严格成立。

例 2：f(x) = sin 2πx

$\int_{0}^{1} sin 2 π x d x = 0 ，$ 右边是 1。左边是 $\int_{0}^{1} ∣ cos 2 π x ∣ d x = \frac{2}{π} \approx 0.637 ：$ 注意 $1 - sin^{2} = ∣ cos ∣ ，$ 不是 $cos 。$ 点 $P (x) = (sin 2 π x, ∣ cos 2 π x ∣)$ 在上半圆上来回扫，重心 $(0, \frac{2}{π})$ 离圆周很远。

例 3：|f| 是常数但 f 不是常数，等号不成立

在 $[0, \frac{1}{2})$ 上 $f = \frac{1}{2} ，$ 在 $[\frac{1}{2}, 1]$ 上 $f = - \frac{1}{2} 。$

$f^{2} \equiv \frac{1}{2} ，$ $1 - f^{2} \equiv \frac{1}{2}$ 是常数，所以第 2 步取等号；
但 $\int f = 0 ，$ 而 $\int f^{2} = \frac{1}{2} ，$ 第 1 步不取等号。

结果：左边 $\frac{1}{2} \approx 0.707 ，$ 右边 1。几何上，两个点 $(\pm \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 各占一半质量，重心 $(0, \frac{1}{2})$ 在圆盘内部。

例 4：几乎处处为常数也算

令 $f = \frac{1}{2} ，$ 只在有理点上改成 $1 。$ 有理点组成零测集（第 1 讲第 43 页），两个积分都不变：两边都是 $\frac{3}{2} ，$ 等号成立。这个 $f$ 不是处处为常数，所以 (ii) 的答案必须写「几乎处处」。

拓展延伸

方法二：几何证明（单位向量的平均）

记 $P (x) = (f (x), 1 - f (x)^{2}) \in R^{2} ，$ 长度 $∣ P (x) ∣ = 1 ；$ $G = \int P = (a, b)$ （逐个分量积分）。

若 $G = 0 ，$ 则 $b = 0 < 1 = 1 - a^{2} ，$ 不等式成立且不取等号。若 $G \neq = 0 ，$ 用平面上的点积 $u \cdot v$ 和 $u \cdot v \leq ∣ u ∣ ∣ v ∣ ：$

∣ G ∣^{2} = G \cdot \int P = \int G \cdot P (x) d μ (x) \leq \int ∣ G ∣ ∣ P (x) ∣ d μ (x) = ∣ G ∣.

第二个等号把常向量 $G$ 移进积分（逐分量看就是积分的线性）。
两边除以 $∣ G ∣ ，$ 得 $∣ G ∣ \leq 1 ，$ 即 $a^{2} + b^{2} \leq 1 。$
等号：这时 $\int (∣ G ∣ - G \cdot P) = 0 ，$ 被积函数非负，所以 $G \cdot P (x) = ∣ G ∣$ a.e.。两个长度分别为 $∣ G ∣$ 和 1 的向量，点积等于 $∣ G ∣ ，$ 只可能方向相同，于是 $P (x) = G /∣ G ∣$ a.e.， $f$ 几乎处处是常数。

这个证明对 $R^{d}$ 中任何取值为单位向量的函数都适用：单位向量平均以后长度不超过 1；等于 1 当且仅当它们（几乎）全都相同。

方法三：Jensen 不等式（凹函数）

$φ (t) = 1 - t^{2}$ 的图形就是上半个单位圆，它在 $[- 1, 1]$ 上严格凹：在 $(- 1, 1)$ 内 $φ^{''} (t) = - (1 - t^{2})^{- 3/2} < 0 。$ 总测度为 1 时，凹函数的 Jensen 不等式（第 2 讲第 24 页）给出

\int φ (f) \leq φ (\int f),

这正是题目的不等式。严格凹又给出等号条件： $f$ 几乎处处是常数（第 24 页「等号什么时候成立」）。

小细节：讲义的 Jensen 是对开区间上的函数陈述的，而这里 $f$ 可以取到端点 $\pm 1 。$ 若 $a = \int f \in (- 1, 1) ，$ $φ$ 在 $a$ 处有切线 $ℓ ，$ 且 $φ \leq ℓ$ 在整个 $[- 1, 1]$ 上成立，讲义的证明照样适用。若 $a = 1 ，$ 则 $1 - f \geq 0$ 且 $\int (1 - f) = 0 ，$ 所以 $f = 1$ a.e.，两边都是 0；若 $a = - 1 ，$ 则 $1 + f \geq 0$ 且 $\int (1 + f) = 0 ，$ 所以 $f = - 1$ a.e.，两边同样都是 0。
本题因此是「Jensen 不等式 + 严格凹的等号条件」的一个实例。同一类结论还有： $φ = ln$ 给出 $\int ln g \leq ln \int g$ （几何平均 ≤ 算术平均）， $φ = \cdot$ 给出 $\int g \leq \int g 。$

到底差多少：一个精确的恒等式

「先补基础」的证明其实给出了等式 $\int g^{2} - (\int g)^{2} = Var (g) ，$ 其中 $Var (g) = \int (g - \int g)^{2} 。$ 分别用于 $f$ 和 $1 - f^{2} ，$ 再相加：

1 - (\int f)^{2} - (\int 1 - f^{2})^{2} = Var (f) + Var (1 - f^{2}) .

右边正是点云 $P (x)$ 到重心 $G$ 的平均平方距离 $\int ∣ P - G ∣^{2} ：$ 点越分散，重心离圆周越远。

数值核对（ $f (x) = x ）：$ $Var (x) = \frac{1}{12} \approx 0.08333 ，$ $Var 1 - x^{2} = \frac{2}{3} - \frac{π ^{2}}{16} \approx 0.04982 ，$ 合计约 $0.1331 ；$ 左边 $1 - 0.25 - \frac{π ^{2}}{16} \approx 0.1331 。$

总测度不是 1 时

把 $[0, 1]$ 换成 $[0, 2]$ （总测度 2），取 $f \equiv 0 ：$ 左边 $\int_{0}^{2} 1 d x = 2 ，$ 右边 $1 - 0 = 1 ，$ 不等式不成立。原因是证明用了 $\int 1 = 1 。$

一般地，总测度为 $M \in (0, \infty)$ 时，对概率测度 $μ / M$ 用本题的结论，再乘以 $M ，$ 得到

\int 1 - f^{2} d μ \leq M^{2} - (\int f d μ)^{2} .

用概率的语言，本题就是： $∣ X ∣ \leq 1$ 时， $E 1 - X^{2} \leq 1 - (E X)^{2} ，$ 等号当且仅当 $X$ 几乎必然是常数。

与特征函数的联系

单位圆上的点也可以写成复数 $e^{i θ} 。$ 方法二的论证（把点积换成复数的乘法与取实部）说明： $\int e^{i θ (x)} d μ (x) \leq 1 ，$ 等号当且仅当 $e^{i θ (x)}$ 几乎处处是常数。在概率论里，这就是特征函数 $ϕ (t) = E e^{i tX}$ 的基本性质： $∣ ϕ (t) ∣ \leq 1 ；$ 而 $∣ ϕ (t) ∣ = 1$ 当且仅当 $e^{i tX}$ 几乎必然是常数，即 $tX$ 几乎必然落在某个 $c + 2 π Z$ 上。证明中心极限定理的标准方法就是用特征函数。

常见疑问与易错点

易错点问：|f| 是常数，就能取等号吗？

答：不能（例 3）。 $∣ f ∣$ 是常数只保证第 2 步取等号；第 1 步要求 $f$ 本身几乎处处是常数。

易错点问：为什么一定要写「几乎处处」？

答：积分看不见零测集（第 1 讲第 43 页）。例 4 的 $f$ 不是处处为常数，等号却成立。所以函数类要写成「 $f$ 几乎处处等于常数」；只写「 $f$ 是常数」就漏掉了这些函数。

易错点问：(∫g)² ≤ ∫g² 对任何测度都成立吗？

答：不。它依赖总测度为 1（证明里用了 $\int 1 = 1 ）。$ 例如 $[0, 2]$ 上 $g \equiv 1 ：$ $(\int g)^{2} = 4 > 2 = \int g^{2} 。$ 总测度为 $M$ 时，正确的形式是 $(\int g)^{2} \leq M \int g^{2} 。$

易错点问：题目只说 f : [0,1] → ℝ，没说可测，有关系吗？

答：有。不可测的函数没有 Lebesgue 积分，题目里的 $\int f d μ$ 就没有意义。这类题目都默认 $f$ 可测；有了可测性， $∣ f ∣ \leq 1$ 保证两个积分都存在。

小结与自测

小结本题小结

把 $(f, 1 - f^{2})$ 看成单位圆上的点：两个积分是重心的坐标，重心在圆盘里，所以 $a^{2} + b^{2} \leq 1 。$
证明：对 $f$ 和 $1 - f^{2}$ 各用一次 $(\int g)^{2} \leq \int g^{2}$ （总测度为 1），相加，开方。
等号 $⟺$ $f$ 几乎处处等于某个常数 $c \in [- 1, 1] 。$ $∣ f ∣$ 是常数不够； $c = 0, \pm 1$ 也算。原解答的 (b) 用错了等号条件，漏掉了 $c = 0, \pm 1 。$
本质：严格凹函数 $1 - t^{2}$ 的 Jensen 不等式。两边的差距 = 两个方差之和。

自测

1. 对 $f (x) = 2 x - 1$ 计算两边。

点开看答案

$\int_{0}^{1} (2 x - 1) d x = 0 ，$ 右边是 1。左边令 $u = 2 x - 1$ （ $d x = \frac{1}{2} d u ）：$ $\int_{0}^{1} 1 - (2 x - 1)^{2} d x = \frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} 1 - u^{2} d u = \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} = \frac{π}{4} \approx 0.785$ （ $\int_{- 1}^{1} 1 - u^{2} d u$ 是半个单位圆的面积）。 $0.785 < 1 。$

2. 若 $f$ 只取 $\pm 1$ 两个值， $A = {f = 1} ，$ 什么时候取等号？

点开看答案

左边是 0（ $1 - f^{2} \equiv 0 ）。$ 右边 $= 1 - (2 μ (A) - 1)^{2} ，$ 它为 0 当且仅当 $μ (A) = 0$ 或 $1 ，$ 即 $f$ 几乎处处等于 $- 1$ 或 $1 。$ 这和「几乎处处为常数」一致。

3. 已知 $\int f = 0.6 。$ $\int 1 - f^{2}$ 最大可能是多少？什么样的 $f$ 能取到？

点开看答案

由 (i)，不超过 $1 - 0.36 = 0.8 ；$ 由 (ii)，取到 $0.8$ 当且仅当 $f = 0.6$ a.e.。

4. 第 2 步的不等式 $(\int 1 - f^{2})^{2} \leq \int (1 - f^{2})$ 什么时候取等号？举一个它取等号、而题目的不等式不取等号的例子。

点开看答案

当且仅当 $1 - f^{2}$ a.e. 为常数，即 $∣ f ∣$ a.e. 为常数。例：例 3 的 $f$ （左半 $\frac{1}{2} 、$ 右半 $- \frac{1}{2} ）。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
几乎处处	almost everywhere (a.e.)	除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
柯西–施瓦茨不等式	Cauchy–Schwarz inequality	E\|XY\| ≤ √(E X²) · √(E Y²)：Hölder 不等式取 p = q = 2 的特例。
Jensen 不等式	Jensen's inequality	φ 凸时 φ(E X) ≤ E φ(X)，例如 (E X)² ≤ E X²。
凹函数	concave function	−φ 是凸函数时，φ 叫凹函数：任意两点间的弦都在图像下方，例如 log x、√x。对凹函数，Jensen 不等式反向：E φ(X) ≤ φ(E X)。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
方差	variance	Var X = E[(X − E X)²]，衡量随机变量围绕均值的波动大小。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
特征函数	characteristic function	φ_X(t) = E e^{itX}（i 是虚数单位），把一个分布编码成一个函数：两个随机变量同分布 ⟺ 特征函数相同。本课没有讲它，作业里只当作已知工具提到。
中心极限定理	central limit theorem (CLT)	独立同分布、方差 σ² 有限时，(Sₙ − nμ)/(σ√n) 依分布收敛到标准正态分布：大量独立小误差之和近似正态。